苏教版五下《分数的意义和性质》教材分析.pdf

【第四单元 分数的意义和性质】从本单元起，将系统教学分数的知识。包括分数的意义和性质、分数的四则计算和混合运算、分数的实际应用等内容，它们都是小学数学里十分重要的内容。学生在三年级初步认识了分数，遇到把一个物体平均分或者把若干个物体组成的整体平均分的时候，会用分数表示其中的一份或几份；能够在直观的情境里比较同分母分数的大小；会进行同分母分数的加、减法计算。在本册教科书的第三单元里，学生又掌握了因数和倍数的知识，会求两个数的最大公因数和最小公倍数。可以说，他们已经具备了深入学习分数知识的条件。系统教学分数知识，在知识技能方面，认数与运算的范围将有很大的扩展，不仅能用整数、小数，而且能用分数刻画现实生活里的一些现象；在数学思考方面，由于分数的意义比整数、小数更加抽象，分数的运算比整数、小数更加复杂，思维能力会有更大的发展；在问题解决方面，分数能够表示部分与整体的关系，能够表示两个数量之间的倍比关系，将会认识许多新的数量关系，发现并提出、理解并解决问题的能力会有新的提高；在情感态度方面，会对数学以及数学学习更有兴趣，会对数学与人类社会相互影响、共同发展的关系更有体会。本单元教学分数的意义和性质，编排了十五道例题。具体安排见下表：例 1分数的意义例 2、例 3分数与除法的关系例 4用分数表示两个数量的倍比关系例 5、例 6真分数和假分数例 7、例 8假分数化成整数或带分数例 9、例 10分数和小数的相互改写例 11、例 12分数的基本性质例 13约分例 1/4通分例 1/5比较分数的大小单元整理与练习从表格里可以看到，本单元的内容很多，编排的例题和练习也多。如果整体把握教材，主要是分数的意义和分数基本性质两大部分。在分数意义这个部分，要在直观认识分数的基础上形成分数的概念，利用分数表示部分和整体的关系，或者表示两个数量之间的倍比关系；要在分数与除法之间建立联系，实现分数和小数的互化；要利用分数单位，从真分数推理出假分数，联系整数或带分数感受假分数的数值。分数基本性质这个部分，要理解分数性质的内容，并且和除法的商不变性质建立对应关系；要应用分数性质进行分数大小比较以及约分和通分，为以后的分数计算作准备。分数的意义和性质历来是小学数学的重要内容，与传统小学数学里分数意义与性质的教学相比较，本单元教材有两点显著变化：一是加强用分数表示两个同类数量之间的倍比关系，既能充实对分数意义的理解，又能为解决分数实际问题打下基础。二是教学分数与除法的关系、真分数和假分数、分数化成整数或带分数、分数的基本性质等内容，各编排两道例题，加强了知识的形成过程，学生的数学学习更加具有探索性和层次性，有利于他们理解和掌握这些重要的基础知识。（一）概括已有的关于分数的感性认识，建立单位“1”的概念，给出分数的描述性定义小学数学关于分数意义的表述是：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫作分数。这是对分数的描述式定义。其中单位“1”、平均分、表示一份或几份的数，是定义里的几个要点。单位“1”是教学分数意义的关键，学生理解单位“1”不容易，是必须突破的教学难点。例 1 教学分数的意义，分四步进行。第一步用分数表示一块饼的四分之一、一个长方形的八分之五、一根长 1 米直条的五分之三、6 个圆组成的整体的三分之一，并要求结合直观图形说说写出的各个分数的含义，引起对已有知识的回忆。感受被平均分的对象十分广泛，为建立单位“1”和深入理解分数意义收集了资源，积累了丰富的感性材料。第二步指出被平均分的一个物体、一个图形、一个计量单位、一个整体都可以用自然数 1 来表示，通常把它叫作单位“1”。这里把自然数 1 作为建立单位“1”概念的台阶，出于以下的原因：首先，被平均分的对象都是“一个”，即一个物体、一个图形、一个计量单位、一个整体，“一个”用自然数1 表示，学生容易接受。在理解可以用自然数 1 表示以后，再提升成单位“1”，降低了认知的坡度。其次，解决实际问题时，往往用自然数 1 代替单位“1”参与列式计算，学生应该知道单位“1”可以用自然数 1 表示。另外，初步体现了分数与自然数的联系，对后面教学假分数起铺垫作用。第三步回答“茄子”卡通的问题，再认例题写出的四个分数的单位“1”各是什么，把抽象的概念回归到具体的情境里面，加强对单位“1”的体验。学生按“茄子”卡通的要求回答问题，说出例题的四个分数分别“把单位1平均分成几份，表示这样的几份”，就为接受分数的描述式定义准备了数学语言。第四步揭示分数的意义和分数单位的含义。体会教材讲述的分数意义，是对许多分数含义的抽象与概括。每一个分数都有它的分数单位，都是一个或几个分数单位组成的数。由于在前三步的教学中，逐渐建立了单位“1”的概念，这一步的教学就顺理成章了。“练一练”围绕分数的意义和分数单位的概念进行安排。三年级初步认识分数时，学生已经能够用分数表示图形里的涂色部分，也能通过涂色表示已经给出的分数。现在再次进行这样练习，要联系分数概念和分数单位来思考与解释，体现出比过去要求的提高。如，第 1 题右边的图，把 8 个圆组成的整体看成单位“1”，平均分成 4 份，如果用分数表示这样的 1 份或几份，分数单位是 1/4；涂色部分占 3 份，可以用 3/4 表示，这个分数含有 3 个 1/4。又如，第 2 题用数轴上的点表示分数，应该把数轴上01那一段看成单位“1”。如果平均分成三份，其中的一份就是三分之一，两份就是三分之二。如果平均分成六份，其中的一份就是六分之一，几份就是六分之几。练习八第 1 题要求涂色表示 3 个、6 个、12 个桃的 2/3。可以这样思考和解释：把3 个、6 个或 12 个桃组成的整体看成单位“1”，平均分成 3 份，每份是这些桃的 1/3；2/3 是 2 个 1/3，应该涂这样的 2 份。第 4 题要求解释具体情境里的分数的含义，希望学生运用描述分数意义的语言模式，连贯地说出把什么看作单位“1”，平均分的份数和表示的份数。如，五年级一班学生中，会打乒乓球的占5/9。这个分数把五年级一班学生看作单位“1”，平均分成 9 份，会打乒乓球的学生有这样的5 份。再如，一节课的时间是 2/3 小时。这个分数把 1 小时作为单位“1”，平均分成 3 份，一节课的时间有这样的 2 份。这些练习，有利于加强分数的概念，蕴含了解决分数实际问题的思路。（二）通过操作感受分数与除法的关系，发展对分数的认识，完善分数概念数学教育家都指出，建立分数与除法的联系，对完善分数概念十分重要。利用分数与除法的关系，不只能把分数化成整数或小数，而且与除法意义有关的知识及其应用，就能向分数迁移。例 2 和例 3 都教学分数与除法的关系。教材安排两道例题教学这一个知识。这是因为沟通分数与除法的关系不大容易。学生需要多次进行平均分物体的操作活动，从1块饼平均分成 4 份到 3 块饼平均分成 4 份，再到 3 块饼平均分成 5 份，反复感受除法的商不能用整数表示，可以采用分数表示，体会分数与除法的联系是有规律的，从而认识分数与除法的关系。例 2 把 1 块饼平均分给 4 个小朋友，求每人分得多少块。对学生来说，这个问题难度不大。无论凭生活经验还是应用分数的初步认识，都能得出每人分得1/4 块。教学要抓住三点：一是让学生通过实物操作或者经过形象思维，得出和“番茄”卡通同样的结果“每人分得这块饼的 1/4，是 1/4 块”。二是引导学生列出解决这个问题的算式，联系平均分的问题可以用除法计算的经验，像“蘑菇”卡通那样用14 求每人分得多少块。三是用分数 1/4 表示除法 14 的商，得出等式 141/4，从而明白整数除法如果得不到整数的商，可以用分数表示除法的结果，初步感受除法算式14 和商1/4 的内在关系。例 3 把 3 块饼平均分给 4 个小朋友，求每人分得多少块。教学线索仍然是“列出算式分出得数组成并体验等式”。分析学生的现实情况，他们根据“平均分的问题可以用除法计算”，列出除法算式34 应该困难不大，从 3 块饼平均分成 4 份的操作活动得出每人分得 3/4 块有点难度。教学要因势利导，抓住“每人分得多少块”这个问题适时给出点拨。有些学生会像“萝卜”卡通那样把饼1 块 1 块地分，每人每次分得 1/4 块，3 次分得 3 个 1/4 块，合起来是 3/4 块。这种分法的数量关系“3 个1/4 块是 3/4 块”，一方面可以通过 3 个 1/4 块拼起来是 3/4 块形象地理解，另一方面可以通过分数单位与分数意义来理解。有些学生会像“蘑菇”卡通那样把3 块饼叠起来同时分，每人分得 3 块的 1/4，合起来也是 3/4 块。这种分法的数量关系“3 块的1/4 是 3/4 块”，要联系 3 块饼同时被平均分成 4 份，表示其中 1 份的事实，帮助学生理解“3 块的 1/4”的意思，体会“是 3/4 块”的合理性。在列出算式、分出得数以后，仍然要组成和体验等式。联系 343/4 继续感受整数除法的商可以用分数表示，体会除法式子与分数的对应联系。例 3 还有一段延伸：如果把 3 块饼平均分给 5 个小朋友，求每人分得多少块，并且用分数表示 35 的商。联系前面两次分饼的经验，应该不难得出这次分饼的结果。或是从 3 个 1/5 是 3/5，或是从 3 的 1/5 是 3/5，写出除法算式 35 及其商 3/5，进一步丰富对除法与分数关系的感性认识。在例 2 和例 3 的三个等式里发现分数与除法的关系，是这两道例题的教学重点所在。不仅要得出一个十分重要的数学知识，而且能培养学生的概括能力。因为得出分数与除法的关系，要仔细观察组成的三个等式，对除法算式以及分数进行分析、比较，找到对应的联系，进行综合、概括，说出从除法算式到分数的转换方法与要领。实事求是地说，小学生开展这样的思维活动需要教师的帮助，如果全放手、全放开地让他们独立发现，将会是困难的，甚至是混乱的。教师的点拨可以是先确认除法算式里的被除数和除数，然后研究把除法算式写成分数，被除数和除数分别在分数的哪里，分别是分数的什么。先后用两种形式表达分数与除法的关系，即像“萝卜”卡通那样用数学语言讲述，像“辣椒”卡通那样用数量关系式表示。语言讲述比较具体，有利于理解和交流；数量关系式比较模式化，有利于操作。教材还把字母表示的除法算式改写成分数，使分数与除法关系从数学知识变成学生的改写技能，而且从“除数不能是0”推理出“分母不能是 0”，完善对分数与除法关系的认识。例 3 后面的“试一试”应用分数与除法的关系，把较小单位的名数聚成较大单位的名数。如，7 分米小于 1 米，把 7 分米改写成米作单位的名数，结果不会是整数，可用分数表示。因为 7107/10，所以 7 分米7/10 米。类似的 23 分不满 1 时，把 23分改写成以时作单位的名数，只能用分数表示结果。因为236023/60，所以 23 分23/60 时。“试一试”通常先让学生独自完成，再组织交流。要帮助学生弄明白两点：一是为什么用除法计算，明白这里是把把较低单位表示的名数改写成较高单位的名数。二是怎样写出除法算式的商，明白要正确应用分数与除法的关系。“练一练”第 1 题把 1 公顷地平均分成 5 份，计算每一份的公顷数。可以先根据现实的数量关系列出除法算式，再应用分数与除法的关系写出除法算式的商，让学生重温学到的新知识。第 2 题既把除法算式改写成分数，又把分数改写成除法算式。这样的双向改写，能使学生对分数与除法的关系理解得更全面，掌握得更扎实。从除法算式写出相应的分数，是按照分数与除法关系的推理；从分数写出对应的除法算式，利用分数与除法关系的推理是逆向的，要注意改变思维方向可能会给学生带来的困难。练习八第 68 题配合例 2 与例 3 的教学。第 6 题的第（2）小题把 2 根 1 米长的绳子平均分成 3 份，要求写出每份有 2 个 1/（）米，是（）/（）米。解答这道题要关注2 个 1/3 米是 2/3 米，2 米的 13 也是 23 米。第 7 题把一袋 2 千克的糖果平均分成 5 份，要求用填空的形式写出每人分得这袋糖果的（）/（），是（）/（）千克。理解两个问题时，都要把这袋糖果平均分成5 份，不过前者应该把糖果看成单位“1”，后者应该把糖果看作 2 千克。第 8 题把 4 平方米平均分成 7 份，求每份多少平方米。应该列出算式，并根据分数与除法的关系写出结果：47=4/7（平方米）。（三）用分数表示两个同类数量的倍比关系，充实对分数意义的体验初步建立分数概念时，分数只表达部分与整体的关系。如地球表面有71/100 被海洋覆盖，这里的地球表面是整体，把它看作单位“1”，被海洋覆盖的是地球表面的一部分，占整体的 71/100。其实分数的应用并不局限于部分和整体的关系，还经常用来表示两个同类数量之间的倍比关系。如，男生人数相当于女生人数的4/5，女生人数相当于男生人数的 5/4，这里的 4/5 和 5/4 都是倍比的结果。把分数的应用从部分与整体关系，扩展到两个数量的倍比关系，学生的分数概念会更加完善，而且能为以后教学分数和百分数实际问题打下良好的基础。例 4 画出了一条红彩带和一条黄彩带，红彩带被平均分成4 份，黄彩带和这样的 1份同样长。要求回答的问题是黄彩带的长是红彩带的几分之几。学生看着直观图形，能够知道“黄彩带的长是红彩带的 1/4”。如果仔细体会这句话的含义，应该理解两点：一点是分数 1/4 表示两个长度的倍数关系；另一点是分数1/4 的含义是把红彩带的长看作单位“1”，平均分成 4 份，黄彩带的长相当于其中 1 份的长。这两点体会，使分数意义从原来表示部分与整体关系发展到表示倍比关系。这道例题还要教学用除法计算一个数是另一个数的几分之几的问题。教学方法是组织学生推理，帮助学生体会。得出黄彩带的长是红彩带的1/4 以后，先根据分数与除法的关系，从得数 1/4 推理出除法算式 14，形成等式 141/4。接着是联系所求问题和算式及得数，体会求黄彩带的长是红彩带的几分之几，以红彩带的长为单位“1”，数量关系是“黄彩带的长红彩带的长黄彩带是红彩带的几分之几”。“试一试”里的红彩带长 4 米，蓝彩带长 3 米，要求用分数表示蓝彩带和红彩带长度的关系。观察直条图，红彩带被平均分成4 份，蓝彩带的长相当于这样的3 份，可见红彩带的长度是作为单位“1”的数量。分析问题“蓝彩带的长是红彩带的几分之几”，应该把蓝彩带的长度和红彩带的长度相比，以红彩带的长度作为单位“1”的量。由此得出解决问题的数量关系：蓝彩带长度红彩带长度蓝彩带的长是红彩带的几分之几，列式计算是 343/4。和过去求一个数是另一个数的几倍一样，这里的3/4也是倍数，也不带单位名称。练习八着力加强对分数意义的认识，这里就几道习题的编排作些简单说明。第 11 题，小明家养 11 只白兔和 19 只灰兔，要求回答两个问题：白兔只数是灰兔的几分之几？白兔只数占兔子总数的几分之几？这两个问题是白兔只数与两个不同数量相比，在白兔与灰兔相比时，灰兔只数是单位“1”的数量，应该用“白兔只数灰兔只数”；在白兔只数与兔子总数相比时，兔子总数是单位“1”的数量，应该用“白兔只数兔子总数”。学生明白上述的道理与算法，就能较好地解答简单的求一个数是另一个数的几分之几的问题了。第 12 题要求在数轴上表示分数。要引导学生思考各个分数的意义，以加强分数概念。教材在直线 0 到 1 的那一段上给出若干个等分点，为学生找到表示分数的点提供方便，要指导他们合理利用这些等分点。如，1/2 是“1”平均分成 2 份里的 1 份，要找到把 0 到 1 的线段平均分成 2 份的点。1/4 是“1”平均分成 4 份里的 1 份，要找到把 0 到 1 的线段平均分成 4 份的点。第 13 题，有 12 支铅笔，平均分给 2 个同学。分别问每支铅笔是铅笔总数的几分之几，每人分得铅笔总数的几分之几。解答这题要抓住三个要点：一要把铅笔总数看作单位“1”，题目给出铅笔 12 支，把它抽象为单位“1”是有点难度的。二要仔细理解问题，体会把单位“1”平均分的份数。求每支铅笔是铅笔总数的几分之几，要把单位“1”平均分成 12 份，才能看出每支铅笔与铅笔总数的关系。求每人分得的铅笔是铅笔总数的几分之几，要把单位“1”平均分成 2 份，才能看出每人分得的铅笔与铅笔总数的关系。三要反思写出的两个分数，比较它们的相同点与不同点，加强对分数意义的体验。第 1/4 题要求看图写出一个数的几分之几是多少。左图把 10 个苹果平均分成 5 份，1/5 是其中的一份，是 2 个；右图把 12 只鸡平均分成 4 份，3/4 是其中的 3 份，有 9只。学生能看图直接说出 10 个的 1/5 是几个，12 只的 3/4 是几只，但不会联系分数意义进行相对严谨的思考。解题的重点应放在分数的意义上面，让学生解释苹果总数的1/5 是什么意思，怎样理解鸡的只数的3/4。加强对分数意义的理解，是编排这道题的目的。练习八的后面是一次“动手做”。教材用图画给出八根彩条，它们长相等、宽相等，颜色不同。把每根彩条都看作单位“1”，从上到下，绿彩条平均分成 2 份，有 2个 1/2；红彩条平均分成 3 份，有 3 个 1/3；紫彩条平均分成 4 份，有 4 个 1/4。接着的动手做安排两个活动：一个是按上面的规律继续把其他彩条分一分，并在彩条上写出适当的分数。另一个是回答两个问题。按规律继续分其他彩条，能够分出5 个 1/5，6 个 1/6，7 个 1/7，8 个 1/8。每次分，都要把一根彩条平均分成若干份，都要用分数几分之一表示其中的一份，都要在彩条上写出若干个几分之一。这就加强了对分数几分之一的体验。回答的两个问题中，第一个问题是“每根彩条里各有多少个分数单位？任选两个分数单位比较它们的大小，有什么发现？”从彩条上能够直观看到：单位“1”里有 2个 1/2、3 个 1/3、4 个 1/48 个 1/8，这就初步感受了 1 与几分之一的关系。比较两个分数单位的大小，是比两个几分之一分数的大小。能够直观体验：把单位“1”平均分的份数越多，其一份就越小，即分数单位越小。从而理解分子是1 的分数，分母大的分数比较小，分母小的分数比较大。第二个问题是“看彩条图填空：1/3=（）/6，12=（）/4=（）/8，还能找到其他相等的分数吗？”知道两个分子不同、分母不同的分数也会相等，也就渗透了即将教学的分数基本性质。（四）以分数单位为新知识的生长点，教学真分数和假分数教学分数的意义，从部分与整体的关系切入，呈现的都是真分数。用分数表达两个数量之间的倍比关系，有时是较小的数与较大的数相比，有时会是较大的数与较小的数相比，结果不一定都是真分数。所以，教材及时安排假分数的教学。例5 和例 6以分数单位为生长点，先要求写出分子比分母小的分数，再陆续引出分子与分母相等的分数以及分子比分母大的分数，由此教学真分数和假分数的概念。例 5 把一个圆看作单位“1”，要求在圆里涂色分别表示分母是 4 的各个分数，让学生一边涂色一边体会每个分数是几个1/4，初步引出假分数，感受它的含义。教材由易到难设计了两个小题。第（1）题在三个同样的圆里涂色依次表示1/4、3/4 和 4/4，从已经认识的 1/4 与 3/4 带出要认识的 4/4，并通过说出每个分数各有几个 1/4，体会4/4 的含义。教学这道题，要把认知的重点放在4/4 上面，理解它是 4 个 1/4 组成的分数。还要形成几个四分之一是四分之几的认识，概括1/4、3/4 和 4/4 的共同属性，为接下来的教学构造平台。第（2）题教学 5/4。这要比教学 4/4 难得多。学生也许能够从 5 个 1/4 推出 5/4，而用图形表示 5/4 并解释它的含义就那么不容易了。为此，教材画了两个完全相同的圆，每个圆都平均分成四份，两个圆的下面有一条括线，要求学生在圆里涂色表示 5 个 1/4，在括线下面写出分数 5/4，得出这个分数并感悟其意义。涂色应该一个 1/4、一个 1/4 地进行，左边的圆里最多只能表示4 个 1/4 即 4/4，还有一个 1/4 需要表示在右边的圆里。写在括线下面的5/4，要把两个圆里的涂色部分合在一起才能表示它的含义。学生经历这样的涂色活动，直观形象地体会了5/4 的含义，也初步形成了 5/4 比 1 大的认识。教学这道题应该让学生明白三点：一是把每个圆都看作单位“1”，都平均分成 4 份，分数单位是 1/4；二是在一个圆里最多只能表示4个 1/4，还有一个 1/4 要在另一个圆里表示出来；三是两个圆里一共涂了5 个 1/4，表示 5/4。例 6 的教学分两段进行。第一段给出三个分母是5 的分数，要求在图形中涂色表示它们，让学生继续体验假分数的意义。其中25 是 2 个 1/5，可以在一个五等分的圆里表示出来；10/5 是 10 个 1/5，在一个五等分的圆里最多只能表示5 个 1/5，表示 10个 1/5 需要两个完全一样的圆；13/5 是 13 个 1/5，需要三个同样的圆才能表示，前面两个圆里表示 10/5，第三个圆里表示 3/5，合起来是 13/5。教材希望学生根据分数单位与分数的组成，在画图的同时体会这些分数都是若干个1/5 组成的数。第二段认识真分数和假分数的特征，建立真分数与假分数的概念。例 5 和例 6 陆续出现了七个分数，有分子比分母小的、分子比分母大的，以及分子和分母相等的各种情况，这就具备了教学真分数与假分数的条件。先比较各个分数分子和分母的大小，把七个分数分成两类，然后分别定义真分数和假分数。学生按分子与分母的大小关系，往往会把七个分数分成三类，这是正常现象。教学时只要把分子比分母大和分子与分母相等这两类合并为一类，指出这些分数都是假分数。“练一练”第 1 题看图写分数表示图中的涂色部分，写出的分数里有真分数，也有假分数；有分子和分母相等的假分数，也有分子比分母大的假分数。学生写出各个分数以后，可以组织他们说说各个分数是什么分数，以加强对真分数和假分数的识别。第 3 题体验真分数与假分数都由若干个分数单位（几分之一）所组成，看到一个分数，都可以根据它的分母确定其分数单位，根据它的分子确定其含有分数单位的个数。练习九第 14 题配合真分数与假分数的教学。第1 题着重巩固真分数与假分数的概念，要求在图中涂色表示每一个分数，都要按“分数单位是几分之一，有几个这样的单位”进行思考。如，涂色表示 3/5，要涂出 3 个 1/5；表示 5/5，要涂出 5 个 1/5；表示 7/4，要涂出 7 个 1/4。这样的练习有利于学生进一步体会表示真分数或分子与分母相等的假分数，只要在一个图形里涂色；如果表示分子大于分母的假分数，要在两个或多个同样的图形里涂色。第 2 题在数轴上整理真分数和假分数。可以看到表示真分数的点都在 0 与 1 之间，这就表明真分数都小于1。还可以看到表示假分数的点或者就是表示 1 的点，或者在 1 的右边，表明假分数等于 1 或者大于 1。第 3 题用真分数或假分数表示一个数是另一个数的几分之几。如果是较小的数量与较大数量相比，通常用真分数表示它们之间的倍比关系；如果是较大数量与较小数量相比，一般用假分数表示它们之间的倍比关系。第 4 题要求写出分母是 5 或 7 的所有真分数，写出分子是 5或 7 的所有假分数。当真分数的分母确定以后，其分子只会是那么几个数，写出的真分数的个数是有限的，总是“分母减1”个。如，分母是 5 的真分数有 4 个，分母是 7的真分数有 6 个。当假分数的分子确定以后，其分母只会是那么几个数，写出的假分数的个数也是有限的，分子是几就能写出几个。如，分子是5 的假分数有 5 个，分子是 7 的假分数有 7 个。（五）利用假分数可以化成整数或者带分数，进一步认识假分数例 5 和例 6 教学了假分数的意义，从分数单位以及含有分数单位的个数，初步认识了假分数，知道假分数最为显著的特点是分子和分母相等或者分子比分母大。但是，由于当分数大于或等于 1，尤其是分子比分母大许多、分数值比1 大得多的假分数，其大小仍然难以体验，于是教材接着编排例7 和例 8，引导学生利用假分数和整数或者和带分数的相等关系，从分数值的角度进一步体验假分数。例 7 先特殊后一般，依次教学分子是分母倍数的假分数可以化成整数，分子不是分母倍数的假分数可以化成带分数。学生理解并掌握这个规律，对假分数又多了一份认识。例题先要求把 4/4、10/5、28/7 分别化成整数，其中 4/41、10/52 曾经在例 5 和例 6 里出现过。现在把这三个假分数化成整数，可以利用已有的经验，通过形象思维进行改写。如，4/4 是 4 个 1/4，把一个图形看作单位“1”，平均分成 4 份，涂色表示 4/4 刚好把一个图形都涂上颜色，这表明4/41。又如，10/5 是 10 个 1/5，因为 5/51，10/5 里有 2 个 5/5，所以 10/52。类似地 28/7 是 28 个 1/7，7 个 1/7是 1，14 个 1/7 是 2，21 个 1/7 是 3，28 里有 4 个 7，28/7=4。教材接着问学生“能化成整数的假分数，分子与分母有什么关系？”让他们从前面三个实例中得出“能化成整数的假分数，分子都是分母的倍数”。并且从这个规律发展出两点认识：一是凡是分子是分母倍数的假分数，都可以化成整数。二是把假分数化成整数，还可以通过分子除以分母的计算进行，求得的商就是假分数的数值，这种方法比画图形象思维方便许多。分子是分母倍数的假分数可以化成整数，这样的假分数只是一类特殊的假分数。其他假分数呢？这会是许多学生的质疑。教材适时引出带分数的概念，先指出，分子不是分母倍数的假分数虽然不能化成整数，却能写成整数和真分数合成的形式，即写成带分数。然后以 4/3 为例，介绍了把它写成带分数的思路以及带分数的写法和读法。4/3 写成带分数的思路是把它分成3/3 和 1/3 两部分，3/3 是 1，由 1 和 1/3 合成的数是 1 又 1/3。这个带分数在数轴上的对应点，处于整数1 的右边，比 1 多 1/3 的位置上。这就直观地显示了它是整数 1 和真分数 1/3 合成的数。显然，借助 1 和 1/3 合成的带分数，能够丰富对假分数 4/3 的认识。例 8 教学把假分数化成带分数，教学过程分两步安排：第一步联系带分数的含义，借鉴 43 化成带分数的经验进行改写。可以像“蘑菇”卡通那样画图表示11/4，从图形里看出 11/4 分成 8/4 和 3/4 两部分，因此 11/4 改写成带分数是 23/4。也可以像“辣椒”卡通那样，利用分数的组成进行推理，从4/4 是 1、8/4 是 2，得到 11/4 比 2 大且不满 3，于是采用整数 2 和真分数 3/4 合成的带分数表示，即 2 又 3/4。第二步，用分子除以分母的计算进行改写。要让学生在理解算理的基础上使用这种方法。联系第一步的推算经验，理解算理：114=23，商 2，表示从 11 个 1/4 里分出 2 个 4/4 即8/4，并把它看作整数 2；余数 3 表示还剩 3 个 1/4 即 3/4。所以 11/4 是 2 和 3/4 合成的数，写成 2 又 3/4。需要再次说明的是，教学带分数是为了更好地体验假分数，也是为了应用分数与除法关系。以后进行分数的四则计算，如果最后的结果是假分数，可以化成带分数，但不是必须化成带分数。教材没有形成假分数化成带分数的文字形式的法则，也不教学把带分数化成假分数的方法，和以前的大纲教材有明显的不同。配合例 8 的“练一练”第 1 题，要求观察图形里的涂色部分，先用假分数表示出来，再改写成带分数。根据涂色部分写假分数，应确定分数单位以及含有分数单位的个数。把假分数改写成带分数，可以看图进行，也可以用除法计算。如果两种方法相结合，能够加深对假分数改写成带分数方法的理解。如，在图形上看出7 个 1/3 组成假分数 7/3，同时看出假分数 7/3 可以分成 2 个 3/3 和 1 个 1/3，所以 7/3=2 又 1/3。如果用除法计算就是 73=21，化成的带分数也是 2 又 1/3。练习九第 59 题配合例 7 和例 8 的教学。其中第 7 题在数轴的上面写假分数，下面写带分数，能够直观看到每一个假分数都相当于一个整数与一个真分数的和，都有一个带分数与它相对应。第 8 题把整数 1、2 分别改写成假分数，再次感受分子是分母倍数的假分数与整数的关系，以后计算整数减分数会用到这个知识。把1 写成分母是 1或分母是 2 的分数，可以从“分子与分母相等的假分数等于 1”进行推理，得出 1=1/1、1=2/2。把 2 写成分母是 3 或分母是 4 的假分数，可以从 1=3/3，推理出 2=6/3；从1=4/4，推理出 2=8/4。也可以根据分数与除法的关系，通过分数值乘分母（相当于商乘除数）求出分子（相当于被除数）。第 9 题通过比较 5/6 与 7/6、3/2 和 2/3 的大小，体会真分数一定小于假分数；通过比较9/10 与 1、16/16 与 1 的大小，加强对分子和分母相等的分数等于 1 的体验；通过比较 2 与 6/3、3 与 13/4 的大小，进一步体会整数能够写成假分数的形式。（六）优化分数与小数相互改写的教学教学分数与小数的相互改写，能使新认识的分数和以前认识的小数更加融合，在解决实际问题时发挥更大的作用。分数与小数相互改写涉及的旧知识，主要是分数和除法的关系、小数的意义以及小数除法的计算。这些知识学生应该掌握得比较好，所以有学习分数与小数相互改写的条件。例 9 为解决实际问题“两名女孩谁用的彩带长”而提出数学问题“比较0.5 和 3/4的大小”。相比较的两个数，一个是小数，一个是分数。学生联系已有的小数与分数知识，会有不同的思考。教材选择两种典型的方法，希望教学给予关注，并鼓励学生使用。一种方法是思考 0.5 和 3/4 的意义，依靠数感进行比较。教学小数意义和分数意义时，曾经画图表示 0.5 和 3/4，通过图形直观能够知道 0.5 正好是一半，3/4 超过一半，于是判断 3/4 大于 0.5。像这样的比较策略在过去教材里几乎不见，现在特地编排在例题里，要引起教学的重视，以加强数感的培养，发展思维的灵活性和创造性。另一种方法把不同形式的数变成相同形式的数，利用同一类数比较大小的规则，判断两个数之间的大小关系。例题把分数3/4 化成小数 0.75，从 0.75 大于 0.5，得出 3/4大于 0.5。当然，把不同形式的数变成相同形式的数，也可以是小数化成分数。例题不采用这种方法，是由于 0.5 写成 1/2 或 5/10，接着要比较两个异分母分数的大小，学生暂时还不会进行。尽管例 9 鼓励各种思考、多种方法，但这道例题教学的重点仍然是利用分数与除法的关系，把分数化成小数。所以，配合例9 的“试一试”要求把两个分数分别化成小数。把分数化成小数并不难，只要用分子除以分母。麻烦在于有时除得的商的小数位数比较多，有时商还是循环小数。对此，教材里有“除不尽的保留三位小数”的提示。“试一试”选择把 9/25 和 5/6 这两个分数化成小数，让学生体验有些分数能化成有限小数，有些分数只能化成无限小数。至于什么样的分数能化成有限小数、什么样的分数能化成无限小数，暂时不作研究。例 10 教学小数化成分数。严格地说，这不是新知识了。因为在教学小数意义的时候，进行过把一位、两位或三位小数写成分数的练习。现在编排例题教学这个内容有两点原因：一是使知识结构完整。既然把分数与小数互化，就是双向改写的内容，不只是分数化成小数，也有小数化成分数。例9 教学了分数化成小数，例 10 进行小数化成分数是很自然的安排。二是重温有关知识，加强理解，帮助学生更好地掌握。把小数改写成分数，要依据小数的意义，即一位小数写成十分之几的分数、两位小数写成百分之几的分数、三位小数写成千分之几的分数。教材通过“豆荚”卡通的提问引导学生回忆小数的意义，还利用 0.3 写成 3/10 的示范，让学生继续把小数 0.13 和 0.213写成分数，从而掌握把小数改写成分数的要领。练习九第 1116 题配合例 9 和例 10 的教学。第 11 题先填空表示一位小数里有几个十分之一，两位小数里有几个百分之一，三位小数里有几个千分之一，再分别把一位小数、两位小数、三位小数写成分数，把小数改写成分数的方法建立在小数意义的基础上。第 1/4 题在数轴上面写出分数，下面写出小数。可以直观体验分数与其相应的小数是相等的两个数，在数轴上用同一个点表示。（七）精心安排教学素材，发现并理解分数的基本性质从例 11 开始，教学本单元的第二部分内容，包括分数的基本性质及其应用。教材安排两道例题教学分数的基本性质，创造了较大的学习活动空间。设计的线索是“呈现现象发现规律联系相关知识”。通过丰富的素材、充实的活动，引导学生逐步发现并理解分数基本性质。例 11 的图形是四个大小相等的圆，各个圆平均分的份数不同。用分数表示每个圆里的涂色部分，分别能写出 1/3、1/2、2/6、3/9 四个分数。比较各个圆里的涂色部分，能够看到从左往右第 1、3、4 个圆里的涂色部分大小相等，由此得出相应的三个分数大小相等，即 1/32/63/9。这道例题让学生初步感受分子、分母都不相同的分数中，有些分数的大小相等，有些分数的大小不等，进而对分子、分母不等，而分数大小相等的现象产生兴趣，进入探索分数基本性质的状态。例 12 承接例 11，在对折正方形纸的活动中得出一些与1/2 大小相等的分数，并分别写成如下的等式：1/22/4、1/24/8、1/28/16。这些等式再次让学生感受分子、分母不同的分数，大小可以相等，为研究分数基本性质提供了素材。教材分五步引导学生发现分数基本性质。第一步研究例 12 每个等式里的两个分数，仔细观察它们的分子、分母是怎样变化的。教材写出了乘号或除号，提示学生从分子、分母乘或除以一个数的角度去观察思考。让学生在括号里填数，体验分子、分母乘或除以的是相同的数。例题既要研究1/2的分子、分母是怎样变成为 2/4、4/8、8/16 的；也要研究 2/4、4/8、8/16 的分子、分母又是怎样变成为 1/2 的。教材还要求学生填写连等式 1/2（）/（）（）/（）（）/（），把 1/2、2/4、4/8、8/16 有序地排列起来，快速重温前面看到的分子、分母变化而分数大小不变的现象。如，1/2 的分子、分母都乘 2 得到 2/4，2/4 的分子、分母都乘 2 得到 4/8，4/8 的分子、分母都乘 2 得到 8/16，照这样还能写出分数 16/32、32/64这些分数的大小都相等。又如，和 1/2 相等的分数有很多，这些分数的分子、分母除以相同的数都能得到 1/2。类似这样的感性认识越丰富、越清楚，越有利于发现和认同分数的基本性质。第二步利用例 12 里获得的经验，回顾例 11 等式中的三个分数，研究它们的分子、分母是怎样变化的。体会这些分数相等的原因和例12 一样，而且分数的分子、分母乘或除以的数，除了 2、4、8，还可以是 3 或其他的数。这样，对分数基本性质的感受就更加充实了。教材在这一步给学生自主活动的空间比前一步大得多，要求他们充分地看、充分地说，充分感知与分数基本性质有关的现象。第三步概括两道例题里分子、分母变化但分数大小不变的规律，在相互交流、形成自己的认识以后，阅读教材里关于分数基本性质的叙述，理解并使用“同时乘或除以”“相同的数”这些规范的语言，知道这个规律叫做分数的基本性质。联系除数不能是 0，明白分数的分子、分母同时乘或除以的数不能是0，使得到的规律更加科学，叙述更加严密。第四步沟通分数基本性质和除法商不变规律的内在联系，优化认识结构。由于分数与除法可以相互改写，分数的分子相当于除法的被除数，分母相当于除数，所以分数的分子、分母同时乘或除以相同的数，相当于除法的被除数、除数同时乘和除以相同的数。这些对应关系表明，分数基本性质与除法商不变规律完全一致。这一步的教学，可以引导学生回忆分数与除法的关系，以及除法的商不变规律，想想分数基本性质和除法商不变规律有联系吗，能够相互说明吗，从而利用内在的联系，进一步认同和理解分数基本