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平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示(3)(3)向量垂直向量垂直 如如果果向向量量a a与与b b的的夹夹角角是是 ，则则a a与与b b垂垂直直,记记作作 .2.2.平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 （1 1）平面向量基本定理）平面向量基本定理 定定理理：如如果果e e1 1,e e2 2是是同同一一平平面面内内的的两两个个 向向量量，那那么么对对于于这这一一平平面面内内的的任任意意向向量量a a,一一对对实实数数 1 1,2 2,使使a a=.其其中中，不不共共线线的的向向量量e e1 1,e e2 2叫叫做做表表示示这这一一平平面面内内所所有有向量的一组向量的一组 .9090a ab b不共线不共线有且只有有且只有1 1e e1 1+2 2e e2 2基底基底题型一题型一 平面向量基本定理平面向量基本定理【例例1 1】如图所示，在平行四边形】如图所示，在平行四边形ABCDABCD中，中，MM，N N分别为分别为DCDC，BCBC的中点，已知的中点，已知 =c c，=d d，试用，试用c c，d d表示表示 ，.直直接接用用c c、d d表表示示 、有有难难度度，可可换换一一个个角角度度，由由 、表表示示 、，进进而而解解方方程程组组可可求求 、.思维启迪思维启迪题型分类题型分类 深度剖析深度剖析解解 方法一方法一 设设 =a a，=b b，则则a a=d d+（b b）b b=c c+(+(a a)将将代入代入得得a a=d d+()+(),代入代入得得方法二方法二 设设 =a a，=b b.因因MM，N N分别为分别为CDCD，BCBC的中点，的中点，所以所以 b b，a a，c c=b b+a a a a=(2=(2d d-c c)d d=a a+b b b b=(2=(2c c-d d),),即即 =（2 2d d-c c），），=（2 2c c-d d）.因而因而 平平面面向向量量基基本本定定理理从从理理论论上上说说明明平平面面内内任任何一个向量都可以用一组基底表示何一个向量都可以用一组基底表示.这就是说这就是说 、一一定定能能用用c c、d d表表示示.本本题题用用方方程程的的思思想想使使问问题题得得以以解决解决.探究提高探究提高 知能迁移知能迁移1 1 如图所示，在如图所示，在ABCABC中，点中，点 O O是是BCBC的中点，过点的中点，过点O O的直线分别交的直线分别交 直线直线ABAB、ACAC于不同两点于不同两点MM、N N，若若 则则m m+n n的值的值 为为 .解析解析 设设 =a a，=b b，（a a+b b）-同理同理 由由 得得 =整理得整理得m m+n n=2.=2.答案答案 2 2即即题型二题型二 向量的坐标运算向量的坐标运算【例例2 2】已知点】已知点A A（1 1，0 0）、）、B B（0 0，2 2）、）、C C（-1-1，-2 2），求求以以A A、B B、C C为为顶顶点点的的平平行行四四边边形形的的第第四四个个顶点顶点D D的坐标的坐标.“以以A A、B B、C C为为顶顶点点的的平平行行四四边边形形”可可以以有有三三种种情情况况：（1 1）ABCDABCD；（2 2）ADBCADBC；（3 3）ABDCABDC.解解 设设D D的坐标为（的坐标为（x x,y y）.(1)(1)若是若是 ABCDABCD，则由，则由 得得 (0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x x,y y),),即即(-1,2)=(-1-(-1,2)=(-1-x x,-2-,-2-y y),),-1-1-x x=-1,=-1,-2-2-y y=2.=2.思维启迪思维启迪x x=0,=0,y y=-4.=-4.D D点的坐标为（点的坐标为（0 0，-4-4）（如图中的）（如图中的D D1 1）.（2 2）若是）若是 ADBCADBC，则由，则由 得得（x x，y y）-（1 1，0 0）=（0 0，2 2）-（-1-1，-2-2），），即即(x x-1,-1,y y)=(1,4).)=(1,4).解得解得x x=2,=2,y y=4.=4.D D点坐标为（点坐标为（2 2，4 4）（如图中的）（如图中的D D2 2）.（3 3）若是）若是 ABDCABDC，则由，则由 得得（0 0，2 2）-（1 1，0 0）=（x x,y y）-(-1,-2),-(-1,-2),即即(-1,2)=(-1,2)=(x x+1,+1,y y+2).+2).解得解得x x=-2,=-2,y y=0.=0.D D点的坐标为（点的坐标为（-2-2，0 0）（如图中的）（如图中的D D3 3）.综上所述，以综上所述，以A A、B B、C C为顶点的平行四边形的第四个为顶点的平行四边形的第四个顶点顶点D D的坐标为（的坐标为（0 0，-4-4）或（）或（2 2，4 4）或（）或（-2-2，0 0）.探探究究提提高高 （1 1）要要加加强强对对向向量量的的坐坐标标与与该该向向量量起起点点、终终点点的的关关系系的的理理解解，以以及及对对坐坐标标运运算算的的灵灵活活应应用用.（2 2）向向量量的的坐坐标标运运算算是是向向量量运运算算的的数数量量表表达达形形式式，更更能能利利用用代代数数知知识识解解决决，也也是是向向量量被被广广泛泛应应用用的的基基础础.知知能能迁迁移移2 2（20092009辽辽宁宁文文，1313）在在平平面面直直角角坐坐标标系系xOyxOy中中，四四边边形形ABCDABCD的的边边ABABDCDC，ADADBCBC.已已知知A A（-2-2，0 0），B B（6 6，8 8），C C（8 8，6 6），则则D D点点的的坐坐标为标为 .解析解析 设设D D点的坐标为（点的坐标为（x x,y y）,由题意知由题意知 ,即（即（2 2，-2-2）=(=(x x+2,+2,y y)，所以，所以x x=0,=0,y y=-2,=-2,D D(0,-2).(0,-2).(0,-2)(0,-2)题型三题型三 平行向量的坐标运算平行向量的坐标运算【例例3 3】（1212分）平面内给定三个向量分）平面内给定三个向量a a=(3,2),=(3,2),b b=(-1,2),(-1,2),c c=(4,1).=(4,1).回回 答答 下下 列列 问问 题题：（1 1）若若（a a+k kc c）(2(2b b-a a)，求实数，求实数k k;(2)(2)设设d d=(=(x x,y y)满足满足(d d-c c)()(a a+b b)且且|d d-c c|=1,|=1,求求d d.（1 1）由由两两向向量量平平行行及及两两向向量量平平行行的的条条件件得出关于得出关于k k的方程，从而求出实数的方程，从而求出实数k k的值的值.（2 2）由由两两向向量量平平行行及及|d d-c c|=1|=1得得出出关关于于x x,y y的的两两个个方方程，解方程组即可得出程，解方程组即可得出x x,y y的值，从而求出的值，从而求出d d.思维启迪思维启迪解解 （1 1）（a a+k kc c）（2 2b b-a a），），又又a a+k kc c=(3+4=(3+4k k,2+,2+k k),2),2b b-a a=(-5,2),=(-5,2),2 2分分2(3+42(3+4k k)-(-5)(2+)-(-5)(2+k k)=0,)=0,4 4分分k k=-.=-.6 6分分（2 2）d d-c c=(=(x x-4,-4,y y-1),-1),a a+b b=(2,4),=(2,4),又又(d d-c c)()(a a+b b)且且|d d-c c|=1,|=1,4(4(x x-4)-2(-4)-2(y y-1)=0-1)=0 (x x-4)-4)2 2+(+(y y-1)-1)2 2=1,=1,8 8分分 12 12分分 向量平行的坐标公式实质是把向量问题转向量平行的坐标公式实质是把向量问题转化为实数的运算问题化为实数的运算问题.通过坐标公式建立参数的方通过坐标公式建立参数的方程，通过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程程，通过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程思想在向量中的应用思想在向量中的应用.探究提高探究提高解得解得1010分分知知能能迁迁移移3 3 已已知知点点O O（0 0，0 0），A A（1 1，2 2），B B（4 4，5 5）且）且 （1 1）求点）求点P P在第二象限时，实数在第二象限时，实数t t的取值范围；的取值范围；（2 2）四四边边形形OABPOABP能能否否为为平平行行四四边边形形？若若能能，求求出出相应的实数相应的实数t t;若不能，请说明理由若不能，请说明理由.解解 O O（0 0，0 0），），A A（1 1，2 2），），B B（4 4，5 5），），=（1 1，2 2），），=（4-14-1，5-25-2）=（3 3，3 3）.（1 1）设设P P（x x，y y），则则 =（x x，y y），若若点点P P在在第第二二象限，象限，x x0 0 y y0 0则则且且(x x,y y)=(1,2)+)=(1,2)+t t(3,3),(3,3),x x=1+3=1+3t t 1+3 1+3t t0 0 y y=2+3=2+3t t 2+3 2+3t t0,0,（2 2）因因为为 =（1 1，2 2），（3-33-3t t，3-3-3 3t t），），若四边形若四边形OABPOABP为平行四边形，则为平行四边形，则 3-3 3-3t t=1=1 3-3 3-3t t=2,=2,无解，无解，四边形四边形OABPOABP不可能为平行四边形不可能为平行四边形.,方法与技巧方法与技巧1.1.坐坐标标的的引引入入使使向向量量的的运运算算完完全全代代数数化化，成成了了数数形形结结合的载体，也加强了向量与解析几何的联系合的载体，也加强了向量与解析几何的联系.2.2.中中点点坐坐标标公公式式：P P1 1（x x1 1,y y1 1）,P P2 2(x x2 2,y y2 2),),则则P P1 1P P2 2中中点点P P的坐标为的坐标为 在在ABCABC中，若中，若A A（x x1 1，y y1 1），），B B（x x2 2，y y2 2），），C C（x x3 3，y y3 3），则），则ABCABC的重心的重心G G的坐标为的坐标为思想方法思想方法 感悟提高感悟提高失误与防范失误与防范1.1.要要区区分分点点的的坐坐标标与与向向量量的的坐坐标标的的区区别别，尽尽管管在在形形式式上上它它们们完完全全一一样样，但但意意义义完完全全不不同同，向向量量的的坐坐标标中中同样有方向与大小的信息同样有方向与大小的信息.2.2.在在处处理理分分点点问问题题比比如如碰碰到到条条件件“若若P P是是线线段段ABAB的的分分点点，且且|PAPA|=2|=2|PBPB|”|”时时，P P可可能能是是ABAB的的内内分分点点，也也可能是可能是ABAB的外分点，即可能的结论有：的外分点，即可能的结论有：或或3.3.数数学学上上的的向向量量是是自自由由向向量量，向向量量x x=(=(a a,b b)经经过过平平移移后后得到的向量的坐标仍是（得到的向量的坐标仍是（a a,b b）.一、选择题一、选择题1.1.（20092009湖北文，湖北文，1 1）若向量若向量a a=(1,1),=(1,1),b b=(-1,1),=(-1,1),c c=(4,2),=(4,2),则则c c=（）A.3 A.3a a+b bB.3B.3a a-b b C.-C.-a a+3+3b bD.D.a a+3+3b b 解析解析 设设c c=x xa a+y yb b,则则(4,2)=(4,2)=x x(1,1)+(1,1)+y y(-1,1),(-1,1),4=4=x x-y y,x x=3.=3.2=2=x x+y y.y y=-1.=-1.定时检测定时检测B故故c c=3=3a a-b b.2.2.若若a a=(2cos=(2cos ,1),1),b b=(sin ,1),=(sin ,1),且且a ab b，则，则tantan 等于等于（）A.2 A.2B.B.C.-2C.-2D.D.解析解析 a ab b，2cos2cos 1=sin1=sin .tan.tan =2.=2.A3.3.已知向量已知向量a a=(1,2),=(1,2),b b=(0,1),=(0,1),设设u u=a a+k kb b,v v=2=2a a-b b，若，若 u uv v，则实数，则实数k k的值为的值为（）A.-1 A.-1B.B.C.C.D.1D.1 解析解析 u u=（1 1，2 2）+k k（0 0，1 1）=（1 1，2+2+k k），），v v=（2 2，4 4）-（0 0，1 1）=（2 2，3 3），又），又u uv v，13=2 13=2（2+2+k k），得），得k k=.=.B4.4.（20092009重重庆庆文文，4 4）已已知知向向量量a a=(1,1),=(1,1),b b=(2,=(2,x x).).若若a a+b b与与4 4b b-2-2a a平行，则实数平行，则实数x x的值是的值是（）A.-2 A.-2B.0B.0C.1C.1D.2D.2 解解析析 a a+b b=(3,1+=(3,1+x x),4),4b b-2-2a a=(=(6,4x-6,4x-2),2),a a+b b与与4 4b b-2 2a a平行，则平行，则4 4x x-2=2(1+-2=2(1+x x),),x x=2.=2.D5.5.已已知知向向量量 =（1 1，-3-3），=（2 2，-1-1），=（m m+1+1，m m-2-2），若若点点A A、B B、C C能能构构成成三三角角形形，则则实数实数m m应满足的条件是应满足的条件是（）A.A.m m-2-2B.B.m m C.C.m m11D.D.m m-1-1 解析解析 若点若点A A、B B、C C不能构成三角形，则只能共线不能构成三角形，则只能共线.(2 (2，-1)-1)-（1 1，-3-3）=(1=(1，2)2)，（m m+1+1，m m-2-2）-（1 1，-3-3）=（m m，m m+1+1）.假设假设A A、B B、C C三点共线，三点共线，则则1(1(m m+1)-2+1)-2m m=0,=0,即即m=m=1.1.若若A A、B B、C C三点能构成三角形，则三点能构成三角形，则m m1.1.C6.6.已已知知O O为为原原点点，A A、B B是是两两定定点点，=a a，=b b，且且点点P P关关于于点点A A的的对对称称点点为为Q Q，点点Q Q关关于于点点B B的的对对称称点点为为R R，则，则 等于等于（）A.A.a a-b bB.2B.2（a a-b b）C.2 C.2（b b-a a）D D.b b-a a 解析解析 设设 =a a=（x x1 1，y y1 1），），=b b=（x x2 2，y y2 2），），则则A A（x x1 1，y y1 1），），B B（x x2 2，y y2 2）.设设P P（x x，y y），则由中点坐标公式可得），则由中点坐标公式可得 Q Q（2 2x x1 1-x x,2,2y y1 1-y y）,R R(2(2x x2 2-2-2x x1 1+x x,2,2y y2 2-2-2y y1 1+y y).).(2 (2x x2 2-2-2x x1 1,2,2y y2 2-2-2y y1 1)=2(=2(x x2 2,y y2 2)-2()-2(x x1 1,y y1 1),),即即 =2 =2（b b-a a）.C二、填空题二、填空题7.7.（20092009广广 东东 理理，1010）若若 平平 面面 向向 量量 a a，b b满满 足足|a a+b b|=1,|=1,a a+b b平行于平行于x x轴，轴，b b=(2=(2，-1),-1),则则a a=.解解析析|a a+b b|=1,|=1,a a+b b平平行行于于x x轴轴，故故a a+b b=(1,0)=(1,0)或或（-1-1，0 0）,a a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或或a a(-1,0)(-1,0)-（2 2，-1-1）=（-3-3，1 1）.8.8.已已知知向向量量a a=(2=(2x x+1,4),+1,4),b b=(2-=(2-x x,3),3)，若若a ab b，则则实实数数x x的值等于的值等于.解析解析 由由a ab b得得3(23(2x x+1)=4(2-+1)=4(2-x x),),解得解得x x=.=.(-1,1)(-1,1)或（或（-3-3，1 1）9.9.已已知知向向量量集集合合MM=a a|a a=（1 1，2 2）+（3 3，4 4），R R，N N=b b|b b=（-2-2，-2-2）+（4 4，5 5），R R，则则MMN N=.解析解析 由由(1,2)+(1,2)+1 1(3,4)=(-2,-2)+(3,4)=(-2,-2)+2 2(4,5),(4,5),MMN N=(-2,-2).=(-2,-2).(-2,-2)(-2,-2)三、解答题三、解答题10.10.已知已知A A(1,-2),(1,-2),B B（2 2，1 1），），C C（3 3，2 2），），D D（-2-2，3 3），以），以 ，为一组基底来表示为一组基底来表示 .解解 =(1 =(1，3)3)，=(2 =(2，4)4)，=(-3 =(-3，5)5)，=（-4-4，2 2），），=（-5-5，1 1），），（-3-3，5 5）+（-4-4，2 2）+（-5-5，1 1）=（-12-12，8).8).根据平面向量基本定理，必存在唯一实数对根据平面向量基本定理，必存在唯一实数对m m,n n使得使得（-12-12，8 8）=m m（1 1，3 3）+n n（2 2，4 4）.-12=-12=m m+2+2n n,8=3 8=3m m+4+4n n,得得m m=32=32，n n=-22.=-22.11.11.已知已知A A(-2(-2，4),4),B B（3 3，-1-1）,C C（-3-3，-4-4）.设设 =a a，=b b，=c c，且，且 =3 =3c c，=-2 =-2b b，（1 1）求：）求：3 3a a+b b-3-3c c；（2 2）求满足）求满足a a=m mb b+n nc c的实数的实数m m,n n.解解 由已知得由已知得a a=(5,-5),=(5,-5),b b=(-6,-3),=(-6,-3),c c=(1,8).=(1,8).(1)3 (1)3a a+b b-3-3c c =3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)(2)m mb b+n nc c=(-6=(-6m m+n n,-3,-3m m+8+8n n),),-6 -6m m+n n=5 =5 m m=-1=-1 -3 -3m m+8+8n n=-5,=-5,n n=-1.=-1.解得解得12.12.在在ABCABC中，中，a a、b b、c c分别是角分别是角A A、B B、C C的对边，的对边，已知向量已知向量m m=（a a，b b），向量），向量n n=（cos cos A A，cos cos B B），向量），向量p p=若若m mn n,p p2 2=9,=9,求证：求证：ABCABC为等边三角形为等边三角形.证明证明 m mn n，a acos cos B B=b bcos cos A A.由正弦定理，得由正弦定理，得sin sin A Acos cos B B=sin=sin B Bcos cos A A，即即sin(sin(A A-B B)=0.)=0.A A、B B为三角形的内角，为三角形的内角，-A A-B B.A A=B B.p p2 2=9=9，8sin8sin2 2 +4sin+4sin2 2A A=9.=9.441-cos1-cos（B B+C C）+4+4（1-cos1-cos2 2A A）=9.=9.4cos4cos2 2A A-4cos-4cos A A+1=0+1=0，解得，解得cos cos A A=.=.又又00A A,A A=.=.ABCABC为等边三角形为等边三角形.返回返回