高中数学数列与不等式综合试题30道(有答案).pdf

数列与不等式综合试题 30 道1.已知数列是等差数列，()证明：数列是等差数列2.已知曲线，过上的点作斜率为，点列的横坐标构成数列，其中(1)求与的关系式；(2)令的直线交曲线于另一点，求证：数列是等比数列；(3)若(为非零整数，)，试确定的值，使得对任意，都有成立3.设，是曲线在点处的切线与轴交点的横坐标，(1)求数列的通项公式；(2)记，证明：4.已知数列满足，(1)求数列的通项公式；(2)证明：5.已知数列的前项和为，点在直线上数列满足，且其前项和为(1)求数列，的通项公式(2)设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值6.已知数列是等比数列，首项，公比，其前项和为，且，成等差数列(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，为数列的前项和，若恒成立，求的最大值7.已知是正整数组成的数列，,且点()()在函数的图象上；(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，,求证：8.，且，若依次成等差数列，依次成等差数列，试比较与的大小9.已知数列的各项为正数，其前项和满足(2)求证：(1)求与之间的关系式，并求的通项公式；第 1页（共 23 页）10.在等比数列和等差数列中，试比较和的大小11.设数列的前项和为，且，(1)求数列的通项公式；(2)若数列为等差数列，且，公差为当时，比较与的大小12.已知数列中，(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；(2)设，记其前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围13.已知数列的前项和为，数列的前项和为，点在函数图象上(1)求数列的通项公式；(2)求；(3)试比较和的大小，并证明14.已知等差数列的前项和为，非常数等比数列的公比是，且满足：，(1)求与；(2)设，若数列是递减数列，求实数的取值范围15.某种汽车的购车费用是万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，以后逐年递增万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？16.是否存在一个等差数列，使是一个与无关的常数？若存在，求此常数；若不存在，请说明理由17.函数，数列满足，(1)求证：数列是等差数列；(2)令，若立，求最小正整数对一切成18.已知常数满足，数列满足，(1)求，；(2)猜想的通项公式(不用给出证明)；(3)求证：对成立19.设，数列满足，(1)求数列的通项公式；第 2页（共 23 页）(2)证明：对于一切正整数，20.已知常数满足，数列满足，(1)求，；(2)猜想的通项公式，并给出证明；(3)求证：对成立21.设，若将适当排序后可构成公差为的等差数列的前三项(1)求的值及的通项公式；(2)记函数的图象在轴上截得的线段长为，设，求22.已知数列的首项，(1)求证：是等比数列，并求出的通项公式；(2)证明：对任意的，(3)证明：23.在数列中，(1)证明数列是等差数列；(2)求数列的通项；(3)若对任意的整数恒成立，求实数的取值范围24.在数列中，()(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的通项；(3)若对任意的整数恒成立，求实数的取值范围25.已知数列中，且(1)求数列的通项公式；(2)求证：对一切，有26.已知数列满足，(1)证明：数列为单调递减数列；(2)记为数列的前项和，证明：27.已知，函数记为的从小到大的第个极值点(1)证明：数列是等比数列；(2)若对一切，恒成立，求的取值范围28.设数列的前项和满足，其中第 3页（共 23 页）(1)求证：是首项为的等比数列；(2)若，求证：，并给出等号成立的充要条件29.设数列定义为，(1)证明：存在正实数，使得，成等差数列；(2)求实数的取值范围，使得当时，30.已知数列满足，(1)证明：数列(2)令()是等比数列；，数列的前项和为，()证明：；()求证：当时，第 4页（共 23 页）数列与不等式数列与不等式 3030 大题答案大题答案1.设公差为，则所以，根据等差数列的定义，得是首项为，公差为的等差数列2.(1)依题意得：又和在曲线上，所以所以，即 (2)所以将(1)中的结论代入整理得所以数列是首项为，公比的等比数列 (3)由(2)知，要使恒成立，即恒成立，所以恒成立，恒成立，当为奇数时，所以当为偶数时，所以所以，恒成立，因为为非零整数，所以3.(1)，曲线在点处的切线斜率为从而切线方程为令，解得切线与轴交点的横坐标所以数列的通项公式 (2)由题设和(1)中的计算结果知第 5页（共 23 页）当时，当时，因为，所以综上可得，对任意的，均有4.(1)由已知可得，所以，即，所以，又，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以 (2)证明：因为，所以所以，因为是正整数，所以，所以，所以所以，5.(1)由已知得，所以当时，有当时，也符合上式，所以由知是等差数列，由的前项和为，可得，得又，所以的公差因为，所以，所以 (2)，所以第 6页（共 23 页）因为增大时，增大，所以是递增数列，所以所以对一切都成立，只要即可，解得，所以6.(1)由题意可知：，所以，即，于是，因为，所以；因为，所以 (2)因为所以，所以，所以，所以，所以得：所以，因为恒成立，只需，因为，所以为递增数列，所以当时，所以，所以的最大值为 7.(1)由已知得,又,所以数列是以为首项，公差为的等差数列故 (2)证法一：由(1)知，从而，因为所以.证法二：因为，,第 7页（共 23 页）所以8.由题意知，所以因为且，所以所以9.(1)，所以由得，是公差的等差数列而，(2)由(1)知，10.设等比数列的公比是，等差数列的公差时 由及，得由，从而；所以11.(1)因为所以当时，第 8页（共 23 页）由两式相减，得，即，因为当时，所以所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以 (2)因为，所以，因为，由，得，所以当时，12.(1)证明：因为数列中，所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以所以，(2)因为，所以-，得所以因为不等式，对一切恒成立，对一切恒成立，则是递增函数，所以对一切恒成立，所以设所以所以13.(1)当时，所以；当时，由，得，两式作差，得第 9页（共 23 页）即所以数列从第二项起是等比数列，所以 (2)因为点在直线上，所以时，；时，因为所以由得所以时，综上，经检验，时也成立 (3)，所以时，所以；时，所以；时，所以14.(1)设等差数列的公差为，则，且，即有，解得或(舍去)，即有，则；(2)，由题意可得对恒成立，即有，即，即对恒成立，由为递减数列，第 10 页（共 23页）即有的最大值为，则有，解得，故实数的取值范围为15.设这种汽车使用年时，它的年平均费用为万元，则当且仅当，即时因此，使用年时，年平均费用最小，最小值是万元16.假设存在一个等差数列，使，且为首项，为公差由，得整理，得式是关于的一元一次方程，且对都成立即只需或(i)当时，；(ii)当时，17.(1)证明：由已知得公差为的 等差数列；，两边取倒数得，又，所以是首项为，(2)由(1)得，所以，所以所以第 11 页（共 23页）显然当时，单调递增且，又，所以若对一切成立，则，解得最小正整数18.(1)，(2)猜想：(3)因为，所以，而由(2)知道，所以的符号与的符号相同，依次类推，我们只需要证明因为，而，所以，所以，所以，所以，即19.(1)因为，所以所以 当时，则是以为首项，为公差的等差数列，所以即第 12 页（共 23页）当且时，当时，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以所以所以综上所述，且(2)当时，当且时，要证，只需证，即证即证即证即证因为第 13 页（共 23页）所以 原不等式成立，所以对于一切正整数，20.(1)，(2)猜想：下面用数学归纳法证明：当时，结论成立，假设当时，结论成立，即当时，因为即时，结论成立，所以；，所以，对成立 (3)因为，所以，而由(2)知道，所以的符号与的符号相同，依次类推，我们只需要证明因为，而，所以，所以，所以，所以，即21.(1)依题意有，可得所以最大又当时，解得，满足第 14 页（共 23页）当时，解得所以的前三项为，此时因此 (2)因为，不满足所以时，即所以又因为，所以所以所以22.(1)，即又，是以为首项，为公比的等比数列，(2)(3)由，知，第 15 页（共 23页）当时等号成立由(2)知，对于任意，有取，则故23.(1)由得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列 (2)由(1)可得，.所以 (3)由对的整数恒成立，即对()恒成立整理得令(，)，因为，所以，所以为单调递增数列，最小，且故的取值范围为.24.(1)将()整理得，()所以数列是以为首项、为公差的等差数列 (2)由(1)可得，(3)，所以对任意的整数恒成立，即对任意的整数恒成立，整理得，令，则因为，所以，所以数列为单调递增数列，所以最小，所以的取值范围为第 16 页（共 23页）25.(1)由已知，对有两边同除以，得，即于是即所以所以又时也成立，故 (2)当，有所以时，有又时，故对一切，有26.(1)证明：由题意知，故，所以数列为单调递减数列 (2)证明：因为，所以，当时，得，故因为，第 17 页（共 23页）故所以27.(1)令，由，得，即而对于，当时，若，即，则；若，即，则；因此，在区间于是，当所以与上，的符号总相反时，取得极值，此时，而，易知，是常数，公比为的等比数列故数列是首项为 (2)对一切，恒成立，即恒成立，亦即恒成立(因为)设，则，由得当时，所以在上单调递减；当时，所以在上单调递增因为，且当时，所以因此，解得恒成立，当且仅当，故的取值范围是28.(1)证法一：由，得即，因，故，得又由题设条件知第 18 页（共 23页）两式相减得即由，知，因此综上，对所有成立从而是首项为，公比为的等比数列证法二：用数学归纳法证明当时，由，得即，再由，得，所以结论成立假设时，结论成立，即，那么这就是说，当时，结论也成立综上可得，对任意因此是首项为，公比为的等比数列 (2)证法一：当或时，显然等号成立设，且由(1)知，所以要证的不等式化为即证当时，上面不等式的等号成立当时，同为负；与当时，同为正与因此当且时，总有，即上面不等式对从到求和得由此得第 19 页（共 23页）综上，当且时，有，当且仅当或时等号成立证法二：当或时，显然，等号成立当时，等号也成立当时，由(1)知，下证：且当时，上面不等式化为令当时，故即所要证的不等式成立当时，求导得其中则即是上的减函数，故，从而进而是上的增函数，因此所要证的不等式成立当时，令，则，由已证的结论知两边同乘以得所要证的不等式综上，当且时，有当且仅当或时等号成立-29.(1)，当，成等差数列时，即，当时，有，则设，则，在上有零点所以存在正实数，使得，成等差数列第 20 页（共 23页）(2)由题意，有，则，显然所以当时，因为当时，所以，解得下面证明当时，对任意整数，有所以，故当时，数列递减因此，即当时，对任意整数，有30.(1)因为()，所以，两边同除以得即，也即又，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列 (2)由(1)得，所以所以，()原不等式即为：先用数学归纳法证明不等式：当时，证明过程如下：当时，左边假设时，不等式成立，即；则时，左边，不等式成立第 21 页（共 23页）所以当时，不等式也成立因此，当时，显然，当时，所以当时，又当时，左边，不等式成立，故原不等式成立()由(i)可得，方法一：当时，将上面式子累加得，因为所以即故原不等式成立方法二：且所以第 22 页（共 23页）当时，令，则因为，所以因为所以当时，第 23 页（共 23页）