四年级奥数详解答案 第4讲 幻方.pdf

四年级奥数详解答案四年级奥数详解答案 第第 4 4 讲讲第四讲幻方一、知识概要 1.幻方是一种特殊的数阵图，就是把一个正(长)方形平均分成若干格，要求把若干个连续的自然数填入方格中，且使每行、每列、每条对角线上的数的和都相等。这个“相等的和”就叫幻和。9 个方格(33 个)的叫三阶幻方，16 个方格(44)的叫四阶幻方，25 个方格(55)的就叫五阶幻方，依此类推。2.三阶幻方的特点：幻和二九个数之和3幻和二中心数3九个连续的自然数中，第五个数是中心数，第一、三、七、九是中心数四角上的数(注意：最大数和最小数填在相对的位置上)二、经典例题精讲1.将 19 九个数字填在图中的方格中，使每行、每列、每条对角线上的数的和都相等。分析指导：分析指导：这是一个三阶幻方，中心数(5)填中间，第一、三、七、九四个数就中心数四角上的数。如图所示：(这里我们不难看出一个特点：最大数都填在最小数的相对位置上。如：82 19)2.将 116 这十六个数分别填在四阶方阵的各个小格中，使其构成一个四阶幻方。分析指导：分析指导：这是一个四阶幻方。四阶幻方有个特殊的方法保持两条对角线上的数不变(先按从左到右、从上到下的顺序把116 填好)，然后，1 列和 4 列、2 列和 3 例互相对换，最后，再将1 行和 4 行、2 行和 3 行对调。这样两次对换后，四阶幻方就成了。如下图所示。这种方法，也可以这样理解：除了两条对角线上的数，剩下的四列、四行的数就构成两个重叠的矩形，8 个数字就在 8 个顶点位置，然后按矩形对角线方向交换位置即成。如下图所示：3.将 19 这九个自然数填入图中的方格内，使每行、每列及对角线上的三个数中，两端之和减去中间数所得差都相等(差阵图)。分析指导：分析指导：这是个特殊的数阵图，叫差阵图。这里有个数的方法从19 这九个自然数中选数，按照口诀“二四为足，六八为肩，左三右七，上九下一，五居中间”，把数填入每个方格中即成。结果如下图所示：4.将 113 中的 12 个数字，填入图中的空格中，使每一横行四个数之和相等，每竖列三数之和也相等。分析指导：分析指导：设每行的和为 S，每列的和为 A，113 中没选入的那个数为 a，则依题意有：3S=4A=(1+2+3+13)-a=91-a3 和 4 互为质数(91-a)一定是12 的整数倍12 的整数倍有：12、24、36、48、60、72、84a=7从而可知：S=(91-7)3=28，A=804=21；四数之和为 28 的有：13+10+4+112+11+3+29+8+6+5；三数之和为21 的有：13+6+212+5+411+9+110+8+3。结果填法，如图所示三、练习巩固与拓展1.把 311 这九个数填入图中的方格中，使它构成一个九宫差阵(即每行、每条、每条对角线上的数，两端之和减去中间数差都相等。)2.在图中的空格内各填入一个数字，使得每行、每列、每条对角线上方格中的四个数都是 1、2、3、43.在下列各图的空格里，填上适当的数，使横行、竖行及两条对角线上三个数的和都相等。(数字不能重复)4.将 4、5、6、10、11、16、17、18 这九个数填入九宫格中，使每行、每列及每条对角线上三个数的差都相等。见下图：5.将 2129 这九个数填入下图中，使每行、每列、每对角线上三个数的差都相等。6.将 3、6、9、12、15、18、21、24、27 这九个数填入九宫格里，使每行、每列及每条对角线上三个数的和都相等。7.将 217 这十六个数填入下面各方格里，使每行、每列及每对角线上四个数的和都相等。8.将 1、3、5、7、929、31 这十六个奇数填入图中的方格里，使每行、每列及每对角线上四个数的和都相等。9.将 116 这些自然数填入图中的内，使五个正方形的四个顶点上的内的数之和都等于 34.10.将 19 这九个数填入图中的空格中，使每二行组成的三位数是第一行的2 倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3 倍。第四讲第四讲 答案答案1.根据 3、4、5、611 的顺序，按照“二四为足，六八为肩，左3 右 7，上九下一，五层中部”的口诀填即成。2.这道题有两个突破口：其一是第一行，因为两端为1、2，加上第三列有个“3”，所以可以确定第二格为 4，第三格为 3，其二是第四列，由于第三行有个“3”，因而，第四列中间上格填“3”无疑，下格是 4。3.(提示：幻和要为 3 的倍数)4.提示：4+5+6+10+11+12+16+17+18=99幻和=335.提示：21+22+29=(21+29)92=225幻和=2253=756.提示：3+6+9+12+15+18+21+24+27=135幻和=1353=457.提示：(2+3+17)=152幻和=1524=38见图：8.1+3+5+31=256幻和=2564=649.(1+2+3+16)=136四个顶点上的数的和为 1364=34(初步确定后再作调整，使中间那个重复的正方形的四数之和也等于 34。10.提示：(1+9)92=45幻和=453=15基本确定位置再适当调整，考虑倍数关系，第一行的“个位”有两种可能：2 或 3，相应第二行的“个位”是 6 或 4，第三行的“个位”是 9 或 6，经尝试，2、4、6 合符要求。