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常微分方程数值解常微分方程数值解5867858678Euler方法考虑常微分方程：稳定性z方法稳定性稳定性指对初始误差的连续依赖性,以线性k步方法为例，即为存在常数C和h00,使得当 时z这里常数C不依赖于h。通常这里定义的稳定性指 情况下的稳定性。绝对稳定性z绝对稳定性指对某类模型问题，对固定的 ,当 时计算是稳定的。z复平面上所有这样的 组成的区域称为这个方法绝对稳定区域高阶单步方法-Taylor级数法高阶单步方法Runge-Kutta方法Runge-Kutta方法例z中点法（修正的Euler法）：二阶方法z古典四阶Runge-Kutta方法Adams方法z考虑微分方程的积分形式用f的k次Lagrange插值多项式来代替fAdams-bashforth外插方法z在积分方程中取 可得计算格式Adams-Moulton内插方法z类似取 ，可以得到注：这里的t在插值点的内部，所以叫内插方法Gear方法z类似Adams方法，如果用多项式来逼近u，则可以得到Gear方法线性k步方法z结合上面的Adams方法和Gear方法，我们可以有更一般的方法 如果需要q阶相容，用Taylor方法容易知道z在线性多步方法中z最高阶的两步方法四阶两步方法(Milne)线性多步方法线性多步方法的性态分析z收敛性：z相容性：计算格式的误差z稳定性：计算解对初始扰动的连续依赖性z绝对稳定性：对线性问题稳定的最大步长线性多步方法相容的充要条件z定义第一特征多项式为z定义第二特征多项式为z相容的充要条件例：相容不收敛例：相容不收敛（续）例：相容不收敛（续）线性多步方法的稳定性z定理定理：线性多步方法稳定充要条件是 满足根条件，即 的所有根均在复平面的单位园内，且在单位园周上的根为单根。相容+稳定=收敛z收敛的线性多步方法必定相容并且稳定z相容且稳定，初始值 的线性多步方法必定收敛。若方法是q阶相容，且 ,则方法是q阶收敛绝对稳定性z考虑试验方程z记 ，用线性多步法有z其稳定的条件是特征多项式的满足根条件绝对稳定性z对指定的 ，如果特征多项式的根 按模都小于1，则称线性多步方法关于此 绝对稳定，所有这样的 组成的集合称为该方法的绝对稳定区域z利用边界轨迹法可以求得绝对稳定区域。