高考理科数学知识点总结.pdf

必修模块知识点总结必修模块知识点总结高中数学必修 1 知识网络集合（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）1（集合与元素2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性（3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法（子集：若xA xB，则A B，即A是B的子集。1、若集合A中有n个元素，则集合 A的子集有2n个，真子集有(2n-1)个。2、任何一个集合是它本身的子集，即A A注关系3、对于集合A,B,C,如果A B，且B C,那么AC.4、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若A B且A B（即至少存在 x0B但x0A），则A是B的真子集。集合集合相等：A B且A B A B集合与集合定义：AB x/xA且xB交集性质：AA A，A，AB BA，AB A,AB B，A B AB A定义：AB x/xA或xB并集性质：AA A，A A，AB BA，AB A，AB B，A B AB B运算Card(AB)Card(A)Card(B)-Card(AB)定义：CUAx/xU且xA A补集性质：(CUA)A，(CUA)AU，CU(CUA)A，CU(AB)(CUA)(CUB)，C(AB)(C A)(C B)UUU函数映射定义：设 A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素 x，在集合B中都有唯一确定的元素 y与之对应，那么就称对应 f：B为从集合 A到集合B的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量x,y,并且对于 x在某个范围内的每一个确定的值，定义按照某个对应关系 f,y都有唯一确定的值和它对应。那么y就是x的函数。记作 y f(x).近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。定义域函数及其表示函数的三要素值域对应法则解析法函数的表示方法列表法图象法传统定义：在区间a,b上，若ax1x2b,如f(x1)f(x2)，则f(x)在a,b上递增,a,b是递增区间；如 f(x)f(x)，则f(x)在 a,b 上递减,a,b 是的递减区间。12单调性导数定义：在区间 a,b 上，若f(x)0，则f(x)在 a,b 上递增,a,b是递增区间；如 f(x)0a,b是的递减区间。则f(x)在a,b上递减,最大值：设函数 y f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足：（1）对于任意的 xI，都有f(x)M；函数（2）存在x0I，使得f(x0)M。则称M是函数y f(x)的最大值函数的基本性质最值最小值：设函数 y f(x)的定义域为 I，如果存在实数 N满足：（1）对于任意的 xI，都有f(x)N；（2）存在x0I，使得f(x0)N。则称N是函数y f(x)的最小值(1)f(x)f(x),x定义域D，则f(x)叫做奇函数，其图象关于原点对称。奇偶性(2)f(x)f(x),x定义域D，则f(x)叫做偶函数，其图 象关于y轴对称。奇偶函数的定义域关于原点对称周期性：在函数 f(x)的定义域上恒有 f(xT)f(x)(T0的常数)则f(x)叫做周期函数，T为周期；T的最小正值叫做 f(x)的最小正周期，简称周期（1）描点连线法：列表、描点、连线向左平移个单位：y1y,x1axy f(xa)向右平移 a个单位：y y,x axy f(xa)平移变换向上平移 b个单位：x1x,y1byyb f(x)11向下平移 b个单位：x x,y11byyb f(x)横坐标变换：把各点的横坐标 x1缩短（当 w1时）或伸长（当 0w1时）到原来的1/w倍（纵坐标不变），即 x1wxy f(wx)伸缩变换纵坐标变换：把各点的纵坐标 y 伸长（A1)或缩短（0A1)到原来的A倍1函数图象的画法（横坐标不变），即y1y/Ay f(x)（xx12x0 x 2x0 x2）变换法12 y0y f(2 x0 x)关于点(x0,y0)对称：yy12 y0y12 y0yxx12x0 x 2x0 x关于直线 xx0对称：1y f(2 x0 x)yyy1y1对称变换xx1x x关于直线 yy0对称：12 y0y f(x)y1y2 y0y12 y0yxx1关于直线 yx对称：y f1(x)yy1附：一、函数的定义域的常用求法：1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于零；4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；5、三角函数正切函数y tan x中x k2(k Z)；余切函数y cot x中；6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。二、函数的解析式的常用求法：1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法三、函数的值域的常用求法：1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、单调性法；7、直接法四、函数的最值的常用求法：1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法五、函数单调性的常用结论：1、若f(x),g(x)均为某区间上的增（减）函数，则f(x)g(x)在这个区间上也为增（减）函数2、若f(x)为增（减）函数，则 f(x)为减（增）函数3、若f(x)与g(x)的单调性相同，则y fg(x)是增函数；若f(x)与g(x)的单调性不同，则y fg(x)是减函数。4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。六、函数奇偶性的常用结论：1、如果一个奇函数在x 0处有定义，则f(0)0，如果一个函数y f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)0（反之不成立）2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。4、两个函数y f(u)和u g(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。5、若 函 数f(x)的 定 义 域 关 于 原 点 对 称，则f(x)可 以 表 示 为11f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)，该式的特点是：右端为一个奇函数22和一个偶函数的和。零点：对于函数y f（x）,我们把使f(x)0的实数x叫做函数y f(x)的零点。定理：如果函数y f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0,零点与根的关系那么，函数y f(x)在区间a,b内有零点。即存在c (a,b),使得f(c)0,这个c也是方程f(x)0的根。（反之不成立）关系：方程f(x)0有实数根 函数y f(x)有零点 函数y f(x)的图象与x轴有交点(1)确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定精确度；函数与方程(2)求区间(a,b)的中点c;函数的应用(3)计算f(c)；二分法求方程的近似解若f(c)0,则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0,则令b （此时零点cx(a,b)）；0若f(c)f(b)0,则令a （此时零点cx(c,b)）；0(4)判断是否达到精确度：即若 a-b,则得到零点的近似值a(或b);否则重复2 4。几类不同的增长函数模型函数模型及其应用用已知函数模型解决问题建立实际问题的函数模型mna,n 为根指数，a 为被开方数根式：nmna a分数指数幂aras ar s(a 0,r,s Q)指数的运算rs指数函数rs性质(a)a(a 0,r,s Q)(ab)r arbs(a 0,b 0,r Q)x指数函数定义：一般地把函数y a(a 0 且 a 1)叫做指数函数。性质：见表1对数：x lo gaN,a 为底数，N 为真数loga(M N)logaM logaN;基本初等函数logaM logaM logaN;.N对数的运算性质n n logM;(a 0,a 1,M 0,N 0)alogaM对数函数logcblogab(a,c 0 且 a,c 1,b 0)换底公式：logac对数函数定义：一般地把函数y logax(a 0 且 a 1)叫做对数函数性质：见表1定义：一般地，函数y x叫做幂函数，x 是自变量，是常数。幂函数性质：见表2表表1 1定义域值域指数函数y axa 0,a 1xR对数数函数y logaxa 0,a 1x0,yRy0,图象过定点(0,1)减函数增函数减函数过定点(1,0)增函数x(,0)时，y(1,x)(,0)时，y(0,1)x(0,1)时，y(0,)x(0,1)时，y(,0)(1,)时，y(,0)x(1,)时，y(0,)x(0,)时，y(0,1)x(0,)时，y(1,x性质a ba ba ba b表表 2 2幂函数y x(R)pq 00111p为奇数q为奇数奇函数p为奇数q为偶数p为偶数q为奇数第一象限性质减函数增函数过定点（01，）偶函数高中数学必修高中数学必修 2 2 知识点知识点一、直线与方程一、直线与方程（1 1）直线的倾斜角）直线的倾斜角定义：x轴正向正向与直线向上方向向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0180（2 2）直线的斜率）直线的斜率定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即k tan。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当 0,90时，k 0；当 90,180在。过两点的直线的斜率公式：k 时，k 0；当 90时，k不存y2 y1(x1 x2)x2 x1注意下面四点：(1)当x1 x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3 3）直线方程）直线方程点斜式：点斜式：y y1 k(x x1)直线斜率k，且过点x1,y1注意：注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：斜截式：y kx b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为by y1x x1两点式：两点式：（x1 x2,y1 y2）直线两点x1,y1，x2,y2y2 y1x2 x1截矩式：截矩式：xy1ab其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距截距分别为a,b。一般式：一般式：Ax By C 0（A，B不全为不全为 0 0）1 各式的适用范围 2 特殊的方程如：注意：注意：平行于x轴的直线：y b（b为常数）；平行于y轴的直线：x a（a为常数）；（5 5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系（一）平行直线系平行于已知直线A0 x B0y C0 0（A0,B0是不全为0 的常数）的直线系：A0 x B0y C 0（C为常数）（二）过定点的直线系（二）过定点的直线系（）斜率为k的直线系：（）过两条直线l1:为y y0 kx x0，直线过定点x0,y0；A1x B1y C1 0，l2:A2x B2y C2 0的交点的直线系方程，其中直线l2不在直线系中。A1x B1yC1A2x B2yC2 0（为参数）（6 6）两直线平行与垂直）两直线平行与垂直当l1:y k1x b1，l2:y k2x b2时，l1/l2 k1 k2,b1 b2；l1 l2 k1k2 1注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7 7）两条直线的交点）两条直线的交点l1:A1x B1y C1 0l2:A2x B2y C2 0相交A1x B1y C1 0交点坐标即方程组的一组解。A2x B2y C2 0方程组无解 l1/l2；方程组有无数解l1与l2重合（8 8）两点间距离公式：）两点间距离公式：设A(x1,y1)，（是平面直角坐标系中的两个点，B x2,y2）则|AB|(x2 x1)2(y2 y1)2（9 9）点到直线距离公式：点到直线距离公式：一点Px0,y0到直线l1:Ax By C 0的距离d Ax0 By0C22A B（1010）两平行直线距离公式）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。二、圆的方程二、圆的方程1 1、圆的定义：、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2 2、圆的方程、圆的方程（1 1）标准方程）标准方程x ay b r，圆心222a,b，半径为 r；22（2 2）一般方程）一般方程x y Dx Ey F 01DE，半径为当D E 4F 0时，方程表示圆，此时圆心为r D2 E2 4F,22222当D E 4F 0时，表示一个点；当D E 4F 0时，方程不表示任何图形。（3 3）求圆方程的方法：）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：一般都采用待定系数法：先设后求。先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3 3、直线与圆的位置关系：、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线l:Ax By C 0，圆C:x a2y b2 r2，圆心Ca,b到l的距离为d Aa Bb C，则有d r l与C相离；d r l与C相切；d r l与C相交A2 B22222（2）设直线l:Ax By C 0，圆C:x ay b r2，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有22 0 l与C相离；0 l与C相切；0 l与C相交注：如果圆心的位置在原点，可使用公式xx0 yy0 r去解直线与圆相切的问题，其中x0,y0表示切点坐标，r 表示半径。(3)(3)过圆上一点的切线方程：过圆上一点的切线方程：22圆x2+y2=r，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为xx0 yy0 r(课本命题)222 圆(x-a)+(y-b)=r，圆 上 一 点 为(x0，y0)，则 过 此 点 的 切 线 方 程 为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)4 4、圆与圆的位置关系：、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。22设圆C1:x a12y b12 r2，C2:x a2y b2 R2两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当d Rr时两圆外离，此时有公切线四条；当d Rr时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当R r d R r时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当d R r时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当d R r时，两圆内含；当d 0时，为同心圆。2三、立体几何初步三、立体几何初步1 1、柱、锥、台、球的结构特征、柱、锥、台、球的结构特征（1 1）棱柱：定义）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE A B C D E或用对角线的端点字母，如五棱柱AD几何特征几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2 2）棱锥）棱锥定义定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示表示：用各顶点字母，如五棱锥P A B C D E几何特征几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3 3）棱台：定义）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示表示：用各顶点字母，如五棱台P A B C D E几何特征几何特征：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点（4 4）圆柱：圆柱：定义定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（5 5）圆锥：圆锥：定义定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。（6 6）圆台：定义：）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。（7 7）球体：定义：）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。2 2、空间几何体的三视图、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。3 3、空间几何体的直观图斜二测画法、空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法特点：斜二测画法特点：原来与 x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变；原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行，长度为原来的一半。4 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1 1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2 2）特殊几何体表面积公式（）特殊几何体表面积公式（c c 为底面周长，为底面周长，h h 为高，为高，h为斜高，为斜高，l l 为母线）为母线）S直棱柱侧面积 chS圆柱侧 2rhS正棱锥侧面积1chS圆锥侧面积rl2S正棱台侧面积1(c1c2)hS圆台侧面积(r R)l2 2rr lS圆锥表rr lS圆台表r2 rl Rl R2S圆柱表（3 3）柱体、锥体、台体的体积公式）柱体、锥体、台体的体积公式V柱 ShV圆柱 Sh r2hV锥1ShV圆锥1r2h3311122V台(SSS S)hV圆台(S S S S)h(r rR R)h333（4 4）球体的表面积和体积公式：）球体的表面积和体积公式：V球=4R3；S球面=4R324 4、空间点、直线、平面的位置关系、空间点、直线、平面的位置关系（1 1）平面）平面 平面的概念：平面的概念：A.描述性说明；B.平面是无限伸展的；平面的表示：平面的表示：通常用希腊字母、表示，如平面（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。点与平面的关系：点与平面的关系：点A在平面内，记作A；点A不在平面内，记作A点与直线的关系：点与直线的关系：点A的直线l上，记作：Al；点A在直线l外，记作Al；直线与平面的关系直线与平面的关系：直线l在平面内，记作l；直线l不在平面内，记作l。（2 2）公理）公理 1 1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经过直线）应用：应用：检验桌面是否平；判断直线是否在平面内用符号语言表示公理用符号语言表示公理 1 1：Al,Bl,A,Bl（3 3）公理）公理 2 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论：推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。公理公理 2 2 及其推论作用：及其推论作用：它是空间内确定平面的依据它是证明平面重合的依据（4 4）公理）公理3 3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：符号：平面和相交，交线是a，记作a。符号语言：符号语言：PAB AB l,Pl公理公理 3 3 的作用：的作用：它是判定两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。（5 5）公理）公理 4 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（6 6）空间直线与直线之间的位置关系）空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义：异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线性质异面直线性质：既不平行，又不相交。异面直线判定：异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 异面直线所成角异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线aa，bb，则把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0，90，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这 两条异面直两条异面直线互相垂直。线互相垂直。说明说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：根据异面直线的定义；异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O 是任取的，而和点 O 的位置无关。求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角（7 7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。（8 8）空间直线与平面之间的位置关系）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内有无数个公共点三种位置关系的符号表示：三种位置关系的符号表示：a aA a（9 9）平面与平面之间的位置关系：）平面与平面之间的位置关系：平行没有公共点；相交有一条公共直线。b5 5、空间中的平行问题、空间中的平行问题（1 1）直线与平面平行的判定及其性质）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。线线平行线面平行线面平行的性质定理：线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行（2 2）平面与平面平行的判定及其性质）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行面面平行），（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。（线线平行面面平行），（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行线面平行）（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行线线平行）7 7、空间中的垂直问题、空间中的垂直问题（1 1）线线、面面、线面垂直的定义）线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。（2 2）垂直关系的判定和性质定理）垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。面面垂直的判定定理和性质定理面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。9 9、空间角问题、空间角问题（1 1）直线与直线所成的角）直线与直线所成的角两平行直线所成的角：规定为0 0。两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。两条异面直线所成的角：过空间任意一点 O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线a a,b b，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。（2 2）直线和平面所成的角）直线和平面所成的角平面的平行线与平面所成的角：规定为0 0。平面的垂线与平面所成的角：规定为9090。平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。（3 3）二面角和二面角的平面角）二面角和二面角的平面角二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内面内分别作垂直于垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角7 7、空间直角坐标系、空间直角坐标系（1 1）定义）定义：如图，OBCD D,A,B,C,是单位正方体.以 A 为原点，分别以 OD,OA,OB 的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y轴.z轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.1）O 叫做坐标原点 2）x 轴，y 轴，z 轴叫做坐标轴.3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。（2 2）右手表示法：）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为 x 轴正方向，食指指向为 y 轴正向，中指指向则为 z 轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。（3 3）任意点坐标表示：）任意点坐标表示：空间一点 M 的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示，有序实数组(x,y,z)叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z)（x 叫做点 M 的横坐标，y 叫做点 M 的纵坐标，z 叫做点 M 的竖坐标）（4 4）空间两点距离坐标公式：）空间两点距离坐标公式：d d (x x2 2 x x1 1)2 2(y y2 2 y y1 1)2 2(z z2 2 z z1 1)2 2高一数学必修高一数学必修 3 3 公式总结以及例题公式总结以及例题1 1 算法初步算法初步秦九韶算法：秦九韶算法：通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值，通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值，对于一个对于一个 n n次多项式，只要作次多项式，只要作 n n 次乘法和次乘法和 n n 次加法即可。表达式如下：次加法即可。表达式如下：anxn an1xn1.a1anx an1x an2x.x a2x a1例题：秦九韶算法计算多项式例题：秦九韶算法计算多项式3x6 4x55x4 6x3 7x28x 1,当 x 0.4 时,需要做几次加法和乘法运算?答案：6，6即:3x 4x 5x 6x 7x 8x 1理解算法的含义理解算法的含义：一般而言，对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，其意义具有广泛的含义，如：广播操图解是广播操的算法，歌谱是一首歌的算法，空调说明书是空调使用的算法(algorithmalgorithm)1.描述算法有三种方式：自然语言，流程图，程序设计语言（本书指伪代码）.2.算法的特征：有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行下去确定性：算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切，而且必须有输出，输出可以是一个或多个。没有输出的算法是无意义的。可行性：算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在一定时间内可以完成，在时间上有一个合理的限度3.算法含有两大要素：操作：算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等控制结构:顺序结构，选择结构，循环结构流程图：流程图：（flow chartflow chart）:是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图形程序，它直观、清晰、易懂，便于检查及修改。注意：注意：1.1.画流程图的时候一定要清晰，用铅笔和直尺画，要养成有开始和结束的好习惯2.拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程，反过来再检查，比如：遇到判断框时，往往临界的范围或者条件不好确定，就先给出一个临界条件，画好大致流程，然后检查这个条件是否正确，再考虑是否取等号的问题，这时候也就可以有几种书写方法了。3.在输出结果时，如果有多个输出，一定要用流程线把所有的输出总结到一起，一起终结到结束框。算法结构：算法结构：顺序结构，选择结构，循环结构ABBApYNANpY直到型循环当型循环ApYN.顺序结构（顺序结构（sequence structuresequence structure）：是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、控制转移和重复执行的操作，一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的。.选择结构（选择结构（selection structureselection structure）：或者称为分支结构。其中的判断框，书写时主要是注意临界条件的确定。它有一个入口，两个出口，执行时只能执行一个语句，不能同时执行，其中的 A,B 两语句可以有一个为空，既不执行任何操作，只是表明在某条件成立时，执行某语句，至于不成立时，不执行该语句，也不执行其它语句。.循环结构循环结构（cyclecycle structurestructure）：它用来解决现实生活中的重复操作问题，分直到型（until）和当型(while)两种结构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时（即不知道循环次数时）用当型循环。基本算法语句：基本算法语句：本书中指的是伪代码伪代码（pseudopseudocodecode），且是使用 BASIC语言编写的,是介于自然语言和机器语言之间的文字和符号，是表达算法的简单而实用的好方法。伪代码没有统一的格式，只要书写清楚，易于理解即可，但也要注意符号要相对统一，避免引起混淆。如：赋值语句中可以用x y，也可以用x y;表示两变量相乘时可以用“*”，也可以用“”.赋值语句（赋值语句（assignment statementassignment statement）：用表示，如：x y，表示将 y 的值赋给 x，其中 x 是一个变量，y 是一个与 x 同类型同类型的变量或者表达式.一般格式：一般格式：“变量 表达式”，有时在伪代码的书写时也可以用“x y”，但此时的“=”不是数学运算中的等号，而应理解为一个赋值号。注注：1.1.赋值号左边只能是变量，不能是常数或者表达式，右边可以是常数或者表达式。“=”具有计算功能。如：3=a,b+6=a,都是错误的，而 a=3*5 1,a=2a+3都是正确的。2.2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。如：a=b=c=2 ,a,b,c=2 都是错误的，而 a=3 是正确的.例题：例题：将 x 和 y 的值交换p xp xx yx y ,同样的如果交换三个变量x,y,z 的值:y zy pz p.输入语句输入语句（inputinput statementstatement）:Read a:Read a,b,b 表示输入的数一次送给表示输入的数一次送给 a a,b,b输出语句（输出语句（out statementout statement）：Print x,yPrint x,y表示一次输出表示一次输出 运算结果运算结果x,yx,y注：注：1.1.支持多个输入和输出，但是中间要用逗号逗号隔开！2.2.Read 语句输入的只能是变量而不是表达式3.3.Print 语句不能起赋值语句，意旨不能在 Print 语句中用“=”4.4.Print 语句可以输出常量和表达式的值.5.5.有多个语句在一行书写时用“；”隔开.例题：例题：当 x 等于 5 时，Print“x=”;x在屏幕上输出的结果是 x=5.条件语句（条件语句（conditional statementconditional statement）：1.1.行行 IfIf 语句语句:If A Then B:If A Then B注：注：没有EndIf 2.2.块块 IfIf 语句：语句：注：注：不要忘记结束语句EndIf，当有 If 语句嵌套使用时，有几个If，就必须要有几个EndIf.Else ElseIf If是对上一个条件的否定，即已经不属于上面的条件，另外 ElseElseIf If 后面也要有 EndIf注意每个条件的临界性，即某个值是属于上一个条件里，还是属于下一个条件。为了使得书写清晰易懂，应缩进书写。格式如下：If IfA AThenThenB BElseElseC CEndEndIf If例题例题:用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法.Reada,b,cReada,b,cIfab ThenIfab andac ThenIfac ThenPrintaPrintaElse Ifbc ThenElse或者PrintbPrintcElseEndIfPrintcElseEndIfIfbc ThenPrintbElse注：注：1.1.同样的你可以写出求三个数中最小的数。Printc2.2.也可以类似的求出四个数中最小、大的数EndIfIfEndIf IfA AThenThenB BElseElseIf IfC ThenC ThenD DEndEndIf If.循环语句（循环语句（cycle statement cycle statement）：当事先知道循环次数时用ForFor 循环，即使是 N次也是已知次数的循环当循环次数不确定时用WhileWhile循环DoDo循环有两种表达形式，与循环结构的两种循环相对应.WhileAFor I From 初值 to终值 Step步长End WhileWhileWhile 循环EndForForFor 循环DoWhilepDoLoop当型 DoDo 循环Loop Untilp直到型 DoDo 循环说明：说明：1.1.While While 循环是前测试型的，即满足什么条件才进入循环，其实质是当型循环，一般在解决有关问题时，可以写成WhileWhile 循环，较为简单，因为它的条件相对好判断.2.2.凡是能用WhileWhile循环书写的循环都能用ForFor 循环书写3.3.WhileWhile循环和DoDo循环可以相互转化4.4.DoDo 循环的两种形式也可以相互转化，转化时条件要相应变化 5.5.注意临界条件的判定.135.99的一个算法.（见课本（见课本P21）例题：例题：设计计算S 1S 1For I From 3 To 99 Step 2S SIEndForPrint SI 1WhileI 97I I 2S SIEndWhilePrint SS 1I 1WhileI 99S SII I 2E