2004年数二真题及解析.pdf

欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-1-2004 年数学（二）真题评注 一.填空题（本题共6 小题，每小题4 分，满分24 分.把答案填在题中横线上.）（1）设2(1)()lim1nnxf xnx,则()f x的间断点为x 0 .【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x,先用求极限的方法得出()f x的表达式,再讨论()f x的间断点.【详解】显然当0 x 时,()0f x;当0 x 时,2221(1)(1)1()limlim11nnxnxxnf xnxxxxn,所以 ()f x0,01,0 xxx,因为 001lim()lim(0)xxf xfx 故 0 x 为()f x的间断点.（2）设函数()y x由参数方程 333131xttytt 确定,则曲线()yy x向上凸的x取值范围为1（，）（或（-，1）.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由()()xx tyy t 定义的 223()()()()()d yy t x tx t y tdxx t 求出二阶导数,再由 220d ydx 确定x的取值范围.【详解】22222331213311dydyttdtdxdxtttdt,222223214113(1)3(1)d yddydttdtdxdxdxttt,欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-2-令 220d ydx 0t.又 331xtt 单调增,在 0t 时,(,1)x.(0t 时，1x x(,1 时，曲线凸.)【评注】本题属新题型.已考过的题型有求参数方程所确定的函数的二阶导数,如1989、1991、1994、2003 数二考题，也考过函数的凹凸性.（3）121dxx x2.【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值.【详解1】221002sectansecsectan21dxttxtdtdtttx x.【详解2】01120110222111()arcsin21111dxtxdtdttttx xtt.【评注】本题为混合广义积分的基本计算题,主要考查广义积分(或定积分)的换元积分法.（4）设函数(,)zz x y由方程232xzzey确定,则3zzxy2.【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解.【详解1】在 232xzzey 的两边分别对x,y求偏导,z为,x y的函数.23(23)xzzzexx,23(3)2xzzzeyy,从而 2323213xzxzzexe,23213xzzye 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-3-所以 232313221 3xzxzzzexye【详解2】令 23(,)20 xzF x y zeyz 则 232xzFex,2Fy,23(3)1xzFez 2323232322(1 3)1 3xzxzxzxzFzeexFxeez ,232322(1 3)1 3xzxzFzyFyeez ,从而 232323313221 31 3xzxzxzzzexyee【详解3】利用全微分公式,得 23(23)2xzdzedxdzdy 2323223xzxzedxdyedz 2323(13)22xzxzedzedxdy 232323221 31 3xzxzxzedzdxdyee 即 232321 3xzxzzexe,2321 3xzzye 从而 32zzxy【评注】此题属于典型的隐函数求偏导.（5）微分方程3()20yxdxxdy满足165xy的特解为315yxx.【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-4-【详解1】原方程变形为 21122dyyxdxx,先求齐次方程 102dyydxx 的通解:12dydxyx 积分得 1lnlnln2yxc yc x 设()yc xx为非齐次方程的通解,代入方程得 2111()()()222c xxc xc xxxxx 从而 321()2c xx,积分得 352211()25c xx dxCxC,于是非齐次方程的通解为 53211()55yxxCCxx 1615xyC,故所求通解为 315yxx.【详解2】原方程变形为 21122dyyxdxx,由一阶线性方程通解公式得 1122212dxdxxxyex edxC 11lnln22212xxex edxC 35221125xx dxCxxC 6(1)15yC,欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-5-从而所求的解为 315yxx.【评注】此题为求解一阶线性方程的常规题.（6）设矩阵210120001A,矩阵B满足2ABABAE,其中A为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则B 19.【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值.【详解1】2ABABAE 2ABABAE,(2)AE BAE,21AE B AE,221111010(1)(1)392100001BAE AA.【详解2】由1AA A,得 11122ABABAEAB A AB A AAA 2A ABA BA (2)A AE BA 32AAE BA 21192BAAE【评注】此题是由矩阵方程及矩阵的运算法则求行列式值的一般题型,考点是伴随矩阵的性质和矩阵乘积的行列式.二.选择题（本题共8 小题，每小题4 分，满分32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）（7）把0 x时的无穷小量20cosxt dt,20tanxtdt,30sinxt dt排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-6-是 （A）,.（B）,.（C）,.（D）,.B【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.【详解】302000sinlimlimcosxxxxt dtt dt 32201sin2limcosxxxx 3200limlim022xxxxx,即 o().又 200030tanlimlimsinxxxxtdtt dt23002tan22limlim011sin22xxxxxxxx,即 o().从而按要求排列的顺序为 、,故选（B）.【评注】此题为比较由变限积分定义的无穷小阶的常规题.（8）设()(1)f xxx,则 （A）0 x 是()f x的极值点,但(0,0)不是曲线()yf x的拐点.（B）0 x 不是()f x的极值点,但(0,0)是曲线()yf x的拐点.（C）0 x 是()f x的极值点,且(0,0)是曲线()yf x的拐点.（D）0 x 不是()f x的极值点,(0,0)也不是曲线()yf x的拐点.C【分析】求分段函数的极值点与拐点，按要求只需讨论0 x 两方()fx,()fx的符号.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-7-【详解】()f x(1),10(1),01xxxxxx,()fx12,1012,01xxxx ,()fx2,102,01xx,从而10 x 时,()f x凹,10 x时,()f x凸,于是(0,0)为拐点.又(0)0f,0 1x 、时,()0f x,从而0 x 为极小值点.所以,0 x 是极值点,(0,0)是曲线()yf x的拐点,故选（C）.【评注】此题是判定分段函数的极值点与拐点的常规题目（9）22212lim ln(1)(1)(1)nnnnnn等于（A）221ln xdx.（B）212ln xdx.（C）212ln(1)x dx.（D）221ln(1)x dx B【分析】将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式.作变换后,从四个选项中选出正确的.【详解】22212lim ln(1)(1)(1)nnnnnn 212lim ln(1)(1)(1)nnnnnn 212limln(1)ln(1)(1)nnnnnn 11lim 2ln(1)nniin n 102ln(1)x dx 2112lnxttdt 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-8-212ln xdx 故选（B）.【评注】此题是将无穷和式的极限化为定积分的题型，值得注意的是化为定积分后还必须作一变换,才能化为四选项之一.（10）设函数()f x连续,且(0)0f,则存在0,使得（A）()f x在(0,)内单调增加.（B）()f x在(,0)内单调减小.（C）对任意的(0,)x有()(0)f xf.（D）对任意的(,0)x 有()(0)f xf.C【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数()f x在0 x 附近的局部性质.【详解】由导数的定义知 0()(0)(0)lim00 xf xffx,由极限的性质,0,使x时,有 ()(0)0f xfx 即0 x时,()(0)f xf，0 x时,()(0)f xf,故选（C）.【评注】此题是利用导数的定义和极限的性质讨论抽象函数在某一点附近的性质.（11）微分方程21sinyyxx 的特解形式可设为（A）2(sincos)yaxbxcx AxBx.（B）2(sincos)yx axbxcAxBx.（C）2sinyaxbxcAx.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-9-xyo1211（D）2cosyaxbxcAx A【分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式.【详解】对应齐次方程 0yy 的特征方程为 210,特征根为 i,对 2021(1)yyxex 而言,因 0 不是特征根,从而其特解形式可设为 21yaxbxc 对 sin()ixmyyxIe,因i为特征根,从而其特解形式可设为 2(sincos)yx AxBx 从而 21sinyyxx 的特解形式可设为 2(sincos)yaxbxcx AxBx【评注】这是一道求二阶常系数线性非齐次方程特解的典型题，此题的考点是二阶常系数线性方程解的结构及非齐次方程特解的形式.（12）设函数()f u连续,区域22(,)2Dx y xyy,则()Df xy dxdy等于（A）221111()xxdxf xy dy.（B）222002()y ydyf xy dx.（C）2sin200(sincos)df rdr.（D）2sin200(sincos)df rrdr D【分析】将二重积分化为累次积分的方法是:先画出积分区域的示意图,再选择直角坐标系和极坐标系,并在两种坐标系下化为累次积分.【详解】积分区域见图.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-10-在直角坐标系下,2221(1)01(1)()()yyDf xy dxdydyf xy dx 22111111()xxdxf xy dy 故应排除（A）、（B）.在极坐标系下,cossinxryr,2sin200()(sincos)Df xy dxdydf rrdr,故应选（D）.【评注】此题是将二重积分化为累次积分的常规题,关键在于确定累次积分的积分限.（13）设A是 3 阶方阵,将A的第1 列与第2 列交换得B,再把B的第2 列加到第 3 列得C,则满足AQC的可逆矩阵Q为 （A）010100101.（B）010101001.（C）010100011.（D）011100001.D【分析】根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系，对题中给出的行（列）变换通过左(右)乘一相应的初等矩阵来实现.【详解】由题意 010100001BA,100011001CB,010100100011001001CA011100001AAQ,欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-11-从而 011100001Q,故选（D）.【评注】此题的考点是初等变换与初等矩阵的关系,抽象矩阵的行列初等变换可通过左、右乘相应的初等矩阵来实现.（14）设A,B为满足0AB 的任意两个非零矩阵,则必有（A）A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关.（B）A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关.（C）A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.（D）A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关.A【分析】将A写成行矩阵,可讨论A列向量组的线性相关性.将B写成列矩阵,可讨论B行向量组的线性相关性.【详解】设(),ijlmAa()ijm nBb,记 12mAAAA 0AB 11121212221212nnmmmmnbbbbbbAAAbbb 1111110mmnmnmb Ab Ab Ab A （1）由于0B,所以至少有一 0ijb(1,1imjn),从而由（1）知,112210jjijimmb Ab Ab Ab A,于是 12,mAAA线性相关.又记 12mBBBB,欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-12-则0AB 11121121222212mmlllmmaaaBaaaBaaaB1111221211222211220mmmmlllmma Ba Ba Ba Ba BaBa Ba Ba B 由于0A,则至少存在一 0ija(1,1iljm),使 11220iiijjimma Ba Ba Ba B,从而 12,mBBB线性相关,故应选（A）.【评注】此题的考点是分块矩阵和向量组的线性相关性，此题也可以利用齐次线性方程组的理论求解.三.解答题（本题共9 小题，满分94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分10 分）求极限3012coslim13xxxx.【分析】此极限属于00型未定式.可利用罗必塔法则,并结合无穷小代换求解.【详解1】原式2 cosln3301limxxxex 202cosln3limxxx 20ln 2cosln3limxxx（）01sin2coslim2xxxx（）011sin1lim22cos6xxxx 【详解2】原式2 cosln3301limxxxex 202cosln3limxxx 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-13-20cos1ln3limxxx（1）20cos11lim36xxx 【评注】此题为求未定式极限的常见题型.在求极限时,要注意将罗必塔法则和无穷小代换结合,以简化运算.（16）（本题满分10 分）设函数()f x在（,）上有定义,在区间0,2上,2()(4)f xx x,若对任意的x都满足()(2)f xk f x,其中k为常数.()写出()f x在 2,0上的表达式;()问k为何值时,()f x在0 x 处可导.【分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论.【详解】()当20 x,即022x时,()(2)f xk f x2(2)(2)4(2)(4)k xxkx xx.()由题设知(0)0f.200()(0)(4)(0)limlim40 xxf xfx xfxx 00()(0)(2)(4)(0)limlim80 xxf xfkx xxfkxx.令(0)(0)ff,得12k .即当12k 时,()f x在0 x 处可导.【评注】此题的考点是用定义讨论分段函数的可导性.（17）（本题满分11 分）设2()sinxxf xt dt,()证明()f x是以为周期的周期函数;()求()f x的值域.【分析】利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-14-讨论函数的值域.【详解】()32()sinxxf xt dt,设tu,则有 22()sin()sin()xxxxf xuduu duf x,故()f x是以为周期的周期函数.()因为sin x在(,)上连续且周期为,故只需在0,上讨论其值域.因为 ()sin()sincossin2fxxxxx,令()0fx,得14x,234x,且 344()sin24ftdt,554433443()sinsinsin224ft dttdttdt,又 20(0)sin1ftdt,32()(sin)1ft dt,()f x的最小值是22,最大值是2,故()f x的值域是22,2.【评注】此题的讨论分两部分:(1)证明定积分等式,常用的方法是变量代换.(2)求变上限积分的最值,其方法与一般函数的最值相同.（18）（本题满分12 分）曲线2xxeey与直线0,(0)xxt t及0y 围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体,其体积为()V t,侧面积为()S t,在xt处的底面积为()F t.()求()()S tV t的值;欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-15-()计算极限()lim()tS tF t.【分析】用定积分表示旋转体的体积和侧面积，二者及截面积都是t的函数,然后计算它们之间的关系.【详解】()20()21tS tyydx 22022124xxxxteeeedx 2022xxteedx,2200()2xxtteeV ty dxdx,()2()S tV t.()22()2ttx teeF ty,20222()limlim()2xxttttteedxS tF tee 222lim222ttttttteeeeee lim1ttttteeee【评注】在 t 固定时,此题属于利用定积分表示旋转体的体积和侧面积的题型,考点是定积分几何应用的公式和罗必塔求与变限积分有关的极限问题.（19）（本题满分12 分）设2eabe,证明2224lnln()babae.【分析】文字不等式可以借助于函数不等式的证明方法来证明,常用函数不等式的欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-16-证明方法主要有单调性、极值和最值法等.【详证1】设224()lnxxxe,则 2ln4()2xxxe 21 ln()2xxx,所以当xe时,()0 x,故()x单调减小,从而当2exe时,22244()()0 xeee,即当2exe时,()x单调增加.因此,当2eabe时,()()ba,即 222244lnlnbbaaee 故 2224lnln()babae.【详证2】设2224()lnln()xxaxae,则 2ln4()2xxxe 21 ln()2xxx,xe时,()0 x()x,从而当2exe时,22244()()0 xeee,2exe时,()x单调增加.2eabe时,()()0 xa.令xb有()0b 即 2224lnln()babae.【详证3】证 对函数2ln x在,a b上应用拉格朗日定理,得 222lnlnln()baba,ab.设ln()ttt,则21 ln()ttt,欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-17-当te时,()0t,所以()t单调减小,从而2()()e,即 222lnln2eee,故 2224lnln()babae【评注】此题是文字不等式的证明题型.由于不能直接利用中值定理证明,所以常用的方法是将文字不等式化为函数不等式,然后借助函数不等式的证明方法加以证明.（20）（本题满分11 分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700/km h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.0 10k).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg表示千克,/km h表示千米/小时.【分析】本题属物理应用.已知加速度或力求运动方程是质点运动学中一类重要的计算,可利用牛顿第二定律,建立微分方程,再求解.【详解1】由题设,飞机的质量9000mkg,着陆时的水平速度0700/vkm h.从飞机接触跑道开始记时,设t时刻飞机的滑行距离为()x t,速度为()v t.根据牛顿第二定律,得 dvmkvdt.又 dvdv dxdvvdtdx dtdx,mdxdvk,积分得 ()mx tvCk,由于0(0)vv,(0)0 x,故得0mCvk,从而 0()()mx tvv tk.当()0v t 时,欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-18-069000 700()1.05()6.0 10mvx tkmk.所以,飞机滑行的最长距离为1.05 km.【详解2】根据牛顿第二定律,得 dvmkvdt.所以 dvkdtvm,两边积分得 ktmvCe,代入初始条件 00tvv,得0Cv,0()ktmv tv e,故飞机滑行的最长距离为 0000()1.05()ktmmvmvxv t dtekmkk.【详解3】根据牛顿第二定律,得 22d xdxmkdtdt,220d xk dxdtm dt,其特征方程为 20krrm,解得10r,2krm，故 12ktmxCC e，由(0)0 x,2000(0)ktmttkCdxvevdtm，得012mvCCk，0()(1)ktmmvx tek.当t 时,069000 700()1.05()6.0 10mvx tkmk.所以,飞机滑行的最长距离为1.05 km.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-19-【评注】此题的考点是由物理问题建立微分方程,并进一步求解.（21）（本题满分10 分）设22(,)xyzf xye,其中f具有连续二阶偏导数,求2,zzzxyx y.【分析】利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算.【详解】122xyzxfyefx,122xyzyfxefy,21112222(2)xyxyxyzx fyfxeefxyefx y 2122(2)xyxyyefyfxe 222111222242()(1)xyxyxyxyfxyefxyefexy f.【评注】此题属求抽象复合函数高阶偏导数的常规题型.（22）（本题满分9 分）设有齐次线性方程组 1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a xxxxxa xxxxxa xxxxxa x 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.【分析】此题为求含参数齐次线性方程组的解.由系数行列式为0 确定参数的取值,进而求方程组的非零解.【详解1】对方程组的系数矩阵A作初等行变换,有 11111111222220033333004444400aaaaaBaaaaaa 当0a 时,()14r A ,故方程组有非零解,其同解方程组为 12340 xxxx.由此得基础解系为 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-20-1(1,1,0,0)T,2(1,0,1,0)T,3(1,0,0,1)T,于是所求方程组的通解为 112233xkkk,其中123,kkk为任意常数.当0a 时,111110000210021003010301040014001aaB 当10a 时,()34r A,故方程组也有非零解,其同解方程组为 12131420,30,40,xxxxxx 由此得基础解系为 (1,2,3,4)T,所以所求方程组的通解为 xk,其中k为任意常数.【详解2】方程组的系数行列式 311112222(10)33334444aaAaaaa.当0A,即0a 或10a 时,方程组有非零解.当0a 时,对系数矩阵A作初等行变换,有 11111111222200003333000044440000A 故方程组的同解方程组为 12340 xxxx.其基础解系为 1(1,1,0,0)T,2(1,0,1,0)T,3(1,0,0,1)T,欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-21-于是所求方程组的通解为 112233xkkk,其中123,kkk为任意常数.当10a 时,对A作初等行变换,有 91119111282220100033733001004446400010A 91110000210021003010301040014001 故方程组的同解方程组为 2131412,3,4,xxxxxx 其基础解系为(1,2,3,4)T,所以所求方程组的通解为xk,其中k为任意常数【评注】解此题的方法是先根据齐次方程有非零解的条件确定方程组中的参数,再对求得的参数对应的方程组求解.（23）（本题满分9 分）设矩阵12314315a的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.【分析】由矩阵特征根的定义确定a的值，由线性无关特征向量的个数与EA秩之间的关系确定A是否可对角化.【详解】A的特征多项式为 1232201431431515aa 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-22-110100(2)143(2)13315115aa 2(2)(8183)a.若2是特征方程的二重根,则有22161830a,解得2a .当2a 时,A的特征值为2,2,6,矩阵1232123123EA的秩为1,故2对应的线性无关的特征向量有两个,从而A可相似对角化.若2不是特征方程的二重根,则28183a为完全平方,从而18316a,解得23a .当23a 时,A的特征值为2,4,4,矩阵32321032113EA的秩为2,故4对应的线性无关的特征向量只有一个,从而A不可相似对角化.【评注】此题的考点是由特征根及重数的定义确定a的值,对a的取值讨论对应矩阵的特征根及对应EA的秩,进而由EA的秩与线性无关特征向量的个数关系确定A是否可相似对角化.