第五章-多元函数微分学习题参考答案.pdf

-精选文档-第五章多元函数微分学习题第五章多元函数微分学习题练习练习 5.15.11.在空间直角坐标系下,下列方程的图形是什么形状?(1)x 2y4z(椭圆抛物面)(2)22x2 y2 4z2(圆锥面）x2y2z2221(椭球面）(3)(4)x z1(圆柱面）41692.求下列函数的定义域:(1)z x 解：yy 0 x y 0 y 0(x,y)|x 0,y 0,x2 y即x 0函数的定义域为x2 y(2)z e3xyx y解：x y 0函数的定义域为(x,y)|x y 03.对于函数fx,y=x y,证明limf(x,y)不存在x0 x y分析：由二元函数极限定义，我们只须找到沿不同路径p p0(0,0)时，所得极限值不同即可。证明：当p(x,y)沿x轴(此时x 0,y 0)趋于p0(0,0)时，x0y0f(x,y)f(x,0)1,lim f(x,y)1（0）时，当p(x,y)沿直线y kx(k 0)趋于p00，f(x,y)xkx1k1klim f(x,y)1(k 0)x0 xkx1ky01k可编辑-精选文档-综合可知函数极限不存在，证毕。练习练习 5.25.21.求下列函数的偏导数z x3y xy3,求解：z z,;x yzz 3x2y y3,x33xy2xyz z,;x y1z ln(xy),求2z111解：ln(xy)y x2xy2x ln(xy)2z111ln(xy)x y2xy2y ln(xy)12z2zz xln(x y),求2,xxy解：z1 ln(x y)xxx y2zzx1x y xx 2y()(ln(x y)xx yx y(x y)2(x y)2x2x x2zzx1xy()(ln(x y)xyy xyx yx y(x y)2(x y)23u;u e,求xyzxyz2uxyz u zexyz yzxzexyz(z xyz2)exyz解；yze,xxy3u2u()(z xyz2)exyz)(12xyz)exyz(z xyz2)xyexyzxyzz xyz可编辑-精选文档-=exyz(12xyz xyz x2y2z2)exyz(13xyz x2y2z2)2设f(x,y)exy2,则 limy0f(2,1 y)f(2,1)y2f(2,1y)f(2,1)e2(1y)e20解：lim lim(未定式)y0y0yy0e2(1y)4(1y)10 lim=4e2y01lim2f(2,1y)f(2,1)fy(2,1)exy2xyy2y0 x2y1 4e23设u ln(1 x y2 z3),在点（，111，）处求uxuyuz12y u y1 x y2 z31 x y2 z3解：ux3z21233u(u u u)|zxyz(1,1,1)1 x y2 z34442x4设z ey,求证:2x2zz y 0 xyxz12y2y2 e2 y e证明：QxyxQ22z1 eyx(2)3 2xy3eyyyxx2222zz12x y 2xy2ey yeyx(2)3 2xy3ey y2xy2ey=0 xyyxxxx证毕练习练习 5.35.31.求下列函数的全微分(1)求z xy在点（2，3）处当x 0.1与y 0.2时的全增量与全微分解：全增量z f(2 0.1,3 0.2)f(2,3)2.12.86 0.12可编辑-精选文档-dz zxdx zydy ydx xdydz(2,3)dx0.1dy0.2 30.12(0.2)0.1（2）求z ln(1 x y),当x 1,y 2时的全微分22解：dz dzzz2x2ydxdy dxdyxy1 x2 y21 x2 y2(1,2)2412dx dy dx dy11 411 433（3）u xy yz zx,求du解：du uuudxdy dzxyz(y z)dx (x z)dy (x y)dz2计算下列各式的近似值（分析运用公式f(x0 x1y0 y)f(x0,y0)fx(x0,y0)x fy(x0,y0)y）（1）(10.1)2.03解：令f(x,y)xy,取x010,x 0.1,y02,y 0.03(10.1)2.03f(x0 x,y0 y)f(x0,y0)fx(x0,y0)x fy(x0,y0)y102 yxy1(10,2)0.1 xylnx(10,2)0.0110023ln10 108.9(2)ln(31.0340.981)解:令f(x,y)ln(3x 4y 1)取x01,x 0.03,y01,y 0.02原式 f(1 0.03,1 0.02)可编辑-精选文档-ln(31 41 1)313x3|(1,1)(0.03)4x y 12313y44|(1,1)(0.02)4x y 11310.020.0054=0+0.03(3)sin 290tan460解：令f(x,y)sin xtan y取x06,x 180,y0,4,y 180则 原式=f(f(=6180 4180),)fx(,)()fy(,)6 46 41806 4 180 11cosxtan y|()sin xsec2y|(,)(,)18021806 46 4=0.5023练习练习 5.45.41.求下列函数的导数或偏导数。（1）z ulnv,而u 2xz z,v 3x 2y.求,.yx yx232zz uz v1u22xy解：2ulnv32ln(3x2y)xu xv xyvy3x2y2x3x22ln(3x 2y)2y(3x 2y)yzz uz vxu22x22x2 2ulnv(2)(2)3ln(3x 2y)2yu yv yvyyy(3x 2y)(2)z ydz,而x et,y 1e2t,求xdt可编辑-精选文档-解:dzz dxz dydtx dty dtyt12te(2e)2xx1e2tt1 2te t(2e2t)eett=(e e)x2 ydz,而y 2x 3,求(3)z x ydx解：方法 1：dzdx2 2 x 3dx2 2 x 3()()dxdxx 2 x 3dx3 x 32(2 x 2)(3 x 3)(x 2 x 3)3(3 x 3)2x22x 123(x 1)方法 2：dzff dydxxy dx2x(x y)(x2 y)(x y)(x2 y)x22x 1=2(x y)2(x y)23(x 1)2（4）z x2y xy2,而x ucosv,y usinv,求z z,u v解：zz xz yux uy u(2xy y2)cos v(x22xy)sin v,(2ucosvusinvu2sin2v)cos v(u2cos2v2ucosvusinv)sin v=3u sinvcosv(cosvsinv),2zz xz yvx vy v=(2xy y)u(sinv)(x 2xy)ucosv可编辑22-精选文档-=2u sinvcosv(sinvcosv)u(sin vcos v)33332.求下列隐函数的导数或偏导数.（1）xy lny lnx 0,求dy.dx解：两边同时对x求导y xy1111y 0,y(x)yyxyx1 y2y xyy x1x x2yxy令F(x,y)xyln yln x12y xy11FxdyxFx yFy x 21x x yyxdxFyxydyx2（2）sin y e xy 0,求dxy 解：两边同时对x求导ycos y ex y22xyy 0y2y(cos y 2xy)y ey cos y 2xy2x3.已知方程F(x y z,x2 y2 z2)0所确定的函数z f(x,y).且F的两个一阶偏导数存在，求z z,x y2解：令u x y z,v x y z,则F(u,v)022两边同时对x求偏导，Fuux Fuuzzx Fvvx Fvvzzx 0即Fu1 Fu1zx Fv2x Fv2zzx 0可编辑-精选文档-zxF2xFvz uxFu2zFv两边同时对y求偏导，Fuuy Fuuzzy Fvvy Fvvzzy 0即Fu1Fu1zy Fv2y Fv2zzy 0zyFu2yFvz yFu2zFv令u x y z,v x2 y2 z2,则F(u,v)0FF uF v Fu1 Fv2x Fu2xFvxu xv xFF uF v Fu2yFvyu yv yFF uF v Fu2zFvzu zv zFFF2xFvzFu2yFvzy x u FFxFu2zFvyFu2zFvzzu x y z,v x y z,则F(u,v)0222两边同时求微分：Fudu Fvdv 0Fud(x y z)Fvd(x2 y2 z2)0Fudx Fudy Fudz 2xFvdx 2yFvdy 2zFvdz 0Fu2xFvFu2yFvdz dxdyFu2zFvFu2zFvzxFu2xFvzFu2yFvz zyxFu2zFvyFu2zFv练习练习 5.55.51.求二元函数z x xy y 9x6y 20的极值可编辑22-精选文档-解：zx 4x 2x y 9 0解得y 1zy x2y 6 0又Q A zxx(4,1)2 0,B zxy(4,1)1,C zyy(4,1)2 B2 AC 1 4 3 0Z|(4,1)1是极小值2.求二元函数z 60 x 120 y 2x2 2xy 5 y2在条件 x y 15下的极值22解：F(x,y,)60 x120y 2x 2xy 5y(x y 15)Fx 604x2y 0Fy 1202x10y 0F x y 15 0 x 6解得y 9因为只有唯一的一个驻点，182222且z (x y)(x30)(2y 30)230应有极大值，故极大值z|(6,9)8553.设Q1,Q2分别为商品 x1,x2的需求量,而它们的需求量为 Q18P12P2,Q2102P15P2总成本函数为 C 3Q12Q2,其中P1,P2为商品 x1,x2的价格.试问价格 P1,P2取何值时可使利润最大?22解:R(P1P12PP1 210P22PP1 25P21,P2)PQ11P2Q28PC(P1,P2)3(8P12P2)2(102P15P2)22利润函数L RC 7P114P2P15P24PP1 24172PP14P20LP163/2解得为唯一驻点21410P24PP21410LP1（Q A LPP12PC LP（263，）14 2021PB LP（263，）14 4263，）14 10B2AC40,L有极大值.263故在P,P214时利润最大.12可编辑-精选文档-练习练习 5.65.61.某公司生产两种商品x和y,利润函数为L(x,y)64x2x24xy 4y232y 14其中x,y表示商品x,y的产量,求x,y各为多少时,所获利润大?最大为多少?644x4y 0Lxx 40解:得y 324x8y 0y 24L(40,24)4 0又Q A Lxx(40,24)4B LxyC Lyy(40,24)8B2 AC 16 0,故在40,24取得极大值,即为最大值最大值L40,241650.2.某公司同时销售煤气和电力，煤气的销量为x单位:万米3,电力的销量为y单位:千瓦，总成本函数为C(x,y)2x1232y 7xy134x12y 250单位:万元4其中x,y满足4x y36 0.问应如何安排销售,才能使总成本最低?解:条件极值问题,实际中有最小值,即求Cx,y在条件4x y 36 0下的极值.解：令F(x,y,)1232x y 7xy134x12y2504x y3624Fx x7y1344 0338213883F y7x12 0解得x=万米y 千瓦即为销售安排.y28181F 4x y36 03.设某企业和生产函数为 fL,K6L20K L22K2其中L表示生产力,K表示资本投入.如果这两种生产要素的单价为4和8,且希望投入的总成本为88.求满足该条件的最大可能生产量.解:条件极值问题.实际中有最大可能生产量.所以即求f在条件4L+8K=88下的极大值.22令FL,K,6L20K L 2K 4L8K 88 FL 62L4 0 204K 8 0FKF 4L8K 88 0解得L=6,K=8,根据实际意义有最大可能生产量.所求最大生产量f(6,8)32可编辑-精选文档-习题五习题五1选择题（1）D，（2）C，（3）B，（4）A，（5）C，（6）D，（7）C，（8）C，（9）D，（10）A，（11）A，（12）D，（13）A，Q f(xy,x y)x2 y2 xy (x y)2 xy f(x,y)y2 xfx(x,y)(y2 x)x 1fy(x,y)(y2 x)y 2y（14）D，（15）A，（16）D，（17）D，（18）B，（19）C，（20）C。2 求点（2，-3，1）分别对称于下列坐标平面的对称点，（1）XOY 平面，答：（2，-3，-1）（2）YOZ 平面，答：（-2，-3，1）（3）XOZ 平面，答：（2，3，1）3，已知点 M 的坐标为（4，-3，5）求（1）点 M 与原点的距离，（2）点 M 与三个坐标平面的距离，（3）点 M 与三个坐标轴的距离。解：（1）|OM|=42(3)252 5 2。（2）LXOY 5,LYOZ 4,LxOZ 3.(3)LOX(44)2(30)2(50)234,LOY425241,LOZ42(3)2 54已知某空间平面与三个坐标轴ox,oy,oz 的截距分别为1,2,3，求此平面方程。解：1,即6x 3y 2z 6x1y2z3可编辑-精选文档-5.已知某空间平面过（1,1,-1）,(1,-1,1),(-1,1,1)三点，求此平面方程。解：令此平面方程为Ax ByCz D 0 A B C D 0A D则有A B C D 0 解B D A B C D 0C D平面方程为 Dx(D)y(D)z D 0即x y z 16.设f(x y,)x2 y2,求f(x,y)tx y tx 1解：令yty x1t2t2t2(1)f(t,)()()111yxx2(1 y)f(x,y)1 yf(x y,)x2 y2(x y)(x y)(x y)x(1)y(x y)2(1)xyx(x y)2(1)yx yx1xyxyxx2(1 y)f(x,y)1 y7.求下列函数的定义域：(1)z arcsiny,xx1 x y22(2)z ln(y x),(3)z 1 x2 1 y2可编辑-精选文档-解：（1）：|y|1即D(x,y)|x|y|,x 0 xy x 0 x 0即D(x,y)|x2y21,0 xy（2）：1 x2 y2 01 x2 0 1 x 1即2（3）：y 1 0y 1或y 1即D(x,y)|1 x 1,y 1或y 18.说明下列极限不存在x2y（1）lim42x0 x yy0解：当p(x,y)沿y kx2趋于p0(0,0)时x2yx2kx2kk有4242422(x 0,y kx2 0)x yx k xk 1k 1k 取不同的值时，有多个值，故极限不存在。（2）limx0y01222x 3y解：lim1,故极限不存在.22x02x 3yy09.求下列函数的间断点或间断曲线：（1）z(2)z 1x2 y2解:x2 y20,故间断点(0,0)1x2 y21解:x2 y21 0,故间断曲线为x2 y21(3)z x y解:xy 0,即yx,故间断曲线为yxx y可编辑-精选文档-（4）z sin1xy解:xy 0,即y 0且x 0,故间断曲线为y 0或x 010.求下列函数的偏导数：（1）z lnsin(x 2y),求解：z z,x yz1cos(x 2y)1cot(x 2y)xsin(x 2y)z1cos(x2y)(2)2cot(x2y)ysin(x2y)yxz z,x y（2）z arctan,求解：zx1yy()2222yxx y12xzy11x222yxx y12xz z,x y（3）z sin(xy)cos2(xy),求解：z ycos(xy)2cos(xy)sin(xy)yx ycos(xy)sin(2xy)z xcos(xy)2cos(xy)sin(xy)xy xcos(xy)sin(2xy)(4)z ln(x解：yzz),求|x1,|x1,2xxy0yy1z|x1xy01x y2x1y1(2)|x112xy0可编辑-精选文档-z|x1yy111|x1y2xy13x 2xz|x1xy11（5）z (1 xy)y,求解：取自然对数，原式变为ln z yln(1 xy)两边同时对x求偏导11y2z y x yz1 xy1 xyy2z1(1 xy)z|21xx11 xyxy111y(6)z xy(x1)tan33zx(1,0)y tany,求zx(1,0),zy(1,1).xysec2xy1y()|(1,0)0 x2xxy(x1)3tan2x2zy(1,1)x(x1)3tanysec2xy1|(1,1)1x 2 xy(1,2,3),fxy(1,2,3),fxyz(1,2,3).11.设f(x,y,z)xyz,求fxx 0,fxx(1,2,3)0解：Q fx yz,fxx zyz1 fxy(1,2,3)12Q fxy yz1 z yz1ln y fxyz(1,2,3)4(13ln 2)Q fxyz12.求下列函数的全微分：（1）zlnx2y2,求dz解：dz zzdxdyxy可编辑-精选文档-111112xdx2ydy2222222222x yx yx yx y1=xydx dyx2 y2x2 y2(2)z arctan解dz x y,求dzx y1x y(x y)1x y(x y)dxdy22x y2x y2(x y)(x y)1()1()x yx y=1(ydx xdy)22x y（3）z sin(xy),求dz解：dz ycos(xy)dx xcos(xy)dyx（4）f(x,y,z)()z,求df(1,1,1);y11fzzx|(1,1,1)1解：|(1,1,1)yfx(x,1,1)x,fx(x,1,1)1,xz111 f(1,1,1)1f(1,y,1)xyf1z1yz|(1,1,1)x()y|(1,1,1)1yzfy(1,y,1)12,fy(1,1,1)1y1fx1xfz(1,1,z)1,fz(1,1,z)0,|(1,1,1)()z(2)ln()|(1,1,1)0zyyzf(1,1,1)0,df(1,1,1)dxdy111zdf(1,1,1)dx dy13.已知边长x 6米和y 8米的矩形，求x边增加 5cm，y边减少 10cm 时，此时矩形对角线变化的近似值。解：对角线L x2 y2令x0 6,y08,x 0.05,y 0.1|(6,8)x LL Lxy|(6,8)y=680.05(01)0.051010可编辑-精选文档-答：约减少 0.05m.14.当圆锥体形变时，它的底半径 R 由 30cm 增加到 30.1cm，高由 60cm 减少到 59.5cm，试求体积变化的近似值。解：令V R2H,R030,R 0.1,H060,H 0.5|(30,60)HV VR|(30,60)RVH13=RH|(30,60)0.1R2|(30,60)(0.5)30(cm3)即体积约减少30(cm3)。15.求下列函数的导数或偏导数：u2z z（1）z,而u x2y,v 2x y,求,;vx y2313zz uz v2uu22(x 2y)(x 3y)解：(2)2 2xu xv xvv(2x y)zz uz v2uu2(2y x)(9x 2y)(2)(2)2yu yv yvv(2x y)(2)z uv,而u 2x y,v 2x y,求解:zz uz vxu xv x vuv12uvlnu2 2(2x y)(2 xy)1ln(2x y)z z,;x yzz uz vyu yv y vuu11uvlnu1(2x y)(2xy)1ln(2x y)dzdt(3)z arcsin(x y),而x 3t,y 4t3,求可编辑-精选文档-dzz dxz dydtx dty dt113(1)12t21(x y)21(x y)23(1 4t2)1(3t 4t)32dzdx(4)z arctan(xy),而y ex,求dzd1ex(1 x)xxx(e xe)解：arctan(xe)dxdx1(xex)21 x2e2xyxex(1 x)dzzz dyxe 1 x2e2xdxxy dx1(xy)21(xy)216.设u f(x,xy,xyz),且 f 存在一阶连续偏导数，求解：令w xy,s xyz,则u f(x,w,s)uff wf sy fsyz fx fwxxw xs xu u u,x y zuu wu s fw/x fs/xzyw ys yuu s fsxyzs z17.求下列隐函数的导数或偏导数。(1)ez xyz,求z z,;x y解：令F(x,y,z)ezxyzFx/yz,Fy/xz,Fz/ezxyFy/Fx/zyzzxz/z,/zxFze xy yFze xy(2)2sin(x2y3z)x2y3z，求z z,;x y可编辑-精选文档-解：令F(x,y,z)2sin(x2y 3z)x2y 3zFx 2cos(x2y3z)1,Fy 4cos(x2y3z)2,Fz 6cos(x2y3z)3Fy2Fx1 zz,xFz3 yFz3(3)x 2y z 2 xyz 0,求z z,x y解：令F(x,y,)x2y z2 xyzFx/1yzxzyx,Fy/2,Fz/1xyzxyzxyzFx/yz xyzzxz 2 xyzz/,xFzyxyz xyxyz xy(4)exy 2z ez 0,求z z,x y解：F(x,y,z)exy 2z ezFx/yexy,Fy/xexy,Fz/2ezzyexyzxexy,zx2ey2ez18.设方程F(,)0确定函数z f(x,y),求解：令u,v FF u1 Fu/xu xzxzyzx yz zz z,x yF1Fxy Fv/,2Fu/2Fv/yzzzzFx/zFu/zFv/zz/,/xFzxFu yFvyxFu yFv可编辑-精选文档-令u,v F(u,v)0两边同时对x求偏导Fuux Fuuzzx Fvvzzx 0 xzyz1xyFu Fu(2)Fv(2)zx 0zzzzFu/zFv/zz解得 z,同理,xxxFu/yFv/yxFu/yFv/令u,v F(u,v)0两边同时微分：xyFudu Fvdv 0Fud()Fvd()0zzzdx xdzzdy ydzFu F 0vz2z2xzyzzFu/zFv/解得dz/dx/dy,/xFu yFvxFu yFvzFu/zFv/zz,xxFu/yFv/yxFu/yFv/19.求二元函数z 4(x y)x2 y2的值。/解：zx 42x,zy 42y,/x 2zx 0令/解得z 0y 2yzxx 2,zxy 0,zyy 2,A 2 0,B 0,C 2,B2 AC 4 0,极大值z(2,2)8xayb20解：令F(x,y,)x2 y2(1)F 2x 0 xaab2a2b2a2b2 2y 0解得x 2,y 2,2Fy222a ba ba bbxy F ab1 0ab2a2b唯一可能的极值点(2,)，根据题意 z 有极小值a b2a2b2可编辑-精选文档-极小值z(ab2a2ba2b2,2a2b)a2b222a bx0.5y 9021解：Q 0.01xy2令F(x,y,)0.01xy2(x0.5y 90)Fx 0.01y2 0Fy 0.02xy 0.5 0解得x 30,y 120,F x0.5y 90 0由实际意义知生产量有最大值，故x 30,y 120时生产量最大，最大生产量为 4320 公斤22解：L(x,y)R(x,y)x y 2512100 x50y5 x10 y令F(x,y,)100 x50y(x y 25)5 x10 y500F x(5 x)2 0 x 15500 0 解得Fy2y 10(10 y)F x y 25 0由实际意义知利润有最大值，故x 15,y 10时利润最大，Lmax L15,10100155010100(万元)5151010最大净利润 L=100-25=75 万元23，设z e11()xy，求证：x2zz y2 2z.xy可编辑-精选文档-z证:exx2 11 y1z2,exxy 1x1 y 1x 11 y12y 2z 证毕z2zx y exy22 e1 y24设u x y u1证：x22u2xx21x2y2y2z22u2u2u2z,求证：222xyzu22x xx22xy2z2y2 z2(x2 y2 z2)32y2z22 x2x2 y2 z2z2 x2ux2 z22uy2 x2同理2,332222y(x y z)2z(x2 y2 z2)22u2u2u2(y2 x2 z2)22223222xyz(x y z)2u证毕25,设z y1 z1 zz,其中 f(u)为可导函数，求证：f(x2 y2)x xy yy2yvf(x2 y2)yfu2y y fu2xzz vu u gv,x222xf(x y)yf2(x2 y2)证明：令 u x2 y2v f(u)则z g(y,v)1 z1 z11z2yx xy yy fyy zy2zz26,设z(xy),存在，证明：x2 xy y2 03xxyy2证明：令 u xy,v(u)则z f(x,y,v)v3xzy21z2y ux fx fvvu()yuxux3x2y3xzzy22y222 y2 0 x xy y x yu x2yuxx33227.已知z f(u).u(u)yp(t)dt,其中f(u)可微,x可编辑-精选文档-p(t),(u)连续，且(u)1，求证：p(x)zz+p(y)0yx证明：u(u)yp(t)dtxuu/(u)p(x)xxup(x)up(y),同理/x1(u)y1(u)zup(x)f(u)f(u)/xx1(u)zup(y)f(u)f(u)/yy1(u)p(x)zzp(y)p(x)p(y)p(x)P(y)f(u)f(u)0yx1/(u)1/(u)xy00令F(x,y,u)(u)u p(t)dt p(t)dtFx p(x)Fy p(y)Fu(u)1FyFup(x)up(y)x,/xFu1(u)yFu1(u)zup(x)zup(y)f(u)f(u),f(u)f(u)/xx1(u)yy1(u)p(x)zzp(y)p(x)p(y)p(x)P(y)f(u)f(u)0yx1/(u)1/(u)28若F(x,y,z)0且F(x,y,z)在点(x0,y0,z0)的某邻域内连续,并设Fx,Fy,Fz在点(x0,y0,z0)的某邻域内存在并连续，求证：x y z 1y z xFy/yFx/Fz/zx证：/,/,/yFxzFyxFzx y z 1y z x可编辑-精选文档-29.设z xyf(),f(u)可导,证:xyxyxzz y 2zxy证：令u,v f(u)则z g(x,y,v)xyvzyyyy2 gfux gvvuux yf()xyfu(2)yf()xxxxxzy1y g g v u xf()xyf xf()yfuyvuyuyxxxxzzy y 2xyf()2zxyx30.设z f(x,y,u)xy xF(u),F为可微函数且u,证明:xzz y z xyxyyx证：令u,v F(u)则z f(x,y,v)xy xvzyy u fx fvvu(yv)xF()y F(u)xF(),xuuxx2x2z1 u fy fvvu x xF x Fuyuyxyxxzz y xy xF(u)yFu xy yFuxy xy xF(u)xy z xy证毕。可编辑