高中数学基础知识汇总.pdf
新课标高中数学基础知识归纳第一部分第一部分集合集合3 3（1）含 n 个元素的集合的子集数为2n,真子集数为 2n1；非空真子集的数为 2n2；（2）A B A B A A B B;注意：讨论的时候不要遗忘了A 的情况。4 4是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。第二部分第二部分函数函数1 1映射：映射：注意 第一个集合中的元素必须有象；一对一，或多对一。2 2函数值域的求法：函数值域的求法：分析法；配方法；判别式法；利用函数单调性；换元法；利用均值不等式a bab 2xa2b2；利用数形结合或几何意义（斜率、距离、2绝对值的意义等）；利用函数有界性（a、sinx、cosx等）；4 4分段函数：分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5 5函数的奇偶性函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件必要条件；f(x)是奇函数f(x)=f(x)；f(x)是偶函数f(x)=f(x)奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)0；在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；6 6函数的单调性函数的单调性单调性的定义：f(x)在区间M上是增函数 x1,x2M,当x1 x2时有f(x1)f(x2)；f(x)在区间M上是减函数 x1,x2M,当x1 x2时有f(x1)f(x2)；单调性的判定 定义法：一般要将式子f(x1)f(x2)化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；导数法（见导数部分）；复合函数法；图像法。注：证明单调性主要用定义法和导数法。7 7函数的周期性函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意x，若有f(x T)f(x)（其中T为非零常数），则称函数f(x)为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期y sin x:T 2；y cosx:T 2；y tan x:T；y Asin(x),y Acos(x):T(3)与周期有关的结论第 1 页2；y tanx:T；|新课标高中数学基础知识归纳f(x a)f(x a)或f(x 2a)f(x)(a 0)f(x)的周期为2a；8 8基本初等函数的图像与性质基本初等函数的图像与性质幂函数：y x（R)；指数函数：y a(a 0,a 1)；对数函数:y logax(a 0,a 1)；正弦函数:y sin x；余弦函数：y cosx；（6）正切函数：y tan x；一元二次函数：ax bx c 0；其它常用函数：正比例函数：y kx(k 0)；反比例函数：y 9 9二次函数：二次函数：解析式：2一般式：f(x)ax bx c；顶点式：f(x)a(x h)k，(h,k)为顶点；2x2ka(k 0)；函数y x(a 0)；xx零点式：f(x)a(x x1)(x x2)。二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。b4ac b2b二次函数y ax bx c的图象的对称轴方程是x ，顶点坐标是。1010函数函数，2a4a2a2图象：图象：图象作法：描点法（特别注意三角函数的五点作图）图象变换法导数法图象变换：平移变换：)y f(x)y f(x a)，(a 0)左“+”右“”；)y f(x)y f(x)k,(k 0)上“+”下“”；y f(x)；y f(x)y f(x)；对称变换：y f(x)x f(y)；y f(x)y f(x)；y f(x)翻转变换：)y f(x)y f(|x|)右不动，右向左翻（f(x)在y左侧图象去掉）；)y f(x)y|f(x)|上不动，下向上翻（|f(x)|在x下面无图象）；1111函数图象（曲线）对称性的证明函数图象（曲线）对称性的证明(1)证明函数y f(x)图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明函数y f(x)与y g(x)图象的对称性，即证明y f(x)图象上任意点关于对称中心（对x0yx(0,0)y0第 2 页新课标高中数学基础知识归纳称轴）的对称点在y g(x)的图象上，反之亦然；注：曲线 C1:f(x,y)=0 关于点（0,0）的对称曲线 C2方程为：f(x,y)=0;曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=0 的对称曲线 C2方程为：f(x,y)=0;曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=0 的对称曲线 C2方程为：f(x,y)=0;曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=x 的对称曲线 C2方程为：f(y,x)=0f(a+x)=f(bx)（xR）y=f(x)图像关于直线 x=a b对称；2特别地：f(a+x)=f(ax)（xR）y=f(x)图像关于直线 x=a 对称；1212函数零点的求法：函数零点的求法：直接法（求f(x)0的根）；图象法；二分法.(4)零点定理：若 y=f(x)在a,b上满足 f(a)f(b)0；6 6圆的方程的求法：圆的方程的求法：待定系数法；几何法。7 7点、直线与圆的位置关系：点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）（主要掌握几何法）点与圆的位置关系：（d表示点到圆心的距离）d R 点在圆上；d R 点在圆内；d R 点在圆外。直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离）d R 相切；d R 相交；d R 相离。圆与圆的位置关系：（d表示圆心距，R,r表示两圆半径，且R r）d R r 相离；d R r 外切；R r d R r 相交；d R r 内切；0 d R r 内含。8、直线与圆相交所得弦长|AB|2 r2d22222第七部分第七部分平面向量平面向量设 a a=(x1,y1),b b=(x2,y2)，则：a ab b(b b0 0)a a=b b（R)x1y2x2y1=0；第 5 页新课标高中数学基础知识归纳 a ab b(a a、b b 0 0)a ab b=0 x1x2+y1y2=0a ab b=|a a|b b|cos=x2+y1y2；注：|a a|cos叫做 a a 在 b b 方向上的投影；|b b|cos叫做 b b 在 a a 方向上的投影；a ab b 的几何意义：a ab b 等于|a a|与|b b|在 a a 方向上的投影|b b|cos的乘积。cos=ab；|a|b|三点共线的充要条件：P，A，B 三点共线OP xOA yOB且x y 1；（理科）（理科）P，A，B，C 四点共面OP xOA yOB zOC,且x y z 1。第十一部分第十一部分概率概率1 1事件的关系：事件的关系：事件 B 包含事件 A：事件 A 发生，事件 B 一定发生，记作A B；事件 A 与事件 B 相等：若A B,B A，则事件 A 与 B 相等，记作 A=B；并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生或 B 发生，记作AB（或A B）；并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生且 B 发生，记作AB（或AB）；事件 A 与事件 B 互斥：若AB为不可能事件（A B），则事件 A 与互斥；6对立事件：AB为不可能事件，AB为必然事件，则 A 与 B 互为对立事件。2 2概率公式：概率公式：互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；古典概型：P(A)A包含的基本事件的个数；基本事件的总数构成事件A的区域长度（面积或体积等）；试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）几何概型：P(A)第十二部分第十二部分统计与统计案例统计与统计案例1 1抽样方法抽样方法简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为 N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n 的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。注：每个个体被抽到的概率为n；N常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。注：步骤：编号；分段；在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号l；按预先制定的规则抽取样本。分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数2 2总体特征数的估计：总体特征数的估计：n样本平均数x 1(x1 x2 xn)1xi；nni1第 6 页nN新课标高中数学基础知识归纳n样本方差S21(x1 x)2(x2 x)2 (xn x)21(xi x)2；nni1n样本标准差S 1(x1 x)2(x2 x)2(xn x)2=1(x x)2；inni13 3相关系数（判定两个变量线性相关性）相关系数（判定两个变量线性相关性）：r(xi1ni x)(yi y)n(xi1ni x)2(yi y)2i1注：注：r0 时，变量x,y正相关；r0 时，变量x,y负相关；|r|越接近于 1，两个变量的线性相关性越强；|r|接近于 0 时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。4 4回归分析中回归效果的判定：回归分析中回归效果的判定：总偏差平方和：(yi1ni y)2残差：ei yi yi；残差平方和：；(yi yi)i1n2；回归平方和：(yi1ni y)(yi yi)2；相关指数R212i1n(y(yi1i1nni yi)2。i yi)2注：注：R得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；R越接近于 1，则回归效果越好。5 5独立性检验（分类变量关系）独立性检验（分类变量关系）：随机变量K越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。第十三部分第十三部分算法初步算法初步1 1程序框图：程序框图：图形符号：终端框（起止况）；输入、输出框；处理框（执行框）；判断框；流程线；程序框图分类:顺序结构：条件结构：循环结构：r=0?否求 n 除以 i 的余数输入 n是n 不是质素n 是质数i=i+1i=2in 或 r=0?否是注：循环结构分为：当型（while 型）先判断条件，再执行循环体；第 7 页222新课标高中数学基础知识归纳直到型（until 型）先执行一次循环体，再判断条件。2 2基本算法语句：基本算法语句：输入语句：INPUT“提示内容”；变量；输出语句：PRINT“提示内容”；表达式赋值语句：变量=表达式条件语句：IF 条件 THENIF条件THEN语句体语句体 1END IFELSE语句体 2END IF循环语句：当型：直到型:WHILE 条件DO循环体循环体WENDLOOP UNTIL条件第 8 页
