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第4章时间序列模型sppt课件 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望4.14.1 序列相关理论序列相关理论序列相关理论序列相关理论 第第3章章在在对对扰扰动动项项ut的的一一系系列列假假设设下下，讨讨论论了了古古典典线线性性回回归归模模型型的的估估计计、检检验验及及预预测测问问题题。如如果果线线性性回回归归方方程程的的扰扰动动项项ut 满满足足古古典典回回归归假假设设，使使用用OLS所所得得到到的的估估计计量是线性无偏最优的。量是线性无偏最优的。但但是是如如果果扰扰动动项项ut不不满满足足古古典典回回归归假假设设，回回归归方方程程的的估估计计结结果果会会发发生生怎怎样样的的变变化化呢呢？理理论论与与实实践践均均证证明明，扰扰动动项项ut关关于于任任何何一一条条古古典典回回归归假假设设的的违违背背，都都将将导导致致回回归归方方程程的的估估计计结结果果不不再再具具有有上上述述的的良良好好性性质质。因因此此，必必须须建建立立相相关关的的理理论论，解解决决扰扰动动项项不不满满足足古古典典回回归归假假设设所所带带来的模型估计问题。来的模型估计问题。24.1.14.1.1 序列相关及其产生的后果序列相关及其产生的后果序列相关及其产生的后果序列相关及其产生的后果 对于线性回归模型对于线性回归模型 (4.1.1)随机扰动项之间不相关，即无序列相关的基本假设为随机扰动项之间不相关，即无序列相关的基本假设为 (4.1.2)如果扰动项序列如果扰动项序列ut表现为：表现为：(4.1.3)即即对对于于不不同同的的样样本本点点，随随机机扰扰动动项项之之间间不不再再是是完完全全相相互互独独立立的的，而而是是存存在在某某种种相相关关性性，则则认认为为出出现现了了序序列列相相关关性性(serial correlation)。3 EViews提提供供了了检检测测序序列列相相关关和和估估计计方方法法的的工工具具。但但首首先先必必须须排排除除虚虚假假序序列列相相关关。虚虚虚虚假假假假序序序序列列列列相相相相关关关关是是是是指指指指模模模模型型型型的的的的序序序序列列列列相相相相关关关关是是是是由由由由于于于于省省省省略略略略了了了了显显显显著著著著的的的的解解解解释释释释变变变变量量量量而而而而引引引引起起起起的的的的。例例如如，在在生生产产函函数数模模型型中中，如如果果省省略略了了资资本本这这个个重重要要的的解解释释变变量量，资资本本对对产产出出的的影影响响就就被被归归入入随随机机误误差差项项。由由于于资资本本在在时时间间上上的的连连续续性性，以以及及对对产产出出影影响响的的连连续续性性，必必然然导导致致随随机机误误差差项项的的序序列列相相关关。所所以以在在这这种种情情况况下下，要要把把显显著的变量引入到解释变量中。著的变量引入到解释变量中。4.1.24.1.2 序列相关的检验方法序列相关的检验方法序列相关的检验方法序列相关的检验方法 4 EViews提供了以下提供了以下3种检测序列相关的方法。种检测序列相关的方法。1 1D_WD_W统计量检验统计量检验统计量检验统计量检验 Durbin-Watson 统统计计量量（简简称称D_W统统计计量量）用用于于检检验验一一阶阶序序列列相相关关，还还可可估估算算回回归归模模型型邻邻近近残残差差的的线线性性联联系。对于扰动项系。对于扰动项ut建立一阶自回归方程：建立一阶自回归方程：(4.1.6)D_W统计量检验的统计量检验的原假设：原假设：原假设：原假设：=0=0，备选假设是，备选假设是，备选假设是，备选假设是 0 0。5 Dubin-WastonDubin-Waston统计量检验序列相关有三个主要不足：统计量检验序列相关有三个主要不足：统计量检验序列相关有三个主要不足：统计量检验序列相关有三个主要不足：1D-W统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵X。2回回归归方方程程右右边边如如果果存存在在滞滞后后因因变变量量，D-W检检验验不不再有效。再有效。3仅仅检验是否存在一阶序列相关。仅仅检验是否存在一阶序列相关。其他两种检验序列相关方法：其他两种检验序列相关方法：Q-统计量和统计量和Breush-Godfrey LM检验克服了上述不足，应用于大多数场合。检验克服了上述不足，应用于大多数场合。6 2.2.相关图和相关图和相关图和相关图和Q Q-统计量统计量统计量统计量 1.1.自相关系数自相关系数自相关系数自相关系数 时间序列时间序列ut滞后滞后k阶的自相关系数由下式估计阶的自相关系数由下式估计 （4.2.26）其其中中 是是序序列列的的样样本本均均值值，这这是是相相距距k期期值值的的相相关关系系数数。称称rk为为时时间间序序列列ut的的自自相相关关系系数数，自自相相关关系系数数可可以以部部分分的的刻刻画画一一个个随随机机过过程程的的性性质质。它它告告诉诉我我们们在在序序列列ut的的邻邻近近数数据据之之间间存在多大程度的相关性。存在多大程度的相关性。7 2 2偏自相关系数偏自相关系数偏自相关系数偏自相关系数 偏偏自自相相关关系系数数是是指指在在给给定定ut-1，ut-2，ut-k-1的的条条件件下下，ut与与ut-k之之间间的的条条件件相相关关性性。其其相相关关程程度度用用偏偏自自相相关关系系数数 k,k度量。在度量。在k阶滞后下估计偏相关系数的计算公式如下阶滞后下估计偏相关系数的计算公式如下 （4.2.27）其中：其中：rk 是在是在k阶滞后时的自相关系数估计值。阶滞后时的自相关系数估计值。（4.2.28）这是偏相关系数的一致估计。这是偏相关系数的一致估计。8 我我们们还还可可以以应应用用所所估估计计回回归归方方程程残残差差序序列列的的自自相相关关和和偏偏自自相相关关系系数数（在在本本章章5.2.4节节给给出出相相应应的的公公式式），以以及及Ljung-Box Q-统统计计量量来来检检验验序序列列相相关关。Q-统统计计量量的的表表达式为：达式为：(4.1.7)其中：其中：rj是残差序列的是残差序列的 j 阶自相关系数，阶自相关系数，T是观测值的个数，是观测值的个数，p是设定的滞后阶数是设定的滞后阶数。p阶滞后的阶滞后的Q-统计量的统计量的原假设是：原假设是：原假设是：原假设是：序列不存在序列不存在序列不存在序列不存在p p阶自相关；备选假设为：序列存在阶自相关；备选假设为：序列存在阶自相关；备选假设为：序列存在阶自相关；备选假设为：序列存在p p阶自相关阶自相关阶自相关阶自相关。9 在在在在EViewsEViews软件中的操作方法：软件中的操作方法：软件中的操作方法：软件中的操作方法：在在方方程程工工具具栏栏选选择择View/Residual Tests/correlogram-Q-statistics。EViews将将显显示示残残差差的的自自相相关关和和偏偏自自相相关关函函数数以以及及对对应应于于高高阶阶序序列列相相关关的的Ljung-Box Q统统计计量量。如如如如果果果果残残残残差差差差不不不不存存存存在在在在序序序序列列列列相相相相关关关关，在在在在各各各各阶阶阶阶滞滞滞滞后后后后的的的的自自自自相相相相关关关关和和和和偏偏偏偏自自自自相相相相关关关关值值值值都都都都接近于零。所有的接近于零。所有的接近于零。所有的接近于零。所有的Q-Q-统计量不显著，并且有大的统计量不显著，并且有大的统计量不显著，并且有大的统计量不显著，并且有大的P P值值值值。10例例例例5.1:5.1:利用相关图检验残差序列的相关性利用相关图检验残差序列的相关性利用相关图检验残差序列的相关性利用相关图检验残差序列的相关性 考虑美国的一个投资方程。美国的考虑美国的一个投资方程。美国的GNP和国内私人总和国内私人总投资投资INV是单位为是单位为10亿美元的名义值，价格指数亿美元的名义值，价格指数P为为GNP的的平减指数平减指数（1972=100），），利息率利息率R为半年期商业票据利息。为半年期商业票据利息。回归方程所采用的变量都是实际回归方程所采用的变量都是实际GNP和实际投资；它们是和实际投资；它们是通过将名义变量除以价格指数得到的，分别用小写字母通过将名义变量除以价格指数得到的，分别用小写字母gnp，inv表示。实际利息率的近似值表示。实际利息率的近似值r则是通过贴现率则是通过贴现率R减去价减去价格指数变化率格指数变化率p得到的。样本区间：得到的。样本区间：1963年年1984年，建立年，建立如下线性回归方程：如下线性回归方程：t=1,2,T 11应用最小二乘法得到的估计方程如下应用最小二乘法得到的估计方程如下：t=（-1.32）（154.25）R2=0.80 D.W.=0.94 12 虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。如虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。如果自相关值在这个区域内，则在显著水平为果自相关值在这个区域内，则在显著水平为5%的情形下与零没有显的情形下与零没有显著区别。著区别。本例本例1阶的自相关系数和偏自相关系数都超出了虚线，说明存在阶的自相关系数和偏自相关系数都超出了虚线，说明存在1阶序列相关。阶序列相关。1阶滞后的阶滞后的Q-统计量的统计量的P值很小，拒绝原假设，残差序列值很小，拒绝原假设，残差序列存在一阶序列相关。存在一阶序列相关。选择选择View/Residual test/Correlogram-Q-statistice会产生如下结果：会产生如下结果：133.3.序列相关的序列相关的序列相关的序列相关的LMLM检验检验检验检验 与与D.W.统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关不统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关不同，同，Breush-Godfrey LM检验（检验（Lagrange multiplier，即拉格朗日乘数检验）也可应用于检验回归方程的残即拉格朗日乘数检验）也可应用于检验回归方程的残差序列是否存在高阶自相关，而且在方程中存在滞后差序列是否存在高阶自相关，而且在方程中存在滞后因变量的情况下，因变量的情况下，LM检验仍然有效。检验仍然有效。LMLM检验原假设为：直到检验原假设为：直到检验原假设为：直到检验原假设为：直到p p阶滞后不存在序列相关，阶滞后不存在序列相关，阶滞后不存在序列相关，阶滞后不存在序列相关，p p为预先定义好的整数；备选假设是：存在为预先定义好的整数；备选假设是：存在为预先定义好的整数；备选假设是：存在为预先定义好的整数；备选假设是：存在p p阶自相关。阶自相关。阶自相关。阶自相关。检验统计量由如下辅助回归计算。检验统计量由如下辅助回归计算。14 （1）估计回归方程，并求出残差）估计回归方程，并求出残差et (4.1.8)（2）检验统计量可以基于如下回归得到）检验统计量可以基于如下回归得到 (4.1.9)这是对原始回归因子这是对原始回归因子Xt 和直到和直到p阶的滞后残差的回归。阶的滞后残差的回归。LMLM检验通常给出两个统计量：检验通常给出两个统计量：检验通常给出两个统计量：检验通常给出两个统计量：F F统计量和统计量和统计量和统计量和T T R R2 2统计量统计量统计量统计量。F统计量是对式（统计量是对式（5.1.9）所有滞后残差联合显著性的一种检）所有滞后残差联合显著性的一种检验。验。TR2统计量是统计量是LM检验统计量，是观测值个数检验统计量，是观测值个数T乘以回乘以回归方程（归方程（5.1.9）的）的R2。一般情况下，。一般情况下，TR2统计量服从渐进统计量服从渐进的的 2(p)分布。分布。15 在在在在E EViewView软件中的操作方法：软件中的操作方法：软件中的操作方法：软件中的操作方法：选选择择View/Residual Tests/Serial correlation LM Test，一一般般地地对对高高阶阶的的，含含有有ARMA误误差差项项的的情情况况执执行行Breush-Godfrey LM。在在滞滞后后定定义义对对话话框框，输输入入要要检检验验序列的最高阶数。序列的最高阶数。16 LM统计量显统计量显示，在示，在5%的显的显著性水平拒绝原著性水平拒绝原假设，回归方程假设，回归方程的残差序列存在的残差序列存在序列相关性。因序列相关性。因此，回归方程的此，回归方程的估计结果不再有估计结果不再有效，必须采取相效，必须采取相应的方式修正残应的方式修正残差的自相关性。差的自相关性。例例例例5.15.1(续续续续)序列相关序列相关序列相关序列相关LMLM检验检验检验检验17 例例例例5.2:5.2:含滞后因变量的回归方程扰动项序列相关的检验含滞后因变量的回归方程扰动项序列相关的检验含滞后因变量的回归方程扰动项序列相关的检验含滞后因变量的回归方程扰动项序列相关的检验 考考虑虑美美国国消消费费CS 和和GDP及及前前期期消消费费之之间间的的关关系系，数数据据期期间间：1947年年第第1季季度度1995年年第第1季季度度，数数据据中中已已消消除除了了季节要素，建立如下线性回归方程：季节要素，建立如下线性回归方程：t=1,2,T 应用最小二乘法得到的估计方程如下：应用最小二乘法得到的估计方程如下：t=(1.93)(3.23)(41.24)R2=0.999 D.W.=1.605 18 如如果果单单纯纯从从显显著著性性水水平平、拟拟合合优优度度及及D.W.值值来来看看，这这个个模模型型是是一一个个很很理理想想的的模模型型。但但是是，由由于于方方程程的的解解释释变变量量存存在在被被解解释释变变量量的的一一阶阶滞滞后后项项，那那么么 D.W.值值就就不不能能作作为为判判断断回回归归方方程程的的残残差差是是否否存存在在序序列列相相关关的的标标准准，如如果果残残差差序序列列存存在在序序列列相相关关，那那么么，显显著著性性水水平平、拟拟合合优优度度和和F统统计计量量将将不不再再可可信信。所所以以，必必须须采采取取本本节节中中介介绍绍的的其其他他检检验验序序列列相相关关的的方方法法检检验验残残差差序序列列的的自自相相关关性性。这这里采用里采用 LM 统计量进行检验统计量进行检验(p=2)，得到结果如下得到结果如下：LM统统计计量量显显示示，回回归归方方程程的的残残差差序序列列存存在在明明显显的的序序列相关性。列相关性。19 下面给出残差序列的自相关系数和偏自相关系数，相关图如下：下面给出残差序列的自相关系数和偏自相关系数，相关图如下：本例本例13阶的自相关系数都超出了虚线，说明存在阶的自相关系数都超出了虚线，说明存在3阶序列相关。阶序列相关。各阶滞后的各阶滞后的Q-统计量的统计量的P值都小于值都小于5%，说明在，说明在5%的显著性水平下，的显著性水平下，拒绝原假设，残差序列存在序列相关。拒绝原假设，残差序列存在序列相关。20 4.1.3 4.1.3 扰动项存在序列相关的扰动项存在序列相关的扰动项存在序列相关的扰动项存在序列相关的 线性回归方程的估计与修正线性回归方程的估计与修正线性回归方程的估计与修正线性回归方程的估计与修正 线线性性回回归归模模型型扰扰动动项项序序列列相相关关的的存存在在，会会导导致致模模型型估估计计结结果果的的失失真真。因因此此，必必须须对对扰扰动动项项序序列列的的结结构构给给予予正正确确的的描描述述，以以期期消消除除序序列列相相关关对对模模型型估估计计结结果果带带来来的的不不利影响。利影响。通通常常可可以以用用AR(p)模模型型来来描描述述一一个个平平稳稳序序列列的的自自相相关的结构，定义如下：关的结构，定义如下：(4.1.10)(4.1.11)21 其其中中：ut 是是无无条条件件扰扰动动项项，它它是是回回归归方方程程（4.1.10）的的扰扰动动项项，参参数数 0，1，2，k 是是回回归归模模型型的的系系数数。式式（4.1.11）是是扰扰动动项项ut的的 p 阶阶自自回回归归模模型型，参参数数 1，2，p 是是 p 阶阶自自回回归归模模型型的的系系数数，t 是是无无条条件件扰扰动动项项ut自自回回归归模模型型的的误误差差项项，并并且且是是均均值值为为0，方方差差为为常常数数的的白白噪噪声声序序列列，它它是是因因变变量量真真实实值值和和以以解解释释变变量量及及以以前前预预测测误误差为基础的预测值之差。差为基础的预测值之差。下下面面将将讨讨论论如如何何利利用用AR(p)模模型型修修正正扰扰动动项项的的序序列列相相关关，以以及及用用什什么么方方法法来来估估计计消消除除扰扰动动项项后后方方程程的的未未知知参数。参数。22 1 1修正一阶序列相关修正一阶序列相关修正一阶序列相关修正一阶序列相关 最最简简单单且且最最常常用用的的序序列列相相关关模模型型是是一一阶阶自自回回归归AR(1)模模型型。为为了了便便于于理理解解，先先讨讨论论一一元元线线性性回回归归模模型型，并并且且具具有有一一阶序列相关的情形，即阶序列相关的情形，即p=1的情形：的情形：(4.1.12)(4.1.13)把式（把式（4.1.13）带入式（）带入式（4.1.12）中得到）中得到 (4.1.14)2324 2 2修正高阶序列相关修正高阶序列相关修正高阶序列相关修正高阶序列相关 通通常常如如果果残残差差序序列列存存在在p阶阶序序列列相相关关，误误差差形形式式可可以以由由AR(p)过过程程给给出出。对对于于高高阶阶自自回回归归过过程程，可可以以采采取取与与一一阶阶序序列列相相关关类类似似的的方方法法，把把滞滞后后误误差差逐逐项项代代入入，最最终终得得到到一一个个误误差差项项为为白白噪噪声声序序列列，参参数数为为非非线线性性的的回回归归方方程程，并并且采用且采用Gauss-Newton迭代法求得非线性回归方程的参数。迭代法求得非线性回归方程的参数。25 3.3.在在在在EviewsEviews中的操作：中的操作：中的操作：中的操作：打打开开一一个个方方程程估估计计窗窗口口，输输入入方方程程变变量量，最最后后输输入入ar(1)ar(2)ar(3)。针对例。针对例5.2定义方程为：定义方程为：26 需需要要注注意意的的是是，输输入入的的ar(1)ar(2)ar(3)分分别别代代表表3个个滞滞后后项项的的系系数数，因因此此，如如果果我我们们认认为为扰扰动动项项仅仅仅仅在在滞滞后后2阶和滞后阶和滞后4阶存在自相关，其他滞后项不存在自相关，即阶存在自相关，其他滞后项不存在自相关，即则估计时应输入：则估计时应输入：cs c gdp cs(-1)ar(2)ar(4)EViews在在消消除除序序列列相相关关时时给给予予很很大大灵灵活活性性，可可以以输输入入模模型型中中想想包包括括的的各各个个自自回回归归项项。例例如如，如如果果有有季季度度数数据据而而且且想想用用一一个个单单项项来来消消除除季季节节自自回回归归，可可以以输输入入：cs c gdp cs(-1)ar(4)。27 例例例例4.3 4.3 用用用用AR(p)AR(p)模型修正回归方程残差序列的自相关（模型修正回归方程残差序列的自相关（模型修正回归方程残差序列的自相关（模型修正回归方程残差序列的自相关（1 1）例例5.1中中检检验验到到美美国国投投资资方方程程的的残残差差序序列列存存在在一一阶阶序序列列相相关。这里将采用关。这里将采用AR(1)模型来修正投资方程的自相关性：模型来修正投资方程的自相关性：t=1,2,T 回归估计的结果如下：回归估计的结果如下：t=(-1.21)（95.71）t=(2.65)R2=0.86 D.W.=1.52 28 再对新的残差序列进行再对新的残差序列进行LM检验检验(p=2)，最终得到的检，最终得到的检验结果如下：验结果如下：检验结果不能拒绝原假设，即修正后的回归方程的残检验结果不能拒绝原假设，即修正后的回归方程的残差序列不存在序列相关性。因此，用差序列不存在序列相关性。因此，用AR(1)模型修正后的回模型修正后的回归方程的估计结果是有效的。归方程的估计结果是有效的。29例例例例4.4 4.4 用用用用AR(p)AR(p)模型修正回归方程残差序列的自相关模型修正回归方程残差序列的自相关模型修正回归方程残差序列的自相关模型修正回归方程残差序列的自相关 例例4.2中中检检验验到到带带有有滞滞后后因因变变量量的的回回归归方方程程的的残残差差序序列列存存在在明明显显的的序序列列自自相相关关。而而且且从从相相关关图图看看到到，可可以以采采用用AR(3)模型来修正回归方程的自相关性。模型来修正回归方程的自相关性。回归估计的结果如下：回归估计的结果如下：30 模型建立如下：模型建立如下：t=(-3.9)(7.29)（13.54）t=(4.85)(3.07)（3.03）R2=0.999 D.W=1.94 31 再对新的残差序列再对新的残差序列 进行进行LM检验，最终得到的检验结果如下：检验，最终得到的检验结果如下：给出纠正后的残差序列的给出纠正后的残差序列的Q-统计量和序列相关图，在直观上认识统计量和序列相关图，在直观上认识到消除序列相关后的残差序列是一个随机扰动序列。到消除序列相关后的残差序列是一个随机扰动序列。32 对对于于简简单单AR(1)模模型型，是是无无条条件件残残差差的的序序列列相相关关系系数数。对对于于平平稳稳AR(1)模模型型，在在-1（极极端端负负序序列列相相关关）和和+1（极极端端正正序序列列相相关关）之之间间。一一一一般般般般AR(AR(p p)平平平平稳稳稳稳条条条条件件件件是：滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。是：滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。是：滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。是：滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。EViews在回归输出的底部给出这些根：在回归输出的底部给出这些根：Inverted AR Roots。如果存在虚根，根的模应该小于。如果存在虚根，根的模应该小于1。33 另另外外：EViews可可以以估估计计带带有有AR误误差差项项的的非非非非线线线线性性性性回回回回归模型归模型归模型归模型。例例如如：将将例例5.4中中的的模模型型变变为为如如下下的的非非线线性性模模型型，估估计如下带有附加修正项计如下带有附加修正项AR(3)的非线性方程：的非线性方程：用公式法输入：用公式法输入：cs=c(1)+gdpc(2)+c(3)*cs(-1)+ar(1)=c(4),ar(1)=c(4),ar(2)=c(5),ar(2)=c(5),ar(3)=c(6)ar(3)=c(6)34 输出结果显示为：输出结果显示为：35 4.2 4.2 平稳时间序列建模平稳时间序列建模平稳时间序列建模平稳时间序列建模 本本节节将将不不再再仅仅仅仅以以一一个个回回归归方方程程的的扰扰动动项项序序列列为为研研究究对对象象，而而是是直直接接讨讨论论一一个个平平稳稳时时间间序序列列的的建建模模问问题题。在在现现实实中中很很多多问问题题，如如利利率率波波动动、收收益益率率变变化化及及汇汇率率变变化化等等通通常常是是一一个个平平稳稳序序列列，或或者者通通过过差差分分等等变变换可以化成一个平稳序列。换可以化成一个平稳序列。本本 节节 中中 介介 绍绍 的的 ARMA模模 型型(autoregressive moving average models)可可以以用用来来研研究究这这些些经经济济变变量量的的变变化化规规律律，这这样样的的一一种种建建模模方方式式属属于于时时间间序序列列分分析析的的研究范畴。研究范畴。36 如果随机过程如果随机过程 的均值和方差、自协方差都不取决于的均值和方差、自协方差都不取决于 t，则称，则称 ut 是协方差平是协方差平稳的或弱平稳的：稳的或弱平稳的：注意，如果一个随机过程是弱平稳的，则注意，如果一个随机过程是弱平稳的，则 ut 与与 ut-s 之之间的协方差仅取决于间的协方差仅取决于s，即仅与观测值之间的间隔长度，即仅与观测值之间的间隔长度s有有关，而与时期关，而与时期t 无关。一般所说的无关。一般所说的“平稳性平稳性”含义就是上述含义就是上述的弱平稳定义。的弱平稳定义。对所有的对所有的 t 对所有的对所有的 t 对所有的对所有的 t 和和 s(4.2.1)(4.2.2)(4.2.3)4.2.1 4.2.1 平稳时间序列的概念平稳时间序列的概念平稳时间序列的概念平稳时间序列的概念 374.2.2 ARMA4.2.2 ARMA模型模型模型模型 1.1.自回归模型自回归模型自回归模型自回归模型AR(AR(p p)p 阶自回归模型记作阶自回归模型记作AR(p)，满足下面的方程：，满足下面的方程：(4.2.4)其其中中：参参数数 c 为为常常数数；1,2,p 是是自自回回归归模模型型系系数数；p为为自自回回归归模模型型阶阶数数；t 是是均均值值为为0，方方差差为为 2 的的白白噪噪声声序列。序列。38 2.2.移动平均模型移动平均模型移动平均模型移动平均模型MA(MA(q q)q 阶阶移移动动平平均均模模型型记记作作MA(q)，满满足足下下面面的的方方程：程：(4.2.5)其其中中：参参数数 为为常常数数；参参数数 1,2,q 是是 q 阶阶移移动动平平均均模模型型的的系系数数；t 是是均均值值为为0，方方差差为为 2的的白白噪噪声序列。声序列。39 3.ARMA(3.ARMA(p p,q q)模型模型模型模型 (4.2.6)显显然然此此模模型型是是模模型型(5.2.4)与与(5.2.5)的的组组合合形形式式，称称为为混混合合模模型型，常常记记作作ARMA(p,q)。当当 p=0 时时，ARMA(0,q)=MA(q)；当；当q=0时，时，ARMA(p,0)=AR(p)。40 4.2.3 ARMA 4.2.3 ARMA模型的平稳性模型的平稳性模型的平稳性模型的平稳性 1.AR(1.AR(p p)模型的平稳性条件模型的平稳性条件模型的平稳性条件模型的平稳性条件 为为了了理理解解AR(p)、MA(q)和和ARMA(p,q)模模型型的的理理论论结结构构，简单的算子理论是必不可少的。对于简单的算子理论是必不可少的。对于AR(p)模型模型 (4.2.7)设设L为为滞滞后后算算子子，则则有有Lut ut-1,Lput ut-p，特特别别地地，L0ut ut。则式（则式（4.2.7）可以改写为：）可以改写为：(4.2.8)41若设若设(L)1-1 L-2 L2-p Lp，令，令 (4.2.9)则则 (z)是是一一个个关关于于z的的p次次多多项项式式，AR(AR(p p)模模模模型型型型平平平平稳稳稳稳的的的的充充充充要要要要条条条条件件件件是是是是 (z z)的的的的根根根根全全全全部部部部落落落落在在在在单单单单位位位位圆圆圆圆之之之之外外外外。式式(5.2.7)可可以以改改写为滞后算子多项式的形式写为滞后算子多项式的形式 可可以以证证明明如如果果AR(p)模模型型满满足足平平稳稳性性条条件件，则则式式(4.2.10)可可以以表表示示为为MA()的的形形式式，从从而而可可以以推推导导出出来来任任何一个何一个AR(p)模型均可以表示为白噪声序列的线性组合。模型均可以表示为白噪声序列的线性组合。(4.2.10)42 2 2MA(MA(q q)模型的可逆性模型的可逆性模型的可逆性模型的可逆性 考察考察MA(q)模型模型 若若 的的的的根根根根全全全全部部部部落落落落在在在在单单单单位位位位圆圆圆圆之之之之外外外外，则则则则式式式式(5.2.16)(5.2.16)的的的的MAMA算算算算子子子子称称称称为为为为可可可可逆逆逆逆的的的的。尽尽管管不不可可逆逆时时也也可可以以表表征征任任何何给给定定的的数数据据，但但是是一一些些参数估计和预测算法只有在使用可逆表示时才有效。参数估计和预测算法只有在使用可逆表示时才有效。(4.2.16)43 3 3ARMA(ARMA(p p,q q)模型的平稳性条件模型的平稳性条件模型的平稳性条件模型的平稳性条件 ARMA(p,q)模模型型包包括括了了一一个个自自回回归归模模型型AR(p)和和一一个个移移动平均模型动平均模型MA(q)或者以滞后算子多项式的形式表示或者以滞后算子多项式的形式表示 (4.2.19)(4.2.20)44若令若令则则ARMA(ARMA(p p,q q)模模模模型型型型(5.2.19)(5.2.19)平平平平稳稳稳稳的的的的充充充充要要要要条条条条件件件件是是是是 (z z)的的的的根根根根全部落在单位圆之外全部落在单位圆之外全部落在单位圆之外全部落在单位圆之外。(4.2.21)ARMA模模型型构构造造了了一一种种更更为为复复杂杂的的白白噪噪声声序序列列的的线线性性组组合合，近近似似逼逼近近一一个个平平稳稳序序列列。可可可可以以以以看看看看出出出出ARMAARMA模模模模型型型型的的的的平平平平稳稳稳稳性性性性完完完完全全全全取取取取决决决决于于于于自自自自回回回回归归归归模模模模型型型型的的的的参参参参数数数数，而而而而与与与与移移移移动动动动平平平平均均均均模模模模型型型型参参参参数数数数无无无无关。关。关。关。45 ARMA(p,q)模型中模型中AR和和MA部分应使用关键词部分应使用关键词ar和和ma定义。在上面定义。在上面AR定义中，我们已见过这种方法的例子，这定义中，我们已见过这种方法的例子，这对对MA也同样适用。也同样适用。例例如如，估估计计因因变变量量为为LS的的一一个个2阶阶自自回回归归和和1阶阶移移动动平平均过程均过程ARMA(2,1)，应输入，应输入：LS c ar(1)ar(2)ma(1)4.2.4 ARMA(4.2.4 ARMA(p p,q q)模型的估计模型的估计模型的估计模型的估计 1.ARMA(p,q)1.ARMA(p,q)模型的输入形式模型的输入形式模型的输入形式模型的输入形式 46例例例例4.5:4.5:利用利用利用利用 AR(1)AR(1)模型描述上证指数的变化规律模型描述上证指数的变化规律模型描述上证指数的变化规律模型描述上证指数的变化规律 本本例例取取我我国国上上证证收收盘盘指指数数（时时间间期期间间：1991年年1月月2003年年3月月）的的月月度度时时间间序序列列S作作为为研研究究对对象象，用用AR(1)模型描述其变化规律。首先对其做变化率，模型描述其变化规律。首先对其做变化率，srt=100(St-St-1)/S t-1（t=1,2,T）这这样样便便得得到到了了变变化化率率序序列列。一一般般来来讲讲，股股价价指指数数序序列列并并不不是是一一个个平平稳稳的的序序列列，而而通通过过变变换换后后的的变变化化率率数数据据，是是一一个个平平稳稳序序列列，可可以以作作为为我我们们研研究究、建建模模的的对对象象。记上证股价指数变化率序列为记上证股价指数变化率序列为sr。47 建立如下模型：建立如下模型：t=1,2,T 估计输出结果显示为：估计输出结果显示为：48图图图图4.2 4.2 实线是上证股价指数变化率序列实线是上证股价指数变化率序列实线是上证股价指数变化率序列实线是上证股价指数变化率序列srsr，虚线是，虚线是，虚线是，虚线是AR(1)AR(1)模型的拟合值模型的拟合值模型的拟合值模型的拟合值 从从图图4.2可可以以看看出出我我国国上上证证股股价价指指数数变变化化率率序序列列在在1991年年1994年年之之间间变变化化很很大大，而而后后逐逐渐渐变变小小，基基本本在在3%上上下下波波动动。近近年年来来波波动动平平缓缓，并并且且大大多多在在3%下下面面波波动动。拟拟合合曲曲线线基基本本代代表了这一时期的均值。表了这一时期的均值。49 对对例例4.5中中我我国国上上证证收收盘盘指指数数（时时间间期期间间：1991年年1月月2003年年3月月）的的月月度度时时间间序序列列S的的对对数数差差分分变变换换LS=dlog(S)，即即股股票票收收益益率率用用ARMA(1,1)模模型型来来估估计计，来来说说明明EViews是是如何估计一个如何估计一个ARMA(p，q)模型的。模型的。建立方程，输入建立方程，输入 LS c ar(1)ma(1)50估计输出显示：估计输出显示：51估计方程可写为：估计方程可写为：t=(1.32)t=(-0.42)（0.3）R2=0.0087 D.W.=1.99 也可写为：也可写为：52 2.ARMA(p,q)2.ARMA(p,q)模型的输出形式模型的输出形式模型的输出形式模型的输出形式 一一个个含含有有AR项项的的模模型型有有两两种种残残差差：第第一一种种是是无无条条件件残残差差 ，第第二二种种残残差差是是估估计计的的一一期期向向前前预预测测误误差差 。如如名名所所示示，这这种种残残差差代代表表预预测测误误差差。实实际际上上，通通过过利利用用滞滞后后残残差的预测能力，改善了无条件预测和残差。差的预测能力，改善了无条件预测和残差。对于含有对于含有ARMA项的模型，基于残差的回归统计量，项的模型，基于残差的回归统计量，如如R2和和D.W.值都是以一期向前预测误差为基础计算的。含值都是以一期向前预测误差为基础计算的。含有有AR项的模型独有的统计量是估计的项的模型独有的统计量是估计的AR系数。对于简单系数。对于简单AR(1)模型，模型，1是无条件残差的一阶序列相关系数。在输出是无条件残差的一阶序列相关系数。在输出表中表中 1用用AR(1)表示，表示，MA(1)模型的系数模型的系数 1用用MA(1)表示。表示。对于平稳对于平稳AR(1)模型，模型，1在在-1和和+1之间。之间。一般一般一般一般AR(p)AR(p)模型平模型平模型平模型平稳条件是：滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。稳条件是：滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。稳条件是：滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。稳条件是：滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。53 4.2.5 ARMA 4.2.5 ARMA模型的识别模型的识别模型的识别模型的识别 在在实实际际研研究究中中，所所能能获获得得的的只只是是经经济济指指标标的的时时间间序序列列数数据据，根根据据经经济济指指标标的的样样本本特特征征，来来推推断断其其总总体体（真真实实）特特征征。这这一一节节将将引引入入自自相相关关系系数数(autocorrelations，简简称称AC)和和偏偏自自相相关关系系数数(partial autocorrelations，简简称称PAC)这这两两个个统统计计量量去去识识别别ARMA(p,q)模模型型。MA(q)模模型型的的自自相相关关函函数数在在 q 步步以以后后是是截截尾尾的的，偏偏自自相相关关系系数数呈呈现现出出某某种种衰衰减减的的形形式式。AR(p)模模型型的的偏偏自自相相关关系系数数是是 p 阶阶截截尾尾的的。具具体体的的模模型型形形式式还还要要通通过过自自相相关关和和偏偏自自相相关关系系数数给给出出的的信信息息，经经过过反反复复的的试试验验及及检检验验，最最终终挑挑选选出出各项统计指标均符合要求的模型形式。各项统计指标均符合要求的模型形式。54 例例例例4.7 4.7 利用消费价格指数研究模型识别和建模利用消费价格指数研究模型识别和建模利用消费价格指数研究模型识别和建模利用消费价格指数研究模型识别和建模 本本例例将将用用ARMA模模型型模模拟拟1990年年1月月2004年年12月月的的居居民民消消费费价价格格指指数数CPI（上上年年同同月月=100）的的变变化化规规律律。实实际际上上用用后后面面学学到到的的单单位位根根检检验验可可知知CPI序序列列是是一一个个非非平平稳稳的的序序列列，但但是是它它的的一一阶阶差差分分序序列列 CPI是是平平稳稳的的。首首先先观观察察 CPI序列的自相关系数和偏自相关系数的图形序列的自相关系数和偏自相关系数的图形 图图图图5.65.6 CPICPI序列的相关图序列的相关图序列的相关图序列的相关图55 从从图图4.6可可以以看看出出 CPI序序列列的的自自相相关关系系数数是是拖拖尾尾的的，偏偏自自相相关关系系数数在在1阶阶结结尾尾。由由前前面面的的知知识识可可以以判判