与圆有关的计算教学提纲.ppt

与圆有关的计算与圆有关的计算一、正多一、正多边边形和形和圆圆1.1.正多正多边边形的定形的定义义：各：各边边_，各角也，各角也_的多的多边边形是正多形是正多边边形形.2.2.正多正多边边形和形和圆圆的关系：把一个的关系：把一个圆圆_，依次，依次连结连结_可作出可作出圆圆的内接正的内接正n n边边形形.相等相等相等相等n n等分等分各分点各分点二、弧二、弧长长公式公式在半径在半径为为r r的的圆圆中，中，nn的的圆圆心角所心角所对对的弧的弧长为长为l=.三、扇形的面三、扇形的面积积公式公式在半径在半径为为r r的的圆圆中，中，圆圆心角是心角是nn的扇形面的扇形面积积S=S=，弧弧长为长为l的扇形面的扇形面积积S=S=.【思思维诊维诊断断】(打打“”或或“”)1.1.将一个将一个圆圆分成分成4 4份，依次份，依次连连接各分点所得的四接各分点所得的四边边形形为为正方形正方形.()()2.2.正五正五边边形的中心角等于形的中心角等于72.72.()()3.3.正六正六边边形外接形外接圆圆的半径等于其的半径等于其边长边长.()()4.4.扇形的面扇形的面积积公式是公式是S=.S=.()()5.5.半径半径为为3cm3cm，圆圆心角心角为为6060的弧的弧长为长为 cm.cm.()()6.6.圆锥圆锥的底面周的底面周长长等于展开等于展开图图中扇形的弧中扇形的弧长长.()()热点考向一热点考向一 正多正多边边形和形和圆圆的有关的有关计计算算【例例1 1】如如图图，要要拧拧开开一一个个边边长长为为a=6mma=6mm的的正正六六边边形形螺螺帽帽，扳扳手手张张开的开口开的开口b b至少至少为为()A.6 mmA.6 mmB.12 mmB.12 mmC.6 mmC.6 mmD.4 mmD.4 mm【思思路路点点拨拨】作作辅辅助助线线一一个个内内角角的的度度数数利利用用解解直直角角三三角角形形的知识求的知识求b b的值的值.【自主解答自主解答】选选C.C.连接连接ACAC，过，过B B作作BDACBDAC于点于点D.D.AB=BCAB=BC，ABCABC是等腰三角形，是等腰三角形，AD=CD.AD=CD.此多边形为正六边形，此多边形为正六边形，ABC=120ABC=120，ABD=60ABD=60，BAD=30BAD=30，AD=ABAD=ABcos 30=6 =3 (mm)cos 30=6 =3 (mm)，b=2AD=6 mm.b=2AD=6 mm.【规律方法规律方法】正多边形的有关计算的常用公式正多边形的有关计算的常用公式(1)(1)有关角的计算：有关角的计算：正正n n边形的内角和边形的内角和=(n-2)180=(n-2)180，外角和，外角和=360.=360.正正n n边形的每个内角边形的每个内角=，每个外角，每个外角=.=.正正n n边形的中心角边形的中心角=.=.(2)(2)有关边的计算：有关边的计算：r r2 2+=R+=R2 2(r(r表示边心距，表示边心距，R R表示半径，表示半径，a a表示边长表示边长).).l=na(=na(l表示周长，表示周长，n n表示边数，表示边数，a a表示边长表示边长).).SS正正n n边形边形=lr(r(l表示周长，表示周长，r r表示边心距表示边心距).).【针对针对演演练练】1.1.正六正六边边形的形的边边心距心距为为 ，则该则该正六正六边边形的形的边长边长是是()A.A.B.2 B.2 C.3 C.3 D.2 D.2【解析解析】选选B.B.正六边形的边心距为正六边形的边心距为 ，每条边所对的中心角，每条边所对的中心角为为6060，设正六边形的边长为，设正六边形的边长为x x，则，则cos30=cos30=，解得，解得x=2.x=2.2.2.已知已知O O的面的面积为积为22，则则其内接正三角形的面其内接正三角形的面积为积为()A.3 B.3A.3 B.3 C.C.D.D.【解析解析】选选C.C.如图，由如图，由O O的面积为的面积为22，可得圆的半径，可得圆的半径OC=OC=，所以弦心距所以弦心距OE=OE=，EC=EC=，所以内接所以内接ABCABC的面积的面积=【知识归纳知识归纳】与正与正n n边形有关的常用计算公式边形有关的常用计算公式设边长为设边长为a a，半径为，半径为R R，中心角，中心角n n=；边长；边长a an n=2Rsin =2Rsin ；边心距边心距r rn n=Rcos =Rcos ；外接圆半径；外接圆半径R=R=；周长周长p pn n=na=nan n；面积；面积S Sn n=a=an nr rn nn=pn=pn nr rn n.3.3.正八正八边边形的一个内角是形的一个内角是.【解析解析】根据内角和公式根据内角和公式(n-2)(n-2)180=(8-2)180=(8-2)180=1080180=1080，10808=135.10808=135.答案：答案：135135【一题多解一题多解】3608=453608=45，180-45=135.180-45=135.答案：答案：135135热点考向二热点考向二 弧弧长长公式的公式的应应用用【例例2 2】如如图图，矩矩形形ABCDABCD中中，AB=5AB=5，AD=12AD=12，将将矩矩形形ABCDABCD按按如如图图所所示示的的方方式式在在直直线线l上上进进行行两两次次旋旋转转，则则点点B B在在两两次次旋旋转转过过程程中中经过经过的路径的的路径的长长是是()A.A.B.13 B.13 C.25 C.25 D.25 D.25【思路点拨思路点拨】确定点确定点B B旋转经过的路径为圆弧，根据勾股定理旋转经过的路径为圆弧，根据勾股定理和弧长公式计算即可和弧长公式计算即可.【自主解答自主解答】选选A.A.连接连接BDBD，BDBD，AB=5AB=5，AD=12AD=12，BD=13BD=13，点点B B在两次旋转过程中经过的路径的长是在两次旋转过程中经过的路径的长是 【规律方法规律方法】弧长公式的应用弧长公式的应用对于弧长公式对于弧长公式l=，可变形为：，可变形为：n=n=或或R=R=，在三，在三个量个量l，n n，R R中，若已知其中两个量，就可以求出第三个量中，若已知其中两个量，就可以求出第三个量.注意：在计算过程中，注意：在计算过程中，l与与R R的单位要统一的单位要统一.【针对针对演演练练】1.1.已已知知扇扇形形的的圆圆心心角角为为4545，半半径径长长为为1212，则则该该扇扇形形的的弧弧长长为为()A.A.B.2 B.2 C.3 C.3D.12D.12【解析解析】选选C.C.根据弧长公式得根据弧长公式得l=3.=3.2.2.如如图图，在，在ABCABC中，中，ACB=90ACB=90，ABCABC=30=30，AB=2AB=2，将，将ABCABC绕绕直角直角顶顶点点C C逆逆时针时针旋旋转转6060得得ABCABC，则则点点B B转过转过的路径的路径长长为为()A.A.B.B.C.C.D.D.【解析解析】选选B.B.在在RtABCRtABC中，中，ABC=30ABC=30，AB=2AB=2，所以所以AC=1AC=1，由勾股定理得，由勾股定理得，BC=BC=，由旋转知，由旋转知，BCB=60BCB=60，点，点B B转过的路径长为转过的路径长为 .【变变式式训练训练】如如图图，ABAB切切O O于点于点B B，OA=2OA=2，OAB=30OAB=30，弦，弦BCOABCOA，劣弧，劣弧 的弧的弧长长为为.(.(结结果保留果保留)【解析解析】连接连接OBOB，OCOC，ABAB为为O O的切线，的切线，ABO=90.ABO=90.在在RtABORtABO中，中，OA=2OA=2，OAB=30OAB=30，OB=1OB=1，AOB=60.AOB=60.BCOABCOA，OBC=AOB=60OBC=AOB=60，又又OB=OCOB=OC，BOCBOC为等边三角形，为等边三角形，BOC=60BOC=60，则劣弧，则劣弧 长为长为 答案：答案：3.3.如如图图，网格，网格图图中每个小正方形的中每个小正方形的边长为边长为1，则则弧弧ABAB的的长长l=.【解析解析】由题干图可得由题干图可得AOBAOB9090，OAOAOBOB ，l答案：答案：热点考向三热点考向三 扇形面扇形面积积公式的公式的应应用用【例例3 3】如如图图，将一，将一块块三角板和半三角板和半圆圆形量角器按形量角器按图图中方式叠中方式叠放，三角板一放，三角板一边边与量角器的零刻度与量角器的零刻度线线所所在直在直线线重合，重叠部分的量角器弧重合，重叠部分的量角器弧ABAB对对应应的的圆圆心角心角(AOB)(AOB)为为120120，OCOC的的长为长为2cm2cm，则则三角板和量角器重叠部分的面三角板和量角器重叠部分的面积为积为.【思路点拨思路点拨】重叠部分由扇形重叠部分由扇形AOBAOB和和RtBOCRtBOC组成，求出它们各组成，求出它们各自的面积再求和自的面积再求和.【自主解答自主解答】由图知三角板和量角器重叠部分由扇形由图知三角板和量角器重叠部分由扇形AOBAOB和和RtBOCRtBOC组成，在组成，在RtBOCRtBOC中，因为中，因为AOBAOB为为120120，OCOC的长为的长为2cm2cm，所以，所以COB=60COB=60，OB=2OC=4OB=2OC=4，BC=2 BC=2 ，所以扇形，所以扇形AOBAOB的的面积面积=，RtBOCRtBOC的面积的面积=22 =2 =22 =2 ，所以三角板和量角器重叠部分的面积为所以三角板和量角器重叠部分的面积为 cmcm2 2.答案：答案：cmcm2 2【规律方法规律方法】扇形面积公式的选择扇形面积公式的选择1.1.当已知半径当已知半径R R和圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式和圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式S S扇形扇形=.=.2.2.当已知半径当已知半径R R和弧长求扇形的面积时，应选用公式和弧长求扇形的面积时，应选用公式S S扇形扇形=lR.R.3.3.扇形面积公式扇形面积公式S S扇形扇形=lR R与三角形面积公式十分类似，为了便与三角形面积公式十分类似，为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看成底，看成底，R R看成底边上的高即可看成底边上的高即可.【针对针对演演练练】1.1.在在圆圆心心角角为为120120的的扇扇形形AOBAOB中中，半半径径OA=6cmOA=6cm，则则扇扇形形AOBAOB的的面面积积是是()A.6cmA.6cm2 2B.8cmB.8cm2 2C.12cmC.12cm2 2D.24cmD.24cm2 2【解析解析】选选C.S=12(cmC.S=12(cm2 2).).2.2.如如果果一一个个扇扇形形的的弧弧长长等等于于它它的的半半径径，那那么么此此扇扇形形称称为为“等等边边扇形扇形”.则则半径半径为为2 2的的“等等边边扇形扇形”的面的面积为积为()A.A.B.1 B.1 C.2 C.2 D.D.【解析解析】选选C.C.根据扇形的面积公式，得根据扇形的面积公式，得S=S=lr=22=2.r=22=2.热点考向四热点考向四 圆锥圆锥的有关的有关计计算算【例例4 4】如如图图，从半径，从半径为为9cm9cm的的圆圆形形纸纸片上剪去片上剪去 圆圆周周的一个扇形，将留下的扇形的一个扇形，将留下的扇形围围成一个成一个圆锥圆锥(接接缝处缝处不重叠不重叠)，那么那么这这个个圆锥圆锥的高的高为为cm.cm.【解析解析】圆心角是圆心角是360 =240360 =240，则弧长是则弧长是 =12(cm)=12(cm)，设圆锥的底面半径是设圆锥的底面半径是r r，则，则2r=122r=12，解得解得r=6.r=6.则圆锥的高是则圆锥的高是 (cm).(cm).答案：答案：3 3【规律方法规律方法】圆锥和其侧面展开图圆锥和其侧面展开图(扇形扇形)之间的等量关系之间的等量关系(1)h(1)h2 2+r+r2 2=l2 2.(2)(2)的长的长=O=O周长周长=.=.(3)S(3)S扇形扇形ABCABC=r=rl.【针对针对演演练练】1.1.如如果果圆圆锥锥的的母母线线长长为为5cm5cm，底底面面半半径径为为2cm2cm，那那么么这这个个圆圆锥锥的的侧侧面面积积是是()A A.10.10 cmcm2 2B B.10.10cmcm2 2C C.20.20cmcm2 2D D.20.20cmcm2 2【解解析析】选选B.B.圆圆锥锥的的侧侧面面积积S=rS=rl，r r是是底底面面半半径径，l是是母母线线长长.S=25=10(cm.S=25=10(cm2 2).).2.2.如如图图，圆锥圆锥的的侧侧面展开面展开图图是半径是半径为为3 3，圆圆心角心角为为9090的扇形，的扇形，则该圆锥则该圆锥的底面周的底面周长为长为()A.A.B.B.C.C.D.D.【解析解析】选选B.B.扇形的弧长为扇形的弧长为 ，所以圆锥的底面，所以圆锥的底面周长为周长为 .3.3.一个底面直径是一个底面直径是80cm80cm，母，母线长为线长为90cm90cm的的圆锥圆锥的的侧侧面展开面展开图图的的圆圆心角的度数心角的度数为为.【解析解析】圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的侧面展开图是扇形，则扇形的弧长为则扇形的弧长为80cm80cm，半径为，半径为90cm90cm，由弧长公式得由弧长公式得80=80=，所以圆心角的度数所以圆心角的度数n=160.n=160.答案：答案：160160【知识归纳知识归纳】有关圆锥计算的三个关键点有关圆锥计算的三个关键点1.1.圆锥的母线长为圆锥侧面展开图的半径圆锥的母线长为圆锥侧面展开图的半径.2.2.圆锥底面圆的周长等于圆锥侧面展开图的弧长圆锥底面圆的周长等于圆锥侧面展开图的弧长.3.3.圆锥的母线长圆锥的母线长l、底面半径、底面半径r r、高、高h h之间具有关系：之间具有关系：r r2 2+h+h2 2=l2 2.注注意意：计计算算时时圆圆锥锥侧侧面面展展开开图图的的半半径径是是圆圆锥锥的的母母线线，注注意意与与底底面半径的区分面半径的区分.【知识归纳知识归纳】学习圆锥需注意的两个问题学习圆锥需注意的两个问题1.1.弄弄清清圆圆锥锥的的底底面面半半径径、高高、母母线线之之间间的的关关系系：圆圆锥锥的的轴轴截截面面是等腰三角形是等腰三角形.2.2.与与圆圆锥锥侧侧面面积积有有关关的的几几何何体体的的表表面面积积的的计计算算：一一是是分分析析清清楚楚几几何何体体表表面面的的构构成成，二二是是弄弄清清圆圆锥锥与与其其侧侧面面展展开开扇扇形形各各元元素素之之间的对应关系间的对应关系.热点考向五热点考向五 与与圆圆有关的阴影面有关的阴影面积积的的计计算算【例例5 5】如如图图，CDCD为为O O的直径，的直径，CDABCDAB，垂，垂足足为为F F，AOBCAOBC，垂足，垂足为为点点E E，AO=1.AO=1.(1)(1)求求C C的大小的大小.(2)(2)求阴影部分的面求阴影部分的面积积.【解解题题探究探究】(1)(1)题题目已知条件中，没有已知角的度数，如何求目已知条件中，没有已知角的度数，如何求C C的大小？的大小？提示：提示：可根据垂径定理及推论得出可根据垂径定理及推论得出CDABCDAB，得出，得出C=AOD.C=AOD.再根据对顶角相等，得出再根据对顶角相等，得出AOD=COEAOD=COE，得出，得出C C与与COECOE的关系，在的关系，在RtCOERtCOE中，根据两锐角互余，求出中，根据两锐角互余，求出C C的的大小大小.(2)(2)阴影部分的面积等于哪些图形的和差，怎样求出？阴影部分的面积等于哪些图形的和差，怎样求出？提示：提示：S S阴影阴影=S=S扇形扇形OABOAB-S-SOABOAB.由由(1)(1)所求得的所求得的C C度数可得度数可得AODAOD的的度数，即可求出度数，即可求出AOBAOB的度数，再利用的度数，再利用3030的直角三角形边角的直角三角形边角关系，求出关系，求出OFOF，ABAB的长度，利用扇形面积公式的长度，利用扇形面积公式S S扇形扇形=R=R2 2和和三角形面积公式，可求出三角形面积公式，可求出S S扇形扇形OABOAB-S-SOABOAB.【尝试解答尝试解答】(1)CD(1)CD为为O O的直径，的直径，CDABCDAB，C=AOD.C=AOD.AOD=COEAOD=COE，C=COE.C=COE.AOBCAOBC，C=30.C=30.(2)(2)连接连接OB.OB.由由(1)(1)知知C=30C=30，AOD=60AOD=60，AOB=120.AOB=120.在在RtAOFRtAOF中，中，AO=1AO=1，AOF=60AOF=60，AF=AF=，OF=OF=，AB=.AB=.SS阴影阴影=S=S扇形扇形OABOAB-S-SOABOAB=1=12 2-【规律方法规律方法】求圆中有关阴影部分面积的方法求圆中有关阴影部分面积的方法1.1.求求不不规规则则图图形形的的面面积积，常常转转化化为为几几个个规规则则图图形形的的面面积积的的和和差差，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出结果然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出结果.2.2.求阴影部分面积的求阴影部分面积的“五种常见方法五种常见方法”：(1)(1)公式法公式法.(2).(2)割补法割补法.(3).(3)拼凑法拼凑法.(4).(4)等积变形法等积变形法.(5)(5)构造方程法构造方程法.【针对针对演演练练】1.1.如如图图，已知扇形的，已知扇形的圆圆心角心角为为6060，半径，半径为为 则图则图中弓形中弓形的面的面积为积为()A.A.B.B.C.C.D.D.【解析解析】选选C.S=C.S=2.2.如如图图，扇形，扇形OABOAB中，中，AOB=60AOB=60，扇形半径，扇形半径为为4 4，点，点C C在在 上，上，CDOACDOA，垂足，垂足为为点点D D，当，当OCDOCD的面的面积积最大最大时时，图图中阴影部分的中阴影部分的面面积为积为.【解析解析】OC=4OC=4，点，点C C在在 上，上，CDOACDOA，DC=DC=，S SOCDOCD=S SOCDOCD2 2=ODOD2 2(16-OD(16-OD2 2)=-)=-ODOD4 4+4OD+4OD2 2=-=-(OD(OD2 2-8)-8)2 2+16+16，当当ODOD2 2=8=8，即，即OD=2OD=2 时时OCDOCD的面积最大，的面积最大，DC=DC=2=2 ，COA=45COA=45，阴影部分的面积阴影部分的面积=扇形扇形AOCAOC的面积的面积-OCD-OCD的面积的面积=2-4.=2-4.答案：答案：2-42-4【知识归纳知识归纳】求阴影部分面积的四种方法求阴影部分面积的四种方法1.1.面面积积的的和和差差：把把不不规规则则图图形形阴阴影影部部分分的的面面积积通通过过平平移移、翻翻折折，或或将将所所给给图图形形中中的的某某一一部部分分绕绕一一个个点点旋旋转转适适当当的的角角度度，转转化化为为规则图形面积的和差规则图形面积的和差.2.2.等等积积变变形形法法：把把不不易易或或难难以以求求出出的的不不规规则则图图形形面面积积转转化化为为与与其相等的规则图形面积其相等的规则图形面积.3.3.整整体体思思想想：把把分分散散的的几几个个阴阴影影部部分分的的面面积积，通通过过整整体体考考虑虑，拼在一起用整体的方法求解拼在一起用整体的方法求解.4.4.代代数数法法：分分析析题题设设中中几几何何图图形形的的条条件件，再再转转化化为为代代数数条条件件，设出未知数，然后列方程求解设出未知数，然后列方程求解.【巧思妙解巧思妙解】巧用转化思想解题巧用转化思想解题【典典例例】如如图图，以以等等腰腰直直角角ABCABC两两锐锐角角顶顶点点A A，B B为为圆圆心心作作等等圆圆，A A与与B B恰好外切，若恰好外切，若AC=2AC=2，那么，那么图图中两中两个扇形个扇形(即阴影部分即阴影部分)的面的面积积之和之和为为()A.A.B.B.C.C.D.D.【常规解法常规解法】选选B.B.在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABCABC中中AC=2AC=2，AB=2 AB=2 ，A=B=45A=B=45，圆的半径为圆的半径为 ，S S扇形扇形=【巧妙解法巧妙解法】选选B.B.在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABCABC中中AC=2AC=2，AB=2 AB=2 ，圆的半径为圆的半径为 ，又，又A+B=90A+B=90，S S扇形扇形=【解解法法对对比比】1.1.本本题题若若分分别别求求出出两两个个扇扇形形的的面面积积，再再求求阴阴影影部部分的面积计算量较大且容易出错分的面积计算量较大且容易出错.2.2.观观察察两两个个扇扇形形(即即阴阴影影部部分分)的的面面积积之之和和，运运用用转转化化思思想想，转转化为求圆心角为化为求圆心角为9090扇形的面积，步骤简单且运算量小扇形的面积，步骤简单且运算量小.【技技巧巧点点拨拨】转转化化思思想想是是数数学学的的重重要要思思想想方方法法，在在求求阴阴影影部部分分的面积时经常用到的面积时经常用到.利用转化思想常能解决求阴影部分的面积的三类问题：利用转化思想常能解决求阴影部分的面积的三类问题：1.1.能转化为圆心角为能转化为圆心角为6060，9090扇形的面积的题目扇形的面积的题目.2.2.能转化为半圆，圆的面积的题目能转化为半圆，圆的面积的题目.3.3.能能转转化化为为圆圆心心角角为为6060，9090扇扇形形的的面面积积和和特特殊殊的的三三角角形形(等边三角形，等腰直角三角形等边三角形，等腰直角三角形)和差等的题目和差等的题目.结束结束