均值不等式基础方法15类总结-（原卷版）.docx

专题3 均值不等式基础方法15类总结目录一、热点题型归纳【题型一】对勾型【题型二】 添加常数构造“对勾型”【题型三】“和定求积”型3【题型四】“积定求和”型4【题型五】单元（单变量）分离常数型4【题型六】“常数”因子法：5【题型七】“单分母”构造因子法6【题型八】“双分母”构造法6【题型九】有和有积无常数型7【题型十】有和有积有常数型：求“积”型8【题型十一】 有和有积有常数型：求“和”型8【题型十二】多元分离型9【题型十三】反解消元型9【题型十四】换元型【题型十五】较简单的三元均值11培优第一阶基础过关练11培优第二阶能力提升练13培优第三阶培优拔尖练14知识点综述：1. 基本不等式：a2b2 2ab(a，bR)；2.常用不等式：；(1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当ab.简称为“一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可3.基本不等式的变形：ab2，常用于求和的最小值；ab2，常用于求积的最大值；4.重要不等式链： ；【题型一】对勾型【典例分析】（2021·江苏·高一专题练习）不等式（x-2y）+2成立的前提条件为（       ）Ax2yBx>2yCx2yDx<2y【提分秘籍】基本规律对勾型：，容易出问题的地方，在于能否“取等”,如1.2.【变式训练】1.（2022·全国·高一专题练习）若，则的最小值是（       ）ABC4D22.（2022·河南驻马店·高一期末）已知a>0，则当取得最小值时，a的值为（       ）ABCD3【题型二】 添加常数构造“对勾型”【典例分析】（2022·吉林延边·高一期末）已知，则函数的最小值是（       ）ABC2D 【提分秘籍】基本规律对于形如，则把cx+d转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化【变式训练】1.（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一阶段练习）若在处取得最小值，则（       ）A1B3CD42.（2022·全国·高一课时练习）若实数，则的最小值为（       ）ABCD3.（2021·江苏·高一专题练习）设，则的最小值为（       ）ABC4D 【题型三】“和定求积”型【典例分析】（2022·全国·高一专题练习）已知，则的最大值为（       ）AB4C6D8 【提分秘籍】基本规律如果xy是定值q，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)【变式训练】1.（2021·福建·泉州市第六中学高一期中）若，则当取得最大值时，x的值为（       ）A1BCD2.（2021·全国·高一课时练习）若，则的最大值为（       ）ABC1D3.（2021·湖北·华中科技大学附属中学高一阶段练习）已知x>0，y>0，且x2y4，则(1x)(12y)的最大值为（       ）A36B4C16D9【题型四】“积定求和”型 【典例分析】（2021·浙江省杭州学军中学高一期中）已知，且，则的最小值为（       ）A5B6C7D8【提分秘籍】基本规律如果xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)【变式训练】1.（2021·江苏·沭阳县修远中学高一阶段练习）若实数满足，则的最小值是（       ）A1B2C4D82.（2021·新疆·巴楚县第一中学高一期中）已知为正实数，且，则的最小值是（       ）A4B8C16D32【题型五】单元（单变量）分离常数型【典例分析】（2022·福建·莆田一中高一期末）函数有（       ）A最大值B最小值C最大值2D最小值2【提分秘籍】基本规律分离常数可以从两方面考虑：1.以分母为主元构造分子2.直接换元分母（一般式一次型）【变式训练】1.（2021·全国·高一课时练习）若，则有（       ）A最小值2B最大值2C最小值D最大值2.（2021·河北·藁城新冀明中学高一阶段练习）已知x>1，则的最小值是（       ）A22B22C2D23.（2020·江苏省南京市第十二中学高一阶段练习）已知，函数的最大值是（       ）A1B2C3D4【题型六】“常数”因子法：【典例分析】（2022·全国·高一专题练习）若正数满足，则的最小值是（       ）ABC5D6【提分秘籍】基本规律利用常数代换法。多称之为“1”的代换【变式训练】1.（2022·全国·高一专题练习）已知，若不等式恒成立，则的最大值为（       ）ABCD2.（2022·全国·高一专题练习）已知，且，则的最小值是（       ）AB2C9D43.（2021·广东·阳春市第二中学高一阶段练习）已知，且，则的最小值是（       ）A10B15C18D23【题型七】“单分母”构造因子法【典例分析】（2022·全国·高一课时练习）已知正实数满足，则的最小值是（       ）ABCD 【提分秘籍】基本规律以分式分母为主元进行构造【变式训练】1.（2022·安徽省舒城中学高一阶段练习）若，则的最小值为（       ）A4B3C2D12.（2021·全国·高一单元测试）若，且，则的最小值为（       ）A2BCD3.（2021·河南·濮阳一高高一期中）若正实数、满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（       ）A或B或CD【题型八】“双分母”构造法【典例分析】（2022·全国·高一课时练习）已知，且，则的最小值为（       ）A2B3C4D5 【提分秘籍】基本规律一般情况下，可以把分母相加（或者倍系数后再相加），与条件所给的 等式，存在倍数关系【变式训练】1.（2022·全国·高一单元测试）已知，且，则的最小值为（       ）A4B8C16D322.（2021·浙江·高一期中）若实数，则的最小值为（       ）AB1CD23.（2022·全国·高一课时练习）若，且，则的最小值为（       ）ABCD【题型九】有和有积无常数型 【典例分析】（2021·江苏·赣榆一中高一阶段练习）若两个正实数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ）ABCD【提分秘籍】基本规律利用同除，可以得到“1”的代换形式均值【变式训练】1.（2022·全国·高一专题练习）若正实数x，y满足，则的最小值为（       ）A8B9C10D112.（2021·黑龙江·铁人中学高一期中）已知，则和的最小值分别是（       ）A16 ，32B16 ，64C18，32D18，64【题型十】有和有积有常数型：求“积”型【典例分析】（2021·重庆市实验中学高一阶段练习）设，则ab的最小值是（       ）A4B9C16D25【提分秘籍】基本规律求积，对“和”用均值，化为关于“积”的一元二次不等式，解不等式可得。【变式训练】1.（2022·广东广州·高一期末）设，若，则ab的最小值是（       ）A5B9C16D252.已知，且，则的最大值为_ 【题型十一】 有和有积有常数型：求“和”型【典例分析】（2021·安徽·霍邱县第一中学高一阶段练习）若，且，则的取值范围（       ）ABCD【提分秘籍】基本规律求“和”，对“积”用均值，化为关于“和”的一元二次不等式，解不等式可得。此类题型的基础形式，多是所求的“和”与所给的“和”是相同的。不然，此法不成立。【变式训练】1.（2021·河南·高一阶段练习）已知，则的最小值为（       ）ABCD2.（2021·安徽·合肥一中高一期中）若正实数，满足，且存在实数，使不等式成立，则实数的取值范围为（       ）ABCD3.已知，则（ 多选题 ）A的最大值为2B的最小值为4C的最小值为3D的最小值为 【题型十二】多元分离型 【典例分析】（2022·四川省绵阳南山中学高一阶段练习）已知，且，则的最小值是（       ）A11B9C8D6【提分秘籍】基本规律多元分式型，构造分母达到分离的目的。1. 换元构造2. 常数代换狗仔3. 凑配构造【变式训练】1.（2022·全国·高一课时练习）若，则的最小值是（       ）A16B18C20D222.（2022·广东韶关实验中学高一阶段练习）已知a，b为正实数，且，则的最小值为（       ）A1B6C7D3.（2022·辽宁丹东·高一期末）已知，则的最小值为（       ）ABCD3【题型十三】反解消元型【典例分析】（2021·浙江·高一期中）正实数，满足，则的最小值是（       ）AB1CD【提分秘籍】基本规律反解代入：1. 多元变量有二次有一次，反解一次代换消元为单变量式子2. 有些高次可以因式分解，然后再反解代入。达到消元的目的【变式训练】1.（2021·全国·高一专题练习）已知实数a0，b0，且满足aba2b20，则（a+1）（b+2）的最小值为（       ）A24B313C913D252.（2021·江苏·高一专题练习）已知，则的最小值为（       ）AB2CD13.（2021·浙江省杭州第二中学高一期中）已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（       ）ABCD【题型十四】换元型 【典例分析】（2021·山西·太原市第五十六中学校高一阶段练习）对任意正数x，y，不等式恒成立，则实数k的取值范围是（       ）ABCD【提分秘籍】基本规律1.复杂的分式型，可以把分母换元（双换元），达到化简的目的。2.能因式分解的高次多元式子，可以借助因式分解后再换元化简【变式训练】1.（2022·全国·高一课时练习）已知实数，满足，则的最小值为（       ）ABCD2.（2021·江苏·高一专题练习）已知实数满足，且，则的值最小时，实数（       ）ABCD1【题型十五】较简单的三元均值 【典例分析】（2022·全国·高一课时练习）已知都是正实数，若，则 的最小值为（       ）A2B4C6D8【变式训练】1.（2021·安徽·泾县中学高一阶段练习）设正实数、满足，则的最大值为（       ）ABCD2.（2021·辽宁·沈阳二中高一阶段练习）若a，b，c均为正实数，则三个数，（       ）A都不大于2B都不小于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于23.（2021·天津·耀华中学高一期中）正实数满足，当取得最大时，的最大值为（        ）ABCD分阶培优练培优第一阶基础过关练1.（2022·全国·高一课时练习）当时，的最小值为（       ）A3BCD2.（2022·福建省龙岩第一中学高一开学考试）函数的最小值为（       ）A3B2C1D03.（2021·全国·高一课时练习）已知，且，则的最小值为（       ）A B C D4.（2021·全国·高一专题练习）已知x>0，y>0，且xy=10，则的最小值为（       ）A2B3C4D65.（2021·湖北·宜都二中高一期中）已知则函数的最小值为（       ）ABCD6.（2022·全国·高一专题练习）已知，则的最小值为（       ）ABCD67.（2021·福建·莆田一中高一期中）已知，则的最小值为（       ）A1BCD8.（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）已知都是正数，且，则的最小值为（       ）AB2CD39.（2022·山东·薛城区教育局教学研究室高一期末）已知，且，则的最小值为（       ）A3B4C6D910.（2021·全国·高一专题练习）已知，则的最大值为（       ）A1B2C3D411.（2021·全国·高一期中）已知，且，则的最小值为（       ）ABC4D612.（2021·全国·高一专题练习）已知正数满足，则的最大值是（       ）ABC1D13.（2022·贵州遵义·高一期末）负实数、满足，则的最小值为（       ）ABCD14.（2022·全国·高一课时练习）已知正数x，y满足，则的最小值（       ）ABCD15.（2022·全国·高一）设x，y，z为正实数，满足，则的最小值是（）A4B2CD培优第二阶能力提升练1.（2021·广东·广州市真光中学高一期中），在处取最小值，则（       ）A1BC3D92.（2021·天津·油田三中高一阶段练习）函数y3x2的最小值是(       )A33B3C6D633.（2021·全国·高一课时练习）已知m，nR，m2+n2=100，则mn的最大值是（       ）A25B50C20D4.（2020·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高一期中）已知正数，满足，则的最小值是（       ）A10B20C15D255.（2021·湖北黄石·高一期中）若，则函数的最小值为（       ）A4B5C7D96.（2021·浙江·高一单元测试）已知，.且，若恒成立，则实数的取值范围是（       ）ABCD7.（2021·河北正中实验中学高一期中）已知，且 ，则的最小值为（       ）A4B3C2D18.（2022·全国·高一单元测试）设，为正数，且，则的最小值为（       ）ABCD9.（2021·全国·高一课时练习）若正数x，y满足x+4y-xy=0，则当x+y取得最小值时，x的值为（       ）A9B8C6D310.（2022·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）若，且，则的最小值为（       ）A9B16C49D8111.（2021·广东·执信中学高一期中）已知正实数，满足等式，若对任意满足条件的，求的最小值（       ）ABCD12.（2021·河南·濮阳一高高一阶段练习）已知两正实数a，b满足，则的最小值为（       ）A7BCD13.（2021·广东·华南师大附中高一期中）已知a0，且a2b40，则（       ）A有最大值B有最大值C有最小值D有最小值14.（2021·湖北黄石·高一阶段练习）实数a，b满足，则的最小值是（       ）A4B6CD15.（2022·全国·高一专题练习）若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（       ）A2B4C6D8培优第三阶培优拔尖练1.（2022·重庆巫山·高一期末）已知命题，若为假命题，则的取值范围为（     ）ABCD2.（2021·全国·高一专题练习）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为（       ）A（1，4B（0，4）C（0，4D（1，43.（2022·全国·高一单元测试）设正实数，满足(其中为正常数)，若的最大值为3，则（       ）A3BCD4.（2022·全国·高一课时练习）已知，则的最大值为（       ）ABCD5.（2022·全国·高一课时练习）若不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（       ）ABCD6.（2021·江苏·泗阳县实验高级中学高一阶段练习）设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式yM都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界若a，b为正实数，且ab1，则的上确界为（       ）ABCD47.（2021·福建省龙岩第一中学高一期中）若，则的最小值为（       ）ABCD48.（2022·全国·高一专题练习）已知正实数满足，则的最小值为（       ）A6B8C10D129.（2022·全国·高一课时练习）已知，条件，条件，则是的（       ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件10.（2021·江苏·高一单元测试）若正实数，满足，则的取值范围为（       ）ABCD11.（2020·江苏省震泽中学高一阶段练习）若实数满足，则的取值范围是（       ）ABCD12.（2021·全国·高一专题练习）若，且，则的最小值为（       ）A3BCD·13.（2022·浙江浙江·高一期中）已知正数，满足，则的最小值为（       ）A1B2C3D414.（2021·全国·高一专题练习）已知实数，则的最小值是（       ）A6BCD15.（2021·江苏·高一专题练习）已知，则 的最小值为（       ）ABCD 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