高考数学一轮复习 10.5 二项式定理教案165140.pdf

欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！10.5 二项式定理 知识梳理 1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础.2.二项展开式的性质是解题的关键.3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等.点击双基 1.已知（13x）9=a0+a1x+a2x2+a9x9，则a0+a1+a2+a9等于 A.29 B.49 C.39 D.1 解析：x的奇数次方的系数都是负值，a0+a1+a2+a9=a0a1+a2a3+a9.已知条件中只需赋值x=1 即可.答案：B 2.（2004 年江苏，7）（2x+x）4的展开式中x3的系数是 A.6 B.12 C.24 D.48 解析：（2x+x）4=x2（1+2x）4，在（1+2x）4中，x的系数为 C2422=24.答案：C 3.（2004 年全国，5）（2x3x1）7的展开式中常数项是 A.14 B.14 C.42 D.42 解析：设（2x3x1）7的展开式中的第r+1 项是T1r=Cr7（2x3）r7（x1）r=Cr72r7 （1）rx)7(32xr，当2r+3（7r）=0，即r=6 时，它为常数项，C67（1）621=14.答案：A 4.（2004 年湖北，文 14）已知（x23+x31）n的展开式中各项系数的和是 128，则展开式中x5的系数是_.（以数字作答）解析：（x23+x31）n的展开式中各项系数和为 128，令x=1，即得所有项系数和为 2n=128.n=7.设该二项展开式中的r+1 项为T1r=Cr7（x23）r7（x31）r=Cr7x61163r，令61163r=5 即r=3 时，x5项的系数为 C37=35.答案：35 5.若（x+1）n=xn+ax3+bx2+cx+1（nN*），且ab=31，那么n=_.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！解析：ab=C3nC2n=31，n=11.答案：11 典例剖析【例 1】如果在（x+421x）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.解：展开式中前三项的系数分别为 1，2n，8)1(nn，由题意得 22n=1+8)1(nn，得n=8.设第r+1 项为有理项，T1r=Cr8r21x4316r，则r是 4 的倍数，所以r=0，4，8.有理项为T1=x4，T5=835x，T9=22561x.评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r.【例 2】求式子（x+|1x2）3的展开式中的常数项.解法一：（x+|1x2）3=（x+|1x2）（x+|1x2）（x+|1x2）得到常数项的情况有：三个括号中全取2，得（2）3；一个括号取x，一个括号取|1x，一个括号取2，得 C13C12（2）=12，常数项为（2）3+（12）=20.解法二：（|x|+|1x2）3=（|x|1x）6.设第r+1 项为常数项，则T1r=Cr6（1）r（|1x）r|x|r6=（1）6Cr6|x|r26，得 62r=0，r=3.T3+1=（1）3C36=20.思考讨论（1）求（1+x+x2+x3）（1x）7的展开式中x4的系数；（2）求（x+x44）4的展开式中的常数项；（3）求（1+x）3+（1+x）4+（1+x）50的展开式中x3的系数.解：（1）原式=xx114（1x）7=（1x4）（1x）6，展开式中x4的系数为（1）4C46 1=14.（2）（x+x44）4=442)44(xxx=48)2(xx，展开式中的常数项为 C4482（1）4=1120.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！（3）方法一：原式=1)1(1)1()1(483xxx=xxx351)1()1(.展开式中x3的系数为 C451.方法二：原展开式中x3的系数为 C33+C34+C35+C350=C44+C34+C350=C45+C35+C350=C451.评述：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键.【例 3】设an=1+q+q2+q1n（nN*，q1），An=C1na1+C2na2+Cnnan.（1）用q和n表示An；（2）（理）当3q1 时，求limnnnA2.解：（1）因为q1，所以an=1+q+q2+q1n=qqn11.于是An=qq11 C1n+qq112 C2n+qqn11Cnn=q11（C1n+C2n+Cnn）（C1nq+C2nq2+Cnnqn）=q11（2n1）（1+q）n1=q112n（1+q）n.（2）nnA2=q111（21q）n.因为3q1，且q1，所以 0|21q|1.所以limnnnA2=q11.闯关训练 夯实基础 1.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有 20 个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为 A.20 B.219 C.220 D.2201 解析：C120+C220+C2020=2201.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！答案：D 2.（2004 年福建，文 9）已知（xxa）8展开式中常数项为 1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是 A.28 B.38 C.1 或 38 D.1 或 28 解析：T1r=Cr8x8r（ax1）r=（a）rCr8x82r.令 82r=0，r=4.（a）4C48=1120.a=2.当a=2 时，令x=1，则（12）8=1.当a=2 时，令x=1，则（12）8=38.答案：C 3.（2004 年全国，13）（xx1）8展开式中x5的系数为_.解析：设展开式的第r+1 项为T1r=Cr8x8r（x1）r=（1）rCr8x238r.令 823r=5 得r=2 时，x5的系数为（1）2C28=28.答案：28 4.（2004 年湖南，理 15）若（x3+xx1）n的展开式中的常数项为 84，则n=_.解析：T1r=Crn（x3）nr（x23）r=Crnxrn293.令 3n29r=0，2n=3r.n必为 3 的倍数，r为偶数.试验可知n=9，r=6 时，Crn=C69=84.答案：9 5.已知（xxlg+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x的值.解：由题意 C2nnC1nnCnn=22，即 C2nC1nC0n=22，n=6.第 4 项的二项式系数最大.C36（xxlg）3=20000，即x3lgx=1000.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！x=10 或x=101.培养能力 6.若（1+x）6（12x）5=a0+a1x+a2x2+a11x11.求：（1）a1+a2+a3+a11；（2）a0+a2+a4+a10.解：（1）（1+x）6（12x）5=a0+a1x+a2x2+a11x11.令x=1，得 a0+a1+a2+a11=26，又a0=1，所以a1+a2+a11=261=65.（2）再令x=1，得 a0a1+a2a3+a11=0.+得a0+a2+a10=21（26+0）=32.评述：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于 1 或1.7.在二项式（axm+bxn）12（a0，b0，m、n0）中有 2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.（1）求它是第几项；（2）求ba的范围.解：（1）设T1r=Cr12（axm）12r（bxn）r=Cr12a12rbrxm（12r）+nr为常数项，则有m（12r）+nr=0，即m（12r）2mr=0，r=4，它是第 5 项.（2）第 5 项又是系数最大的项，C412a8b4C312a9b3，C412a8b4C512a7b5.由得2349101112a8b423101112a9b3，a0，b0，49 ba，即ba49.由得ba58，58ba49.8.在二项式（x+421x）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n，再分别求出相应的有理项.解：前三项系数为 C0n，21C1n，41C2n，由已知 C1n=C0n+41C2n，即n29n+8=0，解得n=8 或n=1（舍去）.T1r=Cr8（x）8r（24x）r=Cr8r21x434r.有 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！443rZ 且 0r8，rZ，r=0，r=4，r=8.展开式中x的有理项为T1=x4，T5=835x，T9=2561 x2.评述：展开式中有理项的特点是字母x的指数 443rZ 即可，而不需要指数443rN.探究创新 9.有点难度哟！求证：2（1+n1）n3（n2，nN*）.证明：（1+n1）n=C0n+C1nn1+C2n（n1）2+Cnn（n1）n=1+1+C2n21n+C3n31n+Cnnnn1=2+!212)1(nnn+!313)2)(1(nnnn+!1nnnnn12)1(2+!21+!31+!41+!1n2+21+221+321+121n=2+211)21(1 211n=3（21）1n2.所以2（1+n1）n3.思悟小结 1.在使用通项公式T1r=Crnrnabr时，要注意：（1）通项公式是表示第r1 项，而不是第r项.（2）展开式中第r+1 项的二项式系数 Crn与第r+1 项的系数不同.（3）通项公式中含有a，b，n，r，T1r五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n是正整数，r是非负整数且rn.2.证明组合恒等式常用赋值法.教师下载中心 教学点睛 1.要正确理解二项式定理，准确地写出二项式的展开式.2.要注意区分项的系数与项的二项式系数.3.要注意二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用.4.通项公式及其应用是二项式定理的基本问题，要熟练掌握.拓展题例【例题】求（a2b3c）10的展开式中含a3b4c3项的系数.解：（a2b3c）10=（a2b3c）（a2b3c）（a2b3c），从 10 个括号中任取3 个括号，从中取a；再从剩余 7 个括号中任取 4 个括号，从中取2b；最后从剩余的 3 个括号中取3c，得含a3b4c3的项为 C310a3C47（2b）4C33（3c）3=C310C47C4332（3）3a3b4c3.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！所以含a3b4c3项的系数为C310C471627.