中值定理、导数应用.ppt

6.1 6.1 中值定理中值定理6.2 6.2 洛必达法则洛必达法则6.3 6.3 函数的单调性与极值函数的单调性与极值6.4 6.4 泰勒公泰勒公式式第第6章章 中值定理、导数应用中值定理、导数应用定理定理1 1 设函数设函数 满足下列条件满足下列条件(3)(3)(1)(1)在闭区间在闭区间 上连续；上连续；(2)(2)在开区间在开区间 内可导内可导;则在内至少存在一点则在内至少存在一点 ，6.1.1 6.1.1 罗尔定理罗尔定理 ab使得使得几何解释如图几何解释如图在直角坐标系在直角坐标系Oxy中中曲线曲线 两端点的两端点的连线连线 平行于平行于 轴轴,其斜其斜率为零率为零故在曲线弧上定有一点故在曲线弧上定有一点 使曲线在该使曲线在该点的切线平行于弦点的切线平行于弦 ，即平行于即平行于 轴。轴。即即则在区间则在区间 内至少存在内至少存在(1)(1)在闭区间在闭区间 上连续；上连续；(2)(2)在开区间在开区间 内可导；内可导；定理定理2 2 设函数设函数 满足下列条件满足下列条件一点一点 ，使得使得6.1.2 6.1.2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理曲线曲线 处处有不垂直于处处有不垂直于 轴的切线轴的切线如图如图 在直角坐标系在直角坐标系Oxy端点连线端点连线ABAB的斜率为的斜率为所以定理实际是说存在点所以定理实际是说存在点 ，使曲线在该点的切线，使曲线在该点的切线T平行于弦平行于弦ABAB。即即2.2.在开区间在开区间 内可导，内可导，1.1.在闭区间在闭区间 上连续；上连续；定理定理3 Cauchy3 Cauchy中值定理中值定理则在区间则在区间 内定有点内定有点使得使得6.1.3 6.1.3 柯西中值定理柯西中值定理设函数设函数 与与 满足如下条件：满足如下条件：RolleRolle定理是定理是LagrangeLagrange定理的特例定理的特例:在在LagrangeLagrange中值定理中如果中值定理中如果 则则LagrangeLagrange中值定理变成中值定理变成RolleRolle定理；定理；CauchyCauchy定量是定量是LagrangeLagrange定理的推广定理的推广 在在CauchyCauchy中值定理中如果中值定理中如果 ，则则CauchyCauchy化为化为LagrangeLagrange中值定理。中值定理。三个中值定理的关系 如果在某极限过程下如果在某极限过程下,函数函数f(x)与与g(x)同时趋于零或者同时趋于零或者同时趋于无穷大，通常把同时趋于无穷大，通常把 的极限称为未定式的极限，的极限称为未定式的极限，洛必达法则就是解决这类极限的工具。洛必达法则就是解决这类极限的工具。一般分为三种类型讨论：一般分为三种类型讨论：6.2 洛必达法则1 1 型不定式型不定式2 2型不定式型不定式3 3其它型不定式其它型不定式定定理理1 1 设设函函数数与与在在的的某某空空心心邻邻域域内内有有定定义义，且且满足如下条件：满足如下条件：存在存在或为或为1 1 型未定式型未定式（为任意实数）为任意实数）例例1 1 求求解解例例2 2 求求解解例例3 求求 解解 此定理的结论对于此定理的结论对于 时时 型未定式同样适用。型未定式同样适用。例例4 求求解解 2型不定式型不定式的某空心邻域内有定义，且满足如下条件的某空心邻域内有定义，且满足如下条件与与在该邻域内都存在，且在该邻域内都存在，且则则 定理定理2 2 设函数设函数与在点在点例例5 求求解解:定理定理2 2的结论对于的结论对于 时的时的 型未定式的极限问型未定式的极限问题同样适用。题同样适用。例例6 6求求解解 则可继续使用洛必达法则。即有则可继续使用洛必达法则。即有能满足定理中能满足定理中与与应满足的条件，应满足的条件，与与还是还是 型未定式，且型未定式，且如果如果如果反复使用洛必达法则也无法确定如果反复使用洛必达法则也无法确定则洛必达法则失效则洛必达法则失效.此时需用别的办法判断未定式此时需用别的办法判断未定式的极限。的极限。或能断定或能断定的极限，的极限，无极限，无极限，例例7 7 求求解解 这个问题是属于这个问题是属于型未定式，型未定式，但分子分母分别但分子分母分别求导后得求导后得此式振荡无极限，故洛必达法则失效，不能使用。此式振荡无极限，故洛必达法则失效，不能使用。但原极限是存在的，可用下法求得但原极限是存在的，可用下法求得3 3其它型不定式其它型不定式未定式除未定式除和和型外，还有型外，还有 型、型、型、型、等五种类型。等五种类型。型、型、型、型、型、型、型或者型或者 型型型：型：变为变为例例8 8 求求解解型型:通分相减变为通分相减变为 型型例例9 9 求求（型）型）解解 型未定式型未定式:由于它们是来源于幂指函数由于它们是来源于幂指函数 的极限的极限因此通常可用取对数的方法或利用因此通常可用取对数的方法或利用即可化为即可化为 型未定式，再化为型未定式，再化为 型或型或 型求解。型求解。例例10 10 求求 解解所以所以例例11 11 求求解解 设设所以所以（型）型）例例12 12 求求（型型）所以所以 解解6.3 6.3 函数的单调性与极值函数的单调性与极值 定理定理1 1 设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间 a,b 上连续，在开区上连续，在开区间间(a,b)内可导，则：内可导，则：1.若在若在(a,b)内内 ,则则f(x)在区间在区间(a,b)内单调增加内单调增加2.若在若在(a,b)内内 ,则则f(x)在区间在区间(a,b)内单调减少。内单调减少。abab 函数的单调性及判别法函数的单调性及判别法例例2 2 确定函数确定函数 的单调区间的单调区间.可导，可导，且等号只在且等号只在 x=0 成立成立.解解 因为所给函数在区间因为所给函数在区间 上连续，在上连续，在 内内例例1 1 判定函数判定函数 在区间在区间 上的单调性上的单调性.所以所以函数函数 在区间在区间 上单调增加上单调增加.解解 所以当所以当 x=-1,x=1时时 x (-,-1)-1(-1,1)1(1,+)f(x)+0 -0 +f(x)反之，如果对此邻域内任一点反之，如果对此邻域内任一点 ，恒有，恒有 则称则称 为函数为函数 的一个极小值，的一个极小值，称为极小值点。称为极小值点。6.3.2 6.3.2 函数的极值函数的极值定义定义 设函数设函数 在点在点 的某邻域内有定义，若对此的某邻域内有定义，若对此邻域内每一点邻域内每一点 ，恒有，恒有 ，则称，则称 是是函数函数 的一个极大值，的一个极大值，称为函数称为函数 的一个极大的一个极大值点；值点；函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极小值点统称为极值点。小值点统称为极值点。ABCDE极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在整极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在整个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯一的。如下图中一的。如下图中A、B、C、D、E都是极值点。都是极值点。从图中可看出从图中可看出,极小值极小值不一定小于极大值，如不一定小于极大值，如图中图中D点是极小值，点是极小值，A点是极大值。点是极大值。定理定理3（极值第一判别法）：（极值第一判别法）：设函数设函数 在点在点 的某邻域内连续，且在此邻的某邻域内连续，且在此邻域内（域内（可除外）可导可除外）可导（1）如果当）如果当 时时 ，而当，而当 时，时，则则 在在 取得极大值。取得极大值。（）如图所示：如图所示：在在 ，在在 ，在在 取得极大值。取得极大值。（2）如果当）如果当 时时 ，而当，而当 时，时，则则 在在 取得极小值。取得极小值。（）如图所示：如图所示：在在 ，在在 ，在在 取得极小值。取得极小值。（3）如果在）如果在 两侧两侧 的符号不变，则的符号不变，则 不是不是 的极值点，如图示的极值点，如图示（）(4)利用定理利用定理3,判断判断(2)中的点是否为极值点中的点是否为极值点,如果是如果是 求极值点的步骤：求极值点的步骤：(1)求函数的定义域求函数的定义域(有时是给定的区间有时是给定的区间);(3)用用(2)(2)中的点将定义域中的点将定义域(或区间或区间)分成若干个子区间分成若干个子区间,进一步判定是极大值点还是极小值点进一步判定是极大值点还是极小值点.(2)求出求出 ,求出使求出使 的点及的点及 不存在的点不存在的点;讨论在每个区间讨论在每个区间 的符号的符号;(5)求出各极值点处的函数值求出各极值点处的函数值,得函数的全部极值得函数的全部极值.例例4 求函数求函数 的单调区间和极值的单调区间和极值.解解 函数的定义域为函数的定义域为令令,得驻点得驻点这三个点将定义域这三个点将定义域分成四个部分区间，列表如下分成四个部分区间，列表如下极大值极大值极小值极小值 令令 得得由于由于定理定理4(极值的第二判别法极值的第二判别法)设函数设函数 在点在点 处具有处具有 二阶导数，且二阶导数，且 ，；（1）若若 ，则，则 是函数是函数 的极小值点；的极小值点；（2）若）若 ，则，则 是函数是函数 的极大值点；的极大值点；例例5 求函数求函数 的极值的极值.解解 函数的定义域为函数的定义域为所以所以 为极大值为极大值,为极小值为极小值.6.3.3 6.3.3 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值是函数在所考察的区间上全部函数值中最大者和最小者是函数在所考察的区间上全部函数值中最大者和最小者 最小的就是函数在区间最小的就是函数在区间上的最小值。上的最小值。连续函数在区间连续函数在区间上的最大值与最小值可通过比较上的最大值与最小值可通过比较端点处的函数值端点处的函数值 和和 ;1.1.区间区间2.2.区间区间内使的点处的函数值；内使的点处的函数值；内使内使 不存在的点处的函数值。不存在的点处的函数值。3.3.区间区间这些值中最大的就是函数在这些值中最大的就是函数在上的最大值上的最大值,上的最大值与最小值是全局性的概念上的最大值与最小值是全局性的概念,函数在区间函数在区间如下几类点的函数值得到：如下几类点的函数值得到：上的最大值和最小值。上的最大值和最小值。在驻点处函数值分别为在驻点处函数值分别为在端点的函数值为在端点的函数值为最大值为最大值为最小值为最小值为解解令令，得驻点，得驻点例例6 6 求函数求函数 在区间在区间比较上述比较上述5 5个点的函数值，即可得个点的函数值，即可得 在区间在区间上的上的M1xyoM2M1xyoM23.4.1 3.4.1 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定义定义1 1：如果在某区间内，曲线弧总是位于其切线的上：如果在某区间内，曲线弧总是位于其切线的上方，则称曲线在这个区间上是凸的。方，则称曲线在这个区间上是凸的。如图所示如图所示6.4 6.4 函数图形的描绘函数图形的描绘 如如果果曲曲线线弧弧总总是是位位于于其其切切线线的的下下方方，则则称称曲曲线线在在这个区间上是凹的。如下图：这个区间上是凹的。如下图：当曲线为凸时，曲线当曲线为凸时，曲线 的切线斜率的切线斜率 随着随着 的增加而增加，即的增加而增加，即 是增函数；反之，当曲线为凹时，是增函数；反之，当曲线为凹时，曲线曲线 的切线斜率的切线斜率 随着随着 的增加而减少，即的增加而减少，即 是减函数。是减函数。M1xM2yoM1xyoM2定理定理1 1 设函数设函数 在区间在区间 内具有二阶导数内具有二阶导数 （1 1）如果）如果 时，恒有时，恒有 ，则曲线，则曲线 在在 内为凸的；内为凸的；（2 2）如果）如果 时，恒有时，恒有 ，则曲线，则曲线 在在 内为凹的。内为凹的。定定义义2 2 曲曲线线上上凹凹与与凸凸的的部部分分的的分分界界点点称称为为曲曲线线的的拐拐点点。拐拐点点既既然然是是凹凹与与凸凸的的分分界界点点，所所以以在在拐拐点点的的某某邻邻域域内内 必然异号，因而在拐点处必然异号，因而在拐点处 或或 不存在。不存在。例例1 1 求曲线求曲线 的凹凸区间与拐点。的凹凸区间与拐点。解解 令令 ，得，得 ，列表如下列表如下有拐点有拐点有拐点有拐点 可见可见,曲线在区间曲线在区间 内为凸的，在区间内为凸的，在区间 内内为凹的，曲线的拐点是为凹的，曲线的拐点是 和和 .如果函数如果函数 在在 的某邻域内连续，当在点的某邻域内连续，当在点 的二阶导的二阶导数不存在时，如果在点数不存在时，如果在点 某空心邻域内二阶导数存在且在某空心邻域内二阶导数存在且在 的两侧符号相反，则点的两侧符号相反，则点 是拐点；如果两侧二阶导数是拐点；如果两侧二阶导数符号相同，则点符号相同，则点 不是拐点不是拐点.综上所述，判定曲线的凹凸与拐点的步骤可归纳如下：综上所述，判定曲线的凹凸与拐点的步骤可归纳如下：（1 1）求一阶及二阶导数）求一阶及二阶导数 ，；（2 2）求出）求出 及及 不存在的点；不存在的点；（3 3）以以（2 2）中中找找出出的的全全部部点点，把把函函数数的的定定义义域域分分成成若若干干部部分分区区间间，列列表表考考察察 在在各各区区间间的的符符号号，从从而而可可判定曲线在各部分区间的凹凸与拐点。判定曲线在各部分区间的凹凸与拐点。例例2 2 求曲线求曲线 的凹凸区间与拐点。的凹凸区间与拐点。解解 函数的定义域为函数的定义域为 当当 时，时，故以，故以 将定将定义域分成三个区间，列表如下：义域分成三个区间，列表如下：+0 0 +有有 拐拐 点点有有拐拐点点 在在 处，曲线上对应的点处，曲线上对应的点 与与 为拐点。为拐点。泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理 x x0 0的某个开区间的某个开区间(a,b)(a,b)内具有直到内具有直到(n+1)(n+1)阶的导数阶的导数,则当则当x x在在(a,b)(a,b)内时内时,f(x),f(x)可以表示为可以表示为(x-x(x-x0 0)的一个的一个n n次多项式与一个余项次多项式与一个余项R Rn n(x)(x)之和之和:如果函数如果函数f(x)f(x)在含有在含有 其中其中(4)注注3：当：当n=0时时,泰勒公式即为拉格朗日中值定理泰勒公式即为拉格朗日中值定理.泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)公式公式:除了上面除了上面 5 个公式外，还有下面常用的公式个公式外，还有下面常用的公式.