三角恒等变换 （解析版）.pdf

三角恒等变换三角恒等变换【考点预测】【考点预测】知识点一两角和与差的正余弦与正切知识点一两角和与差的正余弦与正切sin()=sincoscossin；cos()=coscossinsin；tan()=tantan1tantan；知识点二二倍角公式知识点二二倍角公式sin2=2sincos；cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2；tan2=2tan1-tan2；知识点三：降次知识点三：降次(幂幂)公式公式sincos=12sin2;sin2=1-cos22;cos2=1+cos22;知识点四：半角公式知识点四：半角公式sin2=1-cos2;cos2=1+cos2;tan2=sin1+cos=1-cossina.知识点五辅助角公式知识点五辅助角公式asin+bcos=a2+b2sin(+)(其中sin=ba2+b2，cos=aa2+b2，tan=ba)【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】1.两角和与差正切公式变形两角和与差正切公式变形tantan=tan()(1tantan)；tantan=1tan+tantan(+)=tantantan()12.降幂公式与升幂公式降幂公式与升幂公式sin2=1cos22；cos2=1+cos22；sincos=12sin2；1+cos2=2cos2；1cos2=2sin2；1+sin2=(sin+cos)2；1sin2=(sincos)23.其他常用变式其他常用变式sin2=2sincossin2+cos2=2tan1+tan2；cos2=cos2sin2sin2+cos2=1tan21+tan2；tan2=sin1+cos=1cossin3.拆分角问题：=22；=(+)-；=-(-)；=12(+)+(-)；=12(+)-(-)；4+=2-4-注意 特殊的角也看成已知角，如=4-4-【题型归纳目录】【题型归纳目录】题型一：两角和与差公式的证明题型一：两角和与差公式的证明题型二：给式求值题型二：给式求值题型三：给值求值题型三：给值求值题型四：给值求角题型四：给值求角题型五：正切恒等式及求非特殊角题型五：正切恒等式及求非特殊角【典例例题】【典例例题】题型一：两角和与差公式的证明题型一：两角和与差公式的证明例例1.1.(20222022 山西省长治市第二中学校高一期末山西省长治市第二中学校高一期末)(1)试证明差角的余弦公式 C(-)：cos(-)=coscos+sinsin；(2)利用公式C(-)推导：和角的余弦公式C(+)，正弦公式S(+)，正切公式T(+)；倍角公式S(2)，C(2)，T(2).【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析；答案见解析【解析】在单位圆里面证明C(-)，然后根据诱导公式即可证明C(+)和S(+)，利用正弦余弦和正切的关系即可证明T(+)；用正弦余弦正切的和角公式即可证明对应的二倍角公式.【详解】(1)不妨令2k+,kZ Z.如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A 1,0，以x轴非负半轴为始边作角,-，它们的终边分别与单位圆相交于点P1cos,sin，A1cos,sin，P cos-,sin-.连接A1P1,AP.若把扇形OAP绕着点O旋转角，则点A,P分別与点A1,P1重合.根据圆的旋转对称性可知，AP与A1P1重合，从而，AP=A1P1，AP=A1P1.根据两点间的距离公式，得：cos-12+sin2-=(cos-cos)2+(sin-sin)2，化简得：cos-=coscos+sinsin.当=2k+kZ Z时，上式仍然成立.，对于任意角,有：cos-=coscos+sinsin.(2)公式C(+)的推导：cos+=cos-=coscos-+sinsin-=coscos-sinsin.公式S+的推导：sin+=cos+-2=cos-2-=coscos2-+sinsin2-=cossin+sincos正切公式T+的推导：tan+=sin+cos+=sincos+cossincoscos-sinsin=tan+tan1-tantan公式S2的推导：由知，sin2=sin+=cossin+sincos=2sincos.公式C2的推导：由知，cos2=cos+=coscos-sinsin=cos2-sin2.公式T2的推导：由知，tan2=tan+=tan+tan1-tantan=2tan1-tan2.例例2.2.(20222022 云南云南 昭通市第一中学高三开学考试昭通市第一中学高三开学考试(文文)已知以下四个式子的值都等于同一个常数sin226+cos234-3sin26cos34；sin239+cos221-3sin39cos21；sin2-52+cos2112-3sin-52cos112；sin230+cos230-3sin30cos30.(1)试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论.【答案】(1)选第四个式子，14；(2)证明见解析.【解析】(1)选第四个式子，由sin30=12,cos30=32即可求三角函数式的值；(2)由题意，设一个角为，另一个角为60-，应用两角差的余弦公式展开三角函数，由同角正余弦的平方和关系化简求值【详解】(1)由第四个式子：sin230+cos230-3sin30cos30=14+34-34=14(2)证明：sin2+cos260-3sincos 60-=sin2+12cos+32sin2-3sin12cos+32sin=sin2+14cos2+32sincos+34sin2-32sincos-32sin2=14【点睛】本题考查了三角函数，利用特殊角的函数值求三角函数式的值，应用两角差余弦公式展开三角函数式及同角的正余弦平方和关系化简求值，属于简单题例例3.3.(20222022 陕西省商丹高新学校模拟预测陕西省商丹高新学校模拟预测(理理)如图带有坐标系的单位圆 O 中，设 AOx=，BOx=，AOB=-，(1)利用单位圆向量知识证明：cos(-)=coscos+sinsin(2)若2,，0,2，cos(-)=-45，tan=-512，求cos的值【答案】(1)证明见解析；(2)6365【解析】(1)根据向量的数量积公式即可证明；(2)根据角的范围分别求出正弦和余弦值，利用两角和的余弦公式计算得出答案【详解】(1)由题意知：|OA|=|OB|=1，且OA 与OB 的夹角为-，所以OA OB=11cos(-)=cos(-)，又OA=(cos,sin)，OB=(cos,sin)，所以OA OB=coscos+sinsin，故cos(-)=coscos+sinsin(2)2,且tan=-512，则sin=513,cos=-1213；0,2，则-2,0，又2,，-0,，cos(-)=-45,sin(-)=35，cos=cos-=coscos-+sinsin-=-1213-45+51335=6365【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的定义，考查平面向量数量积的坐标运算，考查两角和与差的余弦公式，属于中档题例例4.4.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)如图，考虑点A(1,0)，P1(cos,sin)，P2(cos,-sin)，P(cos(+),sin(+)，从这个图出发.(1)推导公式：cos(+)=coscos-sinsin；(2)利用(1)的结果证明：coscos=12cos(+)+cos(-)，并计算sin37.5cos37.5的值.【答案】(1)推导见解析；(2)证明见解析，6+28【解析】(1)根据图象可知 AP 2=P1P2 2，再展开化简，得到两角和的余弦公式；(2)首先令=-，求cos-，再代入所证明的公式；首先根据二倍角公式和诱导公式化简为sin37.5cos37.5=12sin75=12cos15，再根据两角差的余弦公式化简.【详解】(1)因为P1(cos,sin),P2(cos,-sin),P(cos(+),sin(+)，根据图象，可得AP2=P1P2 2，即|AP|2=P1P2 2，即(cos(+)-1)2+sin2(+)=(cos-cos)2+(sin+sin)2.即cos(+)=coscos-sinsin.(2)由(1)可得cos(+)=coscos-sinsin，cos(-)=coscos+sinsin 由+可得：2coscos=cos(+)+cos(-)所以coscos=12cos(+)+cos(-)，所以sin37.5cos37.5=12sin75=12cos15=12cos 45-30.=12cos45cos30+sin45sin30=122232+2212=6+28【点睛】本题考查两角和差余弦公式的证明，以及利用三角恒等变换求值，重点考查逻辑推理证明，公式的灵活应用，属于基础题型.【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.题型二：给式求值题型二：给式求值例例5.5.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知 sin=2 67，cos-=105，且 0 34，0 34，则 sin=()A.9 1535B.11 1035C.1535D.1035【答案】A【解析】易知sin=sin-，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos和sin-，分别在sin-=155和-155两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sin，结合的范围可确定最终结果.【详解】sin=2 6722且034，04，cos=1-sin2=57.又034，-34-4，sin-=1-cos2-=155.当sin-=155时，sin=sin-=sincos-cossin-=2 67105-57155=-1535，00，sin=-1535不合题意，舍去；当sin-=-155，同理可求得sin=9 1535，符合题意.综上所述：sin=9 1535.故选：A.【点睛】易错点睛：本题中求解cos时，易忽略sin的值所确定的的更小的范围，从而误认为cos的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.例例6.6.(20202020 四川四川 乐山外国语学校高三期中乐山外国语学校高三期中(文文)已知sin 15-2=tan210，则sin 60+的值为()A.13B.-13C.23D.-23【答案】A【解析】根据题意得到sin 15-2=33进而得到cos215-2=69，cos 30-=13，从而有sin 60+=sin 90-30-=cos 30-.【详解】sin 15-2=tan210，sin 15-2=tan210=tan 180+30=tan30=33，则cos215-2=1-sin215-2=69，cos 30-=cos215-2-sin215-2=13，sin 60+=sin 90-30-=cos 30-=13，故选A.【点睛】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题.例例7.7.(20202020 全国全国 高三专题练习高三专题练习)若cos3-2x=-78，则sin x+3的值为().A.14B.78C.14D.78【答案】C【解析】利用倍角公式以及诱导公式，结合已知条件，即可求得结果.【详解】cos3-2x=cos 26-x=2cos26-x-1=-78，cos6-x=14，sin x+3=cos2-x+3=cos6-x=14，故选：C.【点睛】本题考查利用三角恒等变换解决给值求值问题，属基础题.例例8.8.(多选题多选题)()(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)设sin+6+sin=3+12，则sin-3=()A.32B.12C.-12D.-32【答案】AC【解析】利用三角恒等变换化简已知条件，结合同角三角函数的基本关系式，求得sin-3.【详解】依题意sin+6+sin=3+12，sin-3+2+sin-3+3=3+12，cos-3+12sin-3+32cos-3=3+12，12sin-3+3+22cos-3=3+12，sin-3+3+2cos-3=3+1，cos-3=3+1-sin-33+2，代入sin2-3+cos2-3=1，sin2-3+3+1-sin-33+22=1，化简得 8+4 3sin2-3-2 3+2sin-3-3+2 3=0，两边除以3+2，4sin2-3+2-2 3sin-3-3=0，2sin-3+12sin-3-3=0，解得sin-3=-12或sin-3=32.故选：AC例例9.9.(20222022 全国全国 模拟预测模拟预测(文文)已知,0,2，cos2=35，cos+=45，则 cos=_.【答案】11 525【解析】由,0,2，cos+=45，即可求得sin+，用二倍角公式即可求得sin 和cos，用拼凑角思想可表示出=+-，用三角恒等变换公式求解即可.【详解】因为cos+=45，且,0,2，所以sin+=35.又因为cos2=1-2sin2=35，解得sin=55，则cos=1-sin2=2 55，故cos=cos+-=cos+cos+sin+sin=452 55+3555=11 525.故答案为：11 525例例10.10.(20222022 上海静安上海静安 模拟预测模拟预测)已知sin+4=-32，则sin2的值为_【答案】12#0.5【解析】由倍角公式以及诱导公式求解即可【详解】cos2+4=1-2sin2+4=1-234=-12cos2+4=cos2+2=-sin2sin2=12故答案为：12例例11.11.(20222022 江苏泰州江苏泰州 模拟预测模拟预测)若=0时，f=sin2-cos2取得最大值，则sin 20+4=_【答案】1010【解析】首先利用二倍角公式和辅助角公式，化简，再代入求值.【详解】f=sin2-121+cos2=sin2-12cos2-12=522 55sin2-55cos2-12=52sin 2-12(其中cos=2 55，sin=55)，当 f 取最大值时，20-=2，20=+2sin20=sin+2=cos=2 55，cos20=cos+2=-sin=-55sin 20+4=2 5522+-5522=1010故答案为：1010【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.题型三：给值求值题型三：给值求值例例12.12.(20222022 福建省福州第一中学三模福建省福州第一中学三模)若sin=-35，且,32，则1-tan21+tan2=()A.12B.-12C.2D.2【答案】D【解析】由sin=2sin2cos2=2sin2cos2sin22+cos22=2tan2tan22+1，可解得tan2，即可求解【详解】sin=2sin2cos2=-35，故2sin2cos2sin22+cos22=2tan2tan22+1=-35，可解得tan2=-13或tan2=-3，又,32，故tan2=-3，故1-tan21+tan2=-2，故选：D例例13.13.(20222022 湖北武汉湖北武汉 模拟预测模拟预测)已知sin6-x=14，则cos 2x-3=()A.-78B.78C.-154D.154【答案】B【解析】根据题意得sin x-6的值，再根据cos 2x-3=1-2sin2x-6求解即可.【详解】因为sin6-x=-sin x-6，所以sin x-6=-14，cos 2x-3=cos 2 x-6=1-2sin2x-6=1-2-142=78.故选：B.例例14.14.(20222022 湖北湖北 模拟预测模拟预测)已知-2,2，且cos-4=12，则cos2=()A.-32B.32C.12D.32【答案】D【解析】由已知的取值范围，求出-4的取值范围，再结合cos-4=12即可解得的值，cos2即可求解【详解】因为-22，所以-34-44又cos-4=12，所以-4=-3，所以=-12所以cos2=cos-6=cos6=32故选：D例例15.15.(20222022 全国全国 模拟预测模拟预测)已知sin3+=15，则cos 2-3=()A.2325B.-2325C.2 55D.-2 55【答案】B【解析】利用诱导公式化简，然后利用二倍角公式即得.【详解】因为sin3+=cos6-=cos-6=15，所以cos 2-3=cos2-6=2cos2-6-1=2152-1=-2325.故选：B例例16.16.(20222022 黑龙江黑龙江 哈师大附中三模哈师大附中三模(文文)已知sin 45+=35，45135，则cos2=()A.2425B.-2425C.725D.-725【答案】B【解析】首先根据同角三角函数的基本关系求出cos 45+，再利用二倍角公式及诱导公式计算可得；【详解】解：因为45135，所以90+450，故有22，42，解出cos2=-35=2cos2-1cos2=15cos=55，故A错误；sin-cos2=1-sin2=15，由知：42，所以sincos，所以sin-cos=55，故B正确；由知：42，而32，所以54+2，又cos(+)=-2100，所以54+32，解得sin(+)=-7 210，所以cos(-)=cos(+)-2=-210-35+-7 21045=-22又因为54+32，-2-2，所以4-，有-=34，故C正确；由cos(+)=-210coscos-sinsin=-210，由知，cos(-)=coscos+sinsin=-22，两式联立得：coscos=-3 210，故D错误故选：BC【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值sin2=45，确定22，且cos(+)=-2100，进一步确定54+32，这些都是确定函数值的正负，以及角的大小的依据.【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：将待求式用已知三角函数表示；将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式.题型四：给值求角题型四：给值求角例例19.19.(20222022 全国全国 模拟预测模拟预测)已知623，4 3sin15sin-3+4sin15cos3-+tan15=3，则=_【答案】815【解析】由诱导公式、辅助角公式、倍角公式得出sin-6=sin1130，再由正弦函数的性质结合623得出.【详解】由题知3sin-3+cos3-=3-tan154sin15，则3sin-3+cos-3=3cos15-sin154sin15cos15，即2sin-3+6=2sin3-152sin215，即2sin-6=2sin215cos215sin215，即sin-6=cos215=sin2-215=sin1130，则-6=1130+2k或-6+1130=+2k，kZ Z因为623，所以0-60，所以，sin2cos2=3sincos3sin2=cossin，所以，coscos2-sinsin2=cos+2=0，因为、都是锐角，则02且02，则02，所以，0+20,tan0，则02,20，有022，于是得-2-0，因此，2-=-34，所以2-=-34.故选：C【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角.题型五：正切恒等式及求非特殊角题型五：正切恒等式及求非特殊角例例27.27.(20222022 湖北湖北 襄阳四中模拟预测襄阳四中模拟预测)若角 的终边经过点 P sin70,cos70，且 tan+tan2+mtan tan2=3，则实数m的值为()A.-3B.-33C.33D.3【答案】D【解析】先通过诱导公式变形确认的值，再将tan60=3 变形化简【详解】sin70=cos20，cos70=sin20，P cos20,sin20，故tan=tan20，tan2=tan40，又tan60=tan 20+40=tan20+tan401-tan20tan40=3，即tan20+tan40+3tan20tan40=3，m=3故选：D例例28.28.(20212021 重庆八中高三阶段练习重庆八中高三阶段练习)sin10+34tan10=()A.14B.34C.12D.32【答案】A【解析】先将tan10=sin10cos10代入所求式子通分化简，再结合二倍角公式、两角差的正弦公式，即可得解【详解】解：sin10+34tan10=sin10+34sin10cos10=4sin10cos10+3sin104cos10=2sin20+3sin104cos10=2sin(30-10)+3sin104cos10=212cos10-32sin10+3sin104cos10=cos104cos10=14故选：A例例29.29.(20202020 重庆一中高三阶段练习重庆一中高三阶段练习)求值：1-3tan101-cos20=()A.1B.2C.3D.2 2【答案】D【解析】先化切为弦将tan10转化为sin10cos10，然后根据二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式以及诱导公式进行化简求值.【详解】原式=1-3sin10cos102sin210=cos10-3sin102sin10cos10=2cos 10+6022sin20=2 2cos70sin20=2 2cos 90-20sin20=2 2sin20sin20=2 2，故选：D.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于弦切互化以及三角恒等变换公式的运用，一方面需要利用tan10=sin10cos10以及辅助角公式将分子化为一个整体，另一方面需要利用二倍角的正余弦公式将分母化为一个整体.例例30.30.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)tan30+tan70sin10=_.【答案】33【解析】将原式化切为弦，通分，然后利用两角和正弦公式以及二倍角公式，即可求解.【详解】tan30+tan70sin10=sin30cos30+sin70cos70sin10=(sin30cos70+cos30sin70)sin10cos30cos70=sin100sin1032sin20=2sin10cos103sin20=33.故答案为：33.例例31.31.(20222022 江苏南通江苏南通 高三期末高三期末)若1+3tan80=1sin，则的一个可能角度值为_.【答案】50,130,410,490等答案较多【解析】先把1+3tan80化简成1sin50，解得sin=sin50后，解三角方程即可解决.【详解】1+3tan80=sin80+3cos80sin80=2sin(80+60)sin80=2sin1402sin40cos40=2sin402sin40cos40=1cos40=1sin50=1sin则sin=sin50，故=k360+50,kZ，或=k360+130,kZ故答案为：50,130,410,490等均符合题意.例例32.32.(20222022 江苏扬州江苏扬州 模拟预测模拟预测)1-tan751+tan75=_【答案】-33【解析】由两角差的正切公式化简求值【详解】1-tan751+tan75=tan45-tan751+tan45tan75=-tan(75-45)=-tan30=-33故答案为：-33例例33.33.(20222022 贵州黔东南贵州黔东南 一模一模(文文)若tan+=13，tan a-=16，则tan2=_.【答案】917【解析】由2=+-，应用和角正切公式即可求值.【详解】tan2=tan+-=13+161-1316=917.故答案为：917.例例34.34.(20222022 山东山东 青岛二中高三开学考试青岛二中高三开学考试)tan10+tan35+tan10tan35=_【答案】1【解析】由1=tan45=tan 10+35，利用两角和的正切公式计算即可.【详解】因为1=tan45=tan 10+35=tan10+tan351-tan10tan35，所以tan10+tan35+tan10tan35=1故答案为：1【方法技巧与总结】正切恒等式：当A+B+C=k时，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证明：因为tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB，tanC=-tan(A+B)，所以tanA+tanB=-tanC(1-tanAtanB)故tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC【过关测试】【过关测试】一、一、单选题单选题1.(20222022 四川省泸县第二中学模拟预测四川省泸县第二中学模拟预测(文文)已知角 与角 的顶点均与原点 O重合，始边均与 x轴的非负半轴重合，它们的终边关于x轴对称若cos=35，则cos+cos-=()A.-725B.15C.-15D.725【答案】A【解析】根据角与角的位置关系可得与的关系，进而得出与的三角函数关系，结合两角和的余弦公式计算即可.【详解】因为与关于x轴对称，cos=35，所以+=2k，kZ Z，则cos+=1，sin=-sin，cos=cos=35，sin=45，当sin=45时，sin=-45，cos-=coscos+sinsin=3535-4545=-725，当sin=-45时，sin=45，cos-=coscos+sinsin=3535-4545=-725所以cos+cos-=-725，故选：A2.(20222022 全国全国 模拟预测模拟预测(理理)已知sin+cos=1，cos+sin=3，则cos(-)=()A.0B.12C.32D.1【答案】C【解析】将已知两式平方相加可得sin(+)=1，即得=2-+2k,kZ，由此求得sin,cos，化简cos(-)为sin2，由二倍角公式可求得答案.【详解】因为sin+cos=1，cos+sin=3，两式平方相加得：2+2(sincos+cossin)=4，即sin(+)=1，即+=2+2k,kZ，则=2-+2k,kZ，故sin+cos=1即sin+cos2-+2k=1，kZ，即sin=12，cos+sin=3 即cos+sin2-+2k=3，kZ，即cos=32，故cos(-)=cos-2-+2k=sin2=21232=32，故选：C3.(20222022 青海青海 大通回族土族自治县教学研究室三模大通回族土族自治县教学研究室三模(文文)已知tan+4=3，tan+=13，则tan=()A.-17B.17C.1D.2或6【答案】A【解析】根据两角和的正切公式求得tan，再利用tan=tan+-，即可求得答案.【详解】因为tan+4=3，所以1+tan1-tan=3，解得tan=12，又tan+=13，所以tan=tan+-=tan+-tan1+tan+tan=13-121+1312=-17.故选:A.4.(20222022 湖北湖北 黄冈中学模拟预测黄冈中学模拟预测)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m=2sin18，若m2+n=4，则m n2sin227-1=()A.-4B.-2C.2D.4【答案】B【解析】已知条件代入后应用平方关系、余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式、诱导公式化简可得【详解】m n2sin227-1=2sin18 4-4sin2182sin227-1=2sin182cos18-cos54=2sin36-sin36=-2故选：B5.(20222022 山东烟台山东烟台 三模三模)若2cos2-3=1+cos2，则tan2的值为()A.-33B.33C.-3D.3【答案】D【解析】利用两角差的余弦公式和二倍角的正弦公式化简题给条件，得到三角函数齐次式，进而求得tan2的值【详解】2cos2-3=212cos+32sin2=12+sin2+32sin2=1-12cos2+32sin2由1-12cos2+32sin2=1+cos2，可得32sin2=32cos2又cos20，则tan2=3故选：D6.(20222022 全国全国 模拟预测模拟预测(文文)设角，的终边均不在坐标轴上，且tan-+tan=tan，则下列结论正确的是()A.sin+=0B.cos-=1C.sin2+sin2=1D.sin2+cos2=1【答案】D【解析】根据两角差的正切公式，结合同角三角函数关系式进行判断即可.【详解】tan(-)=tan-tantan-tan1+tantan=tan-tan，(tan-tan)tantan1+tantan=0，tantan0，tan=tan，=k+，kZ.A.B不恒成立；又sin2=sin2k+=sin2，sin2+cos2=sin2+cos2=1.故选：D.7.(20222022 河南河南 通许县第一高级中学模拟预测通许县第一高级中学模拟预测(文文)已知+=15，则1+tan+tan-tantan1-tan-tan-tantan=()A.-33B.33C.1D.3【答案】D【解析】由两角和的正切公式可得出tan+tan=tan+1-tantan，再结合两角和的正切公式化简可得结果.【详解】因为tan+=tan+tan1-tantan，所以tan+tan=tan+1-tantan，所以1+tan+tan-tantan1-tan-tan-tantan=1-tantan+tan+1-tantan1-tantan-tan+1-tantan1+tan+1-tantan1-tan+1-tantan=1+tan+1-tan+=tan45+tan151-tan45tan15=tan 45+15=3.故选：D.8.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)若 0 2,-2 0,cos4+=13,cos4-2=33，则cos+2=()A.33B.-33C.5 39D.-69【答案】C【解析】由于cos+2=cos4+-4-2 结合两角和的余弦公式可求解，由已知条件求出sin4+，sin4-2的值，从而可求出答案【详解】cos+2=cos4+-4-2 =cos4+cos4-2+sin4+sin4-2，因为02,-20所以4+4,34，4-24,2，因为cos4+=13，cos4-2=33，所以sin4+=2 23，sin4-2=63，则cos+2=1333+2 2363=5 39故选：C二、二、多选题多选题9.(20222022 海南海口海南海口 二模二模)已知,2，sin=tan2=tan2，则()A.tan=3B.cos=12C.tan=4 3D.cos=17【答案】BD【解析】根据商的关系化简条件可求cos，利用平方关系求sin，再由商的关系求tan，再利用tan2，结合二倍角公式及同角三角函数关系求tan，cos.【详解】因为sin=tancos=tan2，所以cos=12，又 ,2，所以sin=-32，tan=-3，故A错误，B正确tan2=-32，所以tan=2tan21-tan22=-4 3，cos=cos22-sin22sin22+cos22=1-tan221+tan22=17，故C错误，D正确故选：BD.10.(20222022 河北邯郸河北邯郸 二模二模)下列各式的值为12的是().A.sin176B.sin12cos12C.cos212-sin212D.tan81-tan28【答案】AD【解析】根据诱导公式，结合二倍角的正弦公式、余弦公式、正切公式逐一判断即可.【详解】A.sin176=sin 2+-6=sin-6=sin6=12，符合题意；B.sin12cos12=12sin 212=12sin6=14，不符合题意；C.cos212-sin212=cos 212=cos6=32，不符合题意；D.tan81-tan28=12tan 28=12tan4=12，符合题意，故选：AD11.(20222022 重庆重庆 西南大学附中模拟预测西南大学附中模拟预测)已知，0,2，且+=2，则()A.若sin+cos=2，则tan=1B.若tan=2，则sin(+)=55C.tan，tan可能是方程x2-6x+7=0的两根D.tantan+tantan+tantan=1【答案】ABD【解析】A.利用平方关系求解判断；B.利用诱导公式求解判断；C.利用角的范围判断；D.利用两角和的正切公式求解判断.【详解】A.由sin+cos=2，sin2+cos2=1，且 0,2，所以sin=22,cos=22，所以tan=1故正确；B.因为tan=2，且 0,2，cos=55，且+=2，所以sin(+)=sin2-=cos=55，故正确；C.若tan，tan可能是方程x2-6x+7=0的两根，则tan+tan=6,tantan=7，tan+=tan+tan1-tantan=-1，因为，0,2，所以0+，所以+=34，又 0,2，+=2，故错误；D.tantan+tantan+tantan，=tantan+tan tan+tan，=tantan+tan2-tan+tan，=tantan+tan+tantan+tan1-tantan，=tantan+1-tantan=1，故正确；故选：ABD12.(20222022 重庆巴蜀中学高三阶段练习重庆巴蜀中学高三阶段练习)已知 cos+=-55，cos2=-45，其中,为锐角，则以下命题正确的是()A.sin2=35B.cos-=2 55C.coscos=310D.tantan=13【答案】AB【解析】利用凑角的方式-=2-(+)，将角看成整体，但要注意角的范围，根据同角三角函数的关系，两角和差的余弦公式及解方程即可求解.【详解】因为cos2=-45，02,02，所以sin2=1-cos22=35，故A正确；因为cos+=-55，02,02,0+，所以sin+=1-cos2+=2 55，所以cos(-)=cos2-(+)=cos2cos(+)+sin2sin(+)=-45-55+352 55=2 55，故B正确；cos(-)=coscos+sinsin=2 55，cos(+)=coscos-sinsin=-55，由+得，2coscos=55，解得coscos=510；故C不正确；由-得，2sinsin=3 55，解得sinsin=3 510；tantan=sinsincoscos=3 510510=3，故D不正确.故选：AB.三、三、填空题填空题13.(20222022 浙江浙江 高考真题高考真题)若3sin-sin=10,+=2，则sin=_，cos2=_【答案】3 101045【解析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求【详解】+=2，sin=cos，即3sin-cos=10，即103 1010sin-1010cos=10，令sin=1010，cos=3 1010，则10sin-=10，-=2+2k，kZ，即=+2+2k，sin=sin+2+2k=cos=3 1010，则cos2=2cos2-1=2sin2-1=45故答案为：3 1010；4514.(20222022 山东师范大学附中模拟预测山东师范大学附中模拟预测)已知02，sin4-=26，则sin1+tan=_.【答案】4 1751【解析】由已知条件求出所以cos4-，利用-sin=sin4-4两角差的正弦展开式可得sin，再根据三角函数的平方关系和商数关系可得答案.【详解】因为02，-44-4，所以cos4-=1-262=346，所以-sin=sin4-4=sin4