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.2018 初高中数学衔接教材目录第一章第一章数与式数与式1.1 数与式的运算数与式的运算绝对值乘法公式二次根式分式1.2 分解因式分解因式第二章第二章二次方程与二次不等式二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程一元二次方程根的判别式根与系数的关系2.2 二次函数二次函数二次函数 y=a*2+b*+c 的图像和性质二次函数的三种表达方式二次函数的应用2.3 方程与不等式方程与不等式二元二次方程组的解法第三章第三章相似形、三角形、圆相似形、三角形、圆3.1 相似形相似形平行线分线段成比例定理相似三角形形的性质与判定3.2 三角形三角形三角形的五心解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3 圆圆直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理点的轨迹四点共圆的性质与判定直线和圆的方程（选学）1.11.1 数与式的运算数与式的运算1.1.1.1绝对值绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离两个数的差的绝对值的几何意义：ab表示在数轴上，数a和数b之间的距离.资料.-例 1 解不等式：x1 x34解法一：由x 1 0，得x 1；由x3 0，得x 3；若x 1，不等式可变为(x1)(x3)4，即2x44，解得*0，又*1，*0；若1 x 2，不等式可变为(x1)(x3)4，即 14，不存在满足条件的*；若x 3，不等式可变为(x1)(x3)4，即2x44，解得*4又*3，*4综上所述，原不等式的解为*0，或*4解法二：如图 1 11，x 1表示*轴上坐标为*的点P到坐标为 1 的点A之间的距离|PA|，即|PA|*1|；|*3|表示*轴上点P到坐标为 2 的点B之间的距离|PB|，即|PB|*3|所以，不等式x1 x34 的几何意义即为|*3|PA|PB|4由|AB|2，可知点P在点C(坐标为 0)的左侧、或点P在点D(坐标为 4)的右侧*0，或*4练习1填空：（1）若x 5，则*=_；若x 4，则*=_.（2）如果a b 5，且a 1，则b_；若1c 2，则c_.2选择题：下列叙述正确的是（）（A）若a b，则a b（B）若a b，则a b（C）若a b，则a b（D）若a b，则a b3化简：|*5|2*13|（*5）P*C0A1BD34*|*1|图 111.乘法公式乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式(ab)(ab)a2b2；（2）完全平方公式(a b)2 a2 2abb2我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式(ab)(a2abb2)a3b3；（2）立方差公式(ab)(a2abb2)a3b3；（3）三数和平方公式(abc)2 a2b2c2 2(abbcac)；（4）两数和立方公式(ab)3 a33a2b3ab2b3；.z.-（5）两数差立方公式(ab)3 a33a2b3ab2b3对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明例例 1计算：(x1)(x1)(x2 x1)(x2 x1)222解法一：解法一：原式=(x21)(x 1)x=(x21)(x4 x21)=x61解法二：原式=(x1)(x2 x1)(x1)(x2 x1)=(x31)(x31)=x61例 2已知abc 4，abbcac 4，求a2b2c2的值解：a2b2 c2(a b c)2 2(ab bc ac)8练习1填空：121211；a b (ba)（）942322（2）(4m)16m 4m()；2222(3)(a2bc)a 4b c()（1）2选择题：1mxk是一个完全平方式，则k等于（）21212122（A）m（B）m（C）m（D）m431622（2）不论a，b为何实数，a b 2a4b8的值（）（1）若x 2（A）总是正数（B）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数二次根式二次根式一般地，形如a(a 0)的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3aa2b 2b，a2b2等是无理式，而2x2x22xy y2，a2等是有理式2x1，21分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3 a与a，3 6与3 6，2 3 3 2与2 3 3 2，等等一般地，a x与x，a x b y与a x b y，a x b与a x b互为有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式ab ab(a 0,b 0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.z.-2二次根式a2的意义例1将下列式子化为最简二次根式：（1）12b；（2）a2b(a 0)；（3）4x6y(x 0)解：（1）12b 2 3b；（2）a2b ab a b(a 0)；（3）4x6y 2 x3y 2x3y(x 0)例例 2计算：3(33)333(33)(33)(33)3 3 3933(3 1)63 123 113313解法二解法二：3(33)23 1(31)(3 1)3(31)33解法一：3(33)3例 3 试比较下列各组数的大小：（1）12 11和11 10；（2）解：（1）12 11 2和2 2 6.6 412 11(12 11)(12 11)1，112 1112 1111 10 11 10(11 10)(11 10)1，111 1011 10又12 11 11 10，12 1111 102 2 6(2 2 6)(2 2+6)2,12 2+62 2+6（2）2 2 6 又 422，64622，22 2 6.6 4例 4化简：(3 2)2004(3 2)2005解：(3 2)2004(3 2)2005(3 2)2004(3 2)2004(3 2)(3 2)(3 2)12004(3 2)3 22004(3 2)例 5化简：（1）94 5；（2）x212(0 x 1)2x.z.-解：（1）原式54 5 4(5)222 5 22(2 5)2 255 211（2）原式=(x)2 x，xx110 x 1，1 x，所以，原式 xxx3232例 6已知x，求3x25xy 3y2的值,y 323 23232解：x y (32)2(32)210，323232321，32323x25xy 3y2 3(x y)211xy 310211 289xy 练习1填空：（1）1 3_；13（2）若(5 x)(x3)2(x3)5 x，则x的取值围是_ _；（3）4 24 6 54 3 96 2 150 _；（4）若x 2选择题：5x1x1x1x1，则_2x1x1x1x1xx成立的条件是（）x2x2（A）x 2（B）x 0（C）x 2（D）0 x 2等式a21 1a23若b，求ab的值a14比较大小：2354（填“”，或“”）1.1.分式1分式的意义形如AAA的式子，若B中含有字母，且B 0，则称为分式分式当M0 时，分式具有下列性质：BBBAAMAAM；BBMBBM上述性质被称为分式的基本性质2繁分式amn p像b，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式繁分式2mcdn p5x4AB例 1 若，求常数A,B的值x(x2)xx2.z.-ABA(x2)Bx(A B)x2A5x4，xx2x(x2)x(x2)x(x2)A B 5,解得A 2,B 32A 4,111例 2（1）试证：（其中n是正整数）；n(n1)nn1111（2）计算：；12239101111（3）证明：对任意大于 1 的正整数n，有2334n(n1)211(n1)n1（1）证明：，nn1n(n1)n(n1)111（其中n是正整数）成立n(n1)nn1解：（2）解：由（1）可知1111111119(1)()()11223910223910101011111111111（3）证明：()()(，)2334n(n1)2334nn12n11又n2，且n是正整数，一定为正数，n1例 3设e 11233411n(n1)2c，且e1，2c25ac2a20，求e的值a解：在 2c25ac2a20 两边同除以a2，得2e25e20，(2e1)(e2)0，1e1，舍去；或e22e2练习1填空题：对任意的正整数n，2选择题：111()；n(n2)nn22x y2x，则（）x y3y546（A）（B）（C）（D）455x y223正数x,y满足x y 2xy，求的值x y1111.4计算12233499100若习题习题 1 11 1A A组组.z.-1解不等式：(1)x1 3；(2)x3 x2 7；(3)x1 x1 6已知x y 1，求x y 3xy的值333填空：1819（1）(2 3)(2 3)_；（2）若(1a)2(1a)2 2，则a的取值围是_；（3）11111_122 33 44 55 6B B组组1填空：3a2ab11_；（1）a，b，则23a 5ab2b223x23xy y222_；（2）若x xy 2y 0，则x2 y22已知：x yy11的值,y，求23x yx yC C组组1选择题：b a，则（）（A）a b（B）a b（C）a b 0（D）b a 01（2）计算a 等于（）a（A）a（B）a（C）a（D）a1122解方程2(x 2)3(x)1 0 xx11113计算：13243591111114试证：对任意的正整数n，有123234n(n1)(n2)4（1）若ab2 ab 1.21.2 因式分解因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例 1分解因式：（1）*23*2；（2）*24*12；（3）x2(ab)xy aby2；（4）xy1 x y解：（1）如图 111，将二次项*2分解成图中的两个*的积，再将常数项 2 分解成1与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3*，就是*23*2 中的一次项，所以，有*23*2(*1)(*2)*12112.z.1621图 1131*ayby图 111图 112图 114-说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图111 中的两个*用 1 来表示（如图 112 所示）（2）由图 113，得*24*12(*2)(*6)（3）由图 114，得*x2(ab)xy aby2(xay)(xby)1（4）xy1 x y*y(*y)1(*1)(y+1)（如图 115 所示）课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）x5x6 _。2222y图 1151（2）x5x6 _。（3）x5x6 _。（4）x5x6 _。2（5）x a1xa _。（6）x11x18 _。2（7）6x7x2 _。2（8）4m12m9 _。2（9）57x6x_。2（10）12xxy6y_。222、x 4xx3x23、若x ax b x2x4则a，b。2二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）1、在多项式（1）x 7x6（2）x 4x3（3）x 6x8（4）x 7x102222（5）x 15x44中，有相同因式的是（）A、只有（1）（2）B、只有（3）（4）C、只有（3）（5）D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）22、分解因式a 8ab33b得（）a3B、a 11ba 3bC、a 11ba 3bD、a 11ba 3bA、a113、a b8a b20分解因式得（）222ab2B、ab5ab4A、ab102ab10D、ab4ab5C、ab24、若多项式x 3xa可分解为x5xb，则a、b的值是（）A、a 10，b 2B、a 10，b 2C、a 10，b 2D、a 10，b 2xb其中a、b为整数，则m的值为（）5、若x mx 10 xa2A、3或9B、3C、9D、3或9三、把下列各式分解因式3221、62pq11q2p32、a 5a b6ab2423、2y 4y 64、b 2b 822提取公因式法例 2分解因式：（1）a2b5a5b（2）x393x23x解：（1）a2b5a5b=a(b 5)(a 1).z.-（2）x393x23x=(x33x2)(3x9)=x2(x3)3(x3)=(x3)(x23)或x393x23x(x33x23x1)8(x1)38(x1)323(x1)2(x1)2(x1)222(x3)(x23)课堂练习：一、填空题：1、多项式6x2y2xy24xyz中各项的公因式是_。2、m x yny xx y_。3、mxy2nyx2xy2_。4、mx y zny z xx y z_。5、mx y z x y z x y z_。6、13ab2x639a3b2x5分解因式得_。7计算99299=二、判断题：（正确的打上“”，错误的打上“”）1、2a2b4ab2 2abab（2、ambmm mab（3、3x36x215x 3x x22x5（4、xn xn1 xn1x1（3：公式法例 3分解因式：（1）a416（2）3x 2y2x y2解：(1)a416=42(a2)2(4 a2)(4 a2)(4 a2)(2 a)(2 a)(2)3x 2y2x y2=(3x 2y x y)(3x 2y x y)(4x y)(2x 3y)课堂练习一、a22abb2，a2b2，a3b3的公因式是_。二、判断题：（正确的打上“”，错误的打上“”）21、49x20.0123x0.12223x0.13x0.1（2、9a28b23a24b23a4b3a4b（3、25a216b5a4b5a4b（4、x2 y2 x2 y2 x yx y（5、a2bc2a bcabc（五、把下列各式分解1、9mn2mn22、3x2133、4 x24x224、x42x214分组分解法例 4（1）x2xy3y3x（2）2x2 xy y24x5y 6（2）2x2 xy y24x5y 6=2x2(y 4)x y25y 6=2x2(y 4)x(y 2)(y 3)=(2x y 2)(x y 3)或2x2 xy y24x5y 6=(2x2 xy y2)(4x5y)6.z.）-=(2x y)(x y)(4x5y)6=(2x y 2)(x y3)课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）x2y2a2b22ax2by（2）a 4ab4b 6a12b9225关于*的二次三项式a*a*2 2+b*b*+c c(a a0 0)的因式分解若关于若关于*的方程的方程ax2bxc 0(a 0)的两个实数根是的两个实数根是x1、x2，则二次三项式，则二次三项式ax2bx c(a 0)就可分解为就可分解为a(x x1)(x x2).例 5把下列关于*的二次多项式分解因式：（1）x22x1；（2）x24xy 4y2解：（1）令x22x1=0，则解得x1 12，x2 12，x22x1=x(12)x(12)=(x12)(x12)（2）令x24xy 4y2=0，则解得x1(22 2)y，x1(22 2)y，x24xy 4y2=x 2(12)yx 2(12)y练习1选择题：多项式2x xy 15y的一个因式为（）（A）2x5y（B）x3y（C）x3y（D）x5y2分解因式：233（1）*6*8；（2）8ab；2（3）*2*1；（4）4(x y1)y(y2x)习题习题 1 12 21分解因式：（1）a 1；（2）4x 13x 9；22（3）b c 2ab2ac2bc；（4）3x 5xy 2y x9y 422223422在实数围因式分解：2（1）x 5x3；（2）x 2 2x3；2（3）3x 4xy y；（4）(x 2x)7(x 2x)123ABC三边a，b，c满足a b c abbcca，试判定ABC的形状224分解因式：*(aa)222222225.（尝试题）已知 abc=1，a+b+c=2，a+b+c=，求111+的值.abc-1bca-1ca b-12.12.1一元二次方程一元二次方程根的判别式根的判别式 情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根（如求方程的根（1 1）x 2x 30(2)(2)x 2x 1 0(3)(3)x 2x 3 0 2我们知道，对于一元二次方程a*b*c0（a0），用配方法可以将其变形为222b2b24ac(x)22a4a因为a0，所以，4a0于是2（1）当b4ac0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根2bb24ac*1，2；2a.z.-（2）当b4ac0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根2*1*22b；2ab2)一定大于或等于零，因2a（3）当b4ac0 时，方程的右端是一个负数，而方程的左边(x此，原方程没有实数根222由此可知，一元二次方程a*b*c0（a0）的根的情况可以由b4ac来判定，我们把b4ac叫做一元二次方程a*b*c0（a0）的根的判别式根的判别式，通常用符号“”来表示2综上所述，对于一元二次方程对于一元二次方程a*a*b*b*c c0 0（a a0 0），有，有2 2bb24ac（1 1）当当 0 0 时，方程有两个不相等的实数根时，方程有两个不相等的实数根*1，2；2ab（2 2）当）当 0 0 时，方程有两个相等的实数根时，方程有两个相等的实数根*1*2；2a（3 3）当）当 0 0 时，方程没有实数根时，方程没有实数根例 1判定下列关于*的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根22（1）*3*30；（2）*a*10；22（3）*a*(a1)0；（4）*2*a02解：（1）3 41330，方程没有实数根（2）该方程的根的判别式a41(1)a40，所以方程一定有两个不等的实数根22aa24aa24x1，x222（3）由于该方程的根的判别式为222a41(a1)a4a4(a2)，所以，当a2 时，0，所以方程有两个相等的实数根*1*21；当a2 时，0，所以方程有两个不相等的实数根*11，*2a1（3）由于该方程的根的判别式为22 41a44a4(1a)，所以当 0，即 4(1a)0，即a1 时，方程有两个不相等的实数根x11 1a，x21 1a；当 0，即a1 时，方程有两个相等的实数根*1*21；当 0，即a1 时，方程没有实数根说明：说明：在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题根与系数的关系（韦达定理）根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程a*b*c0（a0）有两个实数根2bb24acbb24acx1，x2，2a2a则有bb24acbb24ac2bbx1 x2；2a2a2aa.z.-bb24ac bb24acb2(b24ac)4accx1x222a2a4a24aa所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：2 2如果如果a*a*b*b*c c0 0（a a0 0）的两根分别是）的两根分别是*1 1，*2 2，则，则*1 1*2 2bc，*1 1*2 2这一关系也被称为韦达定韦达定aa理理2特别地，对于二次项系数为1 的一元二次方程*p*q0，若*1，*2是其两根，由韦达定理可知*1*2p，*1*2q，即p(*1*2)，q*1*2，所以，方程*p*q0 可化为*(*1*2)*1*20，由于*1，*2是一元二次方程*p*q02222的两根，所以，*1，*2也是一元二次方程*(*1*2)*1*20因此有以两个数以两个数*1 1，*2 2为根的一元二次方程（二次项系数为为根的一元二次方程（二次项系数为 1 1）是）是*2 2(*1 1*2 2)*1 1*2 20 0例 2 已知方程5x kx6 0的一个根是 2，求它的另一个根及k的值分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值2解法一：2 是方程的一个根，52 k260，k7所以，方程就为 5*7*60，解得*12，*222353，k的值为7563解法二：设方程的另一个根为*1，则2*1，*1553k由（）2，得k7553所以，方程的另一个根为，k的值为75所以，方程的另一个根为例 3 已知关于*的方程*2(m2)*m40 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求m的值分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21 得到关于m的方程，从而解得m的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零解：设*1，*2是方程的两根，由韦达定理，得*1*22(m2)，*1*2m2422*1*2*1*221，22(*1*2)3*1*221，2即2(m2)3(m4)21，2化简，得m16m170，解得m1，或m172当m1 时，方程为*6*50，0，满足题意；22当m17 时，方程为*30*2930，30 412930，不合题意，舍去22综上，m17说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式 是否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根例 4 已知两个数的和为 4，积为12，求这两个数分析：我们可以设出这两个数分别为*，y，利用二元方程求解出这两个数也可以利用韦达定理转化.z.-出一元二次方程来求解解法一：设这两个数分别是*，y，则*y4，*y12由，得y4*，代入，得*(4*)12，2即*4*120，*12，*26x1 2,x2 6,或y 6,y 2.12因此，这两个数是2 和 62解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程*4*120 的两个根解这个方程，得*12，*26所以，这两个数是2 和 6说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷2例 5若*1和*2分别是一元二次方程 2*5*30 的两根（1）求|*1*2|的值；（2）求1133的值；（3）*1*2x12x222解：*1和*2分别是一元二次方程 2*5*30 的两根，x1 x2 53，x1x2 222222（1）|*1*2|*1+*22*1*2(*1*2)4*1*2()4()5223225496，44|*1*2|7221212（2）x x211x12x22x x22335325()22()3(x1 x2)2x1x237224239(x1x2)9()22422 2（3）*1*2(*1*2)(*1*1*2*2)(*1*2)(*1*2)3*1*22(5523215)()3()2228说明：一元二次方程的两根之差的绝对值两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：2设*1和*2分别是一元二次方程a*b*c0（a0），则bb24acbb24acx1，x2，2a2abb24acbb24ac2 b24ac|*1*2|2a2a2ab24ac|a|a|于是有下面的结论：若若*1 1和和*2 2分别是一元二次方程分别是一元二次方程a*a*b*b*c c0 0（a a0 0），则，则|*1 1*2 2|2 22 2（其中（其中 b b4 4acac）|a|今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论2例 6若关于*的一元二次方程*a40 的一根大于零、另一根小于零，数a的取值围.z.-解：设*1，*2是方程的两根，则*1*2a40，2且(1)4(a4)0由得a4，17由得aa的取值围是a44练习1选择题：（1）方程x 2 3kx3k 0的根的情况是（）（A）有一个实数根（B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根2（2）若关于*的方程m*(2m1)*m0 有两个不相等的实数根，则实数m的取值围是（）（A）m2211（B）m4411（C）m，且m0（D）m，且m04422填空:（1）若方程*3*10 的两根分别是*1和*2，则211x1x2（2）方程m*2m0（m0）的根的情况是（3）以3 和 1 为根的一元二次方程是3已知a28a16|b1|0，当k取何值时，方程k*a*b0 有两个不相等的实数根？24已知方程*3*10 的两根为*1和*2，求(*13)(*23)的值习题习题 2.12.1A A组组1选择题:2（1）已知关于*的方程*k*20 的一个根是 1，则它的另一个根是（）（A）3（B）3（C）2（D）2（2）下列四个说法：2方程*2*70 的两根之和为2，两根之积为7；2方程*2*70 的两根之和为2，两根之积为 7；2方程 3*70 的两根之和为 0，两根之积为227；3方程 3*2*0 的两根之和为2，两根之积为 0其中正确说法的个数是（）（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个22（3）关于*的一元二次方程a*5*aa0 的一个根是 0，则a的值是（）（A）0（B）1（C）1（D）0，或12填空:2（1）方程k*4*10 的两根之和为2，则k222（2）方程 2*40 的两根为，则 （3）已知关于*的方程*a*3a0 的一个根是2，则它的另一个根是2（4）方程 2*2*10 的两根为*1和*2，则|*1*2|223试判定当m取何值时，关于*的一元二次方程m*(2m1)*10 有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？24求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程*7*10 各根的相反数B B组组2.z.-1选择题:22若关于*的方程*(k1)*k10 的两根互为相反数，则k的值为()（A）1，或1（B）1（C）1（D）02填空:222（1）若m，n是方程*2005*10 的两个实数根，则m nmnmn的值等于23223（2）如果a，b是方程*10 的两个实数根，则代数式aa babb的值是23已知关于*的方程*k*20（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为*1和*2，如果 2(*1*2)*1*2，数k的取值围24一元二次方程a*b*c0（a0）的两根为*1和*2求：（1）|*1*2|和2x1 x233；（2）*1*225关于*的方程*4*m0 的两根为*1，*2满足|*1*2|2，数m的值C C组组1选择题：2（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2*8*70 的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（）（A）3（B）3（C）6（D）9（2）若*1，*2是方程 2*4*10 的两个根，则2x1x2的值为（）x2x13（A）6（B）4（C）3（D）222（3）如果关于*的方程*2(1m)*m0 有两实数根，则 的取值围为（）11（B）（C）1（D）122c2（4）已知a，b，c是 ABC的三边长，则方程c*(ab)*0 的根的情况是()4（A）（A）没有实数根（B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（D）有两个异号实数根22填空：若方程*8*m0 的两根为*1，*2，且 3*12*218，则m23 已知*1，*2是关于*的一元二次方程 4k*4k*k10 的两个实数根（1）是否存在实数k，使(2*1*2)(*12*2)3成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；2xxx（2）求使122 的值为整数的实数k的整数值；（3）若k2，1，试求的值x2x2x12m2 04已知关于*的方程x(m2)x4（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根*1，*2满足|*2|*1|2，求m的值及相应的*1，*225若关于*的方程*a0 的一个大于 1、零一根小于 1，数a的取值围2 22 2二次函数二次函数2二次函数二次函数y ya*a*2 2b*b*c c的图象和性质的图象和性质情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图（1 1）y x(2)(2)y x(3)(3)y x 2x 3问题 1函数ya*与y*的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y2*，y2222212*，y2*2的图象，通过这些函数图象与函数y2.z.-*的图象之间的关系，推导出函数ya*与y*的图象之间所存在的关系22先画出函数y*，y2*的图象先列表：222*222*3918248211200021122483918从表中不难看出，要得到2*的值，只要把相应的*的值扩大两倍就可以了22再描点、连线，就分别得到了函数y*，y2*的图象（如图 21 所示），从图 21 我们可以得到22这两个函数图象之间的关系：函数y2*的图象可以由函数y*的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y212*，y2*2的图象，并研究这两个函数图象与函2数y*的图象之间的关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：2 22 2二次函数二次函数y ya*a*(a a0)0)的图象可以由的图象可以由y y*的图象各点的纵坐标变为原来的的图象各点的纵坐标变为原来的a a倍得到在二次函数倍得到在二次函数y ya*a*2 2(a a0)0)中，二次项系数中，二次项系数a a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小22问题 2函数ya(*h)k与ya*的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系同学们可以作出函数y2(*1)21 与y2*2的图象（如图 22 所示），从函数的同学我们不难发现，y2只要把函数y2*的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到y2(*1)212函数y2(*1)1 的图象这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”y2(*1)2的特点类似地，还可以通过画函数y3*，y3(*1)1 的图象，研究它们图象之间的相互关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：2 2二次函数二次函数y ya a(*h h)k k(a a0)0)中，中，a a决定了二次函数图象的开口大小及方向；决定了二次函数图象的开口大小及方向；22y2*2h h决定了二次函数图象的左右平移，而且决定了二次函数图象的左右平移，而且“h h正左移，正左移，h h负右移负右移”；k k决定了二次决定了二次函数图象的上下平移，而且函数图象的上下平移，而且“k k正上移，正上移，k k负下移负下移”2由上面的结论，我们可以得到研究二次函数ya*b*c(a0)的图象的方法：1O图 2.2-2*b2b2bb2由于ya*b*ca(*x)ca(*x2)c4a4aaab2b24ac a(x)，2a4a2222所以，ya*b*c(a0)的图象可以看作是将函数ya*的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数ya*b*c(a0)具有下列性质：2b4acb2,)，对称轴为直线，对称轴为直线*（1 1）当）当a a0 0 时，函数时，函数y ya*a*b*b*c c图象开口向上；顶点坐标为图象开口向上；顶点坐标为(2a4abbbb；当；当*时，时，y y随着随着*的增大而减小；当的增大而减小；当*时，时，y y随着随着*的增大而增大；当的增大而增大；当*时，时，2a2a2a2a4acb2函数取最小值函数取最小值y y4ab4acb22 2,)，对称轴为直，对称轴为直（2）当当a a0 0 时，时，函数函数y ya*a*b*b*c c图象开口向下；图象开口向下；顶点坐标为顶点坐标为(2a4abbbb线线*；当当*时，时，y y随着随着*的增大而增大；的增大而增大；当当*时，时，y y随着随着*的增大而减小；的增大而减小；当当*时，时，2a2a2a2a2 2.z.-4acb2函数取最大值函数取最大值y y4a上述二次函数的性质可以分别通过图223 和图 224 直观地表示出来因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题2yb4acby2y,)A(y*2例 1求二次函数by3*6*1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、y2*22a4a*最大值（或最小值），并指出当*取何值时，y随*的增大而增大（或减小）？并画2a出该函数的图象22解：y3*6*13(*1)4，A(1,4)y函数图象的开口向下；O对称轴是直线*1；*O*顶点坐标为(1，4)；b4acb2当*1 时，函数b,y取最大值)y4；A(*O*2a4a当*1 时，y随着*的增大而增大；当*1 时，y随着*2的增大而减a图 2.2-1D(0,1)小；图 2.2-4图 2.2-3采用描点法画图，选顶点A(1，4)，与*轴交于点B(2 3 3,0)和3COB*1图 2.25*C(2 3 3,0)，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图25 所3示）说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确2 2函数函数y ya*a*b*b*c c图象图象作图要领：（1）确定开口方向：由二次项系数a 决定（2）确定对称轴：对称轴方程为x b2a2 2（3）确定图象与*轴的交点情况，若0 则与*轴有两个交点，可由方程*b*b*c=0c=0求出求出2 2若=0 则与*轴有一个交点，可由方程*b*b*c=0c=0求出求出若0 则与*轴有无交点。（4）确定图象与 y 轴的交点情况,令*=0 得出 y=c，所以交点坐标为（0，c）（5）由以上各要素出草图。练习：作出以下二次函数的草图（1）y x x 6(2)y x 2x 122(3)y x 12例 2*种产品的成本是 120 元/件，试销阶段每件产品的售价*（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：*/元y/件130701505016535若日销售量y是销售价*的一次函数，则，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润日销售量y(销售价*120)，日销售量y又是销售价*的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价*之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值解：由于y是*的一次函数，于是，设yk*（B）将*130，y70；*150，y50 代入方程，有解得k1，b200y*200设每天的利润为z（元），则z(*+200)(*120)*2320*24000(*160)21600，当*160 时，z取最大值 1600答：当售价为 160 元/件时，每天的利润最大，为1600 元.z.-例 3把二次函数y*b*c的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数y*的图像，求b，c的值b2b22解法一：y*b*c(*+)c，把它的图像向上平移2 个单位，再向左平移4 个单位，得到42bb222y (x4)c2的图像，也就是函数y*的图像，所以，24 b4 0,2解得b8，c142bc2 0,422解法二：把二次函数y*b*c的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数y*22的图像，等价于把二次函数y*的图像向下平移 2 个单位，再向右平移4 个单位，得到函数y*b*c的图像22由于把二次函数y*的图像向下平移 2 个单位，再向右平移4 个单位，得到函数y(*4)2 的图22