第05章-误差椭圆..演示教学.ppt

第五章 误差椭圆第05章-误差椭圆第五章 误差椭圆 教学目的教学目的 通过本章的学习，能通过本章的学习，能熟练熟练地求出地求出任意方任意方向向 (或或 )上的位差；根据待定点坐标平差上的位差；根据待定点坐标平差值值协因数阵协因数阵，准确地计算，准确地计算误差椭圆误差椭圆、相对误相对误差椭圆差椭圆的的三个参数三个参数并并画出略图画出略图，了解，了解误差椭误差椭圆圆在在平面控制网优化设计平面控制网优化设计中的作用。中的作用。第五章 误差椭圆1 1 点位真误差点位真误差点位真误差点位真误差 在测量中，为了确定在测量中，为了确定在测量中，为了确定在测量中，为了确定待定点待定点待定点待定点的平面的平面的平面的平面直角坐标直角坐标直角坐标直角坐标，通常需进，通常需进，通常需进，通常需进行一系列观测。由于行一系列观测。由于行一系列观测。由于行一系列观测。由于观测值观测值观测值观测值总是带有总是带有总是带有总是带有观测误差观测误差观测误差观测误差，因而根据观，因而根据观，因而根据观，因而根据观测值平差计算所获得的是测值平差计算所获得的是测值平差计算所获得的是测值平差计算所获得的是待定点坐标待定点坐标待定点坐标待定点坐标的的的的平差值平差值平差值平差值 ，而不是，而不是，而不是，而不是待定点坐标的待定点坐标的待定点坐标的待定点坐标的真值真值真值真值 如图如图如图如图5-15-1中，中，中，中，A A为已知点为已知点为已知点为已知点，假定其，假定其，假定其，假定其坐标是不带误差的数值坐标是不带误差的数值坐标是不带误差的数值坐标是不带误差的数值 P P为待定点的为待定点的为待定点的为待定点的真位置真位置真位置真位置，P P 点为经过平差所得的点位点为经过平差所得的点位点为经过平差所得的点位点为经过平差所得的点位，两者之距离为两者之距离为两者之距离为两者之距离为P,P,称之为点位真误差，称之为点位真误差，称之为点位真误差，称之为点位真误差，简称为真位差。由图可知，在待定点简称为真位差。由图可知，在待定点简称为真位差。由图可知，在待定点简称为真位差。由图可知，在待定点的这两对坐标之间存在着误差的这两对坐标之间存在着误差的这两对坐标之间存在着误差的这两对坐标之间存在着误差 (5-1)(5-1)1 1 1 1 点位真点位真误误差及点位差及点位误误差差真实位置真实位置真实位置真实位置平差位置平差位置平差位置平差位置第五章 误差椭圆且有且有且有且有(5-2)(5-2)x x，y y为为为为真位差真位差真位差真位差在在在在 x x 轴轴轴轴和和和和 y y 轴轴轴轴上两个上两个上两个上两个位差分量位差分量位差分量位差分量，也可理解为，也可理解为，也可理解为，也可理解为真位差真位差真位差真位差在在在在坐标轴上的投影坐标轴上的投影坐标轴上的投影坐标轴上的投影 设设设设 x x,y y的中误差为的中误差为的中误差为的中误差为 x x,y y,考虑考虑考虑考虑 x x与与与与 y y互相独立，对式互相独立，对式互相独立，对式互相独立，对式(5-2)(5-2)进行误差传播，可得进行误差传播，可得进行误差传播，可得进行误差传播，可得点点点点P P真位差真位差真位差真位差 P P的方差为的方差为的方差为的方差为(5-3)(5-3)式中，式中，式中，式中，2 2P P通常定义为点通常定义为点通常定义为点通常定义为点P P 的的的的点位方差点位方差点位方差点位方差；P P为为为为点位中误差点位中误差点位中误差点位中误差 如果将如果将如果将如果将图图图图5-15-1中的坐标系旋转某一角度，即以中的坐标系旋转某一角度，即以中的坐标系旋转某一角度，即以中的坐标系旋转某一角度，即以 xOyxOy 为坐标为坐标为坐标为坐标系系系系(图图图图5-2)5-2)，则可以看出，则可以看出，则可以看出，则可以看出PP的大小将不受坐标轴的变动而发生的大小将不受坐标轴的变动而发生的大小将不受坐标轴的变动而发生的大小将不受坐标轴的变动而发生变化，此时变化，此时变化，此时变化，此时(5-4)(5-4)第五章 误差椭圆 这说明，尽管点位真误差这说明，尽管点位真误差这说明，尽管点位真误差这说明，尽管点位真误差PP在不同坐标系的两个坐标轴上的投在不同坐标系的两个坐标轴上的投在不同坐标系的两个坐标轴上的投在不同坐标系的两个坐标轴上的投影长度不等，但影长度不等，但影长度不等，但影长度不等，但点位方差点位方差点位方差点位方差总是等于总是等于总是等于总是等于两个相互垂直的方向上的坐标方两个相互垂直的方向上的坐标方两个相互垂直的方向上的坐标方两个相互垂直的方向上的坐标方差之和，与坐标系的选择无关差之和，与坐标系的选择无关差之和，与坐标系的选择无关差之和，与坐标系的选择无关 如果再将点如果再将点如果再将点如果再将点P P 的的的的真位差真位差真位差真位差PP投影于投影于投影于投影于APAP方向方向方向方向和和和和垂直于垂直于垂直于垂直于APAP的方向的方向的方向的方向上，上，上，上，则得点则得点则得点则得点P P 的的的的纵向误差纵向误差纵向误差纵向误差ss和和和和横向误差横向误差横向误差横向误差uu，此时有，此时有，此时有，此时有:(5-5)(5-5)P P 2 2=s s2 2+u u2 2纵向误差纵向误差纵向误差纵向误差ss纵向误差纵向误差纵向误差纵向误差第五章 误差椭圆写成中误差的形式为写成中误差的形式为写成中误差的形式为写成中误差的形式为 (5-6)(5-6)测量工作中也常常测量工作中也常常测量工作中也常常测量工作中也常常通过纵通过纵通过纵通过纵 横向误差来求定点位误差。横向误差来求定点位误差。横向误差来求定点位误差。横向误差来求定点位误差。上述的上述的上述的上述的 x x和和和和 y y分别为点在分别为点在分别为点在分别为点在x x轴和轴和轴和轴和y y轴方向上的中误差，或轴方向上的中误差，或轴方向上的中误差，或轴方向上的中误差，或称为称为称为称为 x x 轴和轴和轴和轴和 y y 轴方向上的位差轴方向上的位差轴方向上的位差轴方向上的位差 同样，同样，同样，同样，s s和和和和 u u是点在是点在是点在是点在APAP边边边边的的的的纵纵纵纵向向向向和和和和横向横向横向横向上的上的上的上的位差位差位差位差 测量工作中通常用点位中误差测量工作中通常用点位中误差测量工作中通常用点位中误差测量工作中通常用点位中误差 P P来衡量待定点的精度来衡量待定点的精度来衡量待定点的精度来衡量待定点的精度，只要我们求出它在两个相互垂直方向上的中误差，就可由式只要我们求出它在两个相互垂直方向上的中误差，就可由式只要我们求出它在两个相互垂直方向上的中误差，就可由式只要我们求出它在两个相互垂直方向上的中误差，就可由式(5-3)(5-3)或式或式或式或式(5-6)(5-6)计算点位中误差计算点位中误差计算点位中误差计算点位中误差 (5-3(5-3)(5-6)(5-6)第五章 误差椭圆2 2 点位误差及其计算点位误差及其计算点位误差及其计算点位误差及其计算 由定权的基本公式可知由定权的基本公式可知由定权的基本公式可知由定权的基本公式可知(5-7)(5-7)代入式代入式代入式代入式(5(5-3)3)可得可得可得可得 (5-8)(5-8)从从从从间接平差间接平差间接平差间接平差我们知道：当我们知道：当我们知道：当我们知道：当以待定点的坐标作为未知参数以待定点的坐标作为未知参数以待定点的坐标作为未知参数以待定点的坐标作为未知参数进行坐标平差时进行坐标平差时进行坐标平差时进行坐标平差时，法方程系数阵的，法方程系数阵的，法方程系数阵的，法方程系数阵的逆阵逆阵逆阵逆阵就是就是就是就是未知参数的协因未知参数的协因未知参数的协因未知参数的协因数阵，数阵，数阵，数阵，其其其其主对角线上的元素主对角线上的元素主对角线上的元素主对角线上的元素就是就是就是就是待定点坐标平差值待定点坐标平差值待定点坐标平差值待定点坐标平差值 x x y y 的权的权的权的权倒数，倒数，倒数，倒数，而而而而非主对角上的元素非主对角上的元素非主对角上的元素非主对角上的元素则是它们的则是它们的则是它们的则是它们的相关权倒数相关权倒数相关权倒数相关权倒数 第五章 误差椭圆当平差问题中只有当平差问题中只有当平差问题中只有当平差问题中只有一一一一个待定点时个待定点时个待定点时个待定点时 (5-9)(5-9)当平差问题中有当平差问题中有当平差问题中有当平差问题中有s s 个待定点时个待定点时个待定点时个待定点时 (5-10)(5-10)主对角线上的元素就是待定点坐标平差值主对角线上的元素就是待定点坐标平差值主对角线上的元素就是待定点坐标平差值主对角线上的元素就是待定点坐标平差值 的权倒数的权倒数的权倒数的权倒数第五章 误差椭圆3 3 任意方向上的位差任意方向上的位差任意方向上的位差任意方向上的位差 平差时平差时平差时平差时，我们一般只求出，我们一般只求出，我们一般只求出，我们一般只求出待定点的待定点的待定点的待定点的坐标中误差坐标中误差坐标中误差坐标中误差 x x y y和和和和点位中误差点位中误差点位中误差点位中误差 P P 点位中误差点位中误差点位中误差点位中误差虽然可以用来评定虽然可以用来评定虽然可以用来评定虽然可以用来评定待定点的点位精度待定点的点位精度待定点的点位精度待定点的点位精度，但，但，但，但是它却是它却是它却是它却不能代表不能代表不能代表不能代表该点在该点在该点在该点在某一任意方向上的位差大小某一任意方向上的位差大小某一任意方向上的位差大小某一任意方向上的位差大小。而上。而上。而上。而上面提到的面提到的面提到的面提到的 x x y y s s u u等，也只能代表待定点在等，也只能代表待定点在等，也只能代表待定点在等，也只能代表待定点在 x x轴轴轴轴 和和和和 y y 轴轴轴轴方向上以及方向上以及方向上以及方向上以及APAP边边边边的的的的纵向纵向纵向纵向和和和和横向横向横向横向上的上的上的上的位差位差位差位差 但在有些情况下，但在有些情况下，但在有些情况下，但在有些情况下，往往需要研究往往需要研究往往需要研究往往需要研究点位在某些特殊方向上的位差大小点位在某些特殊方向上的位差大小点位在某些特殊方向上的位差大小点位在某些特殊方向上的位差大小 此外还此外还此外还此外还要了解点位在要了解点位在要了解点位在要了解点位在哪一个方向上的位差最大哪一个方向上的位差最大哪一个方向上的位差最大哪一个方向上的位差最大，在，在，在，在哪一个方向上哪一个方向上哪一个方向上哪一个方向上的位差最小的位差最小的位差最小的位差最小，例如，在，例如，在，例如，在，例如，在工程放样工作中工程放样工作中工程放样工作中工程放样工作中，就经常需要关心，就经常需要关心，就经常需要关心，就经常需要关心任意方向上的位差任意方向上的位差任意方向上的位差任意方向上的位差问题问题问题问题 第五章 误差椭圆3.1 3.1 用方位角表示任意方向的位差用方位角表示任意方向的位差用方位角表示任意方向的位差用方位角表示任意方向的位差 如图如图如图如图5-35-3，P P为待定点的真实位置为待定点的真实位置为待定点的真实位置为待定点的真实位置，PP为待定点的平差位置为待定点的平差位置为待定点的平差位置为待定点的平差位置。为了求为了求为了求为了求待定待定待定待定P P点点点点在方位角为在方位角为在方位角为在方位角为 的方向上的位差的方向上的位差的方向上的位差的方向上的位差，先找出，先找出，先找出，先找出待定点待定点待定点待定点P P在该方向上的在该方向上的在该方向上的在该方向上的真误差真误差真误差真误差 与纵与纵与纵与纵 横坐标的横坐标的横坐标的横坐标的真误差真误差真误差真误差 x x y y的的的的函数关系；函数关系；函数关系；函数关系；然然然然后后后后求出该方向的位差求出该方向的位差求出该方向的位差求出该方向的位差 由图可知由图可知由图可知由图可知点位真误差点位真误差点位真误差点位真误差PP PP 在在在在 方向上的投影值为方向上的投影值为方向上的投影值为方向上的投影值为 PPPP，且，且，且，且:(5-11)(5-11)真实位置真实位置真实位置真实位置平差位置平差位置平差位置平差位置点位真误差点位真误差点位真误差点位真误差点位真误差点位真误差点位真误差点位真误差在方位角为在方位角为在方位角为在方位角为 方向上的投影方向上的投影方向上的投影方向上的投影 x x y y xcosxcos ysinysin 第五章 误差椭圆也可按以下方法求也可按以下方法求也可按以下方法求也可按以下方法求 方向的位差方向的位差方向的位差方向的位差第五章 误差椭圆根据协因数传播律得根据协因数传播律得根据协因数传播律得根据协因数传播律得(5-12)(5-12)而待定点而待定点而待定点而待定点P P在在在在 方向上的位差可用下式得到方向上的位差可用下式得到方向上的位差可用下式得到方向上的位差可用下式得到(5-13)(5-13)由于由于由于由于 Q Qyxyx=Q Qxyxy，故，故，故，故第五章 误差椭圆 式中单位权方差为常量式中单位权方差为常量式中单位权方差为常量式中单位权方差为常量，2 2 大小取决于大小取决于大小取决于大小取决于Q Q ，而，而，而，而Q Q是是是是 的的的的函数函数函数函数 若想求得与若想求得与若想求得与若想求得与 方向垂直方向方向垂直方向方向垂直方向方向垂直方向(即即即即 +90+90方向方向方向方向)上的方差，可将上的方差，可将上的方差，可将上的方差，可将 +90+90代入式代入式代入式代入式(5-13)(5-13)得得得得(5-14)(5-14)将将将将(5-13)(5-13)和和和和(5-14)(5-14)两式相加，即得两式相加，即得两式相加，即得两式相加，即得(5-15)(5-15)上式表明：上式表明：上式表明：上式表明：任何一点的点位方差总是等于两个相互垂直任何一点的点位方差总是等于两个相互垂直任何一点的点位方差总是等于两个相互垂直任何一点的点位方差总是等于两个相互垂直方向上的方差分量之和方向上的方差分量之和方向上的方差分量之和方向上的方差分量之和 (5-13)(5-13)第五章 误差椭圆(5-13)(5-13)由式由式由式由式(5-13)(5-13)可知可知可知可知 2 2 的大小与方位角的大小与方位角的大小与方位角的大小与方位角 有关有关有关有关 在所有方向在所有方向在所有方向在所有方向的位差权倒数中，必有的位差权倒数中，必有的位差权倒数中，必有的位差权倒数中，必有一对权倒数一对权倒数一对权倒数一对权倒数取得取得取得取得极大值极大值极大值极大值和和和和极小值极小值极小值极小值，分，分，分，分别设为别设为别设为别设为 Q QEEEE和和和和Q QFFFF ，而相应的方向分别设为，而相应的方向分别设为，而相应的方向分别设为，而相应的方向分别设为 E E和和和和 F F，其中在，其中在，其中在，其中在 E E方向方向方向方向上的位差具有上的位差具有上的位差具有上的位差具有极大值极大值极大值极大值，而在，而在，而在，而在 F F 方向方向方向方向上的位差具有上的位差具有上的位差具有上的位差具有极极极极小值小值小值小值，很显然，很显然，很显然，很显然，E E和和和和 F F两方向之差为两方向之差为两方向之差为两方向之差为9090 为求为求为求为求Q QEEEE和和和和Q QFFFF，可利用协因数阵，可利用协因数阵，可利用协因数阵，可利用协因数阵(5-9)(5-9)，因为，因为，因为，因为Q QEEEE和和和和Q QFFFF就是这就是这就是这就是这个协因数阵个协因数阵个协因数阵个协因数阵特征值的两个根特征值的两个根特征值的两个根特征值的两个根 由由由由线性代数中特征方程求特征根线性代数中特征方程求特征根线性代数中特征方程求特征根线性代数中特征方程求特征根的方的方的方的方法，可求得法，可求得法，可求得法，可求得(5-16)(5-16)(5-17)(5-17)第五章 误差椭圆式式式式中中中中位差的极大值和极小值为位差的极大值和极小值为位差的极大值和极小值为位差的极大值和极小值为(5-20)(5-20)(5-21)(5-21)(5-22)(5-22)(5-23)(5-23)因为两个极值方向相互垂直，故因为两个极值方向相互垂直，故因为两个极值方向相互垂直，故因为两个极值方向相互垂直，故第五章 误差椭圆极大值方向极大值方向极大值方向极大值方向 E E和极小值方向和极小值方向和极小值方向和极小值方向 F F 的计算式为的计算式为的计算式为的计算式为(5-24)(5-24)(5-25)(5-25)Q Qxyxy0 0，极大值在第，极大值在第，极大值在第，极大值在第、象限，极小值方向在第象限，极小值方向在第象限，极小值方向在第象限，极小值方向在第、象限；象限；象限；象限；Q Qxyxy 0 0，极大值在第，极大值在第，极大值在第，极大值在第、象限，极小值方向在第象限，极小值方向在第象限，极小值方向在第象限，极小值方向在第、象限。象限。象限。象限。极值方向的判别方法极值方向的判别方法极值方向的判别方法极值方向的判别方法:第五章 误差椭圆【例例例例5-15-1】已知某平面控制网中待定点已知某平面控制网中待定点已知某平面控制网中待定点已知某平面控制网中待定点P P的协因数阵为的协因数阵为的协因数阵为的协因数阵为 其单位为其单位为其单位为其单位为dmdm2 2/秒秒秒秒2 2，单位权方差，单位权方差，单位权方差，单位权方差 0 02 2=1.0(=1.0(秒秒秒秒2 2)，试求，试求，试求，试求E E F F 和和和和 E E的值的值的值的值 【解解解解】第五章 误差椭圆第五章 误差椭圆3.23.2用极值用极值用极值用极值E E F F表示任意方向上的位差表示任意方向上的位差表示任意方向上的位差表示任意方向上的位差 利用极值利用极值利用极值利用极值E E F F也可表示任意方向上的位差也可表示任意方向上的位差也可表示任意方向上的位差也可表示任意方向上的位差 由式由式由式由式(5-12)(5-12)计算任计算任计算任计算任意方向意方向意方向意方向 上的位差时，上的位差时，上的位差时，上的位差时，是从纵坐标是从纵坐标是从纵坐标是从纵坐标 x x 轴顺时针方向起算转至某轴顺时针方向起算转至某轴顺时针方向起算转至某轴顺时针方向起算转至某方向的方位角方向的方位角方向的方位角方向的方位角 现推导出用现推导出用现推导出用现推导出用E E F F表示并以表示并以表示并以表示并以E E轴轴轴轴(即方向即方向即方向即方向 E E 轴轴轴轴)为起算为起算为起算为起算的任意方向上的位差，这个任意方向用的任意方向上的位差，这个任意方向用的任意方向上的位差，这个任意方向用的任意方向上的位差，这个任意方向用 表示表示表示表示(图图图图5-45-4)若以若以若以若以E E轴轴轴轴为坐标轴，计算为坐标轴，计算为坐标轴，计算为坐标轴，计算任意方向任意方向任意方向任意方向 的的的的位差位差位差位差，必须先找出，必须先找出，必须先找出，必须先找出误差误差误差误差 与与与与 FF之间的之间的之间的之间的关系式关系式关系式关系式，再利用，再利用，再利用，再利用协因数传播协因数传播协因数传播协因数传播律律律律求得求得求得求得Q Q 仿照仿照仿照仿照 Q Q 求的方法可知求的方法可知求的方法可知求的方法可知(5-26)(5-26)第五章 误差椭圆 式中式中式中式中Q QEFEF为为为为两个极值方向位差两个极值方向位差两个极值方向位差两个极值方向位差的的的的互协因数互协因数互协因数互协因数，其值，其值，其值，其值 Q QEFEF=0=0，亦即在亦即在亦即在亦即在E E F F方向上方向上方向上方向上的的的的平差后坐标是不相关的平差后坐标是不相关的平差后坐标是不相关的平差后坐标是不相关的 因此，式因此，式因此，式因此，式(5-26)5-26)中中中中的协因数可写为：的协因数可写为：的协因数可写为：的协因数可写为：(5-27)(5-27)以极值以极值以极值以极值E E F F表示任意方向表示任意方向表示任意方向表示任意方向 上的位差公式为上的位差公式为上的位差公式为上的位差公式为(5-28)(5-28)(5-29)(5-29)【例例例例5-25-2】数据同例数据同例数据同例数据同例5-15-1，试计算当，试计算当，试计算当，试计算当=12=12时的位差时的位差时的位差时的位差 【解解解解】由例由例由例由例5-15-1算出算出算出算出E=1.48E=1.48，F=1.22F=1.22，代入式，代入式，代入式，代入式(5-29)(5-29)即得即得即得即得第五章 误差椭圆1 1 误差曲线误差曲线误差曲线误差曲线 误差曲线的定义是：误差曲线的定义是：误差曲线的定义是：误差曲线的定义是：以以以以待定点待定点待定点待定点OO为极点，为极点，为极点，为极点，为极角，为极角，为极角，为极角，为长度的极坐标点的轨迹。为长度的极坐标点的轨迹。为长度的极坐标点的轨迹。为长度的极坐标点的轨迹。误差曲线把各方向的位误差曲线把各方向的位误差曲线把各方向的位误差曲线把各方向的位差清楚地表示出来了，图差清楚地表示出来了，图差清楚地表示出来了，图差清楚地表示出来了，图5-55-5中中中中OPOP的长度就是的长度就是的长度就是的长度就是OO点在点在点在点在OPOP方向上的位差方向上的位差方向上的位差方向上的位差 从图中可看出，从图中可看出，从图中可看出，从图中可看出，误差曲线关于两个极轴误差曲线关于两个极轴误差曲线关于两个极轴误差曲线关于两个极轴(E(E轴轴轴轴和和和和F F轴轴轴轴)对称，点位误差曲线对称，点位误差曲线对称，点位误差曲线对称，点位误差曲线也称点位精度曲线也称点位精度曲线也称点位精度曲线也称点位精度曲线 2 2 2 2 误误差曲差曲线线与与误误差差椭圆椭圆极点极点极点极点 E EF FP PO O第五章 误差椭圆 误差曲线在工程测量中误差曲线在工程测量中误差曲线在工程测量中误差曲线在工程测量中有广泛的有广泛的有广泛的有广泛的应用应用应用应用，当控制网略，当控制网略，当控制网略，当控制网略图和待定点的误差曲线给出图和待定点的误差曲线给出图和待定点的误差曲线给出图和待定点的误差曲线给出后，可根据这个图得到坐标后，可根据这个图得到坐标后，可根据这个图得到坐标后，可根据这个图得到坐标平差值在任一方向的位差大平差值在任一方向的位差大平差值在任一方向的位差大平差值在任一方向的位差大小。如小。如小。如小。如图图图图5-65-6为控制网中为控制网中为控制网中为控制网中P P点点点点的点位误差曲线，的点位误差曲线，的点位误差曲线，的点位误差曲线，A A B B C C为为为为已知点已知点已知点已知点 由图由图由图由图5-65-6可知可知可知可知，第五章 误差椭圆 由图还可得到坐标平由图还可得到坐标平由图还可得到坐标平由图还可得到坐标平差值函数的中误差差值函数的中误差差值函数的中误差差值函数的中误差 例如要例如要例如要例如要想得到平差后方位角想得到平差后方位角想得到平差后方位角想得到平差后方位角 PAPA的的的的中误差，可先从图中量出中误差，可先从图中量出中误差，可先从图中量出中误差，可先从图中量出垂直于垂直于垂直于垂直于PAPA方向上的位差方向上的位差方向上的位差方向上的位差PgPg，这是，这是，这是，这是PAPA边的边的边的边的横向误差横向误差横向误差横向误差 u u，则由下式可得，则由下式可得，则由下式可得，则由下式可得(5-30)(5-30)式中式中式中式中S SPAPA为为为为PAPA的长度的长度的长度的长度 又如又如又如又如PBPB边长的中误差为边长的中误差为边长的中误差为边长的中误差为 第五章 误差椭圆2 2 误差椭圆误差椭圆误差椭圆误差椭圆 误差曲线作图不太方便，因此实用价值不高，为此可误差曲线作图不太方便，因此实用价值不高，为此可误差曲线作图不太方便，因此实用价值不高，为此可误差曲线作图不太方便，因此实用价值不高，为此可用形状与误差曲线很相似，以用形状与误差曲线很相似，以用形状与误差曲线很相似，以用形状与误差曲线很相似，以E E F F为长为长为长为长 短半轴的短半轴的短半轴的短半轴的误差椭圆误差椭圆误差椭圆误差椭圆代替它代替它代替它代替它(如图如图如图如图5-75-7所示所示所示所示)第五章 误差椭圆 在误差椭圆中，在误差椭圆中，在误差椭圆中，在误差椭圆中，E E E E F F 称为点位误差椭圆的称为点位误差椭圆的称为点位误差椭圆的称为点位误差椭圆的元素元素元素元素(参数参数参数参数)。误误误误差椭圆与误差曲线的两个极值方向完全重合，其他各处两者差距也差椭圆与误差曲线的两个极值方向完全重合，其他各处两者差距也差椭圆与误差曲线的两个极值方向完全重合，其他各处两者差距也差椭圆与误差曲线的两个极值方向完全重合，其他各处两者差距也甚微，在点位误差椭圆上也可以图解出任意方向甚微，在点位误差椭圆上也可以图解出任意方向甚微，在点位误差椭圆上也可以图解出任意方向甚微，在点位误差椭圆上也可以图解出任意方向 的位差的位差的位差的位差 其方其方其方其方法是：如法是：如法是：如法是：如图图图图5-75-7所示，自椭圆作所示，自椭圆作所示，自椭圆作所示，自椭圆作 方向的正交切线方向的正交切线方向的正交切线方向的正交切线PDPD，P P 为切点，为切点，为切点，为切点，D D为垂点，可以证明为垂点，可以证明为垂点，可以证明为垂点，可以证明 =OD=OD 。从图从图从图从图5-75-7中可以看出，与中可以看出，与中可以看出，与中可以看出，与ODOD相应在相应在相应在相应在 方向上误差椭圆的向径方向上误差椭圆的向径方向上误差椭圆的向径方向上误差椭圆的向径OD OD，由于，由于，由于，由于ODOD与与与与ODOD相差很小，在估算控制网中可近似应用，一相差很小，在估算控制网中可近似应用，一相差很小，在估算控制网中可近似应用，一相差很小，在估算控制网中可近似应用，一般不作误差曲线般不作误差曲线般不作误差曲线般不作误差曲线 第五章 误差椭圆 在以上的讨论中，都是在以上的讨论中，都是在以上的讨论中，都是在以上的讨论中，都是以一个待定点为例以一个待定点为例以一个待定点为例以一个待定点为例，说明，说明，说明，说明了了了了如何确定该点点位误差椭圆如何确定该点点位误差椭圆如何确定该点点位误差椭圆如何确定该点点位误差椭圆的问题的问题的问题的问题 如果如果如果如果网中有多个网中有多个网中有多个网中有多个待定点待定点待定点待定点，也可以利用上述相同的方法，也可以利用上述相同的方法，也可以利用上述相同的方法，也可以利用上述相同的方法，为每一个待定为每一个待定为每一个待定为每一个待定点确定一个点位误差椭圆点确定一个点位误差椭圆点确定一个点位误差椭圆点确定一个点位误差椭圆 若平差采用间接平差法，设有若平差采用间接平差法，设有若平差采用间接平差法，设有若平差采用间接平差法，设有s s个待定点，则有个待定点，则有个待定点，则有个待定点，则有2s 2s 个个个个坐标未知数坐标未知数坐标未知数坐标未知数，其相应的协因数阵为式，其相应的协因数阵为式，其相应的协因数阵为式，其相应的协因数阵为式(5-10)(5-10)。为了计。为了计。为了计。为了计算第算第算第算第i i 点点位误差椭圆的元素，则需用点点位误差椭圆的元素，则需用点点位误差椭圆的元素，则需用点点位误差椭圆的元素，则需用 ，并按第一节中所述的方法，由式，并按第一节中所述的方法，由式，并按第一节中所述的方法，由式，并按第一节中所述的方法，由式(5-21)5-21)式式式式(5-22)(5-22)和式和式和式和式(5-24)(5-24)算出算出算出算出 EiEi E Ei i F Fi i ，然后，作出该点的点位，然后，作出该点的点位，然后，作出该点的点位，然后，作出该点的点位误差椭误差椭误差椭误差椭圆圆圆圆 第五章 误差椭圆 前面我们介绍了如何利从点位误差椭圆上量出已前面我们介绍了如何利从点位误差椭圆上量出已前面我们介绍了如何利从点位误差椭圆上量出已前面我们介绍了如何利从点位误差椭圆上量出已知点与待定点之间的边长中误差，以及与该边相垂直知点与待定点之间的边长中误差，以及与该边相垂直知点与待定点之间的边长中误差，以及与该边相垂直知点与待定点之间的边长中误差，以及与该边相垂直的横向中误差，从而求出方位角中误差。的横向中误差，从而求出方位角中误差。的横向中误差，从而求出方位角中误差。的横向中误差，从而求出方位角中误差。如果网中有如果网中有如果网中有如果网中有多个待定点时，则可作出多个点位误差椭圆多个待定点时，则可作出多个点位误差椭圆多个待定点时，则可作出多个点位误差椭圆多个待定点时，则可作出多个点位误差椭圆，此时，此时，此时，此时，也可利用这些点位误差椭圆，确定也可利用这些点位误差椭圆，确定也可利用这些点位误差椭圆，确定也可利用这些点位误差椭圆，确定已知点与任一待定已知点与任一待定已知点与任一待定已知点与任一待定点之间的边长中误差或方位角中误差点之间的边长中误差或方位角中误差点之间的边长中误差或方位角中误差点之间的边长中误差或方位角中误差，但，但，但，但不能确定待不能确定待不能确定待不能确定待定点与待定点之间的边长中误差或方位角中误差定点与待定点之间的边长中误差或方位角中误差定点与待定点之间的边长中误差或方位角中误差定点与待定点之间的边长中误差或方位角中误差，这，这，这，这是因为这些是因为这些是因为这些是因为这些待定点的坐标是相关待定点的坐标是相关待定点的坐标是相关待定点的坐标是相关的的的的 要解决这个问题，要解决这个问题，要解决这个问题，要解决这个问题，需要了解任意两个待定点间相对位置的精度情况需要了解任意两个待定点间相对位置的精度情况需要了解任意两个待定点间相对位置的精度情况需要了解任意两个待定点间相对位置的精度情况 第五章 误差椭圆 为了为了为了为了确定任意两个待定点之间相对位置的精度确定任意两个待定点之间相对位置的精度确定任意两个待定点之间相对位置的精度确定任意两个待定点之间相对位置的精度，需要进，需要进，需要进，需要进一步作出一步作出一步作出一步作出两个待定点之间的相对误差椭圆两个待定点之间的相对误差椭圆两个待定点之间的相对误差椭圆两个待定点之间的相对误差椭圆 设坐标系中有设坐标系中有设坐标系中有设坐标系中有两个待定点为两个待定点为两个待定点为两个待定点为P Pi i及及及及P Pk k，这两点的，这两点的，这两点的，这两点的相对位置相对位置相对位置相对位置可通过其坐标差来表示可通过其坐标差来表示可通过其坐标差来表示可通过其坐标差来表示，即，即，即，即根据协因数传播律可得根据协因数传播律可得根据协因数传播律可得根据协因数传播律可得(5-32)(5-32)(5-31)(5-31)3 3 3 3 相相对误对误差差椭圆椭圆第五章 误差椭圆 由上式可以看出，如果由上式可以看出，如果由上式可以看出，如果由上式可以看出，如果P Pi i 和和和和P Pk k 两点中有一个点为不带误两点中有一个点为不带误两点中有一个点为不带误两点中有一个点为不带误差的已知点差的已知点差的已知点差的已知点(例例例例如如如如P Pi i点点点点)，则有则有则有则有 这样，两点坐标差的协因数就等于待定点坐标的协因数，这样，两点坐标差的协因数就等于待定点坐标的协因数，这样，两点坐标差的协因数就等于待定点坐标的协因数，这样，两点坐标差的协因数就等于待定点坐标的协因数，而这时作出的而这时作出的而这时作出的而这时作出的点位误差椭圆点位误差椭圆点位误差椭圆点位误差椭圆就是就是就是就是待定点相对于已知点待定点相对于已知点待定点相对于已知点待定点相对于已知点的的的的 利用式利用式利用式利用式(5-32)(5-32)算出的协因数，根据式算出的协因数，根据式算出的协因数，根据式算出的协因数，根据式(5-21)(5-21)式式式式(5-22)(5-22)和式和式和式和式(5-24)(5-24)就可以得到计算就可以得到计算就可以得到计算就可以得到计算P Pi i与与与与P Pk k 点点点点间间间间相对误差椭圆相对误差椭圆相对误差椭圆相对误差椭圆的的的的三个参数的三个参数的三个参数的三个参数的公式公式公式公式(5-33)(5-33)第五章 误差椭圆 相对误差椭圆的绘制方法相对误差椭圆的绘制方法相对误差椭圆的绘制方法相对误差椭圆的绘制方法，可，可，可，可仿第三节中的方法进行仿第三节中的方法进行仿第三节中的方法进行仿第三节中的方法进行 二者的二者的二者的二者的不同在于：点位误差椭圆一般以待定点中心为极绘制，而相对误不同在于：点位误差椭圆一般以待定点中心为极绘制，而相对误不同在于：点位误差椭圆一般以待定点中心为极绘制，而相对误不同在于：点位误差椭圆一般以待定点中心为极绘制，而相对误差椭圆以两个待定点连线的中心为极绘制差椭圆以两个待定点连线的中心为极绘制差椭圆以两个待定点连线的中心为极绘制差椭圆以两个待定点连线的中心为极绘制 下面通过例题来进一步下面通过例题来进一步下面通过例题来进一步下面通过例题来进一步说明说明说明说明 【例例例例5-35-3】如如如如图图图图5-85-8所示，在测边网中，设待定点所示，在测边网中，设待定点所示，在测边网中，设待定点所示，在测边网中，设待定点 P P1 1 P P2 2 两点两点两点两点的坐标为未知参数，采用间接平差法，算得的协因数阵，即法方的坐标为未知参数，采用间接平差法，算得的协因数阵，即法方的坐标为未知参数，采用间接平差法，算得的协因数阵，即法方的坐标为未知参数，采用间接平差法，算得的协因数阵，即法方程系数阵的逆阵为程系数阵的逆阵为程系数阵的逆阵为程系数阵的逆阵为 平差后，计算得单位权方误差为平差后，计算得单位权方误差为平差后，计算得单位权方误差为平差后，计算得单位权方误差为 试求试求试求试求P P1 1 P P2 2两两两两点的误差椭圆及相对误差椭圆点的误差椭圆及相对误差椭圆点的误差椭圆及相对误差椭圆点的误差椭圆及相对误差椭圆 第五章 误差椭圆解解解解:(1):(1)计算计算计算计算P P1 1 点位误差椭圆的三个参数点位误差椭圆的三个参数点位误差椭圆的三个参数点位误差椭圆的三个参数 由式由式由式由式(5-18)(5-18)式式式式(5-19)(5-19)得到得到得到得到第五章 误差椭圆即即即即 E E1 1=1.9=1.9cm cm，F F1 1=1.0=1.0cmcm，由式由式由式由式(5-16)(5-16)式式式式(5-24)(5-24)可得可得可得可得(2)(2)计算计算计算计算P P2 2点位误差椭圆的三个参数点位误差椭圆的三个参数点位误差椭圆的三个参数点位误差椭圆的三个参数 同同同同(1)(1)算法，得算法，得算法，得算法，得(3)(3)计算计算计算计算P P1 1与与与与P P2 2 点间相对点位误差椭圆的三个参数点间相对点位误差椭圆的三个参数点间相对点位误差椭圆的三个参数点间相对点位误差椭圆的三个参数 由式由式由式由式(5-32)(5-32)得到得到得到得到第五章 误差椭圆由式由式由式由式(5-33)(5-33)得到得到得到得到 而相对误差椭圆的而相对误差椭圆的而相对误差椭圆的而相对误差椭圆的E E轴方向为轴方向为轴方向为轴方向为 在绘制误差椭圆前，先按一定在绘制误差椭圆前，先按一定在绘制误差椭圆前，先按一定在绘制误差椭圆前，先按一定的比例尺绘制的比例尺绘制的比例尺绘制的比例尺绘制控制网图控制网图控制网图控制网图 然后再按然后再按然后再按然后再按求出的参数，以一定的比例尺，求出的参数，以一定的比例尺，求出的参数，以一定的比例尺，求出的参数，以一定的比例尺，分别以分别以分别以分别以P P1 1 P P2 2点为极绘制点为极绘制点为极绘制点为极绘制P P1 1 P P2 2点点点点的的的的点位误差椭圆点位误差椭圆点位误差椭圆点位误差椭圆，以，以，以，以P P1 1P P2 2连线的连线的连线的连线的中点中点中点中点OO为极为极为极为极绘制绘制