中考二次函数综合题分类精选.pdf

中考数学复习资料目录目录（1 1）二次函数综合题的解答方法说明）二次函数综合题的解答方法说明-2-2（2 2）中考真题解析）中考真题解析-1-8-1-8（3 3）与等腰三角形相关的问题与等腰三角形相关的问题-9-28-9-28（4 4）与等腰直角三角形相关的问题与等腰直角三角形相关的问题-29-51-29-51（5 5）与等边三角形相关的问题）与等边三角形相关的问题-52-73-52-73（6 6）与菱形相关的问题）与菱形相关的问题-74-97-74-97（7 7）与直角三角形相关的问题与直角三角形相关的问题-98-123-98-123（8 8）与矩形相关的问题）与矩形相关的问题-124-150-124-150（9 9）与正方形相关的问题）与正方形相关的问题-151-176-151-176（1010）与全等三角形相关的问题）与全等三角形相关的问题-177-196-177-196（1212）与相似三角形相关的问题）与相似三角形相关的问题-197-224-197-224（1313）与比值相关的问题与比值相关的问题-225-243-225-243（1414）与定值相关的问题与定值相关的问题-244-263-244-263（1515）与面积相关的问题与面积相关的问题-264-281-264-281（1616）与取值范围相关的问题与取值范围相关的问题-282-302-282-302（1717）与最值相关的问题与最值相关的问题-303-324-303-324（1818）与平行四边形相关的问题）与平行四边形相关的问题-325-345-325-345349 页第 1 页 共中考数学复习资料关于二次函数的综合与探究关于二次函数的综合与探究近几年，随着中考试题的改革，中考数学试题也发生了较大的改变，其中关于二次函数知识点的考察比重增加明显，为给 2020 年中考考生提供一个较为全面的关于这道重点考察二次函数试题的帮助，特编辑了这一分册的复习资料，供广大初三学生和成绩优异的其它年级学生使用。一、关于二次函数综合题的解答方法说明：（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起这类试题一般难度较大解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义349 页第 2 页 共中考数学复习资料二、齐齐哈尔中考真题解析：例题 1（2016齐齐哈尔）如图，对称轴为直线 x2 的抛物线 yx+bx+c与 x轴交于点 A 和点 B，与 y轴交于点 C，且点 A 的坐标为（1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出 B、C 两点的坐标；（3）求过 O，B，C 三点的圆的面积（结果用含 的代数式表示）注：二次函数 yax+bx+c（a0）的顶点坐标为（22，）【考点】二次函数综合题【分析】（1）利用对称轴方程可求得b，把点 A 的坐标代入可求得 c，可求得抛物线的解析式；（2）根据 A、B 关于对称轴对称可求得点B 的坐标，利用抛物线的解析式可求得B 点坐标；（3）根据 B、C 坐标可求得 BC 长度，由条件可知BC 为过 O、B、C 三点的圆的直径，可求得圆面积解：（1）由 A（1，0），对称轴为 x2，可得抛物线解析式为 yx 4x5；（2）由 A 点坐标为（1，0），且对称轴方程为 x2，可知 AB 6，OB 5，B 点坐标为（5，0），yx 4x5，C 点坐标为（0，5）；（3）如图，连接 BC，则OBC 是直角三角形，过 O、B、C 三点的圆的直径是线段BC 的长度，在 RtOBC 中，OB OC 5，BC 5，349 页第 3 页 共22，解得，中考数学复习资料圆的半径为圆的面积为 （，）2【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有二次函数的性质、待定系数法、勾股定理、圆周角定理等在（3）中确定出圆的半径是解题的关键本题属于基础性的题目，难度不大例题 2（2018齐齐哈尔）综合与探究如图 1 所示，直线 yx+c与 x轴交于点 A（4，0），与 y轴交于点 C，抛物线 yx+bx+c经过点 A，C（1）求抛物线的解析式（2）点 E 在抛物线的对称轴上，求CE+OE 的最小值；（3）如图 2 所示，M 是线段 OA 的上一个动点，过点 M 垂直于 x 轴的直线与直线 AC 和抛物线分别交于点 P、N 若以 C，P，N 为顶点的三角形与APM 相似，则CPN 的面积为；若点 P 恰好是线段 MN 的中点，点 F 是直线 AC 上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点 D，F，P，M 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由注：二次函数 yax+bx+c（a0）的顶点坐标为（22，）【考点】二次函数综合题【分析】（1）把已知点坐标代入解析式；（2）取点 C 关于抛物线的对称轴直线l的对称点 C，由两点之间线段最短，最小值可得；（3）由已知，注意相似三角形的分类讨论 设出 M 坐标，求点 P 坐标注意菱形是由等腰三角形以底边所在直线为对称轴对称得到的本题即为研究CPN 为等腰三角形的情况349 页第 4 页 共中考数学复习资料解：（1）将 A（4，0）代入 yx+cc4将 A（4，0）和 c4 代入 yx+bx+cb3抛物线解析式为 yx 3x+4（2）做点 C 关于抛物线的对称轴直线l的对称点 C，连 OC，交直线 l于点 E连 CE，此时 CE+OE 的值最小抛物线对称轴位置线 xCC 3由勾股定理 OC 5CE+OE 的最小值为 5（3）当CNP AMP 时，CNP 90，则 NC 关于抛物线对称轴对称NC NP 3CPN 的面积为22当CNP MAP 时由已知NCP 为等腰直角三角形，NCP 90过点 C 作 CE MN 于点 E，设点 M 坐标为（a，0）EP EC a，则 N 为（a，a 3a+4），MP a 3a+4（2a）a a+4P（a，a a+4）代入 yx+4解得 a2CPN 的面积为 4349 页第 5 页 共2222中考数学复习资料故答案为：或 4 存在设 M 坐标为（a，0）则 N 为（a，a 3a+4）则 P 点坐标为（a，把点 P 坐标代入 yx+4解得 a14（舍去），a21当 PF FM 时，点 D 在 PM 垂直平分线上，则 D（，）当 PM PF 时，由菱形性质点D 坐标为（1+，）（1，）2当 MP MF 时，M、D 关于直线 yx+4 对称，点 D 坐标为（4，3）【点评】本题以二次函数动点问题为背景，综合考查二次函数图象性质、相似三角形判断以及菱形存在性的判断解答时应注意做到数形结合例题 3（2019齐齐哈尔）综合与探究如图，抛物线 yx+bx+c与 x轴交于 A、B 两点，与 y轴交于 C 点，OA 2，OC 6，连接 AC 和 BC（1）求抛物线的解析式；（2）点 D 在抛物线的对称轴上，当ACD 的周长最小时，点D 的坐标为（3）点 E 是第四象限内抛物线上的动点，连接CE 和 BE 求BCE 面积的最大值及此时点E 的坐标；（4）若点M 是 y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由2【考点】二次函数综合题【分析】（1）由 OA 2，OC 6 得到 A（2，0），C（0，6），用待定系数法即求得抛物线解析式（2）由点 D 在抛物线对称轴上运动且A、B 关于对称轴对称可得，AD BD，所以当点 C、D、B 在同349 页第 6 页 共中考数学复习资料一直线上时，ACD 周长最小求直线BC 解析式，把对称轴的横坐标代入即求得点D 纵坐标（3）过点 E 作 EG x轴于点 G，交直线 BC 与点 F，设点 E 横坐标为 t，则能用 t表示 EF 的长 BCE面积拆分为BEF 与CEF 的和，以 EF 为公共底计算可得 SBCEEF OB，把含 t的式子代入计算即得到 SBCE关于 t的二次函数，配方即求得最大值和t的值，进而求得点E 坐标（4）以 AC 为菱形的边和菱形的对角线进行分类画图，根据菱形邻边相等、对边平行的性质确定点N在坐标解：（1）OA 2，OC 6A（2，0），C（0，6）抛物线 yx+bx+c过点 A、C解得：22抛物线解析式为 yx x6（2）当 y0 时，x x60，解得：x12，x23B（3，0），抛物线对称轴为直线x2点 D 在直线 x上，点 A、B 关于直线 x对称xD，AD BD当点 B、D、C 在同一直线上时，CACDAC+AD+CD AC+BD+CD AC+BC 最小设直线 BC 解析式为 ykx63k60，解得：k2直线 BC：y2x6yD265D（，5）故答案为：（，5）（3）过点 E 作 EG x轴于点 G，交直线 BC 与点 F设 E（t，tt 6）（0t 3），则 F（t，2t 6）EF 2t 6（tt 6）t+3tSBCESBEF+SCEFEF BG+EF OG EF（BG+OG）222349 页第 7 页 共中考数学复习资料EF OB 3（t+3t）（t）+当 t 时，BCE 面积最大yE（）6点 E 坐标为（，222）时，BCE 面积最大，最大值为（4）存在点 N，使以点 A、C、M、N 为顶点的四边形是菱形A（2，0），C（0，6）AC 若 AC 为菱形的边长，如图 3，则 MN AC 且，MN AC 2N1（2，2），N3（2，0），N2（2，2若 AC 为菱形的对角线，如图4，则 AN4CM4，AN4CN4设 N4（2，n）n解得：nN4（2，），（2，2），（2，0），（2，）综上所述，点 N 坐标为（2，2【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径，一次函数的图象与性质，一次方程（组）的解法，菱形的性质，勾股定理第（4）题对菱形顶点存在性的判断，以确定的边 AC 进行分类，再画图讨论计算349 页第 8 页 共中考数学复习资料二次函数综合题（等腰三角形问题）1如图，抛物线yx+bx+c的顶点为 C，对称轴为直线x1，且经过点A（3，1），与y轴交于点 B（1）求抛物线的解析式；（2）连结 OC、BC，求OBC 的面积；（3）点 P 是抛物线对称轴上一点，若ACP 为等腰三角形，请直接写出所有点P 的坐标22如图，已知抛物线的顶点为A（0，2），矩形 CDEF的顶点 C、F 在抛物线上，点 D、E 在 x轴上，CF交 y轴于点 B（0，4），且矩形其面积为 32（1）此抛物线的解析式（2）点 P 是 x轴上一点，若PCF 为等腰三角形，请直接写出P 点坐标3已知：二次函数yx+bx+c的图象与 x轴交于 A，B 两点，其中 A 点坐标为（3，0），与 y轴交于点C，点 D（2，3）在抛物线上（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PAD 周长的最小值；（3）抛物线的对称轴上有一动点M，当MAD是等腰三角形时，直接写出M 点坐标2349 页第 9 页 共中考数学复习资料4如图，抛物线 yx x+c 与 x轴交于 A，B 两点，且点 B 的坐标为（3，0），与 y 轴交于点 C，连接 AC，BC，点 P 是抛物线上在第二象限内的一个动点，点P 的横坐标为 a，过点 P 作 x轴的垂线，交 AC 于点 Q（1）求 A，C 两点的坐标（2）请用含 a 的代数式表示线段 PQ 的长，并求出 a 为何值时 PQ 取得最大值（3）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由25如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax+x+2 与 x 轴交于点 A（4，0）与 y 轴交于点 B点 M 在线段 AB 上，其横坐标为 m，PM y轴，与抛物线交点为点P，PQ x轴，与抛物线交点为点Q（1）求 a 的值、并写出此抛物线顶点的坐标；（2）求 m 为何值时，PMQ为等腰直角三角形26如图，抛物线 yx+bx+c与 y 轴交于点 C，与 x轴相交于 A，B 两点，点 A 的坐标为（2，0），点 C的坐标为（0，4）（1）求该抛物线的解析式；（2）点 Q 是线段 BA 上的一动点，点E 为线段 AC 上一动点，若始终保持AQE ABC，连接 CQ，求CQE 的面积 S 关于点 Q 的横坐标 m 的函数关系式；（3）若点 D 为 OB 的中点，点 M 是线段 BC 上一点，当OMD为等腰三角形时，直接写出点M 的坐标第 10 页 共 349 页2中考数学复习资料7如图，已知抛物线 ymx 4mx+3m（m 0）与 x 轴的交点为 A，B，与 y 轴的交点为 C，D 为抛物线的顶点（1）直接写出各点坐标C（，），D（，）；（用 m 表示）（2）试说明无论 m 为何值，抛物线一定经过两个定点并求出这两个定点的坐标；（3）将线段 AC 绕点 A 顺时针旋转 90得到 AC，求点 C的坐标；连接 DC ，AD，是否存在 m，使得ADC 为等腰三角形？若存在，请求出 m；若不存在，请说明理由28如图，直线 yx+3 与 x 轴、y 轴分别交于 B、C 两点，经过点 B、C 两点的抛物线 yx+bx+c 与 x轴的另一个交点为 A，顶点为 P（1）求该抛物线的解析式；（2）当 0 x3 时，在抛物线上求一点E，使CBE 的面积有最大值；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点 M，使以 C、P、M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出所符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由29如图，已知二次函数yax+x+c（a0）的图象与y轴交于点 A（0，4），与 x轴交于点 B、C，点 C坐标为（8，0），连接 AB、AC（1）求出二次函数表达式；（2）若点 N 在线段 BC 上运动（不与点B、C 重合），过点 N 作 NMAC，交 AB 于点 M，当AMN面积最大时，求此时点N 的坐标；（3）若点N 在 x轴上运动，当以点A、N、C 为顶点的三角形是等腰2第 11 页 共 349 页中考数学复习资料三角形时，请求出此时点N 的坐标10如图，抛物线 yax+bx+3 交 x轴于点 A（1，0）和点 B（3，0），与 y轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点P 为线段 BC 上的一个动点（不与点B、点 C 重合），过点P 作直线 PN x轴于点N，交抛物线于点 M，当BCM面积最大时，求BPN 的周长（3）在（2）的条件下，当BCM面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使CNQ 为等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由211如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax+bx+4 过点 A（2，0），B（4，0），x轴上有一动点 P（t，0），过点 P 且垂直于 x 轴的直线与直线 BC 及抛物线分别交于点 D，E，连接 CE，AC（1）求抛物线的解析式；（2）当点 P 在线段 OB 上运动时（不与点 O，B 重合），若CDE 与ABC相似，求 t的值；（3）当点 P 在 x轴上自由运动时，是否存在点P，使CDE 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由12抛物线yax 4ax+3a 交 x轴于点 B、C 两点，交y轴于点 A，点D 为抛物线的顶点，连接AB、AC，已知ABC 的面积为 3（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 为抛物线对称轴右侧一点，点 P 的横坐标为 m，过点 P 作 PQ AC 交 y轴于点 Q，AQ 的长度为 d，求 d与 m 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当 d4 时，作 DN y轴于点 N，点 G 为抛物线上一点，AG 交线段 PD 于点 M，连接 MN，第 12 页 共 349 页22中考数学复习资料若AMN是以 MN 为底的等腰三角形，求点G 的坐标13如图，已知抛物线 yax+bx+c（a0）的对称轴是 x，且经过 A（4，0），C（0，2）两点，直线 l：ykx+t（k0）经过 A，C2（1）求抛物线和直线 l的解析式；（2）点 P 是直线 AC 上方的抛物线上一个动点，过点P 作 PD x轴于点 D，交 AC 于点 E，过点 P 作PF AC，垂足为 F，当PEF AED 时，求出点 P 的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ACQ 为等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的Q 点的坐标；若不存在，请说明理由14如图，已知抛物线经过原点O，顶点 A（1，1），且与直线 ykx+2 相交于 B（2，0）和 C 两点（1）求抛物线和直线 BC 的解析式；（2）求证：ABC 是直角三角形；（3）抛物线上存在点 E（点 E 不与点 A 重合），使BCE ACB，求出点 E 的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点F，使BDF 是等腰三角形？若存在，请直接写出点F 的坐标第 13 页 共 349 页中考数学复习资料参考答案与试题解析1解：（1）对称轴为直线 x12，解得：b2，yx+2x+c，将点 A 的坐标代入上式并解得：c2，故抛物线的表达式为：yx+2x+2；（2）点 B（0，2），点 C（1，3），OBC 的面积OBxC31；2（3）设点 P（1，m），点 A（3，1），点 C（1，3），AC 20，PA 4+（m+1），PC（m 3），当 AC PA 时，204+（m+1），解得：m 3 或5；当 AC PC 时，同理可得：m 32当 PAPC 时，同理可得：m，即点 P 的坐标为：（1，3）或（1，5）或（1，3+22解：（1）抛物线的顶点为A（0，2），抛物线的对称轴为 y轴，四边形 CDEF为矩形，C、F 点为抛物线上的对称点，矩形其面积为 32，OB 4，CF 8，F 点的坐标为（4，4），设抛物线解析式为 yax+2，把 F（4，4）代入得 16a+24，解得 a，抛物线解析式为 yx+2；（2）设 P（x，0）当 PF PC 时，点 P 在线段 CF 的垂直平分线上，此时点P 与点 O 重合，其坐标是（0，0）；当 PF CF 8 时，（x4）+4 64，解得x444，0）；222222222222；）或（1，32）或（1，），所以此时点P 的坐标是（4+4，0）或（4当 PC CF 8 时，（x+4）+4 64，解得 x44或（44，0）；，所以此时点 P 的坐标是（4+4，0）综上所述，符合条件的点P 的坐标是：（0，0）或（4+4，0）或（44，0）或（4+4，0）第 14 页 共 349 页中考数学复习资料或（44，0）3解：（1）将点 A、D 的坐标代入抛物线表达式得：抛物线的表达式为：yx+2x3；（2）yx+2x3，令 y0，则 x3 或 1，令 x0，则 y3，故点 B、C 的坐标分别为：（1，0）、（0，3）；函数的对称轴为：x1，22，解得：，点 A 关于函数对称轴的对称点为点B，连接 PD 交函数对称轴与点P，则点 P 为所求点，将点 D、B 的坐标代入一次函数表达式：ykx+b 得：故 BD 的函数表达式为：yx1，当 x1 时，y2，即点 P（1，2），PAD 周长的最小值PA+PD+AD BD+AD+3+；，解得：，（3）设点 M（1，m），点 A、D 的坐标分别为：（3，0）、（2，3），则 AM4+m，DM1+（m+3），AD 1+910，当 AM DM时，4+m 1+（m+3），解得：m 1；当 AM AD 时，同理可得：m 或；2222222当 DM AD 时，同理可得：m 0 或6（舍去6）；综上，点 M 坐标为：（1，1）或（1，）或（1，）或（1，0）得，4解：（1）把点 B 的坐标（3，0）代入抛物线解析式，第 15 页 共 349 页中考数学复习资料解得：c4，令 y0，则解得 x13，x24，A（4，0），C（0，4）；（2）A（4，0），C（0，4），设直线 AC 的解析式为 ykx+b，直线 AC 的解析式 yx+4，点 P 的横坐标为 a，P（a，PQ，），则点 Q（a，a+4），a2 时，PQ 有最大值；（3）存在，理由：点 A、B、C 的坐标分别为（4，0）、（3，0）、（0，4），则 BC 5，AB 7，AC 4，OAC OCA 45，将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式：ymx+n 并解得：直线 BC 的解析式为 yx+4，设 BC 的中点为 H，由中点坐标公式可得H（），过 BC 的中点 H 且与直线 BC 垂直直线的表达式为：y当 BC BQ 时，如图 1，BC BQ 5，设：QM AM n，则 BM 7n，由勾股定理得：（7n）+n 25，解得：n3 或 4（舍去 4），故点 Q1（1，3）；第 16 页 共 349 页22中考数学复习资料当 BC CQ 时，如图 1，CQ 5，则 AQ AC CQ 4当 CQ BQ 时，联立直线 AC 解析式 yx+4 和 y解得 x（不合题意，舍去），），综合以上可得点 Q 的坐标为：Q（1，3）或（5解：（1）抛物线 yax+x+2 与 x轴交于点 A（4，0），16a+4+20，解得 a，此抛物线解析式 yx+x+2，顶点（1，）（2）yx+x+2，B（0，2），A（4，0），直线 AB：y2222x+2，m+2），设 P（m，m+m+2），M（m，PM，当 0m 1 时，PQ 22m，22m，或 6+2（不符合题意舍去）；解得 m 62当 1m 4 时，PQ 2+2m，2+2m，第 17 页 共 349 页中考数学复习资料解得 m 22 或2或 22（不符合题意舍去）2 时，PMQ为等腰直角三角形2综上，m 为 626解：（1）将点 A（2，0），C（0，4），分别代入 yx+bx+c，解得：，；抛物线的解析式为 y2（2）令 y0，即x+x40，解得 x14，x22，点 B（4，0），AB 2（4）2+46，SABCAB OC 12，设 Q 点坐标为（m，0），则 QA 2m AQE ABC，QE BC，AQE ABC，SQCESAQCSAQE（3）OMD为等腰三角形，可能有三种情形：当 DM DO 时，DO DM DA 2，所以，OBC BMD 45，所以，BDM 90，所以，M 点的坐标为（2，2）；当 MD MO 时，如图，过点 M 作 MN OD 于点 N，则点 N 为 OD 的中点，DN ON 1，BN BD+DN 3，又BMN为等腰直角三角形，MN BN 3，第 18 页 共 349 页中考数学复习资料M 点的坐标为（1，3）；当 OD OM 时，OBC 为等腰直角三角形，点 O 到 BC 的距离为42，即 BC 上的点与点 O 之间的最小距离为 222，OD OM 的情况不存在，综上所述，点 M 的坐标为（2，2）或（1，3）7解：（1）x0 时，ymx 4mx+3m 3mC（0，3m）ymx 4mx+3m m（x2）mD（2，m）故答案为：0，3m，2，m（2）证明：ymx 4mx+3m m（x 4x+3）m（x1）（x3）m 0当（x1）（x3）0 时，y0解得：x11，x23抛物线一定经过定点（1，0）和（3，0）（3）过点 C 作 C Ex轴于点 EAEC 90由（2）可得，A（1，0），B（3，0）OA 1C（0，3m）OC 3m将线段 AC 绕点 A 顺时针旋转 90得到 AC AC AC，CAC 90OAC+C AE OAC+ACO 90C AE ACO在AEC 与COA 中22222第 19 页 共 349 页中考数学复习资料AEC COA（AAS）AE CO 3m，C EOA 1OE OA+AE 1+3m点 C 坐标为（1+3m，1）存在 m，使得ADC 为等腰三角形A（1，0），C（1+3m，1），D（2，m）AC（1+3m 1）+1 9m+1，AD（21）+（m）1+m，C D（1+3m 2）+（1+m）2222222222210m 4m+222222AC AD，AD C D即 AC AD，AD C DADC 为等腰三角形时，AC C D9m+110m 4m+2解得：m12+m 的值为（2+，m22）或（2）时，ADC 为等腰三角形228解：（1）yx+3，令 y0，则 x3，令 x0，则 y3，故点 B、C 的坐标为（3，0）、（0，3），将点 B、C 的坐标代入 yx+bx+c并解得：b4，故抛物线的表达式为：yx 4x+3；（2）过点 E 作 EH y轴交 BC 于点 H，设点 E（x，x 4x+3），则点 H（x，x+3）SCBEHEOB 3（x+3x+4x3）（x+3x），0，当 x时，SCBE有最大值，点 E（，）；（3）点 C（0，3）、点 P（2，1），设点 M（2，m），CP 4+1620，CM4+（m 3）2m 6m+13，PMm+2m+1，当 CM CP 时，20m 6m+13，解得：m 7 或1（舍去 m 1）；当 CP PM 时，同理可得：m 12；22222222222第 20 页 共 349 页中考数学复习资料当 CM PM 时，同理可得：m；故点 M 坐标为：（2，7）或（2，1+22）或（2，12）或（2，）9解：（1）二次函数 yax+x+c 的图象与 y 轴交于点 A（0，4），与 x 轴交于点 B、C，点 C 坐标为（8，0），解得2抛物线表达式：yx+x+4；（2）令 y0，则x+x+40，解得 x18，x22，点 B 的坐标为（2，0）又A（0，4），C（8，0），AB 22222，BC 8（2）10，AC 4，AB+AC BC，BAC 90AC AB AC MN，MN AB 设点 N 的坐标为（n，0），则 BN n+2，MN AC，BMN BACBM MN，AM AB BM 2第 21 页 共 349 页中考数学复习资料SAMNAMMN2（n3）+5，当 n3 时，AMN面积最大是 5，N 点坐标为（3，0）当AMN面积最大时，N 点坐标为（3，0）（3）由（2）知，AC 4，以 A 为圆心，以 AC 长为半径作圆，交 x轴于 N，此时 N 的坐标为（8，0），以 C 为圆心，以 AC 长为半径作圆，交 x轴于 N，此时 N 的坐标为（84作 AC 的垂直平分线交 AC 于 P，交 x轴于 N，AOC NPC，即，0）或（8+4，0）CN 5此时 N 的坐标为（3，0），综上，若点 N 在 x轴上运动，当以点 A、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，点 N 的坐标分别为（8，0）、（84，0）、（3，0）、（8+4，0）10解：（1）由题意可得：，解得，2抛物线解析式为 yx+2x+3；（2）设直线 BC 的解析式为：ykx+b，则有：，解得：，直线 BC 的解析式为：yx+3设 P（x，x+3），则 M（x，x+2x+3），PM（x+2x+3）（x+3）x+3xSBCMSPMC+SPMB（xBxC），222第 22 页 共 349 页中考数学复习资料SBCM，当 x时，BCM的面积最大此时 P（），PN ON，BN OB ON 3，在 RtBPN 中，由勾股定理得：PB CBCNBN+PN+PB 3+，；，当BCM的面积最大时，BPN 的周长为 3+（3）由（2）知 P 点坐标为（2），2yx+2x+3（x1）+4，抛物线的对称轴为 x1，设 Q（1，a），C（0，3），N（CQ 1+（3a），222），若CNQ 为等腰三角形，可分三种情况：当 CQ QN 时，1+解得：a，），），（1，3+，第 23 页 共 349 页，点 Q 的坐标为（1，当 CQ CN 时，1+解得：a3点 Q 的坐标为（1，3当 QN CN 时，解得：a），中考数学复习资料点 Q 的坐标为（1，），（1），）或（1，3）或（1，3+2综合以上可得点 Q 的坐标为（1，）或（1，）或（1，）11解：（1）用交点式抛物线表达式得：ya（x+2）（x4）a（x 2x8），即：8a4，解得：a，故抛物线的表达式为：yx+x+4，则点 A（2，0）；（2）由题意得：AB 6，AC 2，BC 4，2PE y轴，OCB OBC PDB CDE 45，故只存在CDE ABC 和CDE CBA 两种情况，OB OC 4，则直线 BC 的表达式为：yx+4，点 P（t，0），则点 E（t，t+t+4）、D（t，t+4），CD xDsin45 t，2 当CDE ABC 时，则，即：，解得：t 0 或（舍去 0）；当CDE CBA 时，同理可得：t 0 或 1（舍去 0）；故 t 1 或；（3）点 P（t，0），则点 E（t，t+t+4）、D（t，t+4），则 DC，DE t+2t，CE 22，当 CD DE 时，即：t+2t，解得：t 422或 0（舍去 0）；当 CD CE 时，同理可得：t 0 或 4（全部舍去）；当 DE CE 时，同理可得：t 0 或 2（舍去 0）；当点 P 移动到点 B 的右侧时，D，E 的上下位置发生了变化，第 24 页 共 349 页中考数学复习资料同理可得：点 P（4，0）；，0）或（2，0）或（4，0）故：点 P 的坐标为（42212解：（1）yax 4ax+3a 交 x轴于点 B、C 两点，交 y轴于点 A，则点 B、C 的坐标分别为：（1，0）、（3，0），点 A（0，3a），ABC 的面积AB OA 故抛物线的表达式为：yx 4x+3；（2）点 A（0，3），点 C（3，0），D（2，1），则 PQ 平行线于 AC 直线，其表达式设为：yx+b，设点 P（m，m 4m+3）（m 2），将点 P 的坐标代入上式并解得：bm 3m 3，则 dAQ|m 3m|（m 2）；（3）当 d4 时，|m 3m|4，解得：m 4 或1（舍去1），故点 P（4，3），设点 G（n，n 4n+3），点 D（2，1），则点 N（0，1）同理可得：直线 PD 的函数表达式为：y2x5，直线 AG 的函数表达式为：y（n4）x+3，联立 并解得：x，故点 M（，5），2222223a3，解得：a1，点 A（0，3）、点 N（0，1），AN AM，即 4+9（解得：n故点 G（或，）+（28），2，）或（13解：（1）把点 A、C 的坐标和对称轴表达式代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：yx x+2；2第 25 页 共 349 页中考数学复习资料同理把点 A、C 坐标代入直线 l表达式并解得：yx+2；（2）设 P 点坐标为（n，n n+2），E 点坐标为（n，n+2），PE n n+2n2，DE n+2，A（4，0），C（0，2），OA 4，OC 2，AC 2PD x轴于点 D，ADE 90，sin EAD sin CAO，AE DE（n+2），22当PEF AED 时，PE AE，n 2n2（n+2），（舍去4），）；解得：n4 或P（，（3）存在，理由如下：以 A 为顶角顶点，AQ AC，由（2）知 AC 2GQ1GQ2，若设对称轴与 x轴交于点 G，则 AG（4）；，）、（，）；故点 Q1、Q2的坐标分别为（，以 C 为顶角顶点，CQ CA 2则 M（，2），则 CM，MQ3，过点 C 作 x轴的平行线，交抛物线的对称轴于点M，Q3G 2+，Q4G 2+）；，故 Q3、Q4坐标分别为（，2+以点 Q 为顶角顶点时，同理可得点 Q5（，0）；）、（，2第 26 页 共 349 页中考数学复习资料故点 Q 的坐标为：（，0）或（，）或（，2+）或（，2）或（14解：（1）设抛物线解析式 ya（x1）1，将 B（2，0）代入，0a（21）1，a1，抛物线解析式：y（x1）1x 2x，将 B（2，0）代入 ykx+2，02k+2，k1，直线 BC 的解析式：yx+2；（2）联立，2222解得，C（1，3），A（1，1），B（2，0），AB（12）+（10）2，AC 1（1）+（13）20，BC 2（1）+（03）18，AB+BC AC，ABC 是直角三角形；（3）如图，作BCE ACB，与抛物线交于点 E，延长 AB，与 CE 的延长线交于点 A，过 A 作 A H垂直 x轴于点 H，设二次函数对称轴于x轴交于点 G BCE ACB，ABC 90，点 A 与 A 关于直线 BC 对称，AB A B，可知AGB A HB（AAS），A（1，1），B（2，0）AG 1，BG OG 1，第 27 页 共 349 页222222222222中考数学复习资料BH 1，A H 1，OH 3，A（3，1），C（1，3），直线 A C：yx+，联立：，解得或，E（）；（4）抛物线的对称轴：直线x1，设 F（1，m），直线 BC 的解析式：yx+2；D（0，2）B（2，0），BD BF DF 当 BF BD 时，m，）或（1，）2，F 坐标（1，当 DF BD 时，m 2，F 坐标（1，2+当 BF DF 时，m 1，）或（1，2），F（1，1），此时 B、D、F 在同一直线上，不符合题意综上，符合条件的点 F 的坐标（1，）或（1，）或（1，2+）或（1，2）第 28 页 共 349 页中考数学复习资料二次函数综合题（等腰直角三角形问题）1二次函数 yax+bx+2 的图象交 x 轴于点 A（1，0），点 B（4，0）两点，交 y 轴于点 C动点 M 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 AB 方向运动，过点 M 作 MN x 轴交直线 BC 于点 N，交抛物线于点 D，连接 AC，设运动的时间为 t秒（1）求二次函数 yax+bx+2 的表达式；（2）连接 BD，当 t 时，求DNB 的面积；（3）在直线 MN 上存在一点 P，当PBC 是以BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点 D 的坐标222如图，抛物线 yax+bx+2 交 x轴于点 A（3，0）和点 B（1，0），交 y轴于点 C（1）求这个抛物线的函数表达式（2）点 D 的坐标为（1，0），点 P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值（3）点 M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点 N，使MNO为等腰直角三角形，且MNO为直角？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由23已知：如图，抛物线yax+bx+3 与坐标轴分别交于点A，B（3，0），C（1，0），点P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点（1）求抛物线解析式；（2）当点 P 运动到什么位置时，PAB 的面积最大？（3）过点P 作 x轴的垂线，交线段AB 于点 D，再过点P 作 PE x轴交抛物线于点 E，连接DE，请问是否存在点 P 使PDE 为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由第 29 页 共 349 页2中考数学复习资料4在平面直角坐标系中，直线yx2 与 x轴交于点 B，与y轴交于点 C，二次函数yx+bx+c的图象经过 B，C 两点，且与 x轴的负半轴交于点 A（1）求二次函数的解析式；（2）如图 1，点 M 是线段 BC 上的一动点，动点D 在直线 BC 下方的二次函数图象上设点D 的横坐标为 m 过点 D 作 DM BC 于点 M，求线段 DM关于 m 的函数关系式，并求线段DM 的最大值；若CDM为等腰直角三角形，直接写出点M 的坐标25在平面直角坐标系中，二次函数yax+bx+2 的图象与 x轴交于 A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点 C（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点 P 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P，使ACP 的面积最大？若存在，求