兰州大学固体物理第7章-能带1复习进程.ppt

第七章 能带1、近自由电子模型 1.近自由电子模型近自由电子模型认为：电子在晶体中要受周围势场的作用，但这个(zh ge)势场的平均势场是一个很微弱的势场，平均势场是周期势场 ,由于 很弱，可以用量子力学中的微扰论来处理，这时Shodinger方程中的哈密顿量既有动能又有势能。第一页，共146页。这里 ，这样可用自由电子的波函数代替电子的零级波函数，用微扰论求解Shodinger方程，这样一种物理模型(mxng)称之为近自由电子模型(mxng)或准自由电子模型(mxng)，这也就是Sommuefeld的自由电子模型(mxng)再加上弱周期势的修正。第二页，共146页。第三页，共146页。2、能隙的起因 对于一维点阵（点阵常数为a），电子的波函数 若k远离Bz边界时（即 时），电子波不受Bragg反射，从各原子散射的波没有确定(qudng)的位相关系，对入射波的传播无什么影响，与x-ray在晶体中的传播是相同的。第四页，共146页。但当 时，如 ，此时平面波 满足Bragg条件，波程差为2a，相位差为2，从相邻的原子反射的波有相同的位相，发生相长干涉，产生向反方向传播的波 ，这个波同样受到其近邻原子的Bragg反射，再一次反向，这样就形成了向相反方向传播的两列行进(xngjn)波，平衡时两波叠加形成驻波。第五页，共146页。有两种形态的驻波：这是由自由电子的行波在Bz边界上的Bragg反射(fnsh)而形成的，两个驻波使电子聚积在不同的区域内。第六页，共146页。第七页，共146页。下面我们分别计算一下这两种情况下电子的平均能量。（+）这种分布时的能量低，（-）分布时能量高，电子的平均能量是不同的，没有周期势场的-k曲线是一条抛物线，在有周期势场存在时，在Bz边界上分裂成两个波函数，相应的能量也分成(fn chn)两个，一个E+、一个E-，可以证明，对 的电子的能量与 的电子的能量是不同的，这个能量差就是能隙，这个能隙就是所谓的禁带。第八页，共146页。为简单起见，我们考虑势场是谐和势（简谐势）对于L=1的单位晶体(jngt)：=为归一化因子，对（+）.（-）计算平均能量（+）:（+）（-）:（-）（+）-（-）第九页，共146页。=(-)=第十页，共146页。实际的势场并非是上面的简单(jindn)形式，而是一个复杂函数，但可用倒易点阵矢量展成付氏级数，展成余弦势的叠加，在一级近似下，在Bz边界都有能量间隙。=能隙的大小等于相应的傅立叶分量，Un是收敛的，能隙的宽度越来越小。第十一页，共146页。2、Bloch定理在存在周期(zhuq)性势场时，电子满足的Shodinger方程为:其中 =(+)Bloch定理是关于周期(zhuq)势场中单电子Shodinger方程的本征解的形式的问题。第十二页，共146页。Bloch定理：对于一个周期势场，单电子Shodinger方程的解必定具有形式：=即波函数为一个周期性函数与一个平面波相乘的形式，其中 是一个具有晶体点阵(jn t din zhn)周期性的函数。=（+）为点阵平移矢量。第十三页，共146页。把波函数平移点阵平移矢量可得：=这也是Bloch定理的另一种表达式，利用这种表达式Bloch定理可叙述为：周期(zhuq)势场中单电子Shodinger方程的本征函数 可以这样来选取，使得与每个 相联系的有一个波矢 满足：=第十四页，共146页。由Bloch定理(dngl)可得两个重要结论：1Bloch定理(dngl)表明周期势场中电子的本征函数有Bloch函数的形式，是一个被周期势场调幅了的平面波，平面波的振幅具有周期势场的周期性，这与自由电子的波函数不同，自由电子的波函数是一个平面波。第十五页，共146页。2Bloch波函数是周期势场中电子的本征函数，这个波在晶体空间是自由（均匀）传播的，既不随时间和空间而衰减，也不会在传播过程中突然改变形态(xngti)，即不会由一个Bloch波变成另一个Bloch波。第十六页，共146页。Bloch定理的证明:首先从正空间证明。先定义平移(pn y)算符，若点阵的平移(pn y)矢量是，当 取一系列整数值时，它代表平移(pn y)矢量群，对此，我们可定义平移(pn y)算符 把平移(pn y)算符作用在Shodinger方程中的上得；=第十七页，共146页。=有平移(pn y)不变性，在周期场中 =则 =第十八页，共146页。平移(pn y)算符与哈密顿算符是对易算符，据量子力学可知，对易算符有相同的本征函数，即 的本征函数也就是 的本征函数。若 是同一平移(pn y)矢量群中的任意两个矢量，则：=这就是说同一平移(pn y)矢量群中的两个平移(pn y)算符彼此是对易的。第十九页，共146页。现在就一维情况来证明Bloch定理(dngl)：考虑长为L的一维晶体，有N个初基晶胞，L=Na，固体物理考虑的都是理想晶体，不考虑边界，为排除晶体的有限尺寸对问题的限制，采用周期性边界条件，即把晶体首尾相接成一个环型晶体。第二十页，共146页。Shodinger方程的解以晶体长度(chngd)为周期重复：是周期场中哈密顿算符的本征函数，也是平移算符的本征函数:c为 算符的本征值。第二十一页，共146页。当用平移算符重复(chngf)作用时，将平移算符在波函数上作用N次，则：第二十二页，共146页。按周期性边界条件：这是由平移对称性得到(d do)的。于时 则 =令 （周期性边界条件下k的允许值）这正是一维点阵中Bloch定理的表达式。第二十三页，共146页。对三维晶体(jngt)在x、y、z方向都用周期性边界条件和平移算符，同样可得：第二十四页，共146页。在以上的证明中，我们没有用到周期势的性质和波函数的具体形式(xngsh)，只用了平移对称性，Bloch定理是晶体平移对称性的直接结果，不仅适用于周期场中的电子的本征态，而且适用于严格具有完全的平移对称性的体系，它的所有本征函数都具有Bloch函数的形式(xngsh)。第二十五页，共146页。3、电子在周期势场中的波动方程周期势场中的Shodinger方程为：=现在(xinzi)我们要把Shodinger方程和解的形式在波矢空间中表示出来，就要经过量子力学中的表象变换。第二十六页，共146页。1.中心方程 势函数和波函数的傅立叶分析 势函数有平移对称性，总可以用倒易点阵矢量展成付氏级数，在一维情况下，可对倒易矢量展开成付氏级数：n为整数若 是实函数，付氏级数的傅立叶分量的系数 有如下(rxi)性质：第二十七页，共146页。是实函数，第二章中讲过，实周期函数必有此结果：任指定 ，则上式左边(zu bian)为 右边为要使上面等式成立，则须第二十八页，共146页。若势函数具有中心反演(fn yn)对称性：则在势函数既是实函数又具有中心反演(fn yn)对称性的情况下第二十九页，共146页。波函数：一个(y)波函数可对波矢k展开成付氏级数，在周期性边界条件下：（n为整数）在波矢空间中关键就是c（k），只要c（k）已知，则 在K空间的形式就知道了，此时 就唯一确定了。第三十页，共146页。2中心方程的推导空间的Shodinger方程为：=把波函数展开成付氏级数,K取边界条件允许的所有值（包括(boku)倒易阵点和非倒易阵点）把势函数对倒易矢量展开成付氏级数将波函数和势函数的付氏级数代入一维Shodinger方程中。第三十一页，共146页。动能(dngnng)项为：=势能项为：=则一维情况下的Shodinger方程变为：=+=第三十二页，共146页。任意指定一个傅立叶分量 （一个波矢代表一个分量），是边界条件允许的K 值，我们看一看各项的系数；第一项分量为 ，当 时，系数为：第二项要使分量仍为 ，只有 系数为：等式右边，时，分量 的系数为任何(rnh)一个傅立叶分量的系数都应满足这个关系：+=第三十三页，共146页。因此可以把 再写成 ，则：+=式中的 是边界条件允许的任意一个(y)值。为方便起见，我们引入 ，代表波矢为的平面波的动能，于是上面的方程可写成：+=0这就是中心方程。第三十四页，共146页。3 3中心方程说明的问题中心方程说明的问题 中心方程是一个代数方程，它是由真实空间中心方程是一个代数方程，它是由真实空间中的中的ShodingerShodinger方程（微分方程）演变来的，是周方程（微分方程）演变来的，是周期势场中单电子期势场中单电子ShodingerShodinger方程在波矢空间的表现方程在波矢空间的表现形式，这个方程要对形式，这个方程要对G G求和（这是因为一个给定的求和（这是因为一个给定的势函数展开付氏级数要对势函数展开付氏级数要对G G求和）。它应包含无穷求和）。它应包含无穷多项，多项，K K是周期性边界条件允许是周期性边界条件允许(ynx)(ynx)的任意一个的任意一个K K值，这实际上是一个包含无穷多项和无穷多个方值，这实际上是一个包含无穷多项和无穷多个方程的代数方程组，求解中心方程的目的是求程的代数方程组，求解中心方程的目的是求 和各和各付立叶分量的系数，从表面看，这样一个有无穷多付立叶分量的系数，从表面看，这样一个有无穷多个方程，而每个方程又包含有无穷多项的方程组是个方程，而每个方程又包含有无穷多项的方程组是没法求解的，但是在一些近似条件下，取一些有限没法求解的，但是在一些近似条件下，取一些有限项和有限的方程，还可说明许多问题。项和有限的方程，还可说明许多问题。第三十五页，共146页。中心方程把波函数的傅立叶分量C（K）及C（K-G）联系了起来，在中心方程中对K不求和，只对G求和，在中心方程中出现的傅立叶分量的系数为 C（K）和C（K-G），G要取所有(suyu)的倒易点阵矢量，中心方程把 联系起来了。第三十六页，共146页。如在一维情况下，令最短的 ，所有倒易点阵矢量G可写成 n取所有的整数，因此中心方程包含这样(zhyng)一些傅立叶分量：在方程中出现(chxin)的只是第三十七页，共146页。我们可以在波矢空间(kngjin)中标出这些分量：第三十八页，共146页。在中心(zhngxn)方程中出现的只有与指定的K相差一个G的傅立叶分量，统称之为C(K)、C(K-G),G取所有倒易点阵矢量。也就是说当用中心(zhngxn)方程求解波函数的本征函数的傅立叶分量时，只能求出C(K)与C(K-G)这样一些系数的分量，而与K相差不是一个G的那些分量是不出现的。第三十九页，共146页。求解中心方程是为了求解电子波函数的本征函数，在中心方程中消失掉的傅立叶分量(fn ling)，在中心方程的解中也不会出现，这也就是说，周期势场中单电子Shodinger方程的解不会包括边界条件所允许的所有K值的分量(fn ling)，而只包含一些特殊的分量(fn ling)。第四十页，共146页。+式中的K值是边界条件的任意一个K值。可以简写为：式中的G值取所有的倒易点阵矢量。这就是由中心方程得到的单电子(dinz)在周期势场中电子(dinz)波函数的本征函数的形式。第四十一页，共146页。把含有分量(fn ling)K的波函数（本征函数）给一个下标，表示波矢为K的傅立叶分量(fn ling)只要知道了K分量(fn ling)，其它的分量(fn ling)可用 找出来，波函数就唯一地确定了，即 =它们都是由相同的傅立叶分量(fn ling)组成，因此它们都是相同的，与 表示相同的波函数。第四十二页，共146页。既然 与 是同一个波函数，由相同的付氏级数组成，通常我们就把K限制在第1BZ之内，用k表示，称简约波矢，它所表示的本征函数都可以通过加减适当的G用第1BZ以内的本征函数来表示，第1BZ以外(ywi)的波函数只不过是第1BZ以内的波函数的重复和再现而已。第四十三页，共146页。另外(ln wi)要注意的是，格波不存在比2a更短的波长，即波矢超出第1BZ是没有物理意义的，然而电子波则不同，电子波是几率波，代表在 处电子出现的几率，在阵点以外的空间仍有物理意义，也就是说，对电子波，波矢可超出第1BZ，在第1BZ以外，它是有物理意义的，只不过与第1BZ以内的是重复的，这是与格波不同的地方。第四十四页，共146页。4Bloch定理重述由中心方程再看Bloch定理。用简约波矢：=我们现在(xinzi)证明这样一个付氏级数就是Bloch函数 =第四十五页，共146页。令 =现在只要证明 =具有点阵(din zhn)周期性即可证明 为Bloch函数。第四十六页，共146页。=是Bloch函数(hnsh)，即 =第四十七页，共146页。以前我们讲过一个具有(jyu)晶体点阵周期性的函数可用倒易点阵矢量展开成付氏级数，现在我们证明了它的逆定理，即若一个函数可用倒易点阵矢量展成付氏级数，那么这个函数必定有点阵周期性质。第四十八页，共146页。由Bloch函数的付氏级数(j sh)形式 =可写成：=+对三维波函数：=+第四十九页，共146页。据Laue衍射条件：=，在 方向有一个(y)反射波 =-，除第一项外，其它分量的波矢都有 -的形式，因此它们都是各级Bragg反射波，取所有倒易点阵矢量，即得各级平面的所有反射，就是把所有的反射波加起来，Bloch波实际是是一个(y)平面波与它的各级Bragg反射波的叠加。第五十页，共146页。2.电子的晶体动量1Bloch函数的下标k是表征本征函数本征态的量子数，描写函数的量子态需要两个(lin)量子数，波矢 和自旋量子数 。第五十一页，共146页。2如果(rgu)周期势 =0，则 =0，此时中心方程为：=0要使 有非零解，则必须 =0 即 =这正是自由电子的能量，此时的波函数为 =，相当于自由电子的波函数。第五十二页，共146页。这时的波矢 表示这样的物理(wl)意义：代表电子动量的本征值，但 0，则 不代表电子动量的本征值，Bloch波是由许多平面波叠加起来的，Bloch函数不是动量算符的本征函数，而是能量算符的本征函数。我们把动量算符作用到Bloch函数上得：+不是电子动量的本征值。第五十三页，共146页。3 凡是有Bloch电子参与的碰撞过程中，这个量要出现在守恒定律中，它的作用与一个动量的作用一样(yyng)，所以我们把叫做电子的晶体动量。第五十四页，共146页。用量子力学的方法来计算有Bloch电子参与的过程的跃迁几率，可得到波矢的选择定则,对于(duy)电子与声子的碰撞：=+式中 为电子波矢，为声子波矢 为电子跃迁后的波矢，为倒易点阵矢量，的选取以保证 不超出第1BZ，满足上述波矢选择定则的跃迁是允许的，否则就是不允许的。第五十五页，共146页。若对波矢选择定则两边乘以 ，相当于动量守恒定律：=+式中 代表(dibio)电子跃迁后的动量。第五十六页，共146页。出现在动量守恒定律中，相当于一个动量，称为电子的晶体动量，它即非电子动量的本征值，又不是电子动量的平均值，只是它的性质(xngzh)相于一个动量。电子在外场作用下，的变化服从牛顿定律。第五十七页，共146页。3.中心(zhngxn)方程的解 =0在中心(zhngxn)方程中出现的系数只有k、k-G的形式，对波矢空间任一点（如 ）求解，可对此点写出中心(zhngxn)方程，这时对有关的傅立叶分量都要写出中心(zhngxn)方程，因为用一个方程是无法求解能量的本征值与本征函数的，只有用一系列的方程列成方程组来求解。第五十八页，共146页。现在我们考虑最简单的情况，假定势函数只包含(bohn)有两个傅立叶分量：=+并设 =则 G=为整数于是 可写成余弦函数的形式：=第五十九页，共146页。在波矢空间任意指定一个k值，则中心方程(fngchng)为：+=0由于方程(fngchng)中只有：=，而 =0中心方程(fngchng)简化为：+=0 第六十页，共146页。对 写出中心(zhngxn)方程：把是式(1)中的k换成 +=0 对 写出中心(zhngxn)方程来：+=0 第六十一页，共146页。但由此引出的中心方程是无穷的，即中心方程是由无穷多的方程组成的奇次方程组。这些方程把 、等波矢联系起来了，这样一个由无穷多个方程组成的方程组是无法求解的，但在一定的近似条件(tiojin)下，我们把波函数 =的傅立叶分量只取有限个项，则中心方程是有限的方程组，还是可以求解的。第六十二页，共146页。如对上面势函数只有两个分量的情况下，我们(w men)取：即波函数只有五个分量 、时，中心方程只有5个。第六十三页，共146页。对 写出中心(zhngxn)方程为：对 写出中心(zhngxn)方程为：第六十四页，共146页。把上述(shngsh)方程组按一定顺序排列，如排列，要使关于有非零解，则其系数行列式须满足：第六十五页，共146页。若势函数包含有两对傅立叶分量如对于波函数取五个分量的情况，这时写出的中心方程(fngchng)的系数行列式为：第六十六页，共146页。中心方程的解说明的问题：1对每一个给定的k值，是多值的，有多少个 值，取决于波函数傅立叶分量的个数，对于每一个波矢k，有不止(bzh)一个能量，每一个 值对应一个能带，所以标志电子的一个能量状态，需要两个指标 ，即一个是波矢指标，一个是能带指标，同样标志一个波函数 也需要两个指标，因为 是将 代入中心方程得到的。第六十七页，共146页。第六十八页，共146页。2将中心方程中的k平移一个任意倒易点阵矢量，中心方程所代表的方程组不变，解也是不变的。k是边界条件允许的任意值。中心方程把 这些傅立叶分量联系在一起，若指定k，则只能出现(chxin)的形式的分量，G取所有倒易点阵矢量。第六十九页，共146页。若对K求解中心方程，则对都要写出中心方程来，若将K平移任意(rny)倒易矢量G，如 ，现在实际上对 求解中心方程，现在的中心方程组中只出现与 相差一个G的所有分量，如 ，也就是说对 写出的中心方程组实际上是与对K写出的中心方程组相同，所不同的只是方程的顺序有些变化而已。由此解中心方程组解出的能量与波函数也不变。第七十页，共146页。第七十一页，共146页。同一个能带中的能量是G的周期(zhuq)数，同一个能带中的波函数也是G的周期(zhuq)函数，这是能带在周期(zhuq)势场中的性质，与格波的色散关系 相对应，这些性质都是由周期(zhuq)势场引起的，所以我们只在第1BZ内解出所有的能带和轨道就全部解决了电子的能带和轨道问题，在三维情况下：第七十二页，共146页。特别要注意的是：在正空间 有正点阵的平移不变性，而波函数没有(mi yu)平移不变性，但在波矢空间，即倒易空间，和 都对倒易点阵矢量 有平移不变性。第七十三页，共146页。4.弱周期势下BZ边界附近的近似解设势函数有三角函数的形式：势函数展开包括两个傅立叶分量：比电子在BZ边界是的动能要小得多，即：现在来求在附近中心(zhngxn)方程的解第七十四页，共146页。1当 时 （波矢为K的自由电子的能量(nngling)或波矢为K的平面波分量的动能）第七十五页，共146页。（波矢为 与 的自由电子的动能(dngnng)是相同的）+当 时：第七十六页，共146页。在波函数中 的分量与-的分量具有同样重要的地位，在比较粗略的近似下，必须保留这一对傅立叶分量（时这一对分量的 是相同的），而将其它(qt)高阶分量略去，这就是波函数的两分量近似，这两个分量有同样重要的地位。第七十七页，共146页。略去高阶项，对 写出中心方程(fngchng)，这时势函数有一对分量，波函数也只有一对分量：第七十八页，共146页。这方程组要有非零解，须：得：第七十九页，共146页。由中心方程在两个分量近似(jn s)下，得到了电子的能带为 ，若无周期势场电子的能带应为自由电子能带，但由于弱周期势场的作用，使能带分成两个，这两个能量差为：第八十页，共146页。第八十一页，共146页。将 代回中心方程可得波函数的两个解：若不考虑(kol)归一化因子，就有上述形式，此时：与前面的似真性论证得到的结果完全一样。第八十二页，共146页。2k在BZ边界 附近 此时电子的本征函数k与k-G这两个分量有大约相差的动能(dngnng)，其它的G可略去。第八十三页，共146页。对k、k-G分别写出中心(zhngxn)方程：其中 第八十四页，共146页。要使上述(shngsh)方程组有非零解，须可得：或 第八十五页，共146页。由此可得：为了能清楚(qng chu)看出和k的关系，我们引入：即从布里渊区边界算起的波矢差。第八十六页，共146页。则 第八十七页，共146页。代入能量(nngling)关系式中得：或第八十八页，共146页。当波矢k足够靠近BZ边界时，即 足够小时，使得 就可把后项（方括号内的项）用二项式定理展开(zhn ki)，取一级近似得：第八十九页，共146页。于是(ysh)式中是波矢 时自由电子的动能，能量对BZ边界对称。第九十页，共146页。是抛物线函数，抛物线的顶点分别(fnbi)在（+）和（-）两点，若U0，则势是吸引势，（+）、（-）如图所示第九十一页，共146页。由中心方程可得：把中心方程得到的的两个(lin)根分别代入，可求出 的关系，得到如上面右图的关系。第九十二页，共146页。当k远离BZ边界（即）时，分别对两个能带来说，只有一个平面波分量是主要的，如对第一带来说，因为(yn wi)此时 ，即 ，也就是说用一个分量表示就可以了，离BZ边界越远 越小。对于第二带来说，只要k离 越远 ，占主要地位，也只有一个平面波占主要地位。第九十三页，共146页。当 时，两个(lin)分量都是主要的，此时当k=时，两个(lin)分量相等，与前面讲的完全一致。第九十四页，共146页。4、能带图示法1.简约区图、周期区图和扩展区图 前面(qin mian)我们由中心方程得到了重要的结论：即对于同一个能带，能量和波函数都是倒易矢量G的周期函数：,第九十五页，共146页。-k的关系曲线(qxin)在波矢空间有三种画法：1简约区图把 限制在第1BZ之中，在第1BZ中解出 与能带，画出能带曲线(qxin)，如一维时只看0 范围与前面讲的 附近的图非常相似，能带与能带之间有间隙，对于任一波矢k对应有不同的能量值,是k的多值函数，只在第1BZ之中画图。第九十六页，共146页。第九十七页，共146页。2周期区图把第1BZ中的 曲线平移 移到波矢空间(kngjin)其它区域，这样得到的图叫周期区图或重复区图。第九十八页，共146页。3扩展(kuzhn)区图 、都有两个下标n和 ，有时需要 是 的单值函数，在这个前提下出现了能带的扩展(kuzhn)区图。约定在第1BZ中画第一带（n=1），在第2BZ中画第二带（n=2），在第3BZ画第三带，以此类推，由此得到的曲线称之为扩展(kuzhn)区图。第九十九页，共146页。第一百页，共146页。对于简约区图并不是说第1BZ以外的能带和轨道是不存在的，而是为了(wi le)避免重复，周期区图虽然是重复的，但它是最完整的，扩展区图是在每个BZ中只画出一个能带，并不是说其它能带在这些BZ中不存在，如在第3BZ中的第一、二能带与第一、二BZ是一样的，这三种图式在不同的场合都要用到，常用的是简约区图。第一百零一页，共146页。2.空点阵(din zhn)近似 所谓空点阵(din zhn)近似就是点阵(din zhn)依然存在，周期性也存在，但势场为零。当周期势场非常弱 0，对 =0的极限情况，称为空点阵(din zhn)近似。空点阵(din zhn)近似就是周期结构中的自由电子近似。第一百零二页，共146页。在一维情况(qngkung)下，自由电子的函数为 ，（，为整数），空点阵近似的 图与自由电子的 图相同，但有三种图示法，我们采用简约区图。我们从自由电子的 图画出空点阵近似下的 图的简约区图，只要把k平移适当的 移入第1BZ就得到空点阵近似下 的简约区图。第一百零三页，共146页。第一百零四页，共146页。1G=0，把第1BZ边界的能量写成作为(zuwi)度量其它能量的单位。第一百零五页，共146页。2 在BZ中心(zhngxn)，k=0，在BZ边界上，即 时，这样就画出了空点阵近似下一维的简约区图。第一百零六页，共146页。在弱周期势下，在第1BZ边界是，能带都要一分为二，出现能隙，这样就得到了一维情况下弱势(ru sh)场的简约区图。第一百零七页，共146页。三维情况下，K沿不同方向，曲线可能不同，（这是因为晶体本身(bnshn)就是各向异性的），画 图就要指定K的方向，如K沿100方向，就表示100方向的K值。第一百零八页，共146页。三维情况下空点阵近似的能带的简约区图，即把自由电子(z yu din z)的 关系曲线，平移到第1BZ之中，令 ,则简约区中 =这就是简约区中的函数。第一百零九页，共146页。三维空间的 曲线图都是要在波矢空间给定的方向画出，如SC点阵的100方向，为简便起见，令 =1，即以 为能量的度量单位，则简约(jinyu)区中的 函数为：=第一百一十页，共146页。SC点阵的倒易点阵矢量是表示倒易点阵矢量的，给定h,k,l，就给定了。作为一个例子，对SC点阵，来研究K沿100方向，曲线(qxin)的形状。第一百一十一页，共146页。=（000）（以 为单位表示的指数）即 则 也就是(jish)说，K本来就在简约区中。在100方向，即 这就是(jish)简约区中的函数沿方向的函数形式。第一百一十二页，共146页。在第1BZ中心 在第1BZ边界(binji)把第1BZ边界(binji)是的值为，作为度量其它能量的单位。第一百一十三页，共146页。最短的 =100、010、001、根据这些相对于方向的对称性分组，对称性相同(xin tn)的取作一组，因此100、为一组，010、为一组，001、为一组。第一百一十四页，共146页。先看 =100和 ，这是对 =100对称(duchn)的，即 ，代入简约区中的 =中得：=第一百一十五页，共146页。再沿 方向显示(xinsh)能带，此时则 在BZ 中心 在BZ边界上 第一百一十六页，共146页。再看相对于 k100的另外四个 =010、，或 =001、对于这样两组 ，先写出简约区中的函数(hnsh)形式：=010、时：=001、时：第一百一十七页，共146页。沿 方向的 的形式：=在BZ区中心(zhngxn)：=0，在BZ区边界：，第一百一十八页，共146页。对于(duy)次短的 ，即 =110令 =110，对 方向对称的还有 分别写出简约区中的函数在 方向的形式：（令 ）则 =第一百一十九页，共146页。在BZ区中心(zhngxn)，=0，=8在BZ边界，第一百二十页，共146页。这样(zhyng)就可画出一维情况下，空点阵近似的能带图。如右图所示第一百二十一页，共146页。这是空点阵近似(jn s)的能带若考虑弱周期势的微扰是在区边界上将原来简单带分开就可得近自由电子的能带图（如图中红线所示）。第一百二十二页，共146页。上面是SC点阵的能带图，对于其它点阵要特别注意 的选取，因为在上述考虑中 是采用了惯用(gunyng)轴，但对于如fcc点阵，就不是基矢，（为 ），这时就要考虑结构的消光规律，对于fcc点阵，hkl只能取全奇或全偶的指数，除000外，下一个 就应取111，再下一个就是200，在作能带图时一定要考虑到消光规律。第一百二十三页，共146页。空点阵(din zhn)近似下简约区图的作图步骤。对给定的点阵(din zhn)先写出倒易点阵(din zhn)矢量 ，由于 是惯用晶轴h、k、l的取值要考虑到消光规律。第一百二十四页，共146页。把 依次代入到 函数(hnsh)中去简约区中的 =注意对于波矢空间中的给定方向 的对称性，对称性相同的 可同时代入，这样每 可能是同一曲线或对称性很高的曲线。第一百二十五页，共146页。对波矢空间给定的方向,写出 函数(hnsh)形式如沿 方向 则 沿 方向 则 沿 方向 则 沿111方向:第一百二十六页，共146页。定出区中心的能量值 和区边界上的能量值,对区边界要注意计算,如沿100方向,区边界为 ,若沿111方向就不再是 ,对于fcc点阵(din zhn),111方向的边界为 =处，=只有把 值定准，才能把 算准。第一百二十七页，共146页。5、金属和绝缘体1.能带中的轨道数根据(gnj)前面讲过的能量和波函数的性质：能带和波函数对波矢K有周期性，只要我们对第1BZ解出 和 ，则Bloch电子的所有能带和轨道都解出来了，第1BZ以外的所有波矢代表的轨道只是第1BZ以内的轨道的重复而已，一个能带中的轨道数，就指的是这个能带在第1BZ之内的轨道数。第一百二十八页，共146页。在一维情况下，对长为L的一维晶体，第1BZ的体积为 ，而边界条件允许的每个K值占有(zhnyu)的体积为 ，则 =也就是说第1BZ中的K值的数目与晶体的初基晶胞的数目相同，每个K值又对应两个自旋相反的电子，因此每个能带中有2N个轨道。第一百二十九页，共146页。以SC点阵为例，对于三维晶体来说，第1BZ的体积为 ，则：=为SC点阵的初基晶胞数，我们认为晶体的宏观(hnggun)体积是一个正方体，即：长宽高=LLL，则三维时的轨道数为2 个，这时仍认为2 =2 （=），则能带中仍有2 个轨道。第一百三十页，共146页。2.金属和绝缘体1金属 若一种固体，每个初基晶胞中包含一个一价原子，晶体中共有N个初基晶胞，就有N个价电子(dinz)，这N个价电子(dinz)填充轨道时，只能填满一个能带中2N个轨道的一半，另一半是空的，同时其它能带也都是空带，半满的能带在外加电磁场下电子(dinz)的运动状态可发生变化，对电流有贡献，这样的固体将是所谓的金属。第一百三十一页，共146页。第一百三十二页，共146页。同理，若每个初基晶胞中有3个价电子，晶体中将有3N个价电子，可填满一个半能带，完全被电子填满的能带在外加电场下是惰性的，根据泡利原理，电子的状态不可能发生变化，而半满的能带中的电子的状态可能发生变化，这样的固体仍是所谓(suwi)的金属。第一百三十三页，共146页。2绝缘体 若一种(y zhn)固体每个初基晶胞中有一个二价原子，在一个能带中有2N个价电子，这2N个价电子刚好填满一个能带，填满的能带在外加电场下是惰性的，这样的固体将形成绝缘体。第一百三十四页，共146页。同理，每个初基晶同理，每个初基晶胞中若有两个胞中若有两个(lin(lin)2)2价原子，则价原子，则4N4N个个电子刚好填满两个电子刚好填满两个(lin)(lin)能带，这能带，这样的固体仍是绝缘体。样的固体仍是绝缘体。第一百三十五页，共146页。3 3半金属半金属 若初基晶胞中包含的价电子若初基晶胞中包含的价电子数是偶数这是可能形成绝缘体数是偶数这是可能形成绝缘体的必要条件，但不是充分条件，的必要条件，但不是充分条件，不是说初基晶胞中的价电子数不是说初基晶胞中的价电子数是偶数时就一定形成绝缘体，是偶数时就一定形成绝缘体，有时有时(yush)(yush)还可形成所谓还可形成所谓的半金属。的半金属。第一百三十六页，共146页。第一百三十七页，共146页。在波矢空间的不同方向能带可重叠，电子填充时是不论方向而是先占据能量低的轨道，而不是(b shi)先占据第一带，再占据第二带的，这样2N各价电子在填轨道时，可能在某个方向的第一带还未填满时，就去填另一个方向的第二带的少数轨道，使得某一方向的第一带同另一方向的第二能带都是部分填满的，也就是说，这2N个价电子本来是可以填满一个能带的，但由于能带的交叠，结果使两个能带都是部分填满的，两个能带在外场作用下对电流都有贡献，但总的贡献还是比较小，这样的晶体称为半金属。第一百三十八页，共146页。4 4半导体半导体在在0K0K时半导体都是绝缘体，时半导体都是绝缘体，半导体性能的出现，主要半导体性能的出现，主要是温度的升高是温度的升高(shn(shn o)o)，出现热激发引起，出现热激发引起的。的。第一百三十九页，共146页。在T=0K 时，若初基晶胞中的价电子数是偶数，在无能带交叠的情况下，能带非满带，即空带，我们把电子能填充的最高能带称为价带，而靠近价带的空带称为导带，半导体与绝缘体的差别在于半导体的禁带较小（能隙小），在温度升高时，一部分电子由于热激发跃迁到导带，在价带中出现少量空轨道，在导带中有少量电子，这样(zhyng)在外场作用下空轨道和电子对电流都有贡献，这样(zhyng)的固体称为半导体，这种半导体称作本征半导体。第一百四十页，共146页。还有一种半导体称为(chn wi)杂质半导体，是在族的Si、Ge中掺入族或族元素形成的，Si、Ge在T=0K时都是绝缘体，Si是金刚石结构，每个初基晶胞中有2个Si原子，Si是4价，每个初基晶胞有8个价电子，刚好填满4个能带。第一百四十一页，共146页。若掺入族元素后，在禁带中将会出现一些杂质能级(nngj)，杂质的周期性与原物质的周期性不同，破坏了原物质的周期性，由于热激发杂质的价电子可能跃迁到导带中去，在外场作用下这些电子对电流有贡献，靠导带中的电子导电，这种半导体称为N型半导体，族元素称为施主杂质。第一百四十二页，共146页。若在Si中掺入了族元素（称为受主杂质）满带顶部的电子(dinz)由于热激发可跃迁到杂质轨道，形成空轨道，外加电场下对电流也有贡献，靠空轨道导电，这种半导体称为P型半导体。第一百四十三页，共146页。第一百四十四页，共146页。第一百四十五页，共146页。第七章能带（I）内容提要1.布洛赫定理2.周期(zhuq)场中电子的波动方程3.弱周期(zhuq)势场中的电子BZ边界 附近的近似解4.能隙5.能带的简约区、扩展区 和周期(zhuq)区图6.轨道密度7.金属和绝缘体第一百四十六页，共146页。