第5章连续时间信号与系统的复频域分析.ppt

第5章连续时间信号与系统的复频域分析 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望利用拉普拉斯变换可以将系统在时域利用拉普拉斯变换可以将系统在时域内的微分与积分的运算转换为乘法与除法内的微分与积分的运算转换为乘法与除法的运算，将微分积分方程转换为代数方程，的运算，将微分积分方程转换为代数方程，从而使计算量大大减少。利用拉氏变换还从而使计算量大大减少。利用拉氏变换还可以将时域中两个信号的卷积运算转换为可以将时域中两个信号的卷积运算转换为s域中的乘法运算。在此基础上建立了线性域中的乘法运算。在此基础上建立了线性时不变电路时不变电路s域分析的运算法，为线性系统域分析的运算法，为线性系统的分析提供了便利。同时还引出了系统函的分析提供了便利。同时还引出了系统函数的概念。数的概念。5.1连续时间连续时间信号的拉普拉斯信号的拉普拉斯变变换换5.1.1拉普拉斯拉普拉斯变换变换的定的定义义1.双双边边拉普拉斯拉普拉斯变换变换2.单边单边拉普拉斯拉普拉斯变换变换5.1.2常用信号的拉氏常用信号的拉氏变换变换及收及收敛敛域域1.常用信号的拉氏常用信号的拉氏变换变换（1）阶跃阶跃函数函数（2）单单位冲激信号位冲激信号（3）指数函数）指数函数2.单边单边拉氏拉氏变换变换的收的收敛敛域域如图如图5.1所示的复平面称为所示的复平面称为s平面，水平平面，水平轴称为轴称为轴，垂直轴称为轴，垂直轴称为j轴，轴，=0称为收称为收敛坐标，通过敛坐标，通过=0的垂直线是收敛域的边的垂直线是收敛域的边界称为收敛轴。对于单边拉氏变换，其收界称为收敛轴。对于单边拉氏变换，其收敛域位于收敛轴的右边。敛域位于收敛轴的右边。图5.1单边拉普拉斯变换的收敛域 5.2拉普拉斯拉普拉斯变换变换的基本性的基本性质质在在本本节节中中，将将看看到到，在在掌掌握握了了拉拉氏氏变变换换的的基基本本性性质质和和定定理理之之后后，可可以以方便求得信号的拉氏方便求得信号的拉氏变换变换。5.2.1 线线性性5.2.2 时时移特性移特性5.2.3 s域平移特性域平移特性5.2.4 尺度尺度变换变换5.2.5 时时域微分域微分5.2.6 时时域域积积分分5.2.7 时时域卷域卷积积定理定理5.3拉普拉斯逆拉普拉斯逆变换变换在在用用拉拉普普拉拉斯斯变变换换的的方方法法分分析析电电路路问问题题时时，一一般般来来讲讲它它包包括括三三个个步步骤骤：首首先先对对微微分分方方程程进进行行拉拉氏氏变变换换成成为为代代数数方方程程，然然后后解解此此代代数数方方程程得得到到所所求求未未知知函函数数的的拉拉氏氏变换变换F(s)，最后求，最后求F(s)的逆的逆变换变换。5.3.1直接直接计计算法算法逆拉普拉斯变换是从逆拉普拉斯变换是从s域函数求出对应域函数求出对应的时域函数。的时域函数。5.3.2 部分分式展开法部分分式展开法如如果果能能把把X(s)展展开开为为一一些些逆逆变变换换已已知知的的函数的和，如函数的和，如X(s)=X1(s)+X2(s)+X3(s)则则根据根据线线性性性性质质，X(s)的逆的逆变换为变换为x(t)=x1(t)+x2(t)+x3(t)这这种求解逆种求解逆变换变换的方法称的方法称为为部分分式展开法。部分分式展开法。1.极点极点为实为实数，无重根数，无重根2.极点极点为为共共轭轭复数复数3.具有多重极点具有多重极点5.4应应用拉普拉斯用拉普拉斯变换变换分析分析线线性性电电路路拉拉普普拉拉斯斯变变换换在在线线性性电电路路的的分分析析与与设设计计中中占占有有相相当当重重要要的的地地位位，利利用用拉拉普普拉拉斯斯变变换换方方法法分分析析电电路路称称为为电电路路的的复复频频域域分分析析或或s域域分分析析。电电路路的的某某些些特特性性在在s域域中中分分析析较较为为方方便便。当当电电路路中中含含有有冲冲激激电电压压或或电电流流时时，用用拉拉普普拉拉斯斯变变换换法法分分析析要要比比时时域域分分析析方方便便。由由于于s域域电电路路方方程程为为代代数数方方程程，因因而而电电路路设设计计常常常常在在s域域中中进进行行。此此外外，电电路路的的频频率率响响应应特特性性也也常常常常借借助助于于s域域函函数数进进行行分分析。析。5.4.1 应应用用拉拉普普拉拉斯斯变变换换求求解解微微分分方方程程当当电电路路或或系系统统的的输输入入输输出出微微分分方方程程已已知知时时，可可直直接接对对微微分分方方程程应应用用单单边边拉拉普普拉拉斯斯变变换换，利利用用时时域域微微分分性性质质求求出出s域域输输出出Y(s)，对对其取逆其取逆变换变换得到得到时时域解域解y(t)。从从该该例例可可看看出出，用用拉拉普普拉拉斯斯变变换换法法求求解解微微分分方方程程不不需需要要专专门门求求解解t=0+时时刻刻的的输输出出及及其其导导数数，并并且且可可直直接接得得到到全全响响应应。通通过过上上例例可可以以看看到到，利利用用拉拉普普拉拉斯斯变变换换可可以以避避开开烦烦琐琐的的求求解解微微分分方方程程的的过过程程。特特别别是是对对于于高高阶阶微微分分方方程程，拉拉氏氏变变换换法法可可以以使使计计算量大大减小。算量大大减小。5.4.2 电电路元件的复路元件的复频频域模型域模型对对于于比比较较复复杂杂的的网网络络（支支路路或或结结点点较较多多），列列写写微微分分方方程程本本身身也也是是一一件件烦烦琐琐的的事事情情。对对于于线线性性时时不不变变电电路路，可可不不必必列列写写微微分分方方程程，直直接接把把时时域域的的电电路路模模型型转转换换为为s域域电电路路模模型型，在在s域域内内写写出出电电路路的的代代数数方方程程形式，然后形式，然后进进行求解。行求解。1.电电路元件的路元件的s域串域串联联模型模型图5.3 元件s域模型（串联形式）2.电电路元件的路元件的s域并域并联联模型模型图5.4 元件的s域模型（并联模式）把把电电路路中中的的每每个个元元件件都都用用它它的的s域域模模型型来来代代替替，将将信信号号用用其其变变换换式式代代替替，于于是是就就得得到到该该电电路路的的s域域模模型型图图。对对此此模模型型利利用用KVL和和KCL分分析析可可以以得得到到所所需需求求解解的的变变换换式式，这这样样就用代数运算代替了求解微分方程。就用代数运算代替了求解微分方程。5.4.3 线线性性电电路的复路的复频频域分析域分析使使用用复复频频域域分分析析法法分分析析线线性性电电路路的的过过程程为为：（1）求求解解电电容容的的初初始始电电压压和和电电感感的的初初始始电电流流；（2）给给出出电电路路的的复复频频域域模模型型；（3）建建立立复复频频域域电电路路的的代代数数方方程程并并求求解解；（4）对输对输出量的复出量的复频频域函数取逆域函数取逆变换变换。5.5系系统统函函数数5.5.1 系系统统函数的定函数的定义义1.定定义义线性时不变系统的系统函数线性时不变系统的系统函数H(s)可定可定义为系统的零状态响应义为系统的零状态响应y(t)的拉氏变换的拉氏变换Y(s)与系统激励与系统激励x(t)的拉氏变换的拉氏变换X(s)之比之比。系系统统函函数数也也称称为为网网络络函函数数。在在系系统统分分析析中中，由由于于激激励励与与响响应应信信号号可可以以是是电电压压，也也可可以以是是电电流流，因因此此系系统统函函数数可可以以是是阻阻抗抗（电电压压除除以以电电流流）或或导导纳纳（电电流流除除以以电电压压），也也可可以以是是数数值值比比（电电压压除除以以电电压压或或电电流流除除以以电电流流）。此此外外，当当系系统统为为一一个个二二端端网网络络，激激励励与与响响应应在在同同一一端端口口，如如图图5.7(a)中中的的Ui(s)与与Ii(s)，则则系系统统函函数数称称为为策策动动点点函函数数或或驱动驱动点函数。点函数。若若系系统统为为一一个个四四端端网网络络，激激励励与与响响应应不不在在同同一一端端口口，如如图图5.7(b)中中的的Ui(s)或或Ii(s)与与Uo(s)或或Io(s)，则则此此系系统统函函数数称称为为转转移移函函数数或或传传输输函函数数。由由此此可可知知，策策动动点点函函数数可可能能是是阻阻抗抗或或导导纳纳，而而传传输输函函数数可可能是阻抗、能是阻抗、导纳导纳或或传输传输比比值值。图图5.7系统函数（策动点函数与转移函数）系统函数（策动点函数与转移函数）5.5.2 连续时间连续时间系系统统的三种描述方式的三种描述方式系统函数在系统分析中扮演着非常重要系统函数在系统分析中扮演着非常重要的角色。当系统的微分方程给定时，令输的角色。当系统的微分方程给定时，令输出量及其各阶导数在出量及其各阶导数在t=0-时的值为零，对时的值为零，对微分方程取拉普拉斯变换即可得系统函数。微分方程取拉普拉斯变换即可得系统函数。LTI连续时间连续时间系系统统可用以下三种方式描述：可用以下三种方式描述：（1）系系统统微分方程；微分方程；（2）系系统统函数；函数；（3）系系统统冲激响冲激响应应。在在这这三三种种描描述述中中，能能够够根根据据任任一一种种形形式式推推导导出另外两种形式。出另外两种形式。在在实实际际中中，通通常常用用系系统统函函数数描描述述系系统统，其框图表示如图其框图表示如图5.8所示。所示。图图5.8系系统统的的传递传递函数描述函数描述5.5.3 用系用系统统函数函数计计算系算系统统的零状的零状态态响响应应在在求求系系统统的的零零状状态态响响应应y(t)时时，它它等等于于系系统统冲激响冲激响应应h(t)与激励信号与激励信号x(t)之卷之卷积积，即，即y(t)=h(t)*x(t)若若Y(s)、H(s)、X(s)分分别别表表示示y(t)、h(t)、x(t)的的拉拉氏氏变变换换，根根据据拉拉氏氏变变换换的的时时域域卷卷积积定理，式（定理，式（5-28）可表示）可表示为为Y(s)=H(s)X(s)因因此此，只只要要知知道道了了系系统统函函数数H(s)，对对任任意意激激励励信信号号x(t)拉拉普普拉拉斯斯变变换换为为X(s)后后，二二者者相相乘乘即即可可得得到到任任意意信信号号下下的的零零状状态态响响应应的的拉氏拉氏变换变换Y(s)，再求拉氏逆，再求拉氏逆变换变换即可得即可得y(t)。5.5.4 系系统统函数的零极点函数的零极点图图1.系系统统函数的零极点函数的零极点极点极点pi与零点与零点zj的数值可以是实数、纯的数值可以是实数、纯虚数或复数。由于虚数或复数。由于A(s)与与B(s)的系数都是实的系数都是实数，所以零极点中若有虚数或复数，则必数，所以零极点中若有虚数或复数，则必然共轭成对，因此然共轭成对，因此H(s)的极点或零点存在的极点或零点存在以下几种类型：一阶实极点或实零点；一以下几种类型：一阶实极点或实零点；一阶共轭极点或共轭零点；二阶或二阶以上阶共轭极点或共轭零点；二阶或二阶以上的实、共轭极点或零点。的实、共轭极点或零点。2.系系统统的零极点的零极点图图把系统函数把系统函数H(s)的零点和极点在的零点和极点在s平面平面上标注出来，极点用上标注出来，极点用表示，零点用表示，零点用表示，表示，就称为系统函数的零极点图。从零极点图就称为系统函数的零极点图。从零极点图可以看出系统函数的零极点在可以看出系统函数的零极点在s平面的分布平面的分布情况。利用系统函数在情况。利用系统函数在s平面的零极点分布平面的零极点分布可以分析系统的时域特性，求解系统的自可以分析系统的时域特性，求解系统的自由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应。由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应。利用利用H(s)的零极点分布还可以方便地求得的零极点分布还可以方便地求得系统的频率响应特性，从而对系统的频域系统的频率响应特性，从而对系统的频域特性进行分析。特性进行分析。H(s)的零极点图如图的零极点图如图5.9所示。用符号所示。用符号表示零点，表示零点，表示极点，在同一位置画出了表示极点，在同一位置画出了两个相同的符号表示二阶极点或零点。两个相同的符号表示二阶极点或零点。图5.9H（s）的零极点图 5.5.5 由由系系统统函函数数的的零零极极点点分分布布确确定定时时域特性域特性系系统统函函数数H(s)与与冲冲激激响响应应h(t)是是一一对对拉拉氏氏变变换换，因因此此根根据据H(s)的的零零极极点点在在s平平面面上上的的分布就可以确定系分布就可以确定系统统的的时时域特性。域特性。1.系系统统函数的极点与函数的极点与时时域特性的关系域特性的关系（1）若一阶极点位于若一阶极点位于s平面的坐标原点平面的坐标原点 图5.10（2）若一阶极点位于若一阶极点位于s平面的实轴上平面的实轴上，且极点为负实数，且极点为负实数，p=-a0 图5.12（4）若有一对共轭极点位于虚轴，若有一对共轭极点位于虚轴，p1=j0及及p2=-j0 图5.13（5）若有一对共轭极点位于若有一对共轭极点位于s左半平左半平面，即面，即p1=-a+j0，p2=-a-j0，-a0 图5.15（7）若有二阶极点位于若有二阶极点位于s平面的坐平面的坐标原点，即标原点，即p1，2=0 图5.16（8）若有二阶极点位于负实轴，若有二阶极点位于负实轴，即即p1，2=-a，a0 图5.17（9）若二阶共轭极点位于虚轴，若二阶共轭极点位于虚轴，即即p1，2=j0，p3，4=-j0 图5.18 综综上上所所述述，若若系系统统函函数数H(s)的的极极点点位位于于s左左半半平平面面，则则冲冲激激响响应应h(t)的的波波形形呈呈衰衰减减变变化化，若若H(s)的的极极点点位位于于s右右半半平平面面，则则h(t)呈呈增增幅幅变变化化。当当一一阶阶极极点点位位于于虚虚轴轴时时，对对应应的的h(t)成成等等幅幅振振荡荡或或阶阶跃跃变变化化。若若二二阶阶极点位于虚极点位于虚轴轴，则则相相应应的的h(t)呈增幅呈增幅变变化。化。2.系系统统函数的零点与函数的零点与时时域特性的关系域特性的关系H(s)的极点位置与冲激函数的形状有的极点位置与冲激函数的形状有着重要关系，而着重要关系，而H(s)的零点分布只影响到的零点分布只影响到冲激函数的振幅与相位，而对于冲激函数的振幅与相位，而对于h(t)的波形的波形形式不起作用。形式不起作用。5.6系系统统的的稳稳定定性性本本节节讨讨论论利利用用系系统统的的s域域特特性性来来判判别别系系统统的的稳稳定定性性问问题题。一一般般说说来来，无无源源系系统统总总是是稳稳定定的的。然然而而，在在电电子子系系统统中中，广广泛泛应应用用有有源源的的反反馈馈系系统统，这这种种系系统统可可能能是是不不稳稳定定的的。判判别别一一个个系系统统是是否否稳稳定定或或者者求求解解一一个个系系统统的的稳稳定定条条件件或或自自激激震震荡荡条条件件是是电电子子设设计计中中必必须须要要考考虑虑的的问问题题。本本节节将将讨讨论论系系统统的的稳稳定定性性判判别别准准则则，着着重重讨讨论论线线性性非非时时变变系系统统的的稳稳定性准定性准则则。5.6.1 时时域判域判别别法法如果输入有界时（如果输入有界时（Boundedinput）只）只能产生有界输出（能产生有界输出（Boundedoutput），这样），这样的系统称为稳定系统，这一稳定性准则称的系统称为稳定系统，这一稳定性准则称为为BIBO稳定性准则。它适用于一般系统，稳定性准则。它适用于一般系统，可以是线性系统也可以是非线性系统，可可以是线性系统也可以是非线性系统，可以是非时变系统也可以是时变系统。以是非时变系统也可以是时变系统。5.6.2 s域判域判别别法法以以上上讨讨论论的的稳稳定定性性条条件件都都是是在在时时域域判判定定的的。在在s域域中中，对对于于线线性性非非时时变变因因果果系系统统，可可根根据据上上述述定定义义和和系系统统的的零零极极点点分分布布与与系系统统冲冲激激响响应应的的关关系系得得出出系系统统极极点点分分布布与与稳稳定性的关系如下。定性的关系如下。（1）稳稳定定因因果果系系统统的的系系统统函函数数H(s)的的极极点点只只能能在在s左左半半平平面面，不不能能在在s右右半半平平面面有有极极点，否点，否则则不不满满足式（足式（5-36），系），系统统不不稳稳定。定。（2）如如果果H(s)的的一一阶阶极极点点位位于于虚虚轴轴，则该则该系系统为临统为临界界稳稳定系定系统统。（3）H(s)的的极极点点位位于于s右右半半平平面面，对对于于因果系因果系统统来来说说，该该系系统统不不稳稳定。定。（4）如如果果H(s)在在虚虚轴轴上上有有二二阶阶以以上上的的极点，极点，则该则该系系统统不不稳稳定。定。由由于于无无源源系系统统不不能能补补充充和和供供给给能能量量，其其响响应应幅幅度度总总是是有有限限的的，故故无无源源网网络络都都是是稳稳定系定系统统或或临临界界稳稳定系定系统统。5.7系系统统的的频频率率响响应应在在s平平面面，任任一一复复数数都都可可用用一一有有方方向向的的线线段段表表示示，这这称称为为矢矢量量。例例如如，某某一一极极点点pi可可以以看看成成自自坐坐标标原原点点指指向向该该极极点点的的矢矢量量，如如图图5.19（a）所所示示。矢矢量量的的长长度度表表示示模模|pi|，其其相相角角是是自自实实轴轴反反时时针针方方向向至至该该矢矢量量的的夹夹角角，变变量量j也也可可以以用用矢矢量量表表示示，如如图图5.19（b）所所示示。于于是是j-pi就就是是矢矢量量j与与矢矢量量pi的的差差矢矢量量，当当变变化化时时，差差矢矢量量也也随随之之变变化。化。图图5.19零点与极点的矢量表示零点与极点的矢量表示5.8用用MATLAB进进行行连续时间连续时间信信号与系号与系统统的复的复频频域分析域分析5.8.1 用用MATLAB求解信号的拉氏求解信号的拉氏变换变换 MATLAB与拉氏与拉氏变换变换定定义义式式对应对应的指令的指令为为xs=laplace（xt，t，s）其其中中，xt为为被被求求拉拉氏氏变变换换的的信信号号函函数数x(t)的的符符号号表表达达式式；t为为积积分分变变量量；s为为复复频频率率；xs为为x(t)的的拉拉氏氏变变换换X(s)。如如果果xt中中t为为MATLAB规规定定的的积积分分变变量量，而而且且用用s表表示示复复频频率，上面的指令也可率，上面的指令也可简简写写为为xs=laplace（xt）5.8.2 用用MATLAB求求解解信信号号的的拉拉氏氏逆逆变变换换1.用符号工具直接用符号工具直接计计算法算法2.用部分分式法用部分分式法计计算拉氏逆算拉氏逆变换变换5.8.3 用用MATLAB绘绘制系制系统统的零极点的零极点图图在在MATLAB中中，系系统统函函数数的的零零极极点点可可用用多多项项式式求求根根指指令令roots或或指指令令tf2zp求求解解，其格式其格式为为：p=roots(a)z=root(b)z，p，k=tf2zp(b，a)其其中中，a为为分分母母系系数数向向量量；p为为极极点点；b为为分子系数向量；分子系数向量；z为为零点；零点；k为为增益。增益。零零极极点点图图用用指指令令plot绘绘制制，极极点点位位置置处处标标注注x，零点位置，零点位置处标处标注注o。5.8.4由由系系统统函函数数计计算算系系统统频频率率特特性性的的MATLAB实现实现在在研研究究电电路路系系统统的的频频率率特特性性时时，当当电电路路比比较较复复杂杂时时，手手工工计计算算系系统统函函数数和和频频率率特特性性就就比比较较复复杂杂，而而利利用用MATLAB的的freqs指指令令可可以以方便的计算并绘制系统的频率响应曲线。方便的计算并绘制系统的频率响应曲线。