任意角的三角函数资料.ppt

西北师范大学数学与统计西北师范大学数学与统计(tngj)学院学院石守娟石守娟第一页，共24页。1、在初中我们、在初中我们(w men)是如何定义锐角三角函数是如何定义锐角三角函数的？的？OabMPc1.2任意任意(rny)角的三角函数角的三角函数第二页，共24页。OabMP yx 2.在直角坐标在直角坐标(zubio)系中如何用坐标系中如何用坐标(zubio)表示表示锐角三角函数？锐角三角函数？第三页，共24页。yx2.在直角坐标系中如何用坐标表示在直角坐标系中如何用坐标表示(biosh)锐角三角函数？锐角三角函数？o第四页，共24页。如果改变点在终边上的位置如果改变点在终边上的位置(wi zhi)，这三个比值会改变吗，这三个比值会改变吗？MOyxP(a,b)第五页，共24页。3.锐角三角函数锐角三角函数(hnsh)（在单位圆中）（在单位圆中）以原点以原点O为为圆心，以单位圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆长度为半径的圆，称为单位圆.yox1M第六页，共24页。2.任意角的三角函数任意角的三角函数(snjihnsh)定义定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 那么:（1）叫做 的正弦正弦，记作 ，即 ；（2）叫做 的余弦余弦，记作 ，即 ；（3）叫做 的正切正切，记作 ，即 。所以，正弦(zhngxin)，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.使比值有意义使比值有意义(yy)的角的集合的角的集合即为三角函数的定义域即为三角函数的定义域.第七页，共24页。（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点横坐标的比值横坐标的比值.的横坐标，的横坐标，交点的纵坐标与交点的纵坐标与.（2）正弦、余弦总有意义正弦、余弦总有意义.当当 的终边在的终边在 横坐标等于横坐标等于0，无意义，此时无意义，此时 轴上时，点轴上时，点P 的的（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数三角函数可以看成是自变量为实数的函数.正切正切(zhngqi)就是就是第八页，共24页。任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义(dngy)过程：过程：直角三角形中定义锐角三角函数 直角坐标系中定义锐角三角函数 单位圆中定义锐角三角函数 单位圆中定义任意角的三角函数 第九页，共24页。例例1 求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.解：在直角坐标系中，作解：在直角坐标系中，作，易知，易知 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为 所以所以 思考：若把角思考：若把角 改为改为 呢呢?，第十页，共24页。例例2 已知角已知角 的终边经过点的终边经过点 ，求角，求角 的正弦、余弦的正弦、余弦和正切值和正切值.解解:由已知可得由已知可得设角设角 的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于 ，分别过点分别过点 、作作 轴的垂线轴的垂线 、于是于是(ysh)，第十一页，共24页。设角设角 是一个任意角，是一个任意角，是终边上的任意一点，是终边上的任意一点，点点 与原点的距离与原点的距离那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 任意角任意角 的三角函数值仅与的三角函数值仅与 有关，而与点有关，而与点 在角的终在角的终边上的位置无关边上的位置无关.第十二页，共24页。于是于是，练习练习 1、已知角、已知角 的终边过点的终边过点 ，求求 的三个三角函数值的三个三角函数值.解：由已知可得：解：由已知可得：第十三页，共24页。第十四页，共24页。第十五页，共24页。1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）（弧度制）三角函数三角函数定义域定义域R2.确定三角函数值在各象限的符号确定三角函数值在各象限的符号yxoyxoyxo+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）R+-+-+-+-深入深入(shn(shnr)r)探探究究第十六页，共24页。例例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，求证：当且仅当下列不等式组成立时，角角 为第三象限角为第三象限角.证明证明(zhngmng)：因为因为式式 成立成立,所以所以 角的终边可能位于第三角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；轴的非正半轴上；又因为又因为式式 成立，所以角成立，所以角 的终边可能位于的终边可能位于第一或第三象限第一或第三象限.因为因为式都成立，所以角式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限的终边只能位于第三象限.于是角于是角 为第三象限角为第三象限角.反过来请同学们自己反过来请同学们自己(zj)证明证明.第十七页，共24页。如果两个如果两个(lin)角的终边相同，那么这角的终边相同，那么这两个两个(lin)角的角的同一三角函数值有何关系？同一三角函数值有何关系？终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）其中其中 利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求求 角的三角函数值角的三角函数值.？第十八页，共24页。例例4 确定下列三角函数值的符号：确定下列三角函数值的符号：（1）（2）（3）解：解：（1）因为）因为 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；（2）因为）因为 =，而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以 ；练习练习 确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号 （3）因为）因为 是第四象限角，所以是第四象限角，所以 .第十九页，共24页。例例5 求下列三角函数值：求下列三角函数值：（1）（2）解：（解：（1）练习练习 求下列求下列(xili)三角函数值三角函数值 （2）第二十页，共24页。练习练习(linx)(linx)第二十一页，共24页。1.内容内容(nirng)总结：总结：三角函数的概念三角函数的概念(ginin).三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.诱导公式一诱导公式一.运用了定义法、公式运用了定义法、公式(gngsh)法、数形结合法法、数形结合法解题解题.划归的思想，数形结合的思想划归的思想，数形结合的思想.2.方法总结：方法总结：3.体现的数学思想：体现的数学思想：归纳总结归纳总结第二十二页，共24页。课本(kbn)第20页 习题1.2 A组 1、2、6、7、第9题的（1）（3）题.第二十三页，共24页。第二十四页，共24页。