射影几何调和点列作图与阿波罗尼斯圆的联系.pdf

第38卷 第11期2020年11月河 南 科 学HENAN SCIENCEVol.38 No.11Nov.2020收稿日期：2020-07-09基金项目：2019年度陕西省高等教育教学改革研究项目（19BY120）；安康学院硕士点培育学科专项（2016AYXNZX009）作者简介：赵临龙（1960-），男，教授，主要研究方向为几何、微分方程.文章编号：1004-3918（2020）11-1727-05射影几何调和点列作图与阿波罗尼斯圆的联系赵临龙（安康学院 数学与统计学院，陕西 安康725000）摘要：利用射影几何的调和点列，探讨阿波罗尼斯圆的性质，并且利用这些结论，解决圆切线几何作图和相关数学考题中的问题，进而从统一结构形式给出命题的推广.关键词：射影几何；调和点列；阿波罗尼斯圆；统一形式；命题推广中图分类号：O 182.1文献标识码：AThe Harmonic Points Mapping of Projective Geometry and the Relationwith Apolloning CircleZHAO Linlong（School of Mathematics and Statistics，Ankang University，Ankang 725000，Shaanxi China）Abstract：The paper discusses the properties of Apolloning circles by using the harmonic points of projective geometry，and uses these conclusions to solve the problems in geometric drawing of tangent lines and related mathematicalexamination questions，and then gives the generalization of propositions from the form of unified structure.Key words：projective geometry；harmonic points；Apolloning round；unified form；propositional generalization1问题背景在射影几何中，调和点列是最基本也是最重要的概念，是射影几何理论建立及其研究的重要工具.如利用调和点列形成的极点与极线概念，是研究二次曲线内在结构的重要工具.因此，调和点列的几何作图成为人们讨论的热点.在 高等几何1中，关于调和点列的几何作图，先后给出欧式几何的圆中作图、仿射几何的平行线作图、射影几何的完全四边形作图和射影对应作图等.现对于仿射几何的平行线作图进行讨论.命题1如图1.已知点列A、B、C，求其调和点列D满足（AB，CD）=-1.作法如图1.在直线AB异侧过点C作直线AB，使AC=CB；连接AABB=S；过点S作SD/AB交直线AB于点D.则点D为所求点，即（AB，CD）=-1.证明如图1.由于SD/AB，设SDAB=D，则（AB，CD）=（AB，CD），由AC=CB，得（AB，CD）=（AB，CD）=-1.现在，对于A、B两点，C、D分别为线段AB的定比（1）的内外分点.设AB=2a，ACCB=ADDB（1），则AC=2a+1，CB=2a+1，图1调和点列的作图Fig.1Mapping of harmonic pointsAACBBDS第38卷 第11期河 南 科 学2020年11月AD=2a-1，DB=2a-1，其中1.于是，CD=AD-AC=4a2-1，其中1.若记直角坐标点A（-a，0）、B（a，0）以及点P（x，y）满足PA PB=（1），则有解析几何曲线方程：(xa)2y2=2()(x-a)2+y2(1)，（1）(2-1)x2-2a(1+2)x+(2-1)y2+a2(2-1)=0(1)，（2）即x-1+22-1a2+y2=42a2(2-1)2(1).（3）方程（3）的几何意义是以CD为直径的圆，该圆在欧式几何中叫作阿波罗尼斯圆.命题22（阿波罗尼斯圆）已知两点A、B，C、D分别为线段AB的定比（1）的内外分点，则以CD为直径的圆上任意点到A、B两点的距离之比为.2问题讨论阿波罗尼斯（Apolloning，约公元前260170）是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德一起被称为亚历山大时期的数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要的研究成果集中在他的代表作 圆锥曲线 一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一2.在阿波罗尼斯圆方程（3）建立中，由|CD=|22-1|AB（1）得到调和线段|AB、|CD的关系.推论1已知两点A、B，C、D分别为线段AB的定比（1）的内外分点，则|CD|AB=|22-1.如图1，在调和点列作图中，当AA/BB时，AABB=S.此时，AABB为平行四边形，点C为AB的中点，则点列A、B、C的调和点为无穷远点D.推论2在阿波罗尼斯圆中，当点C为线段AB的中点（即=1）时，则该圆退化为2条直线，分别为线段AB的中垂线和无穷远线.如图1，当交点S=AABB在该阿波罗尼斯圆上时，则有关系：SBBB=SDCB=SDCA=SAAA，即AABB=SASB=.推论3已知两点A、B，C、D分别为线段AB的定比（1）的内外分点，且交点S=AABB，则点S在阿波罗尼斯圆上的充分必要条件是AA BB=.此时，当直线AS为阿波罗尼斯圆的切线（S为切点）时，则由圆直径的对称性，得到该阿波罗尼斯圆的切线AS（S为切点），于是SS是极点A关于该阿波罗尼斯圆的极线，则该阿波罗尼斯圆心与极点的连线ABSS3.推论4如图2，已知两点A、B，C、D分别为线段AB的定比（1）的内外分点，关于阿波罗尼斯圆过点B作垂直于直径的弦SS，则AS、AS为该圆的切线.3理论应用3.1几何作图题例1已知两点A、B，C、D分别为线段AB的定比（1）的内外分点，作出阿波罗尼斯圆.作法1对于线段AB，直接作出其定比为（1）的内外分点C、D，则以CD为直径即可作出阿波罗尼斯圆.作法2如图2，对于线段AB，作出其定比为（1）的内分点C或外分点D，过点B作SBAB，且使SB=图2阿波罗尼斯圆的切线作图Fig.2The tangents of Apolloning circleACBSDS-1728引用格式：赵临龙.射影几何调和点列作图与阿波罗尼斯圆的联系 J.河南科学，2020，38（11）：1727-1731.12-1AB（1）；过点S作SDSC交AB延长线于点D或过点S作SCSD交AB于点C，则以CD为直径作出阿波罗尼斯圆.证明如图2，设AB=2a，则AC=2a+1，CB=2a+1，AD=2a-1，DB=2a-1（1）.由于SB=12-1AB，则SB2=4a22-1=2a+12a-1=CBDB，于是有直角三角形CDS.此时，AS2=AB2+BS2=4a2+4a22-1=42a22-1，则 SA SB=（1）.即 SC、SD 分别是三角形ABS 的内角和外角平分线，所以（AB，CD）=-1.得到以CD为直径的阿波罗尼斯圆.推论5对于（AB，CD）=-1，过阿波罗尼斯圆外点A作该圆的切线AS（S为切点），则切点S与该圆直径直线ACD构成的直线SC，SD分别为ASB的内、外角平分线.注在例1中，对于032，则缉私艇总能够在领海内成功拦截走私船.注此解法较三角解法，避免了题中参考数据的处理.更重要的是对于该问题还可以进一步研究.若对于此问题前提条件不变的情况下，问缉私艇总能够在领海内成功拦截走私船的最低速度v（记走私船的速度为单位1，v1）.此时，由阿波罗尼斯圆方程C:x2v2v212 y2 2v2v212=4vv212（1），由圆C到l的距离：d=3.8-2v2v214vv21，即1.8v24v-3.80，求得v1.47.推广1在例题4中，缉私艇的航速是走私船航速的1.47倍，则缉私艇在领海内才能成功拦截走私船.例5（2019年全国高考数学全国一卷理科试题）已知抛物线C y23x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A、B，与x轴的交点为P.1）若|AF+BF 4，求l的方程；2）若 AP3 PB，求|AB.解法1）略.2）设点P（t，0），则直线l方程为x23yt，结合抛物线方程y23x，得到：y22y3t0.设点A（x1，y1）、B（x2，y2），则y1+y2=2，y1y2=-3t.由于 AP=3 PB，则y1=-3y2，于是y1=3，y2=-1，t=1.即A（3，3）、B13,-1、P（1，0）.此时，可以直接求得|AB=3-132+(3+1)2=4313，也可以间接求得|AB=(x1x2)2+(y1y2)2=49+1|y1-y2=133(y1+y2)2-4y1y2=1334+12=4 133.我们还可以构造阿波罗尼斯圆结构关系，设点 Q 关于点列 A、B、P 满足调和关系（AB，PQ）=-1，即-1730=AQQB=-APPQ=-3，则点Q坐标为：x=x1+x21+=3-1-2=-1，y=y1+y21+=3+3-2=-3.则|AP=(3-1)2+(3)213，|AQ=(3+1)2+(3+3)2=2 13，即0=APAQ=12.由于|PQ=(1+1)2+(3)2=13，则以AB为直径的阿波罗尼斯圆（半径为r）有结果：r=12|AB=020-1|PQ=1214-113=2313，即|AB=4313.利用阿波罗尼斯圆探求|AB的值，其过程较其他方法烦琐，但它揭示了调和线段|AB与|PQ的关系.推广2已知抛物线C；y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A、B，与x轴的交点为P，且直线l上的点Q满足（AB，PQ）=-1.1）若 AP=3 PB，求|AB；2）对于 AP=AQ（1），则|AB=22-1|PQ.参考文献：1 周振荣，赵临龙.高等几何 M.武汉：华中师范大学出版社，2014.2 温庆峰.从一道课本习题看“阿波罗尼斯”圆筅 J.中学数学（高中），2019（13）：38-39.3 赵临龙.二次曲线配极理论及其应用 J.河南科学，2013，30（12）：2119-2120.4 李锦旭.趣说阿波罗尼斯圆与高考 J.中学生数学，2004（9）：32-33.5 周永兴.从江苏08年高考13题的解法看“阿波罗尼斯圆”的应用 J.数学通报，2009（5）：58-59.6 袁玉芹.“阿波罗尼斯圆”高考现身 J.数理天地（高中版），2012（2）：5.7 徐梅香.由阿波罗尼斯圆衍生的椭圆性质 J.中学数学月刊，2014（6）：60-61.8 余建国.阿氏圆为背景编拟问题的新视角 J.中学教研（数学），2015（7）：16-18.9 杨炼.阿波罗尼斯圆的新性质及应用 J.中学数学杂志，2016（5）：31-33.10 王晓宇.圆中幽灵阿波罗尼斯圆 J.中学数学（高中），2017（9）：59-60.11 马进才，雷红涛.阿波罗尼斯圆性质及其应用 J.中学数学研究，2017，12（上）：12-14.12 朱朋.对阿波罗尼斯圆的再认识 J.数理天地（高中版），2018（C2）：22-23.13 刘瑞富.以阿波罗尼斯圆为背景的试题探究 J.中学数学研究，2018（4）：16-18.14 张守江.阿波罗尼斯圆在高考中的应用之管窥 J.数学教学研究，2018（6）：40-45.15 侯有岐.巧用阿波罗尼斯圆妙求最值 J.中学生数学，2018（9）：15-16.16 王耀文.又见阿波罗尼斯圆 J.福建中学数学，2018（11）：40-41.17 赵勇.关于阿波罗尼斯圆的一种变形 J.高中数学教与学，2019（8）：41-42.18 耿少峰.反演变换视角下的阿波罗尼斯圆 J.中学数学杂志，2019（11）：21-24.19 冯联英.研究阿波罗尼斯圆的数学文化价值 J.中学数学（高中），2019（19）：76-77.20 翟丽.阿波罗尼斯圆的拓展及其教学价值 J.高中数学教与学，2019（22）：13-15.21 孙祥明.“阿波罗尼斯圆”的尺规作图分析 J.考试周刊，2019（48）：95.（编辑康艳）引用格式：赵临龙.射影几何调和点列作图与阿波罗尼斯圆的联系 J.河南科学，2020，38（11）：1727-1731.-1731