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高中数学高中数学 必修必修 1 1 知识点知识点第一章第一章集合与函数概念集合与函数概念【1.1.11.1.1】集合的含义与表示】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一.（4）集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法：x|x具有的性质，其中x为集合的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集().（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义(1)AAA 中的任一元素都属于 B(2)性质示意图A B子集（或B A)ABA(3)若A B且B C，则AC(4)若A B且B A，则A B（1）A（A 为非空子集）A(B)A(B)B BA A或真子集（或 BA）A B，且 B 中至少有一元素不属于 AB BA A(2)若AB且BC，则AC集合相等A 中的任一元素都属A B于 B，B 中的任一元素都属于 A(1)AB(2)BAA(B)A(B)（7）已知集合A有n(n 1)个元素，则它有2n个子集，它有2n1个真子集，有2n1个非空子集，它有2n2非空真子集.意义性质示意图（8）交集、并集、补集名称记号交集ABx|x A,且xBx|x A,或xB并集ABA（2）A（3）AA（1）A（2）A（3）AA（1）A A B AB BA A AB AB BA AB BA AB B1A(UA)2A(UA)U补集UAx|xU,且xAUU(AB)(UA)(UB)(AB)(UA)(UB)【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集|x|a(a 0)|x|a(a 0)把x|a x ax|x a或x aaxb看 成 一 个 整 体，化 成|x|a，|axb|c,|ax b|c(c 0)|x|a(a 0)型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式 b 4ac二次函数2 0 0 0y ax2bxc(a 0)的图象O O一元二次方程ax2bxc 0(a 0)的根bb24acx1,22a（其中x1x1 x2 b2a无实根 x2)x|x ax2bxc 0(a 0)的解集x|x x1或x x2b2aRax2bxc 0(a 0)的解集x|x1 x x2【1.2.11.2.1】函数的概念】函数的概念（1）函数的概念设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数）叫做集合f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则fA到B的一个函数，记作f:A B函数的三要素:定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法设a,b是两个实数，且a b，满足a 集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a x b的实数x的集合叫做闭区间，记做a,b；满足a x b的实数x的x b，或a x b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做a,b)，(a,b；满足x a,x a,x b,x b的实数x的集合分别记做a,),(a,),(,b,(,b)注意：注意：对于集合x|a x b与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须a b（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：f(x)是整式时，定义域是全体实数f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1y tanx中，x k2(k Z)零（负）指数幂的底数不能为零若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集f(x)的定义域为a,b，其复合函数fg(x)的定义域应由不等式对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知a g(x)b解出对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值判别式法：若函数y f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2b(y)xc(y)0，则在a(y)0时，由于x,y为实数，故必须有 b2(y)4a(y)c(y)0，从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【1.2.21.2.2】函数的表示法】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，）叫做集合那么这样的对应（包括集合给定一个集合A，B以及A到B的对应法则fA到B的映射，记作f:A BA到集合B的映射，且a A,bB如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，【1.3.11.3.1】单调性与最大（小）值】单调性与最大（小）值元素a叫做元素b的原象（1）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质定义如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x x x x 时，都1 12 2 有 f(xf(x)f(x)f(x)，那么就说1 12 2 f(x)在这个区间上是增函数增函数函数的单调性如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x x xf(x)f(x)，那么就说1 12 2 f(x)在这个区间上是减函数减函数图象判定方法（1）利用定义y yy=f(X)y=f(X)f(x)f(x)1（2）利用已知函数的f(x)f(x)2单调性（3）利用函数图象（在某个区间图o ox x1x x2x x象上升为增）（4）利用复合函数（1）利用定义y yf(x)f(x)1y=f(X)y=f(X)f(x)f(x)2（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图x x2o ox x1x x象下降为减）（4）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数为减，u令u g(x)，若y f(u)为增，u g(x)为增，则y fg(x)为增；若y f(u)y fg(x)，为 减；若则y fg(x)为增；若y f(u)为增，u g(x)为减，则y fg(x)g(x)为减，y yy f(u)为减，u g(x)为增，则y fg(x)为减（2）打“”函数af(x)x(a 0)的图象与性质xo ox xf(x)分别在(,a、a,)上为增函数，分别在 a,0)、(0,a上为减函数（3）最大（小）值定义一般地，设函数y f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得一般地，设函数f(x0)M那么，我们称M是函数f(x)的最大值，记作fmax(x)My f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xI，都有（2）存在f(x)m；x0I，使得f(x0)m那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作fmax(x)m【1.3.21.3.2】奇偶性】奇偶性（4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质定义如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f(f(x)=x)=f(x)f(x),那么函数 f(x)叫做奇函奇函 数数函数的奇偶性如果对于函数 f(x)定义域内任意一个x，都有f(f(x)=x)=f(x)f(x),那么函数 f(x)叫做偶函数偶函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）若函数图象判定方法（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）f(x)为奇函数，且在x 0处有定义，则f(0)0奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充知识函数的图象补充知识函数的图象（1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换h0,左移h个单位k0,上移k个单位y f(x)y f(x h)y f(x)y f(x)kh0,右移|h|个单位k0,下移|k|个单位伸缩变换01,伸y f(x)y f(x)1,缩0A1,缩y f(x)y Af(x)A1,伸对称变换y轴x轴 y f(x)y f(x)y f(x)y f(x)直线yx原点y f(x)y f(x)y f(x)y f1(x)去掉y轴左边图象y f(x)y f(|x|)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留x轴上方图象y f(x)y|f(x)|将x轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章第二章基本初等函数基本初等函数()（1）根式的概念如果xna的n次方根用符号na a,aR,xR,n 1，且n N，那么x叫做a的n次方根 当n是奇数时，n表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号没有n次方根式子na表示，负的n次方根用符号na表示；0 的n次方根是 0；负数aa叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a 0n根式的性质：(（2）分数指数幂的概念a (a 0)a)n a；当n为奇数时，nan a；当n为偶数时，nan|a|a (a 0)mn正数的正分数指数幂的意义是：anam(a 0,m,nN,且n 1)0 的正分数指数幂等于 0mn正数的负分数指数幂的意义是：a1m1()nn()m(a 0,m,nN,且n 1)0 的负分数指数幂没有意aa义注意口诀：注意口诀：底数取倒数，指数取相反数（3）分数指数幂的运算性质aras ars(a 0,r,sR)(ar)s ars(a 0,r,sR)r(ab)arbr(a 0,b 0,rR)指数函数定义函数（4）指数函数函数名称y ax(a 0且a 1)叫做指数函数y yy y a ax xy y a ax xy ya 1图象定义域值域0 a 1R(0,)图象过定点(0,1)，即当x过定点奇偶性单调性0时，y 1在R上是减函数非奇非偶在R上是增函数ax1(x 0)函数值的变化情况ax1(x 0)ax1(x 0)ax1(x 0)ax1(x 0)ax1(x 0)a变化对 图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低2.22.2对数函数对数函数（1）对数的定义若ax N(a 0,且a 1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x logaN，其中a叫做底数，N叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：x（2）几个重要的对数恒等式 logaN ax N(a 0,a 1,N 0)loga1 0，logaa 1，logaab b（3）常用对数与自然对数常用对数：lgN，即log10（4）对数的运算性质如果a加法：logaN；自然对数：lnN，即logeN（其中e 2.71828）0,a 1,M 0,N 0，那么M logaN loga(MN)减法：logaM logaN logaM logaMn(nR)alogaN NMN数乘：nlogalogabMnlogbNn(b 0,且b 1)logaM(b 0,nR)换底公式：logaN logbab（5）对数函数函数名称定义函数对数函数y logax(a 0且a 1)叫做对数函数a 10 a 1y y logloga ax xy yx x 1 1y yx x 1 1y y logloga ax x图象(1,0)(1,0)O O(1,0)(1,0)x x(0,)O Ox x定义域值域过定点奇偶性单调性在(0,)上是增函数R图象过定点(1,0)，即当x 1时，非奇非偶在(0,)上是减函数y 0logax 0(x 1)函数值的变化情况logax 0(x 1)logax 0(x 1)logax 0(0 x 1)logax 0(x 1)logax 0(0 x 1)a变化对 图象的影响(6)反函数的概念设函数在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高y f(x)的定义域为A，值域为C，从式子y f(x)中解出x，得式子x(y)如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数y f(x)的反函数，记作x f1(y)，习惯上改写成y f1(x)（7）反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式将xy f(x)中反解出x f1(y)；f1(y)改写成y f1(x)，并注明反函数的定义域（8）反函数的性质原函数函数y f(x)与反函数y f1(x)的图象关于直线y x对称y f(x)的定义域、值域分别是其反函数y f1(x)的值域、定义域若P(a,b)在原函数一般地，函数y f(x)的图象上，则P(b,a)在反函数y f1(x)的图象上y f(x)要有反函数则它必须为单调函数2.32.3幂函数幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x叫做幂函数，其中x为自变量，是常数（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)单调性：如果y0，则幂函数的图象过原点，并且在0,)上为增函数如果 0，则幂函数的图象在(0,)上为y轴qp（其中，p,q互质，p和qZ）减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当qpqp若p为奇数q为奇数时，则y xqp是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则y x是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则y x是非奇非偶函数图象特征：幂函数y x,x(0,)，当1时，若0 x 1，其图象在直线y x下方，若x 1，其图象在直线y x上方，当1时，若0 x 1，其图象在直线y x上方，若x 1，其图象在直线y x下方补充知识二次函数补充知识二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a 0)顶点式：f(x)a(xh)2k(a 0)两根式：f(x)a(x x1)(x x2)(a 0)（2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求（3）二次函数图象的性质f(x)更方便二次函数b4acb2b)f(x)ax bxc(a 0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x ,顶点坐标是(,2a4a2a2bbb当a 0时，抛物线开口向上，函数在(,在当x 上递减，,)上递增，2a2a2a4acb2时，fmin(x)4a；4acb2bbb当a 0时，抛物线开口向下，函数在(,时，fmax(x)上递增，在,)上递减，当x 4a2a2a2a二次函数f(x)ax2bxc(a 0)当 b24ac 0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2|x1x2|（4）一元二次方程ax2|a|bxc 0(a 0)根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布设一元二次方程ax2bxc 0(a 0)的两实根为x1,x2，且x1 x2令f(x)ax2bxc，从以下四个方面来分析此类问题：开口方向：a对称轴位置：xkx1x2 b判别式：端点函数值符号2ayf(k)0ya 0 x b2ax2kx1Ox2xkx1Oxbx 2ax1x2kf(k)0a 0ya 0f(k)0yx Ob2ax1Ox2kxx1x2kxbx 2ax1kx2af(k)0a 0f(k)0ya 0yf(k)0 x2x1Okx2xx1Okxf(k)0a 0k1x1x2k2yf(k1)0a 0f(k2)0 x2k2yk1x b2ak2Ok1x1xOx1f(k1)0 x2xx b2af(k2)0a 0有且仅有一个根 x1（或 x2）满足 k1x1（或 x2）k2f(k1)f(k2)0，并同时考虑 f(k1)=0 或 f(k2)=0 这两种情况是否也符合yf(k1)0a 0yf(k1)0Ok1x1k2x2xOx1k1x2k2xf(k2)0a 0f(k2)0k1x1k2p1x2p2此结论可直接由推出（5）二次函数设f(x)ax2bxc(a 0)在闭区间p,q上的最值f(x)在区间p,q上的最大值为最大值为M，最小值为，最小值为m，令x0（）当a1(pq)20时（开口向上）若bbbb p，则m f(p)若p q，则m f()若 q，则m f(q)2a2a2a2a f(q)Of(p)xObf(q)xf(p)Ofxb)2abf()(p)f(bb2a2Ma f(q)若 x0，则 x0，则M f(p)2a2aff(q)ff(p)x0 xOx(q)0Oxb)2afbf(p)2aff(q)()当a 0时(开口向下)若bbbb p，则M f(p)若p q，则M f()若 q，则M f(q)2a2a2a2abf()2af(p)Of(p)xObf()2aff(b)2a(q)xOx f(q)(q)f(p)f若bb x0，则m f(q)x0，则m f(p)2a2af(b)2af(p)Off(b)2a(q)x0 xx0Of(q)x f(p)第三章第三章 函数的应用函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数点。2、函数零点的意义：函数坐标。即：方程y f(x)(x D)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数y f(x)(x D)的零y f(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数y f(x)的图象与x轴交点的横f(x)0有实数根函数y f(x)的图象与x轴有交点函数y f(x)有零点3、函数零点的求法：y f(x)的零点：1（代数法）求方程f(x)0的实数根；求函数2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数4、二次函数的零点：二次函数y f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点y ax2bx c(a 0)2），方程ax bx c 0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点2），方程ax bx c 0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点），方程ax2bx c 0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点高中数学高中数学 必修必修 2 2 知识点知识点1.11.1 柱、锥、台、球的结构特征柱、锥、台、球的结构特征1.21.2 空间几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3 直观图：斜二测画法4 斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于 x，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图1.31.3 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积1 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2 圆柱的表面积S rl 2r23 圆锥的表面积S2rl r24 圆台的表面积S rl r2Rl R25 球的表面积S 4R2（二）空间几何体的体积1 柱体的体积3 台体的体积V S底h2 锥体的体积V 1V （S上S上S下31S底h34 S下)h4 球体的体积V R33DA0第二章第二章 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系2.12.1 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45，且横边画成邻边的2 倍长（如图）CB（2）平面通常用希腊字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC、平面 ABCD 等。3三个公理：（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为ALBL =LAB公理 1 作用：判断直线是否在平面内（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C 三点不共线=有且只有一个平面，使 A、B、C。公理 2 作用：确定一个平面的依据。（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P=L，且 PL公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据A L CABLP2.1.22.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设 a、b、c 是三条直线abcb强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：a与 b所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与 O 的选择无关，为简便，点 O 一般取在两直线中的一条上；=ac2 两条异面直线所成的角(0，)；当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab；两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.32.1.3 2.1.42.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a来表示a a=A a2 2.2.2.直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质2.2.12.2.1 直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：ab =aab2.2.22.2.2 平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：abab=Pab2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.32.2.3 2.2.42.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：aa ab=b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：=a ab=b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.12.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定1、定义如果直线 L 与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面互相垂直，记作 L，直线 L 叫做平面的垂线，平面叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。L p2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.22.3.2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭 lB2、二面角的记法：二面角-l-或-AB-3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.32.3.3 2.3.42.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。本章知识结构框图本章知识结构框图平面（公理1、公理2、公理 3、公理 4）空间直线、平面的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系第三章第三章直线与方程直线与方程3.13.1 直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率3.13.1 倾斜角和斜率倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定=0.2、倾斜角的取值范围：0180.当直线 l 与 x 轴垂直时,=90.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k=tan当直线 l 与 x 轴平行或重合时,=0,k=tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时,=90,k 不存在.由此可知,一条直线 l 的倾斜角一定存在,但是斜率 k 不一定存在.4、直线的斜率公式:给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率：斜率公式斜率公式:k=y2-y1/x2-x1:k=y2-y1/x2-x13.1.23.1.2 两条直线的平行与垂直两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立即如果 k1=k2,那么一定有 L1L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即3.2.13.2.1直线的点斜式方程直线的点斜式方程1、直线的点斜式点斜式方程：直线l经 过 点P0(x0,y0)，且 斜 率 为ky y0 k(x x0)2、直线的斜截式斜截式方程：已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0,b)y kx b x2,y1 y2)y-y1/y-y2=x-x1/x-x2y-y1/y-y2=x-x1/x-x23.2.23.2.2直线的两点式方程直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点P1(x1,x2),P2(x2,y2)其中(x12、直线的截距式方程：已知直线l与x轴的交点为 A(a,0)，与y轴的交点为 B(0,b)，其中a 0,b 03.2.33.2.3直线的一般式方程直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于x,y的二元一次方程2、各种直线方程之间的互化。Ax By C 0（A，B 不同时为 0）3.33.3 直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式3.3.13.3.1 两直线的交点坐标两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点坐标L1：3x+4y-2=0L1：2x+y+2=0解：解方程组3x4y2 0得 x=-2，y=22x2y2 0所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M（-2，2）点到直线的距离公式点到直线的距离公式1点到直线距离公式：点P(x0,y0)到直线l:Ax By C 0的距离为：d Ax0 By0CA B222 2、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax By C1 0，l2：Ax By C20，则l1与l2的距离为d 4.1.14.1.1 圆的标准方程圆的标准方程1、圆的标准方程：(xa)2C1C2A B22(y b)2 r2圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程2、点M(x0,y0)与圆(xa)（1）(x0（3）(x02(y b)2 r2的关系的判断方法：a)2(y0b)2r2，点在圆外（2）(x0a)2(y0b)2=r2，点在圆上a)2(y0b)2r2，点在圆内4.1.24.1.2圆的一般方程圆的一般方程1、圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 02、圆的一般方程的特点：(1)x2 和 y2 的系数相同，不等于 0没有 xy 这样的二次项(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。4.2.14.2.1 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系设直线l：ax by c 0，圆C：x y Dx Ey F 0，圆的半径为r，圆心(则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当d r时，直线l与圆C相离；（2）当d r时，直线l与圆C相切；（3）当d r时，直线l与圆C相交；22DE,)到直线的距离为d，224.2.34.2.3直线与圆的方程的应用直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论RM4.3.14.3.1 空间直角坐标系空间直角坐标系1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z)，x、上的坐标2、有序实数组(x,y,z)，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组(x,y,z)来表示，该数组叫做点 M在此空间直角坐标系中的坐标，记 M(x,y,z)，x叫做点 M 的横坐标，M 的纵坐标，z叫做点 M 的竖坐标。y、z分别是 P、Q、R 在x、y、z轴zxOPQMyP1OM1N1xMP2y叫做点M2HN2yN4.3.24.3.2 空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式1、空间中任意一点P1(x1,y1,z1)到点P2(x2,y2,z2)之间的距离公式P1P2(x1 x2)2(y1 y2)2(z1 z2)2高中数学高中数学必修必修 3 3 知识点知识点第一章第一章 算法初步算法初步1.1.11.1.1算法的概念算法的概念1、算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.2.算法的特点:(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.1.1.21.1.2程序框图程序框图1、程序框图基本概念：（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。（二）构成程序框的图形符号及其作用程序框起止框输入、输出框处理框判断框或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。分别写在不同的用以处理数据的处理框内。判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”何需要输入、输出的位置。赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等的。表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任名称功能表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。（三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A 框和 B框是依次执行的，只有在执行完 A 框指定的操作后，才能接着执行 B 框所指定的操作。2 2、条件结构：、条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。条件 P 是否成立而选择执行 A 框或 B 框。无论P 条件是否成立，只能执行A 框或 B 框之一，不可能同时执行A 框和 B 框，也不可能 A 框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。3 3、循环结构：、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，