海外文献推荐系列之七十八：西学东渐.docx

目录1、弓I 言-3 -2、事前分析-4-2.1、 非结构化模型-5-2.2、 结构化模型-8-3、事后分析-12-3.1、 事后理想组合-12-3.2、 机会集和已实现IC- 12-4、其他关键点-14-4.1、 风险控制-14-4.2、 时间序列上的alpha 分解-15 -4.3、 与目前行业实践的关系-16-5、结论-18-附录-19-图表1、每个资产的风险贡献-7-图表2、货币资产组合的风险归因-8-图表3、五种组合的属性-8-图表4、组合PQ与源组合的收益相关系数-9-图表5、组合PQ的回归系数与R方-9-图表6、组合PQ的风险预算-10-图表7、组合P的alpha分解-11 -图表8、效用损失分解-12-图表9、源组合的表现-13-图表10、组合P的事后分析-14- 组合的风险水平3P 转换系数Pp,q我们可以将公式（29）应用于任意源组合，对于源组合j,我们可以得到：a.i ="'j，Q=2g0,0叼（30）=IR 叼 PjQ为了进一步分析，我们需要对转换系数Pp,q进行深入的研究。根据公式（27）, 转换系数可以归因到源组合局部和残差局部：“P = /?,%, Z Wp、j . Pj、Q +P,e（P）.Pup）,q（31 ）j=U归因到源组合j的局部是xjq,Q，其中0,q是源组合j的转换系数，外力是组合P对于源组合j的标准暴露。图表7、组合P的alpha分解Alpha Reportportfolio IR risk PP1.664.77%source alpha6.85%SourceFASTINTSLOWexpo: psi<P j>0.6310.6060.697risk<j>3.01%2.89%3.33%7C: rho</,Q>0.6010.4510.301/R*risk*TC3.01%2.17%1.66%Residualexpo: rho<P,e(P)>0.356residual risk <Q>1.70%TC: rho<e(P),Q>0residual alpha0.00%Totalsportfolio Alpha6.85%资料来谕d仲由af PohfoOManagement, 整理图表7展示了组合P的alpha分解。第一局部展示了无约束情况下的最大可 能alpha,即给定IR和3P的情况下（转换系数假设为1）,组合的alpha可以到达 7.94% o图表7的第二局部展示了各个源组合对于alpha的贡献。源组合j的贡献是 IR曲夕,。其中IR%是可到达最大的alpha,P液是源组合j的转换系数。具体来说，我们在SLOW信号源上的暴露“p,slow=0097,转换系数 Alow,G =0.301,因此我们可以把7.94%*0.697*0.301=1.66%归因到51。¥信号 源上。 效用损失我们现在把问题聚焦到：实际持有组合P而非组合Q,我们损失了多少预期 效用。之前提到，效用损失与backlog的方差正相关：Uq-Up=，R,b(32)例子中入=25,要计算效用损失，我们需要知道backlog的方差。当组合X与 Y都等于B时' 我们就可以得到backlog的方差。图表8展示了效用损失的分解， 总的预期效用损失是1.54%o图表8、效用损失分解BacklogFAST INT SLOWResidualTotalutil loss1.20%0.02%-0.05%07810.013-0.0300.36%0.2351.54%1.00资料来源：The Journal of Portfolio Management, 整千里3、事后分析本文的目标是构建包括事前和事后分析、且以组合为中心的统一归因框架。 我们先列示出我们已经实现的和未实现的情况。本文框架优美对称性的必要条件是我们必须用组合代表收益。这种表示方式 在事前和事后都是一样的。事前分析，我们把收益预测表示成一个理想的组合。 事后分析中，我们通过后验的视角，将收益表示成事后理想组合。在经过这步的 处理后，事后归因步骤实际上与事前分析非常相似。这种分析下，事前分析的信息比对应事后的机会集(opportunity set),事前分 析的转换系数(transfer coefficient)对应事后分析的实际信息系数(realized IC)。3.1 '事后理想组合我们以0n表示资产n的收益。假设我们预测的alpha正好是外。使用这些完 美预测，我们可以构建什么样的组合呢？我们称之为组合R,它的持仓与组合Q 持仓的计算方法相同：仇',):匕" , Q(33)=1,N按照前面的分解方式，我们可以把公式(33)写为：依=2.%r=%Gr0,r,5(34)我们根据公式(34)把组合P中的假设干资产进行合并，这样可以表示任意组 合P与组合R的收益率协方差：Op = Z 4,= Q p,R =九皿,p. Pp,r(35)n=l、N3.2 、机会集和已实现IC从公式(35)中我们可以看出，任意组合P的已实现收益率与其风险o)p、与 事后理想组合的相关系数4水都成比例。公式(35)提供了 3个信息： 泰等于4g，因为夕R,R=13R 对任意组合P,一定小于等于2,因为& COp* K, a 相关系数%/与事前分析的转换系数°忆。相对应。我们将前水称之为组合P的已实现信息系数(realized IC)O我们称实际收益 与预测风险比值的最大值为机会集(opportunity set)o表示为：OS - %；8 - - = 4R(36)3r因此，解释组合P的表现等同于解释相关系数如出因为我们有如下公式：9p=OS.cOp. Ppr(37)公式(37)中将组合P的收益分解为3个局部：OS代表可获取的最多有效信 息；3P代表组合的风险偏好；外,我代表组合的已实现IC,表示事后理想组合的 执行效率。对于源组合Sj；/ = 1J,我们有：Oj = OS - coj - p R(38)相关系数Pm是源组合j的已实现IC。如果我们把公式(37)与相关系数的 分析一公式(27)相结合，我们可以得到类似于公式(31)的式子：%= OS 叼. Z Wp,j Pj,R + 0p)(P). Pc(p),r (39)j=U我们回到例子上，看一下这种方法如何落地。我们事后分析只需要5个数据： 机会集OS, 3个源组合已实现IC即组合P的残差局部与组合R的相关系 数0(p)r。在这个例子中，使用月度的残差收益，我们OS的值是10.51。p(p、R -0.117 ,因此残差局部对组合P是负贡献。图表9展示了 3种源组合的表现。已实现IC即rho<j,R。其中，FAST和SLOW 信号的预测比拟成功，收益的3.66%都归到FAST信号源上，它由机会集OS=10.51、 FAST信号源的风险水平4%、和已实现IC=0.087乘积得到。INT那么表现较差，给 组合造成的损失是-1.42%。图表9、源组合的表现资料来源： The Journal ol Porttoll。Management, 整理SourceFASTINTSLOWrisk (omega)4.00%3.00%2.00%realized IC (rho)0.087-0.0450.096return (theta)3.66%-1.42%2.02%我们可以按照与图表7类似的方式，分析我们组合的收益。信息集是10.51, 组合的风险是4.77%,因此潜在的最大收益是50.18%0这个数字并不奇怪，但我们通常只能获取一小局部,获取潜在最大收益的1/20 就是一个非常优秀的业绩了。组合收益在三个源组合上的标准暴露正好等于组合alpha在三个源组合上的 标准化暴露。事前和事后的分析相一致。正如我们以上表述，FAST和SLOW信号很成功，INT信号表现较差。对于SLOW信号,暴露是0.697,已实现IC（可见于图表9和图表10）是0.096。 因此总的潜在收益中归因到SLOW信号的局部是：0.697*0.096=0.067。在本例中， 总的潜在收益是50.18%,因此我们将0.067*50.18%=3.36%这些收益归因至15口3¥ 信号。通过同样的方式，我们可以得到FAST和INT的归因收益，三种源信号对 组合的净贡献是4.75%。图表10、组合P的事后分析贝 小仞1 iiv juuiiiai 5 1 mi iiuiiuReturn ReportportfolioPOS10.51risk P4.77%SourceFASTINT.SLOWexpo: psi<PJ>0.6310.6060.697risk<j>3.01%2.89%3.33%IC: rho</,R>0.087-0.0450.096OS *risk*/C2.76%-1.37%3.36%source return4.75%Residualexpo: rho<P,e(P)>0.356residual risk <Q>1.70%IC: rho<e(P),R>0.117OS*risk*/C-2.09%Totalsportfolio return2.66%portfolio IC0.053残差暴露p”p）=0.356 ,这意味着残差的风险是CDp. Pp、e（p） =4.77%*0.356=1.7%o残差组合已实现IC04p）.R=-O.117,因此我们由于残差局部 损失是 10.51* 1.7%*-0.117=2.09%o 至此，4.75%-2.09%=2.66%,收益分解完 成。整个组合的已实现IC是0.06。4、其他关键点这里其他关键点包括风险控制、时间序列上的alpha分解和与目前行业实践 的关系。4.1、 风险控制我们事后归因主要关注于元素的收益%,这个收益是我们试图预测的。我们这 局部集中于探讨风险。我们将资产n的超额收益分解为两局部X = % + %,其 中“是我们希望获取的收益局部，力是我们希望规避的收益局部。比方，对于一个行业中性策略，。就是行业的收益。附录说明了如何分解这 两种收益。组合P的总收益如下：X p = Op + ®p次”“(40)Bp= £ 4, Pm=1,N每类风险源也都有一个源组合q,k=l,K,这里我们使用K,是为了防止和 alpha源组合混淆。还是继续我们刚刚的例子，K可以是K个行业。我们可以将 组合P的风险进行分解，方法与我们之前分解alpha相同。参考公式(23),我们 有：P = Z s,k .尸p,k + 6(41)k=1,K暴露3和残差£与我们对alpha源回归获得的暴露和残差显然是不相同的。P,kP我们可以构架一个风险组合F,其持仓f = fi/2fN),其持仓由以下公式 决定：On = X , Z 匕，切 * fm(42 )n=l,N根据目前的结果，希望进行控制的组合P收益是：想二2F,P % F , Pf,P ,P(43 )组合F的希望控制的收益与预测风险比例的最大值为CR=Qo)f。因此，我 们有：Op 2F,P=CR p , Z %,k Pk,F +P"P) * P |；P),F (44)%=1,K为了与alpha源组合归因相区分，我给标准化暴露加了帽子符号。这里的方 法与之前相同。一些读者可能会希望我们通过一次归因，将alpha和风险分解都完成。这里 我使用一句谚语：“the hunter who chases two rabbits won't catch either”(无法将 这两件事情一起做好)。4.2、 时间序列上的alpha分解我们前面分析的例子中，alpha源要么是根据信号变化频率划分(fast slow intermediate),要么就是价值信号、成长信号或情绪信号。我们也可以在时间维度 分析alpha,比方通过alpha实现的时间。t时刻N个资产的alpha为小。在稍 早时刻，这N个资产的alpha是an(t T)c= 12，T。考虑组合Q(t-z),其持 仓为q(t- T)，我们构建这个组合是基于T时刻前的所有信息。我们可以把当前的 理想组合q(。分解为： 初始权重q(t-7),它代表我们基于t-T时刻前的所有信息，在现在持 有的组合。 T增强局部u(t- T),它代表仅基于t -(T + 1)到t -予之间信息我们所构 建的组合。举个例子,如果我们考虑一年内的月频调仓,T=12。那么我们当前有q(t- 12)在一年前基于a(t - 12)就可得的组合，以及12个信息增量。初始组合q(t - 12)与12个信息增量u(t - t), t = 0,1，,11可以作为信号源。他们可以100%地解 释当前理想组合q(t)o事前分析可以将组合q的暴露归因到这些不同日期的信号源上。然后比拟理 想组合q与实际组合，我们可以获取实际组合在这些不同日期信号源上的暴露。> X,Y 还是 Y,X我们已经展示了如何对事前alpha和事后收益进行建模，使它们与协方差或 者相关系数成比例。通过引入多个信息源，我们可以将相关系数分解为标准化暴 露与相关系数的乘积之和。暴露是多元的未知变量，它们通过回归得到。转换系 数和已实现IC是两个变量，他们代表两个组合之间的相关系数。通过这样的 分析方法，我们可以把事前的相关系数解释为转换系数、事后的相关系数解释为 已实现IC,但暴露在事前和事后定义相同。对于alpha,我们可以得到： IR p Z Wqj , Pj,R + Pp, c(p). q(p),Q(45)j=u公式(45)与公式(31)相对应。对于事后收益，我们有：6P = OSg Z Wrr Pj.R +Av(P) .0(P),R (46)j=J公式(46)与公式(39)相对应。最有趣的比拟是，当P是源组合之一时，比方他是Sl,那么(45)和(46)式 就可以写为：和，=OSSZRJ.01(47)j=J结合公式(31),我们可以得到更加简洁、合理的结果。组合Si的暴露和标准 暴露有如下关系：如果j工i,那么Bq = ipij = o；如果j=i, Bq = iplfj = io因此我 们有：%=IR3i,Piq和a =OS.3j Plr(48)他们取决于转换系数8,Q和已实现ICpR o与目前行业实践的关系目前广泛使用的事后分析系统是基于回归的。我们这局部从K个因子出发， 这些因子包括行业因子和共同因子如市值、估值、流动性等。N个资产我们有N 行K列的矩阵，每个系数是Xn,k。我们通过广义最小二乘将收益与这些因子联系起来。起来。(49)4 = E Xn,k , fk +Un&=1,K估计的参数fk通常叫做因子收益，它代表了某个组合的收益。给定组合P,其持仓是p=pi,p2,Pn。我们计算组合P在因子k上的暴露:(50)(51)Xp,k三Z P .大研 =1,N组合P的收益可以表示为：9P = Z Xp，k ,力 + Z puZ=1,K=1,N我们把其中Xp,k ,力视为归因到因子k的局部，余下局部那么为残差。我们可以换一种角度来看这些方程，这样就可以将它们与前文的框架联系在 一起。对于每个因子来说，我们可以通过解以下的方程来将源组合Sk与其持仓Sk,n 联系起来：X,k = ' . Z 匕,m . §k、m .七,k（ 52 ）/?=1, N我们可以将组合P的暴露写为：Xp,k = 4 , 3p,k =九,k Pk,p P（53）因此因子暴露等于风险厌恶系数乘以源组合与组合P的协方差。如果我们用 事后分析里的理想组合R （公式（23）中）与源组合回归：r/7 = Z Sn、k，0R、k+ Cr5）（54）k=,K我们会发现（附录中有详细说明）：回归的系数限次恰好等于通过（49）式计 算的因子收益。因此R人=及一2 R,k（55）3k其中叶是经过风险水平调整后的标准暴露。因此，归因到因子k的收益可 以写为：Xp,k ' fk = Xp k , pR k=Q3R3p,l/R,kPk、P（56）=OS.a）p.i/RkPk,p其中OS =入o）R是机会集。如果我们将其与公式（46）进行比拟，我们可以 看到之前我的分析方式是X,Y方法，这局部使用的那么是Y,X方法。> 另外的视角组合的残差局部风险是o）p,Pp跃P）。第j个源组合的风险乘以其暴露Bpj为 Bp,j = 3pgp/。我们可以将这些乘积视为组合风险、组合alpha,组合收益的风 险配置。 =i.E （g.夕pj）.Ph + （叫- Pp,“p）,q（p）,p7=1,J“p = /R E （g l/p,j）, pj,Q + ® , pp, e（P） , Pe（P）,Q （57）六1J% = OS Z（g Wp） Pj,R + （口P Pp, C（P） P4P）,R J=1,J我们可以从上述的风险归因、alpha归因、收益归因中看到每个源组合和残差 局部的风险。每个归因都可以看做由以下三局部组成； 与组合独立的常数如1, IR或者OS风险局部：0）p代表总体风险，3P"pj是源组合j的风险，3P夕巴式p）是 残差的风险。 相关系数局部：PP,R，仍氐P*P）,R分别是是组合R与组合P，源组合j， 残差组合的相关系数。5、结论本文提出了一套灵活统一的、以组合为核心的归因框架，这套框架的核心是 将相应的问题都转换为组合的形式，它可以使用协方差或者相关系数进行归因。 我们说明了在无结构化模型时如何使用这套框架，还说明了在这种情况下如何区 别可能的收益或风险来源。使用这套框架可以进行事前分析，拆解组合的alpha和预测风险，同样可以 进行事后分析，拆解组合的收益，方法完全相同。对于事前分析，起到关键作用 的是转换系数一一任意组合与理想组合的相关系数。对于事后分析，我们引入了 事后理想组合的概念，起到关键作用的是已实现IC任意组合与事后理想组合 的相关系数；事前分析的转换系数与事后分析的已实现IC的含义是对称的。本文框架可以包括很多传统的方法：它们都是将收益（或alpha）通过暴露的 概念归因到某些源头上。区别是传统的方法暴露是可以直接获取的，结果（因子 收益）是通过多元回归的方法得到的。但本文框架中，暴露是通过多元回归得到 的，因子收益是可以直接获取的。附录> 组合回归把公式(23)表达为矩阵的形式:X = S px +EX(A-l)如果我们两边乘以S'vS,Vx = SlVSpx+StVEx(A-2)残差组合与源组合不相关，因此S'VElO ,我们得到：p =S，VSTS'Vx(A-3) X残差组合的风险为：UqUp*(b(A-4)任意组合Y与残差的协方差为：Gy,e(x)= y'，VEx = (0Y，Py,&x)gx)(A-5)(A-6)因为x'V E, = E1VE,因此我们可以得到：% .夕X,“X)=(X)> 公式(27 )的衍生我们从公式(26)开始：(A-7)X,Y = Z Bx,j j,Y +(X) 夕(X),y Yj=l,J通过0)j,Y = a)j - PjY - 3y和0)x , Wxj = Sxj Sj，公式(A-7)可以写作：x,y =0x， Z Wx、j，Pj、Y 卜y + c(x), P&x)、丫 .丫(A-8)j=i,J此外，根据公式(A-6),我们有：x,y =x Y Z Wx,j，Pj,Y +?(x),x , R(x),y y(A-9)j=i,J> 收益分拆"是N*K矩阵，每行代表一个我们想控制的风险源。X代表超额收益，组合Y的持仓y由式子乂 =入丫丫决定，我们可以做以下回归：y = S py+Er给定我们想要控制的收益：<j)= x v s pY我们想要预测的收益。=入丫 6丫。组合f=“S0Y和r = 6丫是不相关的，07 - V-1 - 0 = Oo> 时间序列上alpha分解的例子对于每个时间t = 0,T,通过解方程a(t - t) = A P-q(t -予)。我们定义：(A-10)(A-ll)q '。一7) VqV-l)-V-qG-r-l)增量组合为:uQ -r) = q(Z - r) 一 y(t -r)-q(r-r-l)公式（A-9）保证了增量组合与原始组合不相关。> 收益回归公式（49 ）和组合回归公式（54 ）我们从收益回归开始：e = x f+uf = x,vx1x,v1e我们将它与组合回归比照：r = S-pR+ERPR =S,VS1S,Vr通过e = avinx = Qvs。我们可以得到：(A-12)(A-13)X'VT-0".s，Vr(A-14)X'v，x = ；l2.s，vs报告正文归因一事前和事后归因的统一框架文献来源：Richard Grinold. AttributionJ. Journal of Portfolio Management, 2006.推荐原因：本文提出了一个灵活的、统一的、以组合为核心的归因框架。它把事前(ex ante) 和事后(ex pose)归因统一到了一个框架内。可以采用同样的方法对组合的alpha> 预期风险、收益等各种属性进行归因。我们的思考：目前应用最多的归因方法往往指组合收益的事后归因，我们可以从本文看到，归 因应用可以更加广泛，无论在事前还是事后、包括对组合的alpha,风险、收益 都可以进行归因，更重要的是作者把这些归因都纳入到了一个统一的、简洁优雅 的框架之中。此外，目前收益归因最常用的回归方法也可以纳入到作者的归因框 架之中。1、引言本文提出了一个灵活的、统一的、以组合为核心的归因框架。它把事前(ex ante) 和事后(ex pose)归因统一到了一个框架内。事前分析我们关注组合风险、超额收 益的来源，以及阻碍我们更有效实施策略的地方。事后分析我们主要关心我们预 测是否准确，组合的表现以及风险控制的效果。我们通过分析组合之间的协方差(或相关系数)矩阵来解决这些问题。这需 要对资产特征进行建模，如把alpha>风险、收益作为组合。然后我们对这些资产 特征的协方差矩阵进行建模。把资产特征当做组合是一种不寻常的方法，它的好处是：我们可以用极其类 似的方法解决上述所有问题。本文的方法中有两个主要步骤：> 借助协方差矩阵来构建归因的框架> 分析协方差矩阵我们从如何将组合的特征(超额、风险、转换系数、预期效用损失)与协方 差矩阵对应起来开始，随后我们引入一个基础的风险预测分析模型，然后将各种 细节落实，使得它能够进行组合归因。再之后我们展示如何把事前分析超额和风 险的分析方法用于事后分析。最后，我们会展示该方法的通用性与灵活性：通过 收益回归进行归因的方法也可以并入我的框架之中。在归因方面已有大量的研究。Google搜索portfolio attribution有172000 个结果。我们的方法基于以下学者的横截面收益回归框架：Fama and参考文献1 Clarke, Roger, Harinda de Silva, and Steven Th or ley. "Performance Attribution and the Fundamental Law of Active Management., Working paper, February 20052 . "Portfolio Constraints and the Fundamental Law of Active Management. FinancialAnalysts Journal, September/October 2002, pp. 48-66.3 Fama, Eugene E, and Kenneth R. French. "Common Risk Factors in the Returns on Stocks and Bonds. Journal of Financial Economics Vol. 33, no. 1 (1993). pp. 3-564 Fama, Eugene F., and James MacBeth. "Risk, Return, and Equilibrium: Empirical Tests.” Journal of Political Economy. May/June 1973, pp. 987-1008.5 Grinold, Richard. "Implementation Efficiency." Financial Analysts Journal, September/October 2005, pp. 52-66 Grinold, Richard C , and Ronald N. Kahn. Active Portfolio Management, 2ed. New York: McGraw-Hill. 2007 Rosenberg, Barr, and Walt McKibben. tThe Prediction of Systematic and Specific Risk in Common Stocks." Journal of Financial and Quantitative Analysis, Vbl. 8, no. 2 ( March 1973), pp. 317-333风险提示：文献中的结果均由相应作者通过历史数据统计、建模和测算完成，在 政策、市场环境发生变化时模型存在失效的风险。MacBeth l 973 > Rosenberg and McKibbenl 973 > Fama and Frenchl 993。我也参考了 Clark, de Silva and Thorley2002,2005中的思路：在不考虑本钱及 其他约束的情况下，实施效率可以由你想要持有的组合与你实际持有组合的差异 来刻画。他们将事前和事后分析联系到了一起，并且用已实现信息系数(realized information)作为转换系数的近似。本文框架中backlog的概念类似于他们研究中“未实施的最优权重”；本文框 架中机会集(opportunity set)类似于他们的已实现离散程度。但出发点和具体的 方法是不同的。我试图搭建一个大的框架，类似一台大型实验设备，可以研究风 险、实施效率、收益等方面的所有问题。实际上，我最初的动机是时间序列上的 alpha分解模型。在研究过程中，我发现可以将Clark, de Silva and Thorley的方法 与Grind and Kahn2000的方法结合起来，构建一个统一的归因框架。2、事前分析我们将从一些资产组合理论的简单结果出发，展示如何使用协方差矩阵(或 者说方差、波动率、相关系数)分析出组合的一些特性。这种分析方法可以将看 似割裂的几个方面统一到一个框架内。我们定义N个资产之间的协方差矩阵为V,其中第n行m列元素,m代表估 计的资产n和m之间的协方差。这里的风险估计都是年化后的结果。任一组合P 的权重为用=PlP2,Pn，它们不需要加和为1，也不需要元素非负。任意组合P的方差和协方差如下：3p,p = Z Z P屋- Pmw=l,N "?=1,N任意两个组合X、Y的协方差，可以表示为：0X,y - 2' n,m 'h=1,N m=T,N组合P的alpha为(alpha是关于资产年化收益的预测，a = %,%,即)：a。= Z an , Pn(3)n=l,N组合P的信息比率P为IRp,其定义是单位风险下的预期alphaoIRp = aP / coP(4)我们的投资目标是最大化风险调整后期收益：U =a -p 2 一 , p，p也就是alpha减去风险的惩罚。当然，实际构建组合时还需要考虑交易本钱 和其他限制。我们以公式(5)无约束无本钱下的最优解开始，这个最优解我们称之为组合Q,其持仓为4 =包1,改,皿，可以通过解如下方程获得：% = X , E 匕川- Qm(6)/?z=l, N其中求和局部2m二l,N%mqm是资产n与组合Q的协方差。我们把它写作3n,Q。因此公式(6)可以写作(7)组合Q的alpha和收益调整后的收益分别是:(8)如果我们结合公式(3)和公式(7),并且有En=l,NPn3砧=3孙 我们可 以将任意组合P的alpha和信息比率写为：= A-p Q = A .Q pPQ -COp(9)将公式(9)的除以3P得到以下公式：iRp = % , % /Vq( io)任意组合P与理想组合Q的相关系数pp,Q,我们称之为转换系数(transfer coefficient)o它是衡量实施效率的指标。公式(10)说明： 让组合P=Q,那么pp,Q = l,组合Q的信息比等于入0)Q。 组合Q的信息比最高，因为pp,qW1,最高的信息比为：IR = IRq 4 , Sq(11)组合B代表组合P与Q之间的差异。组合B我们称之为backlog,它代表我 们由组合P到理想组合Q所需要进行的一篮子交易。组合P与组合Q相比，我们 的效用损失，即是backlog的方差：Uq-Up=：®b,b(12)A有读者可能会问，这和归因有什么关系？这局部核心思想是：风险，alpha, 实施效率，效用损失可以通过协方差来表示。我们后边会展示，组合的其他特点 也可以通过协方差来表达。因此，如果我们想建立一个灵活统一的归因框架，我 们就需要如何解读协方差的信息。2.1、 非结构化模型我们从非结构化的资产入手：在相对简单的环境下，我们可以得出更复杂环 境里同样成立的基础思想。X和Y分别代表两个组合，每个组合都是N个元素的多空持仓权重：x = xlX2,.，xn和y = yi,y2,/n。x与y组合的协方差是(13)(13)以" Z Z %, yn=l,N m=l,N我们可以将它写为我们可以将它写为%) = £ Xn , £ 匕小 ?z?=l,N m=,Nx,y = Z 4 .，丫(14)”I,N其中o）n,Y是资产n与组合Y的协方差。我们可以把Xn看做在资产n的暴露, o）n,Y代表了资产n与组合Y的关系。取极限后得到：dCDy y二co西我们可以调换x和y的顺序：x,y =y、x = 丫 .,x(15)(16)=1,N至此，O）X,Y拆解为Xn3n,Y（或yn-3n,X），实际上，这种拆解在结构化（或更 复杂）的情形下依然成立。在以上的基础上再加上一些理论基础和统计技术，这 个过程会更加优雅简洁，但其本质没变。假设X和Y都是组合P,那么方差等于协方差3p,p = 3%协方差、组合P 的风险3P如下：P,P = Z Z Pn V / Pm =1,N m=,N。" /Z Z P"V,m ' P?Y =LN m=l,N结合公式(2),我们可以得到：P,P =Pn .n,P(17)(18)n=,N至此，我们将方差的一局部Pn3炉归因到了资产n上，表示成比例就是匕 3n,p/3p,P。我们以10种主要货币的多空组合为例进行展示和说明。其中日元YEN的风 险贡献最高。如果我们希望减少组合的风险，那么应该减少日元YEN、瑞士法郎SWF、 瑞典克朗SWE的配置。增加诸如欧元EURO或者挪威克朗NOR的配置也可以降 低组合的主动风险。图表1、每个资产的风险贡献我们将会通过两个方式解释公式(18)中的风险配置。第一种方式基于相关 系数。我们可以将协方差分解为：4,P =，Pn、P ,P(19)其中3n是资产n的风险，3P是组合P的风险，Pn,P是资产n和组合P的相关 系数。我们定义：(20)m = Pn 八 W P、n COP方差中归因到资产n的局部可以写为：P9,p69Pp= WP,.P,P其中(21)E k Pn,p = 1 =1,N我们可以把3P刀视为组合P在资产n暴露的衡量标准，Pn,p是资产n和组合P 的相关系数。实际上，如果N个资产不相关，3P刀就等于pg。图表1中的数字详细列示在了图表2之中。列1是每个资产的多空持仓,USD 的持仓等于这些货币持仓总和取负数，在这个例子中大约为8%o第二列代表每个 资产与总组合P的相关系数Pn,p。第三列展示的是衍生的暴露Wp,n,最后一列是 Wp,n，Pn,P。有一个看似悖论的事情，提高权重最大的挪威克朗NOR配置比例会减少组 合的风险，原因是我们做空了约25%的欧洲货币，做多欧元和挪威克朗NOR还 缺乏以与之平衡。图表2、货币资产组合的风险归因p(n) rho(nfP) psl(P,n) productYEN SWF SWE SNG_$ AUS_$ CAD_$ NZ_$ GBP EURO NOR 嗫料来源;-9.62% -10.47% -12.14% -11.65% 8.54% 9.38%:5.39% -2.45% 1.40% 12.94%-0.5540.472-0.425-0.4350.1840.1750.132-0.315-0.378-0.156The Journal of Portfolio Management,0.477-0.522-0.570-0.3790.4130.3270.2720,1020.0670.606整理26.44%24.62%24.25%16.48%7.60%5.74%3.60%3.22%-2.53%-9.43%2.2、 结构化模型在本局部，我们可以将风险，alpha,信息比，和效用损失归因到特定的因子 而不只是归因到资产本身，如流动性因子