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章检测技术基础知识 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 在工程实践中经常碰到这样的情况：某个新设计、研制、调试成功的检测(仪器)系统在实验室调试时测得的精度已经达到甚至超过设计指标，但一旦安装到环境比较恶劣、干扰严重的工作现场，其实测精度往往大大低于实验室能达到的水平,甚至出现严重超差和无法正常运行的情况；从而需要设计人员根据现场测量获得的数据，结合该检测系统本身的静、动态特性、检测系统与被测对象现场安装、连接情况及现场存在的各种噪声情况等进行综合分析研究，找出影响和造成检测系统实际精度下降的各种原因，然后对症下药采取相应改进措施，直至该检测系统其实际测量精度和其它性能指标全部达到设计指标，这就是通常所说的现场调试过程。现场调试过程完成后，该检测系统才算真正研制成功，以及投入正常运行。测量精度（高、低）从概念上与测量误差（小、大）相对应，目前误差理论已发展成为一门专门学科，涉及内容很多，许多高校的相关专业专门开设误差理论与数据处理课程。为适应不同的读者需要和便于后面各章的介绍，下面对测量误差的一些术语、概念、常用误差处理方法和检测系统的一般静态、动态特性及主要性能指标作一扼要的介绍。1.1 检测系统误差分析基础检测系统误差分析基础 1.1.1 误差的基本概念误差的基本概念1.1.2 误差的表示方法误差的表示方法 1.1.3 检测仪器的精度等级与容许误差检测仪器的精度等级与容许误差 1.1.4 测量误差的分类测量误差的分类 1.1.测量误差的定义测量误差的定义 由于检测系统(仪表)不可能绝对精确，测量原理的局限、测量方法的不尽完善、环境因素和外界干扰的存在以及测量过程可能会影响被测对象的原有状态等，使得测量结果不能准确地反映被测量的真值而存在一定的偏差，这个偏差就是测量误差。2.2.真值：真值：一个量严格定义的理论值通常叫理论真值.(1)(1)约定真值约定真值(2)(2)相对真值相对真值 3.3.标称值标称值 计量或测量器具上标注的量值，称为标称值。4.4.示值示值 检测仪器（或系统）指示或显示（被测参量）的数值叫示值，也叫测量值或读数。基本误差通常有如下几种表示形式。1.1.绝对误差绝对误差 检测系统的指示值与被测量的真值之间的代数差值称为检测系统测量值的绝对误差，表示为 1.1.2 误差的表示方法误差的表示方法 式中，真值可为约定真值，也可是由高精度标准器所测得的相对真值。绝对误差 说明了系统示值偏离真值的大小，其值可正可负，具有和被测量相同的量纲单位。(1.1)系统误差系统误差:将标准仪器（相对样机，具有更高精度）的测量示值作为近似真值与被校检测系统的测量示值进行比较，它们的差值就是被校检测系统测量示值的绝对误差。如果它是一恒定值，即为检测系统的“系统误差”。此时检测仪表的测量示值应加以修正，修正后才可得到被测量的实际值 。(1.2)式中，数值C 称为修正值或校正量。修正值与示值的绝对误差的数值相等，但符号相反，即为:(1.3)计量室用的标准器常由高一级的标准器定期校准，检定结果附带有示值修正表，或修正曲线 (1.4)用相对误差通常比其绝对误差能更好地说明不同测量的精确程度，一般来说相对误差值小，其测量精度就高；相对误差本身没有量纲。2.2.相对误差相对误差 检测系统测量值（即示值）的绝对误差 与被测参量真值 的比值，称之为检测系统测量（示值）的相对误差 ，常用百分数表示：3.3.引用误差引用误差 检测系统指示值的绝对误差 与系统量程L之比值，称为检测系统测量值的引用误差 。在评价检测系统的精度或不同的测量质量时，利用相对误差作为衡量标准有时也不很准确。引用误差 通常仍以百分数表示。(1.5)4 4、最大引用误差、最大引用误差(或满度最大引用误差或满度最大引用误差)在规定的工作条件下，当被测量平稳增加和减少时，在检测系统全量程所有测量值引用误差(绝对值)的最大者，或者说所有测量值中最大绝对误差(绝对值)与量程的比值的百分数，称为该系统的最大引用误差，符号为 ，可表示为（1.6）最大引用误差是检测系统基本误差的主要形式，故也常称为检测系统的基本误差。它是检测系统的最主要质量指标，可很好地表征检测系统的测量精确度。1.1.3 检测仪器的精度等级与容许误差检测仪器的精度等级与容许误差 1.1.精度等级精度等级 取最大引用误差百分数的分子作为检测仪器（系统）精度等级的标志，也即用最大引用误差去掉号和百分号()后的数字来表示精度等级，精度等级用符号G表示。为统一和方便使用，国家标准GB776-76测量指示仪表通用技术条件规定，测量指示仪表的精度等级G分为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0 七个等级，这也是工业检测仪器（系统）常用的精度等级。例如，量程为01000 V的数字电压表，如果其整个量程中最大绝对误差为1.05V，则有:任何符合计量规范的检测仪器（系统）都满足（1.7）2.2.容许误差容许误差 容许误差是指检测仪器在规定使用条件下可能产生的最大误差范围，它也是衡量检测仪器的最重要的质量指标之一。（1 1）工作误差）工作误差 工作误差是指检测仪器（系统）在规定工作条件下正常工作时可能产生的最大误差。（2 2）固有误差）固有误差 当环境和各种试验条件均处于基准条件下检测仪器所反映的误差称固有误差。（3 3）影响误差）影响误差 影响误差是指仅有一个参量处在检测仪器（系统）规定工作范围内，而其它所有参量均处在基准条件时检测仪器（系统）所具有的误差.（4 4）稳定性误差）稳定性误差 稳定性误差是指仪表工作条件保持不变的情况下，在规定的时间内，检测仪器（系统）各测量值与其标称值间的最大偏差。精度等级高低仅说明该检测仪表的引用误差最大值的大小，它决不意味着该仪表某次实际测量中出现的具体误差值是多少。请看下面例子。例1.1被测电压实际值大约为21.7 V，现有1.5级、量程为030 V的A表，1.5级、量程为050 V的B表，1.0级、量程为050 V的C表，0.2级、量程为0360 V的D表，四种电压表，请问选用哪种规格的电压表进行测量所产生的测量误差较小?解：根据（1-6）式分别用四种表进行测量由此可能产生的最大绝对误差分别如下所示。A表有,B表有,C表有,D表有,答：四者比较，选用A表进行测量所产生的测量误差通常较小。1.1.4 测量误差的分类测量误差的分类 从不同的角度，测量误差可有不同的分类方法。根据测量误差的性质(或出现的规律)产生的原因通常可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。1.1.按误差的性质分类按误差的性质分类(1)(1)系统误差系统误差 在相同条件下，多次重复测量同一被测参量时，其测量误差的大小和符号保持不变；或在条件改变时，误差按某一确定的规律变化，这种测量误差称为系统误差。其误差值恒定不变的又称为定值系统误差，其误差值变化的则称为变值系统误差。变值系统误差又可分为累进性的、周期性的以及按复杂规律变化的几种。(2)(2)随机误差随机误差 在相同条件下多次重复测量同一被测参量时，测量误差的大小与符号均无规律变化，这类误差称为随机误差。随机误差表现测量结果的分散性，通常用精密度表征随机误差的大小。随机误差越大，精密度越低；反之，精密度就越高。测量的精密度高，亦即表明测量的重复性好。(3)(3)粗大误差粗大误差 粗大误差是指显然与事实不相符的误差.当系统误差远大于随机误差，此时按纯粹系统误差处理；系统误差很小，已经校正，则可按纯粹随机误差处理；系统误差和随机误差不多，此时应分别按不同方法来处理。精度是反映检测仪器的综合指标，精度高必须做到准确度高、精密度也高，也就是说必须使系统误差和随机误差都小。2.2.按被测参量与时间的关系分类按被测参量与时间的关系分类 按被测参量与时间的关系可分为静态误差和动态误差两大类。习惯上，在被测参量不随时间变化时所测得的误差称为静态误差；在被参测量随时间变化过程中进行测量时所产生的附加误差称为动态误差。还有按产生误差的原因把误差分为由于测量原理、方法的不尽完善，或对理论特性方程中的某些参数作了近似或略去了高次项而引起原理性误差(也叫方法误差)与因检测仪器(系统)在结构上，在制造、调试工艺上不尽合理、完善而引起的误差叫构造误差构造误差(也叫工具误差)等。1.2 1.2 系统误差处理系统误差处理 在一般工程测量中，系统误差与随机误差总是同时存在的，但系统误差往往远大于随机误差。1.2.1 1.2.1 系统误差的特点及常见变化规律系统误差的特点及常见变化规律 系统误差的特点是测量误差出现具有规律性，其产生原因一般可通过实验和分析研究确定与消除。系统误差（这里用 表示）随测量时间变化的几种常见关系曲线如图1-1所示。图1-1系统误差的几种常见关系曲线 曲线1表示测量误差的大小与方向不随时间变化的恒差型系统误差；曲线2为随时间以某种斜率呈线性变化的线性变差型系统误差；曲线3表示随时间作某种周期性变化的周期变差型系统误差；曲线4为上述三种关系曲线某种组合形态，呈现复杂规律变化的复杂变差型系统误差。1.2.2 1.2.2 系统误差的判别和确定系统误差的判别和确定1.1.恒差系统误差的确定恒差系统误差的确定(1(1）实验比对）实验比对 对于不随时间变化的恒差型系统误差，通常可以采用通过实验比对的方法发现和确定。实验比对的方法又可分为标准器件法（简称标准件法）和标准仪器法（简称标准表法）两种。（2 2）原理分析与理论计算）原理分析与理论计算 对一些因转换原理、检测方法或设计制造方面存在不足而产生的恒差型系统误差可通过原理分析与理论计算来加以修正。（3 3）改变外界测量条件）改变外界测量条件 2.2.变差系统误差的确定变差系统误差的确定 变差系统误差是指测量系统误差按某种确定规律变化。可采用残差观察法或利用某些判断准则来发现和确定是否存在变差系统误差。(1)(1)残差观察法残差观察法 当系统误差比随机误差大时，通过观察和分析测量数据及各测量值与全部测量数据算术平均值之差剩余偏差（即残差），常常能直接发现是否为按某种规律变化的变差系统误差。(2)(2)马利科夫准则马利科夫准则 马利科夫准则适用于判断、发现和确定线性系统误差。此准则的实际操作方法是将在同一条件下顺序重复测量得到的一组测量值 按序排列，并根据（1-8）式（1-8）式中 第次测量值；测量次数；全部n次测量值的算术平均值，简称测量均值；第次测量的残差。求出它们相应的残差 ,并将这些残差序列以中间 为界分为前后两组分别求和，然后把两组残差和相减，即（1-9）当为n偶数时，取 、；当n为奇数时，取 。若D近似等于零，说明测量中不含线性系统误差；若D明显不为零（且大于 ），则表明这组测量中存在线性系统误差。(3)(3)阿贝阿贝赫梅特准则赫梅特准则 阿贝赫梅特准则适用于判断、发现和确定周期性系统误差。此准则的实际操作方法也是将在同一条件下顺序重复测量得到的一组测量值 按序排列，并根据（1-8）式求出它们相应的残差 。计算（1-10）如果（1-10）式 成立（为本测量数据序列方差），则表明测量值中存在周期性系统误差。（4 4）正态分布比较判别法）正态分布比较判别法 当同一条件下顺序重复测量得到的一组测量值不存在变差系统误差时，其各测量值与均值的偏差一般都符合随机误差分布特点即服从正态分布。若误差分布明显偏离正态分布，便可根据其偏离程度和偏离形态判断变差系统误差。1.1.针针对对产产生生系系统统误误差差的的主主要要原原因因采采取取对对应应措施措施 对测量过程中可能产生的系统误差的环节作仔细分析，寻找产生系统误差的主要原因，并采取相应针对性措施是减小和消除系统误差最基本和最常用的方法。2.2.采用修正方法减小恒差系统误差采用修正方法减小恒差系统误差 1.2.3 1.2.3 减小和消除系统误差的方法减小和消除系统误差的方法 通常的做法是根据在测量前预先通过标准器件法或标准仪器法比对（计算）得到该检测仪器系统误差的修正值，制成系统误差修正表；以后用该检测仪器进行具体测量时可人工或由仪器自动地将测量值与修正值相加，从而使最后获得的测量结果（数据）中大大减小或基本消除了该检测仪器原先存在的系统误差。3.3.采用交叉读数法减小线性系统误差采用交叉读数法减小线性系统误差 交叉读数法也称对称测量法，是减小线性系统误差的有效方法。若选定整个测量时间范围内的某时刻为中点，则对称于此点的各对测量值的和都相同。根据这一特点，可在时间上将测量顺序等间隔对称安排，取各对称点两次交叉读入测量示值，然后取其算术平均值作为测量值，即可有效地减小测量线性系统误差。4.4.采用半周期法减小周期性系统误差采用半周期法减小周期性系统误差 对周期性系统误差，可以相隔半个周期进行一次测量，如图1-2所示。图1-2 半周期法读数示意图 取两次读数的算术平均值，即可有效地减小周期性系统误差。因为相差半周期的两次测量其误差在理论上具有大小相等、符号相反的特征，所以这种方法在理论上能很好地减小和消除周期性系统误差。13 随机系统误差处理随机系统误差处理 系统误差的特点是测量误差出现的规律性和产生原因一般可通过实验和分析研究确定。可采取相应和有效的措施把其削弱和减小到可忽略的程度。假定对某个被测参量进行等精度(各种测量因素相同)重复测量n次，其测量示值分别为 则各次测量的测量偏差即随机误差（假定已消除系统误差）分别为1.3.1 1.3.1 随机误差的分布规律随机误差的分布规律式中 真值。把各次测量偏差作平面图，其横坐标表示为偏差幅值（有正负），纵坐标标为偏差出现的次数。大量实验证明，上述随机误差整体上均具有下列统计特性：（1）有界性（2）单峰性 （3）对称性（4）抵偿性 所以，在等精度重复测量次数足够大时，其算术平均值 就是其真值 较理想的替代值。1.1.正态分布正态分布 高斯于1795年提出连续型正态分布随机变量 的概率密度函数表达式为：（1-12）式中 数学期望值；自然对数的底；随机变量 的均方根差或称标准偏差（简称标准差）；（1-13）随机变量的方差，数学上通常用D表示；随机变量的个数。从概率论可知，是决定正态分布曲线的两个特征参数。其中 影响随机变量分布的集中位置，或称正态分布的位置特征参数；表征随机变量的分散程度，故称为正态分布的离散特征参数。图1-3 对正态分布的影响示意图 图1-4 对正态分布的影响示意图 在已经消除系统误差条件下的等精度重复测量中，当测量数据足够多，其测量随机误差大都呈正态分布规律，因而完全可以参照式（1-12）的高斯方程对测量随机误差进行比较分析。这时测量随机误差的正态分布概率密度函数为（1-14）式中 随机误差变量，相当于高斯方程中的变量 ；这里 ，其中 为某个测量示值，为真值；e自然对数的底；随机误差的标准偏差（简称标准差）；（1-15）,即随机误差的方差；(1-16)方差的量纲是测量数据量纲的平方，所以在测量结果的表示中不是很方便，因而工程上经常不用方差而使用方差的正的算术平方根标准偏差（简称标准差）。2.2.均匀分布均匀分布 从误差分布图上看，均匀分布的特点是：在某一区域内，随机误差出现的概率处处相等，而在该区域外随机误差出现的概率为零。均匀分布的概率密度函数 为（1-17）式中 随机误差 的极限值。均匀分布的随机误差其概率密度曲线呈矩形，如图1-5所示。图1-5 均匀分布曲线 1.3.2 1.3.2 测量数据的随机误差估计测量数据的随机误差估计1.1.测量真值估计测量真值估计在实际工程测量中，测量次数n不可能无穷大，而测量真值 通常也不可能已知。因此，公式（1-14）、（1-15）和（1-16）仅是一组不能实际使用的理论公式。根据对已消除系统误差的有限等精度测量数据样本 ，求取其算术平均值 ，即（1-18）这里算术平均值 是被测参量真值 （或数学期望 ）的最佳估计值，也是实际测量中比较容易得到的真值近似值。这也被称作算术平均值原理。2.2.测量值的均方根误差估计测量值的均方根误差估计对已消除系统误差的一组n个（n是有限值）等精度测量数据 ，采用其算术平均值 近似代替测量真值 后，总会有偏差，对此目前被广泛使用的贝塞尔（Bessel）公式被认为是解决上述问题工具。贝塞尔公式（1-19）式中 第 次测量值；测量次数，这里为一有限值；全部 次测量值的算术平均值，简称测量均值；第 次测量的残差；标准偏差 的估计值，亦称实验标准偏差或重复性标准差；表明n次测量残差 并不是数n个独立变量，而只有n-1个独立变量。故式（1-19）中自由度 ，而不是n。d 自由度，这里 。自由度d反映被测参量个数t与测量次数n的关系，即 。从另一个角度，因为 3.3.算术平均值的标准差算术平均值的标准差 严格地讲，贝塞尔公式只有当 时，、才成立。如果对某一被测参量分别进行一系列有限的n次等精度测量，则它们的算术平均值 也是一个随机变量，即每一有限次测量获得的算术平均值 本身也具有一定的随机性。这一点从算术平均值的特性上也不难理解，因为算术平均值是一系列测量值的数学期望 的估计值，不是真值。既然是估计值，就一定存在差值，而且这偏差值是随机误差。我们先分析算术平均值的方差：因为各次测量均为等精度独立测量，故有 这样 （1-20）算术平均值的标准差为 （1-21）在实际工作中，测量次数n只能是一个有限值，为了不产生误解，建议用算术平均值 标准差和方差的估计值 与来 代替式（1-21）、（1-20）中的 与 。4.4.（正态分布时）测量结果的置信度（正态分布时）测量结果的置信度 由上述可知，可用测量值 的算术平均值 作为数学期望 的估计值，即真值 的近似值。其分布离散程度可用贝塞尔公式等方法求出的重复性标准差（标准偏差的估计值）来表征度 测量值 与真值 （或数学期望 ）偏差 的置信区间取为 的若干倍，即：（1-22）式中 k置信系数(或称置信因子)，可看作是描述在某一个置信概率情况下，标准偏差 与误差限之间的一个系数。它的大小不但与概率有关，而且与概率分布有关。对于正态分布，根据式(114)，可得测量 误差落在某区间的概率表达式 （1-23）式中 。为表示方便，这里令 则有：（1-24）置信系数k值确定之后，则置信概率便可确定。由式（1-24），当k分别选取1、2、3时，即测量误差 分别落入正态分布置信区间 的概率值分别如下：另外，当置信区间扩大到 时，则有图1-6为上述不同置信区间的概率分布示意图。图1-6不同置信区间的概率分布示意图 为表达和计算方便，对（1-24）式作积分变换，令 则有而从 的积分限 相应得到 的积分限为 ，将上述关系代入（1-24）式得 （1-25）式中 称为拉普拉斯函数，具体计算比较复杂。在实际工程应用中，可查前人已做好的拉普拉斯函数专用表格。这里（1-25）式表示的置信区间是以测量数据标准差 作基本单位的数值区间，置信概率 与 其物理意义完全一样。例1.2 对某电池作无系统误差的等精度测量，已知测得的一系列测量数据 服从正态分布，且标准差 V，试求被测电池电压的真值 落在区间 的概率是多少。解 已知 V，V 所以 可得到 综上所述，对于正态分布，某次测量值 与真值 （或数学期望 ）偏差（测量误差）：的可能性为68.3%，而测量误差可能性为31.7%；测量误差的可能性为95.4%时，而测量误差的可能性为4.6%；测量误差 的可能性则已高达99.7%，而测量误差的可能性仅为0.3%。亦即每1000次测量中只有3次测量误差的绝对值大于。而等精度测量次数一般很少超过几十次，所以通常可以认为测量随机误差绝对值大于的误差几乎是不可能出现。因此，对于正态分布的测量数据一般可以用误差限来判别某次测量值的误差是否“正常”。工程上，通常把测量误差绝对值大于的测量值作为坏值，而予以剔除（此剔除原则称为拉伊达准则）；也就是说把测量误差作为粗大误差而予以剔除。当等精度测量次数n大于30次时，其测量误差趋近于正态分布；因而可以用以上方法来估计测量误差的大小和相应的置信概率。但工程上，为保证等精度测量条件和提高测量效率，一般测量次数仅为几次到一二十次，此时因测量样本小，其误差已不符合正态分布，而成为“t分布”。t分布的概率密度函数为：（1-26）式中，这里为测量读数的平均值，是真值，是的估计值自由度；n测量次数；伽马函数。5.5.小样本测量结果的分布与置信度小样本测量结果的分布与置信度由确定的x值，可通过查数学手册伽马函数表获得值。对有限次等精度小样本测量数据服从t分布时，可给定区间的概率积分为 （1-27）t分布的概率密度曲线如图17所示。图1-7 t分布概率密度曲线图 定定性性分分析析：就是对测量环境、测量条件、测量设备、测量步骤进行分析，看是否有某种外部条件或测量设备本身存在突变而瞬时破坏等精度测量条件的可能，测量操作是否有差错或等精度测量过程中是否存在其它可能引发粗大误差的因素；也可由同一操作者或另换有经验操作者再次重复进行前面的（等精度）测量，然后再将两组测量数据进行分析比较，或再与由不同测量仪器在同等条件下获得的结果进行对比；以分析该异常数据出现是否“异常”，进而判定该数据是否为粗大误差。1.4 1.4 粗大误差处理粗大误差处理定量判断定量判断：就是以统计学原理和误差理论相关专业知识为依据，对测量数据中的异常值的“异常程度”进行定量计算，以确定该异常值是否为应剔除的坏值。这里所谓的定量计算是相对上面的定性分析而言，它是建立在等精度测量符合一定的分布规律和置信概率基础上的，因此并不是绝对的。下面介绍两种工程上常用的粗大误差判断准则。1 1拉伊达拉伊达(又译为莱因达又译为莱因达)准则准则拉伊达准则是依据对于服从正态分布的等精度测量，其某次测量误差大于的可能性仅为 。因此，把测量误差大于标准误差（或其估计值）3倍都作为测量坏值予以舍弃。由于等精度测量次数不可能无限多，因此，工程上实际应用的拉伊达准则表达式为：（1-28）式中 被疑为坏值的异常测量值；包括此异常测量值在内所有测量值的算术平均值；包括此异常测量值在内所有测量值的标准误差估计值；拉伊达准则的鉴别值。当某个可疑数据的时，则认为该测量数据是坏值，应予剔除。剔除该坏值后，剩余测量数据还应继续计算和各，按（1-28）式继续计算、判断和剔除其它坏值，直至不再有符合（1-28）式的坏值为止。2 2格拉布斯格拉布斯(Grubbs)(Grubbs)准则准则 格拉布斯准则当小样本测量数据中，满足(1-29)式中 被疑为坏值的异常测量值；包括此异常测量值在内所有测量值的算术平均值；包括此异常测量值在内所有测量值的标准误差估计值；格拉布斯准则的鉴别值；测量次数；危险系数，又称超差概率；它与置信概率的关系为。时，则认为是含有粗大误差的异常测量值，应予以剔除。格拉布斯准则的鉴别值是和测量次数n、危险系数相关数值，可查相应的数表获得。1.5.1 1.5.1 测量不确定度的主要术语测量不确定度的主要术语 根据计算及表示方法的不同，有以下几个专用术语。1.1.测量不确定度测量不确定度 测量不确定度，简称不确定度；它表示测量结果(测量值)不能肯定的程度，是可定量用于表达被测参量测量结果分散程度的参数。这个参数可以用标准偏差表示，也可以用标准偏差的倍数或置信区间的半宽度表示。1.5 1.5 测量不确定度的评定测量不确定度的评定 2.2.标准不确定度标准不确定度 用被测参量测量结果概率分布标准偏差表示的不确定度就称为标准不确定度，用符号表示。3.3.合成标准不确定度合成标准不确定度 由各不确定度分量合成的标准不确定度，称为合成标准不确定度。4.4.扩展不确定度扩展不确定度 扩展不确定度是由合成标准不确定度的倍数表示的测量不确定度。1.A1.A类标准不确定度的评定类标准不确定度的评定 2 2标准不确定度的标准不确定度的B B类评定方法类评定方法 3.3.合成标准不确定度的评定方法合成标准不确定度的评定方法 4 4扩扩展不确定度的展不确定度的评评定方法定方法 1.5.2 1.5.2 不确定度的评定不确定度的评定1.5.3 1.5.3 测量结果的表示和处理方法测量结果的表示和处理方法 设被测量 X的估计值x为，估计值所包含的已确定系统误差分量为 ，估计值的不确定度为U，则被测量X的测量结果可表示为：(1-40)或者(1-41)如果对已确定测量系统误差分量为 0，也就是说测量结果的估计值X不再含有可修正的系统误差，而仅含有不确定的误差分量，此时，测量结果可用下式表示：（1-42）或者 （1-43）用上述两种形式给出测量结果时，通常应同时指明的大小或测量结果的概率分布及置信概率等。在工程测量实践中，常见的测量结果的表达形式有：(0.90)(0.95，可缺省不标注)(0.99)（1）根据被测量的定义和送检样机或样品所要求的测量条件，明确测量原理、测量标准，选择相应的测量方法、测量设备，建立被测量的数学模型等；（2）分析并列出对测量结果有较为明显影响的不确定度来源，每个来源为一个标准不确定度分量；（3）定量评定各不确定度分量，并特别注意采用A类评定方法时要先用恰当的方法依次剔除坏值；（4）计算测量结果合成标准不确定度和扩展不确定度;（5）完成测量结果报告。.6.6检测系统的静态特性检测系统的静态特性 人们在设计或选用检测系统时，最主要的因素是检测系统本身的基本特性能否实现及时、真实地（达到所需的精度要求）反映被测参量（在其变化范围内）的变化。1.6.1 1.6.1 概述概述 检测系统的基本特性一般分为两类：静态特性和动态特性。研究和分析检测系统的基本特性，主要有以下三个方面的用途。第一，也是最主要的用途，是通过检测系统已知基本特性由测量结果推知被测参量准确值；第二，用于对多环节构成的较复杂检测系统进行测量结果及（综合）不确定度分析，即根据该检测系统各组成环节已知的基本特性，依已知输入信号的流向，逐级推断和分析各环节输出信号及其不确定度。第三，根据测量得到的（输出）结果和已知输入信号，推断和分析出检测系统的基本特性。1.6.2 1.6.2 检测系统静态特性方程与特性曲线检测系统静态特性方程与特性曲线 一般检测系统的静态特性均可用一个统一（但具体系数各异）的代数方程，即通常称作静态特性方程来描述检测系统对被测参量的输出与输入间的关系，即 (1-44)式中 x 输入量；y（x）输出量；常系数项。1.6.3 1.6.3 检测系统静态特性的主要参数检测系统静态特性的主要参数 静态特性表征检测系统在被测参量处于稳定状态时的输出输入关系。衡量检测系统静态特性的主要参数是指测量范围、精度等级灵敏度线性度滞环、重复性、分辨力灵敏限、可靠性等。1.1.测量范围测量范围 每个用于测量的检测仪器都有规定的测量范围，它是该仪表按规定的精度对被测变量进行测量的允许范围。测量范围的最小值和最大值分别称为测量下限和测量上限，简称下限和上限。2.2.精度等级精度等级3.3.灵敏度灵敏度灵敏度是指测量系统在静态测量时，输出量的增量与输入量的增量之比。即 对线性测量系统来说，灵敏度为:(1-47)(1-46)亦即线性测量系统的灵敏度是常数，可由静态特性曲线（直线）的斜率来求得，如图1-8（a）所示。式中 为Y和X轴的比例尺，为相应点切线与X轴间的夹角。非线性测量系统其灵敏度是变化的。如图1-8（b）所示。（a）线性系统灵敏度示意图（b）非线性系统灵敏度示意图图1-8 灵敏度示意图4.4.非线性非线性非线性通常也称为线性度。线性度就是反映测量系统实际输出、输入关系曲线与据此拟合的理想直线 的偏离程度。通常用最大非线性引用误差来表示。即（1-48）式中 线性度；校准曲线与拟合直线之间的最大偏差；以拟合直线方程计算得到的满量程输出值。（1 1）理论线性度及其拟合直线）理论线性度及其拟合直线 理论线性度也称绝对线性度。它以测量系统静态理想特性 作为拟合直线，如图1-9中的直线1（曲线2为系统全量程多次重复测量平均后获得的实际输出/输入关系曲线；曲线3为系统全量程多次重复测量平均后获得的实际测量数据，采用根据最小二乘法方法拟合得到的直线）。此方法优点是简单、方便和直观；缺点是多数测量点的非线性误差相对都较大。图1-9最小二乘和理论线性度及其拟合直线（2 2）最小二乘线性度及其拟合直线）最小二乘线性度及其拟合直线最小二乘法方法拟合直线方程为。如何科学、合理地确定系数和是解决问题的关键。设测量系统实际输出/输入关系曲线上某点其输入、输出分别，在输入同为情况下，最小二乘法方法拟合直线上得到输出值为 两者偏差为 最小二乘拟合直线的原则是使确定的N个特征测量点的均方差（1-49）为最小值，为此必有关于和的偏导数为零，即把表达式代入上述两方程整理可得到关于最小二乘拟合直线待定系数和的两个计算表达式（1-50）5.5.迟滞迟滞迟滞，又称滞环，它说明传感器或检测系统的正向(输入量增大)和反向(输入量减少)时输出特性的不一致程度，亦即对应于同一大小的输入信号，传感器或检测系统在正、反行程时的输出信号的数值不相等，见图1-10所示。图1-10 迟滞特性示意图迟滞误差通常用最大迟滞引用误差来表示，即 (1-51)式中 最大迟滞引用误差；（输入量相同时）正反行程输出之间最大绝对偏差；测量系统满量程值。在多次重复测量时,应以正反程输出量平均值间的最大迟滞差值来计算。迟滞误差通常是由于弹性元件、磁性元件以及摩擦、间隙等原因所产生，一般需通过具体实测才能确定。6.6.重复性重复性重复性表示检测系统或传感器在输入量按同一方向(同为正行程或同为反行程)作全量程连续多次变动时所得特性曲线不一致的程度(见图1-11)。图1-11 检测系统重复性示意图 特性曲线一致好,重复性就好,误差也小。重复性误差是属于随机误差性质的,测量数据的离散程度是与随机误差的精密度相关的,因此应该根据标准偏差来计算重复性指标。重复性误差可按下式计算:(1-52)式中 重复性误差；为置信系数,对正态分布，当Z取2时,置信概率为0.95即95%，Z取3时,概率为99.73%；对测量点和样本数较少时，可按t分布根据表1.2选取所需置信概率所对应的置信系数。正、反向各测量点标准偏差的最大值；测量系统满量程值。式(1-52)中标准偏差 的计算方法可按贝塞尔公式或级差公式计算。按贝塞尔公式计算，则通常应先算出各个校准级上的正、反行程的子样标准偏差，即（1-53）式中 第j次测量正行程和反行程测量数据的子样标准偏差(j1M)；第j次测量上正行程和反行程的第i个测量数据(i1一n)；第j次测量上正行程和反行程测量数据的算术平均值。取上述(共2M个测量点)中的最大值及所选置信系数和量程便可按式（1-52）计算得到测量系统的重复性误差。7.7.分辨力分辨力 能引起输出量发生变化时输入量的最小变化量称为检测系统的分辨力。许多测量系统在全量程范围内各测量点的分辨力并不相同，为统一，常用全量程中能引起输出变化的各点最小输入量中的最大值相对满量程输出值的百分数表示系统的分辨率，即：（1-54）8.8.失灵区失灵区失灵区又叫死区、钝感区、阈值等，它指检测系统在量程零点（或起始点）处能引起输出量发生变化的最小输入量。9.9.可靠性可靠性衡量检测系统可靠性的指标有：u（1）平均无故障时间MTBFu（2）可信任概率P u（3）故障率（1-55）检测系统使用方面的指标有：操作维修是否方便，能否可靠安全运行以及抗干扰与防护能力的强弱、重量、体积的大小、自动化程度的高低等。（4）有效度 衡量检测系统可靠性的综合指标是有效度，对于可排除故障、修复后又可投入正常工作的检测系统，其有效度A定义为平均无故障时间与平均无故障时间、平均故障修复时间MTTR（Mean Time to Repair）和的比值，即：1.7 1.7 检测系统的动态特性检测系统的动态特性 当被测（输入量、激励）随时间变化时，因系统总是存在着机械的、电气的和磁的各种惯性，而使检测系统（仪器）不能实时无失真的反映被测量值。这时的测量过程就称为动态测量。测量系统的动态特性是指在动态测量时，输出量与随时间变化的输入量之间的关系，而研究动态特性时必须建立测量系统的动态数学模型。1.7.1 1.7.1 测量系统的（动态）数学模型测量系统的（动态）数学模型测量系统的动态特性的数学模型主要有三种形式：时域分析用的微分方程；频域分析用的频率特性；复频域用的传递函数。1.1.微分方程微分方程对于线性时不变的测量系统来说，表征其动态特性的常系数线性微分方程式如下：式中 输出量或响应；输入量或激励；（1-56)与测量系统结构的物理参数有关的系数；输出量Y对时间t的n阶导数；输入量X对时间t的m阶导数。2.2.传递函数传递函数若测量系统的初始条件为零，则把测量系统输出（响应函数）的拉氏变换Y(s)与测量系统输入（激励函数）的拉氏变换X(s)之比称为测量系统的传递函数H(s)。假 定 在 初 始 时 t=0，满 足 输 出 Y(t)=0和 输 入X(t)=0以及它们的各阶对时间导数的初始值均为零的初始条件，这时Y(t)和X(t)的拉氏变换Y（S）和X（S）计算公式为:（1-57）满足上述初始条件，对（1-56）式两边取拉氏变换，这样就得测量系统的传递函数为；（1-58）上式分母中S的最高指数n即代表微分方程阶数，相应地当n=1、n=2，则称为一阶系统传递函数和二阶系统传递函数。由方程（1-58）可得：(1-59)知道测量系统传递函数和输入函数即可得到输出（测量结果）函数Y(s)，然后利用拉氏反变换，求出 的原函数，即瞬态输出响应为 传递函数具有以下特点：（1）传递函数是测量系统本身各环节固有特性的反映，它不受输入信号影响；但包含瞬态、稳态时间和频率响应全部信息；（2）传递函数 是通过对实际测量系统抽象成数学模型后经过拉氏变换得到，它只反映测量系统的响应特性；(1-60)（3）同一传递函数可能表征多个响应特性相似，但具体物理结构和形式却完全不同的设备，例如一个RC滤波电路与有阻尼弹簧的响应特性类似，它们同为一阶系统。3.3.频率（响应）特性频率（响应）特性在初始条件为零的条件下，把测量系统的输出（t）的傅立叶变换 与输入 的傅立叶变换 之比称为测量系统的频率响应特性，简称频率特性。通常用 来表示。对稳定的常系数线性测量系统，可取 ，即令其实部为零；这样（1-57）式转换为:（1-61）根据式（1-61）或直接由（1-58）式转换得到测量系统的频率特性频率响应函数是在频率域中反映测量系统对正弦输入信号的稳态响应，也被称为正弦传递函数。（1-62）1.7.2 1.7.2 一阶和二阶系统的数学模型一阶和二阶系统的数学模型测量系统的数学模型中的具体参数确定通常需经实验测定，亦称动态标定。工程上常用阶跃和正弦两种形式信号作为标定信号。阶跃输入信号的函数表达式为式中 A 阶跃输入信号幅值。一阶系统的标准微分方程不论是电学、力学或热工测量系统，其一阶系统的运动微分方程最终都可化成如下通式表示：（1-63）上述一阶系统的传递函数表达式为（1-64）上述一阶系统的频率特性表达式为 （1-65）其幅频特性表达式为（1-66）其相频特性表达式为 （1-67）二阶系统的标准微分方程上述二阶系统的传递函数表达式为上述二阶系统的频率特性表达式为（1-69）（1-70）其幅频特性表达式为 （1-71）其相频特性表达式为（1-72）下面着重介绍一阶和二阶系统的动态特性参数。1.7.3 1.7.3 一阶和二阶系统的动态特性参数一阶和二阶系统的动态特性参数检测系统的时域动态性能指标一般都是用阶跃输入时检测系统的输出响应，即过渡过程曲线上的特性参数来表示。1.1.一阶系统的时域动态特性参数一阶系统的时域动态特性参数 一阶测量系统时域动态特性参数主要是时间常数及与之相关的输出响应时间。(1)(1)时间常数时间常数(2)(2)响应时间响应时间当系统阶跃输入的幅值为A时，对一阶测量系统传递函数式（1-64）进行拉氏反变换，得一阶测量系统的对阶跃输入的输出响应表达式为 （1-73）其输出响曲线如图1-12所示。图1-12 一阶测量系统对阶跃输入的响应 2.2.二阶系统的时域动态特性参数和性能指标