高等数学(同济第五版)第一章(函数与极限)练习题册.pdf
1姓名：学号：班级：高等数学第一章作业第一章函 数 与 极 限第 一 二 节 作 业一、填空题：1.函数 f(x)=3 x+arctan1的定义域是。x2.设 f(x)的定义域是0，3，则 f(lnx)的定义域是。二、选择题（单选）：1.设 f(x)=sin3x,x 0sin3x,0 x，则此函数是：（A）周期函数；（B）单调增函数；（C）奇函数；2.设 f(x)=ex,g(x)=sin2x,则 fg(x)等于：（A）esin2x；（B）sin2(ex)；（C）exsin2x；三、试解下列各题：1.设f(x)x2 x 1,x 12x x2,x 1，求 f(1+a)-(1-a),其中 a0.2.设 f(x+1)=x23x 2,求 f(x).3.设 f(x)=1 x1 x,求 ff(x).（D）偶函数。答：（）D）(sin2x)ex2答：（）（2姓名：学号：班级：高等数学第一章作业4.设 y=1+ln(x+2),求其反函数。四、证明：定义在-l，l上的任何函数 f(x)都可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。第 三 节 作 业一、填空题：设数列un的一般项公式是un二、选择题（单选）：1.下列数列xn中，收敛的是：（A）xn(1)n33n 1，n 从开始，才能使un0.01 成立。22n1n 1nnn；（B）xn；（C）xn sin；（D）xn n (1)。nn 12答：（）2.下列数列xn中，发散的是：(1)n1(1)n12n 1（A）xnn；（B）xn 5；（C）xn；（D）xn。223n 2n2答：（）三、试利用数列极限定义证明：lim2n 12。n3n 133姓名：学号：班级：高等数学第一章作业第 四 节 作 业一、填空题：x291.当 0|x-3|=,使6成立。x 32.如果lim f(x)C（C 为常数），则直线 y=C 是曲线 y=f(x)的渐近线。x二、选择题（单选）：1.limx 1x 1x1（A）-1；（B）0；（C）1；（D）不存在答：（）2.limf(x),limf(x)存在且相等是lim f(x)存在的：xx0 xx0 xx0（A）充分条件；（B）必要条件；（C）充要条件；（D）无关条件。答：（）1 4x2 2.三、试利用函数极限定义证明lim12x 1x2四、求 f(x)=第 五 节 作 业一、选择题（单选）：xx,(x),当 x0 时的左、右极限，并说明它们在x0 时的极限是否存在。xxf(x)x 1在下面哪个变化过程中为无穷大量：2x 1（A）x0；（B）X1；（C）x-1；（D）x.答：（）4姓名：学号：班级：高等数学第一章作业二、利用定义证明：y 第 六 节 作 业一、填空题：x当 x0 时为无穷小。1 xx2 4x3 x 2。2.lim2。1.lim4xx 3x21x1x 3x 2二、试解下列各题：x2111111.lim2 2.lim(12)(12)(12)(12)。x1x x 2n234nx213.3.lim().4.lim3xx11 x2x 11 x5.limarctanx.xx5姓名：学号：班级：高等数学第一章作业第 七 节 作 业一、填空题：1.lim xsinx1k。2.lim(1)x e3，则 k=。xxx二、选择题（单选）：1sin x1.limxx0cosx（A）1；（B）；（C）不存在；（D）0答：（）2.lim(1)x1x2x-22（A）2e;(B)e;(C)e;(D)三、试解下列各题：1.求极限lim3.求极限lim(cos x)x021sim2x2.e1cos2x1 x2x.2.求极限lim().x0 xxsin xx.四、设数列x12,x222,xn2 xn1,，证明：当n 时，xn的极限存在，并求出此极限。6姓名：学号：班级：高等数学第一章作业第 八 节 作 业一、填空题：1.当x 0时，2x x 是x x的阶无穷小。223x2 ax b 5,则a，b=.2.设limx11 x二、试解下列各题：1.求极限limtan x sin x3x1sin xx3 ax2 x 42.设lim具有极限 l，试求 a 和 l 的值。x1x 1第 九 节 作 业一、填空题：x1sin,x 0在 x=0 处连续，则 a=.f(x)x3x 0a,二、试解下列各题：1.试指出下列函数的间断点，并说明是第几类间断点。如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使之在该点连续：（1）f(x)322x7姓名：学号：班级：高等数学第一章作业x21.（2）f(x)2x 3x 21 x2nx的连续性，若有间断点，判别其类型。2.讨论函数f(x)limn1 x2n第 十 节 作 业一、填空题：1.limsin x sina.2.lim(x2 x x2 x)。xxax aex,3.设f(x)a x,二、选择题（单选）：1.设f(x)x 0，如果 f(x)在 x=0 处连续，则 a=.x 01 2e1 e1x1xarctan1,则x 0是f(x)的：x（A）可去间断点；（B）跳跃间断点；（C）无穷间断点；（D）振荡间断点。答：（）8姓名：学号：班级：高等数学第一章作业ln(1 x),2.f(x)xa sin x,x 0 x 0为使 f(x)在 x=0 处连续，则 a=（A）2；（B）0；（C）1；（D）-1。答：（）3.设 0ab，则数列极限limnnanbn（A）a;(B)b;(C)1;(D)a+b.答：（）x,x 0 x 1,x 14.如果f(x)，则 f(x)+g(x)的连续区间是：,g(x)0,x 0 x,x 1（A）（-，+）；（B）（-，0）（0，+）；（C）（-，1）（1，+）；（D）（-，0）（0，1）（1，+）。答：（）5.已知当x 0时,1 x 1 x ax，则常数 a 等于：（A）1；（B）-1；（C）2；（D）-2。答：（）6.当x 1时,1 x与13x为：（A）等价无穷小；（B）同阶无穷小；（C）1 x比13x高阶无穷小；（D）1 x比13x低阶无穷小。答：（）三、试解下列各题：1.求函数 f(x)=lnsinx 的连续区间，并求limlnsin x.x29姓名：学号：班级：高等数学第一章作业 x4 ax b,x 1,x 2在x 1处连续,试求a,b的值.2.设f(x)(x 1)(x 2)2,x 1ax aa3.求limxax a四、设当(a 1).4.求limx01 xsin x cos x.x2x x0时,(x),(x)是无穷小,且(x)(x)0.证明:当x x0时,e(x)ep(x)与(x)(x)是等价无穷小.10姓名：学号：班级：高等数学第一章作业第 十 一 节 作 业试证明下列各题：1.证明方程xe x cosxx2至少有一个实根。2.若f(x)在a,b上连续,a x1 x2 xn b,则在x1,xn上必有,使f(x1)f(x2)f(xn)f().n第 一 章 综 合 作 业一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）：1.limsin xsin1.2.数列xn有界是数列xn收敛的xxx 23.f(x)的一个无穷间断点是.ln x 1x21,4.设f(x)b,a arccosx,5.f(x)2 12 11x1x条件.x 1x 1在x 1处连续,则a 1 x 1,是第类间断点.,b.的间断点是三、选择题（单选）（每小题 4 分，共 20 分）：1.当x 0时,(1cos x)是sin x的:（A）高阶无穷小；（B）同阶无穷小，但不是等价无穷小；（C）低阶无穷小；（D）等价无穷小。答：（）2211姓名：学号：班级：高等数学第一章作业2.极限lim(xsinx011sin x）的结果是:xx答：（）（A）-1；（B）1；（C）0（D）不存在。3.设f(x)sinx,x ,则此函数是:（A）奇函数；（B）既不是奇函数，又不是偶函数；（C）周期为 2的周期函数；（D）ff(x).答：（）4.设 f(x)为奇函数，则下列函数中也为奇函数的是：（A）f(x)+C(C 为非零常数)；（B）f(-x)+C(C 为非零常数)；（C）f(x)+f(-x)；（D）ff(x).答：（）5.设f(x)x arctan21,则x 1是f(x)的:x 1（A）可去间断点；（B）跳跃间断点；（C）无穷间断点；（D）振荡间断点。答：（）三、试解下列各题（每小题7 分，共 35 分）：1.lim(x21x21).xx3x22.lim(2).x2x 12x 1(2x 3)20(3x 2)303.lim.50 x(5x 1)4.lim1 x 32x3x8.2 x5.lim.x3 xx12姓名：学号：班级：高等数学第一章作业4x23 ax b)2,试求a,b的值(8分).四、已知lim(xx 11x1e,x 01五、设f(x)23ex,讨论f(x)的连续性(9分).1,x 03六.设函数f(x)在a,b上连续,若f(a)a,f(b)b,试证在开区间(a,b)内至少有一点,使f()(8分).
