基本不等式(公开课课件)知识讲解.ppt
第一页，共27页。这是这是2002年在北京召开的第年在北京召开的第24届国际数学家大届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车颜色的明暗使它看上去象一个风车(fngch)，代，代表中国人民热情好客。表中国人民热情好客。第二页，共27页。思考：这会标中含有思考：这会标中含有怎样怎样(znyng)的几何的几何图形？图形？思考：你能否在这个图思考：你能否在这个图案中找出一些相等案中找出一些相等(xingdng)关系或不关系或不等关系？等关系？第三页，共27页。ab1、正方形、正方形ABCD的的面积面积(min j)S=、四个直角三角形的、四个直角三角形的面积面积(min j)(min j)和和S=S=、S与与S有什么有什么(shn me)样的不等关系？样的不等关系？探究：探究：S_S问：那么它们有相等的情况吗？问：那么它们有相等的情况吗？第四页，共27页。第五页，共27页。ADBCEFGHba重要不等式：重要不等式：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数(shsh)a、b，我们，我们有有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。ABCDE(FGH)ab第六页，共27页。思考思考(sko)(sko)：你能：你能给给出不等式出不等式 的的证证明明吗吗？证明证明(zhngmng)：（作差法）：（作差法）第七页，共27页。结论：一般地，对于任意实数结论：一般地，对于任意实数(shsh)a(shsh)a、b b，总有，总有 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立文字文字(wnz)(wnz)叙述为叙述为:两数的平方和不小于它们两数的平方和不小于它们(t men)(t men)积的积的2 2倍倍.适用范围：适用范围：a,b R第八页，共27页。替换替换(t hun)后得到：后得到：即：即：即：即：你能用不等式的性质直接推导你能用不等式的性质直接推导(tudo)这个不这个不等式吗？等式吗？第九页，共27页。证明证明(zhngmng)：要证要证 只要只要(zhyo)证证要证要证，只要，只要(zhyo)证证要证要证，只要证，只要证显然显然,是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时,中的等号成立中的等号成立.分分析析法法证明不等式：证明不等式：第十页，共27页。特别特别(tbi)地，若地，若a0，b0，则，则通常通常(tngchng)我们把上式写作：我们把上式写作：当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做时取等号，这个不等式就叫做(jiozu)基基本不等式本不等式.基本不等式基本不等式在数学中，我们把在数学中，我们把 叫做正数叫做正数a，b的算术平均数，的算术平均数，叫做正数叫做正数a，b的几何平均数；的几何平均数；文字叙述为：文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：适用范围：a0,b0第十一页，共27页。你能用这个你能用这个(zh ge)(zh ge)图得出基本不等式的几图得出基本不等式的几何解释吗何解释吗?RtACDRtDCB，ABCDEabO如图如图,AB是圆的直径是圆的直径,O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点(y din),AC=a,BC=b.过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.如何用如何用a,b表示表示CD?CD=_如何用如何用a,b表示表示OD?OD=_第十二页，共27页。你能用这个图得出基本不等式的几何你能用这个图得出基本不等式的几何(j h)(j h)解释吗解释吗?如何如何(rh)用用a,b表示表示CD?CD=_如何用如何用a,b表示表示OD?OD=_OD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样?OD_CD如图如图,AB是圆的直径是圆的直径,O为圆心，点为圆心，点C是是AB上一点上一点,AC=a,BC=b.过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.几何意义：半径不小于弦长的一半几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab第十三页，共27页。适用范围适用范围文字叙述文字叙述“=”成立条件成立条件a=ba=b两个正数两个正数(zhngsh)的算的算术平均数不小于它们的几术平均数不小于它们的几何平均数何平均数两数的平方和不小两数的平方和不小于它们于它们(t men)(t men)积积的的2 2倍倍 a,b Ra0,b0填表比较填表比较(bjio)：注意从不同角度认识基本不等式注意从不同角度认识基本不等式第十四页，共27页。例例1：(1)如如图图,用用篱篱笆笆围围成成一一个个面面积积(min j)为为100m2的的矩矩形形菜菜园园,问问这这个个矩矩形形的的长长、宽宽各各为为多多少少时时，所所用用篱篱笆笆最最短短，最最短短的的篱笆是多少？篱笆是多少？解：如图设解：如图设BC=x，CD=y，则则xy=100，篱笆，篱笆(l b)的长为的长为2(x+y)m.当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立(chngl)因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是最短的篱笆是40m.此时此时x=y=10.x=yABDC若若x、y皆为正数，皆为正数，则当则当xy的值是常数的值是常数P时，时，当当且仅当且仅当x=y时时，x+y有最小值有最小值_.第十五页，共27页。例例1：(2)如如图图，用用一一段段长长为为36m的的篱篱笆笆围围成成一一个个矩矩形形菜菜园园，问问这这个个(zh ge)矩矩形形菜菜园园的的长长和和宽宽各各为为多多少少时时，菜菜园园的的面面积积最最大，最大面积是多少？大，最大面积是多少？解：如图，设解：如图，设BC=x，CD=y，则则 2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园矩形菜园(ciyun)的面积的面积为为xy m2得得 xy 81当且仅当当且仅当x=y时，等号成立时，等号成立(chngl)因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m时，时，菜园面积最大，最大面积是菜园面积最大，最大面积是81m2即即x=y=9ABDC若若x、y皆为正数，皆为正数，则当则当x+y的值是常数的值是常数S时，时，当且仅当当且仅当x=y时时，xy有最大值有最大值_；第十六页，共27页。各项皆为正数；各项皆为正数；和或积为定值；和或积为定值；注意等号成立注意等号成立(chngl)的条件的条件.一一“正正”二二“定定”三三“相等相等(xingdng)”利用基本利用基本(jbn)不等式求最值时，要不等式求最值时，要注意注意已知已知 x,y 都是正数都是正数,P,S 是常数是常数.(1)xy=P x+y2 P(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).(2)x+y=S xy S2(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).14第十七页，共27页。变式：如图，用一段长为变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个的篱笆围一个(y)一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设解：如图，设BC=x，CD=y，则篱则篱笆笆(l b)的的长为长为矩形花园矩形花园(huyun)的面积为的面积为xy m2ABDC得得 1442xy 当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2即即 xy 72即即x=12，y=6x+2y=24 x=2y第十八页，共27页。变式：如图，用一段长为变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边的篱笆围一个一边(ybin)靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设解：如图，设BC=x，CD=y，则篱则篱笆笆(l b)的的长为长为矩形矩形(jxng)花园的面积为花园的面积为xy m2ABDCx+y不是不是 定值定值.2=24为为 得得 2xy 144当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2即即 xy 72即即x=12，y=6x+2y=24 x=2y第十九页，共27页。变式：如图，用一段长为变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个的篱笆围一个(y)一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？分析分析(fnx)：设：设AB=x，BC=242x，ABDC第二十页，共27页。变式：如图，用一段长为变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个的篱笆围一个(y)一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：设解：设AB=x，BC=242x，矩形花园矩形花园(huyun)的面积为的面积为x(242x)m2当且仅当当且仅当2x=242x,即即x=6时，等号成立时，等号成立(chngl)因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2(其中其中2x+(24-2x)=24 是定值是定值)第二十一页，共27页。变式：如图，用一段长为变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个墙的矩形花园，问这个(zh ge)矩形的长、宽各为多矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：设解：设AB=x，BC=242x，矩形矩形(jxng)花园的面积为花园的面积为x(242x)m2因此因此(ync)，这个矩形的长为，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2当当x=6时，函数时，函数y取得最小值为取得最小值为72第二十二页，共27页。小结小结(xioji(xioji)：求最值时注意求最值时注意(zh y)把握把握“一正，二定，三相等一正，二定，三相等”已知已知 x,y 都是正数都是正数,P,S 是常数是常数.(1)xy=P x+y2 P(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).(2)x+y=S xy S2(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).142.利用利用(lyng)基本不等式求最值基本不等式求最值1.两个重要的不等式两个重要的不等式第二十三页，共27页。作作 业业课本课本(kbn)P100习题习题3.4 A组组 第第2、3题题 第二十四页，共27页。思考题思考题1.求函数求函数 f(x)=x+(x-1)的最小值的最小值.1x+1 2.若若 0 x0.1.求函数求函数 f(x)=x+(x-1)的最小值的最小值.1x+1 第二十六页，共27页。配凑系数配凑系数分析分析:x+(1-2x)不是不是(b shi)常数常数.2=1为为 解解:0 x0.12y=x(1-2x)=2x(1-2x)12 22x+(1-2x)21218=.当且仅当当且仅当 时时,取取“=”号号.2x=(1-2x),即即 x=14当当 x=时时,函数函数 y=x(1-2x)的最大值是的最大值是 .14182.若若 0 x ,求函数求函数 y=x(1-2x)的最大值的最大值.12第二十七页，共27页。
