2022年数学竞赛教案讲义几个初等函数的性质 .pdf

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2022年数学竞赛教案讲义几个初等函数的性质 .pdf

第四章几个初等函数的性质一、基础知识1 指数函数及其性质：形如 y=ax(a0,a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+），当 0a1 时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。2 分数指数幂：nmnmnnnmnmnnaaaaaaaa1,1,1。3对数函数及其性质：形如 y=logax(a0,a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+），值域为 R，图象过定点（1，0）。当 0a1 时，y=logax 为增函数。4对数的性质（M0,N0）；1）ax=Mx=logaM(a0,a1)；2）loga(MN)=loga M+logaN；3）loga（NM）=loga M-logaN；4）loga Mn=nloga M；，5）loganM=n1loga M；6）aloga M=M;7)logab=abccloglog(a,b,c0,a,c1).5.函数 y=x+xa（a0）的单调递增区间是a,和,a，单调递减区间为0,a和a,0。（请读者自己用定义证明）6连续函数的性质：若ab,f(x)在a,b上连续，且f(a)f(b)0.例 2（柯西不等式）若 a1,a2,an是不全为 0 的实数，b1,b2,bn R，则（niia12）（niib12）(niiiba1)2，等号当且仅当存在R，使 ai=ib,i=1,2,n 时成立。例 3 设 x,y R+,x+y=c,c 为常数且c(0,2，求 u=yyxx11的最小值。2指数和对数的运算技巧。例 4 设 p,qR+且满足 log9p=log12q=log16(p+q)，求pq的值。例 5 对于正整数a,b,c(abc)和实数 x,y,z,w，若 ax=by=cz=70w，且wzyx1111，求证：a+b=c.例 6 已知 x1,ac1,a1,c1.且 logax+logcx=2logbx，求证 c2=(ac)logab.例 7 解方程：3x+4 x+5 x=6 x.例 8 解方程组：312xyyxyxyx（其中 x,yR+）.例 9 已知 a0,a1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围。文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 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的根，x2是方程 x+10 x=27 的根，则 x1+x2=_.3已知 f(x)是定义在R 上的增函数，点A（-1，1），B（1，3）在它的图象上，y=f-1(x)是它的反函数，则不等式|f-1(log2x)|1 的解集为 _。4若 log2aaa1120，则 a 取值范围是 _。5命题 p:函数 y=log23xax在2，+）上是增函数；命题q:函数 y=log2(ax2-4x+1)的值域为 R，则 p 是 q 的_条件。6若 0b0 且 a1，比较大小：|loga(1-b)|_|loga(1+b).7已知 f(x)=2+log3x,x1,3，则函数y=f(x)2+f(x2)的值域为 _。8若 x=31log131log15121，则与 x 最接近的整数是_。9函数xxy1111log21的单调递增区间是_。10函数 f(x)=2,235212xxxx的值域为 _。11 设 f(x)=lg1+2x+3 x+(n-1)x+n x a，其中 n 为给定正整数,n2,a R.若 f(x)在 x(-,1时有意义，求a 的取值范围。12当 a 为何值时，方程)lg(2lgaxx=2 有一解，二解，无解？四、高考水平训练题1函数 f(x)=18x+lg(x2-1)的定义域是 _.2已知不等式x2-logmx0 在 x21,0时恒成立，则m 的取值范围是_.3若 xx|log2x=2-x，则 x2,x,1 从大到小排列是_.4.若 f(x)=lnxx11，则使 f(a)+f(b)=abbaf1_.5.命题 p:函数 y=log23xax在2，+）上是增函数；命题q：函数 y=log2(ax2-4x+1)的值域为 R，则 p 是 q 的_条件.6若 0b0 且 a1，比较大小：|loga(1-b)|_|loga(1+b)|.7已知 f(x)=2+log3x,x1,3，则函数y=f(x)2+f(x2)的值域为 _.文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 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有一解，二解，无解？四、高考水平训练题1函数 f(x)=18x+lg(x2-1)的定义域是 _.2已知不等式x2-logmx10,y10,xy=1000，则(lgx)(lgy)的取值范围是 _.7若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解，则实数k 的取值范围是 _.8函数 f(x)=101|1|lg|xxx的定义域为R，若关于x 的方程 f2(x)+bf(x)+c=0 有 7 个不同的实数解，则b,c 应满足的充要条件是_.（1）b0；（2）b0 且 c0；（3）b0 且 c=0；（4）b 0 且 c=0。9已知 f(x)=21121xx,F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0)，则 F(x)是_函数（填奇偶性）.10已知 f(x)=lgxx11，若abbaf1=1，abbaf1=2，其中|a|1,|b|1，则f(a)+f(b)=_.11设 aR，试讨论关于x 的方程 lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。12设 f(x)=|lgx|，实数 a,b 满足 0ab,f(a)=f(b)=2f2ba，求证：（1）a4+2a2-4a+1=0,b4-4b3+2b2+1=0；（2）3b0 且 a1,f(x)=loga(x+12x)(x1)，（1）求 f(x)的反函数f-1(x)；（2）若f-1(n)x1 x2 x30，都有 log10 xx1993+log210 xx1993+log32xx1993 klog30 xx1993 恒成立，则 k 的最大值为 _.3实数 x,y 满足 4x2-5xy+4y2=5，设 S=x2+y2，则minmax11SS的值为 _.4已知 0b1,000 的解集为 _.9已知 a1,b1，且 lg(a+b)=lga+lgb，求 lg(a-1)+lg(b-1).10（1）试画出由方程212lg)2(log)2lg()6lg(101yxxx所确定的函数y=f(x)图象。（2）若函数y=ax+21与 y=f(x)的图象恰有一个公共点，求a 的取值范围。11对于任意nN+(n1)，试证明：n+3n+nn=log2n+log3n+lognn。六、联赛二试水平训练题1设 x,y,zR+且 x+y+z=1，求 u=222222131313zzzyyyxxx的最小值。2当 a 为何值时，不等式log)15(21axxnlog5(x2+ax+6)+loga30 有且只有一个解（a1 且 a1）。3f(x)是定义在（1，+）上且在（1，+）中取值的函数，满足条件；对于任何x,y1 及u,v0,f(xuyv)f(x)u41f(y)v41都成立，试确定所有这样的函数f(x).4.求所有函数f：RR，使得 xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)成立。5设 m14 是一个整数，函数f：NN 定义如下：f(n)=22)13(14mnmnffmnmn,求出所有的m,使得 f(1995)=1995.6求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数f:f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y),x,yQ.7是否存在函数f(n)，将自然数集N 映为自身，且对每个n1,f(n)=f(f(n-1)+f(f(n+1)都成立。8设 p,q 是任意自然数，求证：存在这样的f(x)Z(x)（表示整系数多项式集合），使对 x轴上的某个长为q1的开区间中的每一个数x,有.1)(2qqpxf文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 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