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线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性练习册P3366题至2题 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性友情提示友情提示 本次课讲第四章第二节（续），第三节：本次课讲第四章第二节（续），第三节：相关性与向量组的秩；相关性与向量组的秩；下次课讲第四章第四节，第五节，方程组下次课讲第四章第四节，第五节，方程组解的结构与向量空间解的结构与向量空间 本次课讲完可完成作业本次课讲完可完成作业P31-P36P31-P36 下次上课时交作业下次上课时交作业P33-P36P33-P362线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构3线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构向量组向量组 线性相关线性相关的充分必要条件是它所构的充分必要条件是它所构成的矩阵成的矩阵 的秩的秩R(A)m；向量组向量组线性无关线性无关的充分的充分必要条件是必要条件是 R(A)=m.2.按照向量组的秩判定：按照向量组的秩判定：一、向量组线性相关性的判定一、向量组线性相关性的判定4线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性（3）按照整体与部分的关系判定）按照整体与部分的关系判定定理定理5 5（1 1）若向量组）若向量组 A：线性相关，线性相关，则向量组则向量组 B：也相关也相关；反言之，反言之，若向量组若向量组 B 线性无关，则向量组线性无关，则向量组A 也线性无关也线性无关.（4）用向量的维数判定）用向量的维数判定：m 个个 n 维向量组成的向量组，当维数维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数小于向量个数m 时一定线性相关时一定线性相关.第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构5线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性证明：证明：记由秩的定理，有R(A)R(B).因 A 组线性无关，有R(A)=m；因 B 组线性相关，有R(B)m+1.所以 mR(B)n);已知BA=E,试证A的列向量线性无关解：设若存在：即：因为：左乘B:由BA=E得：所以结论成立。第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构20线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构21线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构22线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性二、齐次线性方程组解集的最大无关组：二、齐次线性方程组解集的最大无关组：1.复习齐次线性方程组解的秩的判定定理复习齐次线性方程组解的秩的判定定理2.解向量的概念解向量的概念设有齐次线性方程组（1）设）设A=x=则（则（1）式可写成向量方程）式可写成向量方程 Ax=0（2）称为方程组（称为方程组（1）的解向量，）的解向量，它也是向量方程（它也是向量方程（2）的解）的解.第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构23线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构2.解向量的性质解向量的性质性质性质1 1 若若 为为齐次方程组齐次方程组的解的解，则则 也是也是相应齐次方程组相应齐次方程组的解的解.证证性质性质2 2 若若 为为齐次方程组齐次方程组的解的解，k为实数，则为实数，则 k 也是也是相应齐次线性方程组相应齐次线性方程组的解的解.证：3.AX=0的基础解系的基础解系24线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构4.4.求求AXAX=0=0的基础解系的基础解系AXAX0 0的通解：的通解：事实上，上一章我们已经学会了用矩阵的秩求线性方程事实上，上一章我们已经学会了用矩阵的秩求线性方程组通解的方法：假定组通解的方法：假定AXAX=0,A=0,A的秩为的秩为R(A)=r,R(A)=r,求解步骤如下求解步骤如下25线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性化化A 为行最简形矩阵为行最简形矩阵为为与与 A 对应的方程组的同解方程组为对应的方程组的同解方程组为令自由未知数令自由未知数则：第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构26线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构27线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 巧得很，巧得很，AX=0AX=0的通解正好是的通解正好是n-rn-r个解向量的线个解向量的线性组合，如果这性组合，如果这n-rn-r个解向量就是解集的最大无个解向量就是解集的最大无关组，我们就等于找到了关组，我们就等于找到了AX=0AX=0的基础解系。事实的基础解系。事实上，我们有如下定理：上，我们有如下定理：（2 2）定理：设）定理：设n n元齐次方程组元齐次方程组AX=0AX=0的系数矩阵的系数矩阵的秩的秩R(A)=rR(A)=r,解集（解向量组）为解集（解向量组）为S S,则则R(S)=n-rR(S)=n-r第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构28线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 定理：设定理：设n元齐次方程组元齐次方程组AX=0的系数矩阵的秩的系数矩阵的秩R(A)=r,解解集（解向量组）为集（解向量组）为S,则则R(S)=n-r证：证：第一步：和以前一样，将第一步：和以前一样，将系数矩阵化成行最简形：系数矩阵化成行最简形：第二步：仍然是写出与第二步：仍然是写出与 A A 对应的齐次线性方程组的同解方程组对应的齐次线性方程组的同解方程组第十讲：解的解构、向量空间与向量内积第十讲：解的解构、向量空间与向量内积29线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性代入同解方程组依次可得：代入同解方程组依次可得：第十讲：解的解构、向量空间与向量内积第十讲：解的解构、向量空间与向量内积30线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十讲：解的解构、向量空间与向量内积第十讲：解的解构、向量空间与向量内积第四步：整理得出齐次线性方程组的一组解向量第四步：整理得出齐次线性方程组的一组解向量:31线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性该定理的论证说明了两点：该定理的论证说明了两点：第十讲：解的解构、向量空间与向量内积第十讲：解的解构、向量空间与向量内积32线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十讲：解的解构、向量空间与向量内积第十讲：解的解构、向量空间与向量内积33线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性4.4.齐次线性方程组的求解结论：齐次线性方程组的求解结论：根据以上齐次线性方程组的通解求解过程和定理及其推论，根据以上齐次线性方程组的通解求解过程和定理及其推论，我们可以得到如下结论：我们可以得到如下结论：（4）由此还可以推断：齐次线性方程组的基础解系不是）由此还可以推断：齐次线性方程组的基础解系不是唯一的唯一的.齐次线性方程组的通解形式也是不唯一的齐次线性方程组的通解形式也是不唯一的.（3）齐次线性方程组）齐次线性方程组(1)的任何的任何 n-r 个线性无关的解向量都个线性无关的解向量都可作为它的基础解系可作为它的基础解系.（1）当）当 R(A)=n 时时,齐次线性方程组齐次线性方程组(1)只有零解只有零解,无基础解系无基础解系;（2）当）当 R(A)n 时时,齐次线性方程组齐次线性方程组(1)的基础解系含有的基础解系含有n r 个解向量个解向量.第十讲：解的解构、向量空间与向量内积第十讲：解的解构、向量空间与向量内积34线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十讲：解的解构、向量空间与向量内积第十讲：解的解构、向量空间与向量内积35线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十讲：解的解构、向量空间与向量内积第十讲：解的解构、向量空间与向量内积36
