向量的乘法电子版本.ppt

向量的乘法实例实例一、两向量的数量积一、两向量的数量积启示启示 我们可以定义我们可以定义向量的一种乘法运算向量的一种乘法运算两向量作这样的运算两向量作这样的运算,结果是一个数量结果是一个数量.两向量夹角余弦满足两向量夹角余弦满足若向量若向量与与夹角夹角则称则称与与正交正交(或垂直或垂直),记记作作若若则则证证定理定理若若与与有一个为有一个为,结论显然成立结论显然成立不妨设不妨设若若则则定理的坐标形式为定理的坐标形式为解解例例2 已知点已知点M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2),求求AMBMBMA解解 AMB可以看成向量可以看成向量与与的夹角的夹角,而而MA=(2-1,2-1,1-1)=(1,1,0)MB=(2-1,1-1,2-1)=(1,0,1)故故MA MB=11+10+01=1MAMB带入公式带入公式实例实例二、两向量的向量积二、两向量的向量积定义定义关于向量积的说明：关于向量积的说明：向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.(反交换律),并规定并规定()()向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：分配律如果如果是任意向量是任意向量,是任意是任意实实数数,那么那么结合律结合律例5 设 是两个向量,证明:/证证 设设 均为非零向量均为非零向量(否则命题不证自明否则命题不证自明)设设向量积的分解表达式向量积的分解表达式:向量积还可用行列式表示向量积还可用行列式表示即即两向量的向量积的几何意义两向量的向量积的几何意义:()()与一切既平行于与一切既平行于又平行于又平行于的平面垂直的平面垂直 例例6 6 设平面设平面过过空空间间三点三点A(1,0,0)A(1,0,0)、B(3,1,-1)B(3,1,-1)、C(2,-1,2),C(2,-1,2),求一个垂直于平求一个垂直于平面面的向量的向量解解ABABACAC与与显然不共线且都在面显然不共线且都在面内内故可取故可取解解三角形三角形ABC的面积为的面积为例例8 8 设刚体以等角速率设刚体以等角速率绕绕 l l轴旋转，计算刚体轴旋转，计算刚体上一点上一点M M 的线速率的线速率 。解解 刚体旋转时刚体旋转时,我们可用转动轴我们可用转动轴 l l 上上的向量的向量 表示角速度表示角速度,它的大小它的大小 ，它的方向按右手法则定出，它的方向按右手法则定出,如右图如右图.设点设点M M到到 l l 轴的距离为轴的距离为a,a,任取任取 l l 轴上一轴上一点记为点记为O O，并记，并记 ,若用若用表示表示 与与 的夹角的夹角,则有则有orMa 从物理中知道从物理中知道,线速率线速率 与角速率与角速率 有如下关系：有如下关系：又符合右手法则又符合右手法则,因此得因此得定义定义设设三、向量的混合积三、向量的混合积下面推导混合积的坐标表达式下面推导混合积的坐标表达式因为因为所以所以即即显然显然（1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：关于混合积的说明：例例9 已知空间内四点已知空间内四点A(1,1,1),B(3,4,4),C(3,5,5)和和D(2,4,7),求四面体求四面体ABCD的体积的体积.解解故故而而 AB=(2,3,3),AC=(2,4,4),AD=(1,3,6),于是于是例例10 问点问点A(1,1,1),B(4,5,6),C(2,3,3)和和D(10,15,17)四点是否在同一平面上？四点是否在同一平面上？解解 AB=(3,4,5),AC=(1,2,2),AD=(9,14,16),而而因此因此AB、AC、AD共面，即共面，即A、B、C、D在同一个平面上在同一个平面上向量的数量积向量的数量积向量的向量积向量的向量积向量的混合积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）（注意共线、共面的条件）四、小结四、小结思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！35