1-7-两个重要极限练习题.pdf

1-7-1-7-两个重要极限练习题两个重要极限练习题严谨严谨规范规范求真求真铸魂铸魂1-71-7 两个重要极限练习题两个重要极限练习题教学过程：教学过程：引入引入：考察极限考察极限limsinxx0 x问题问题 1 1：观察当：观察当 x x0 0 时函数的变化趋势：时函数的变化趋势：x x(弧弧度度)sinxx0.50.50.10.10.00.00.00.00.00.00.00.00 00 05 54 43 32 2.0.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.9585585 983983 996996 997997 998998 999999.sin xxsin x当当 x x 取正值趋近于取正值趋近于 0 0 时，时，1 1，即即limxx 0=1=1；当当 x x 取负值趋近于取负值趋近于0 0 时，时，-x x0,0,-x x0,0,sin(-sin(-x x)0)0于是于是x0limsinxsin(x)limx0 x(x)综上所述，得综上所述，得x一一limsin1xx0 xlimsin1的特点：的特点：xx0(1)(1)它是它是“0”型，即若形式地应用商求极限的型，即若形式地应用商求极限的0法则，得到的结果是法则，得到的结果是0；0严谨严谨规范规范求真求真铸魂铸魂(2)(2)在分式中同时出现三角函数和在分式中同时出现三角函数和 x x 的幂的幂推广推广如果如果lim(x x)=0,()=0,(a a 可以是有限数可以是有限数 x x0 0,xa或或)，则则x例例1 1求求limtanxx0limxasinxx=lim xsinx0 x=1=1解解limtanxx0 x=sinxsinx1sinx1limcosx lim limlim111x0 x0 xxcosxx0 xx0cosx例例2 2求求limsinx3xx0解解limsin3xx0 x3xsint=lim3sin(令3x t)3lim 33xtx0t0例例3 3求求lim1xcosxx02解解lim1cosxx0 x2=lim2sin2x2x0 xxxxsin2sinsin2 lim2 lim1221x0 x02xxx22()2222x例例4 4求求limarcsinxx0解解令令 arcsinarcsinx x=t t，则则 x x=sin=sint t 且且 x x0 0 时时 t t0 0 xt所以所以limarcsin=lim1xsintx0t0例例5 5求求limtanxxsinxx03解解limtanx sinxx0 x3=sinx1cosxsinxsinx cosxlimcosx3 lim3x0 x0 xx严谨严谨规范规范求真求真铸魂铸魂x11cosx1=limsinlimlimxcosx2xx0 x0 x02考察极限考察极限lim(11)xxx e问题问题 2 2：观察当：观察当 x x+时函数的变化趋势：时函数的变化趋势：x x1(1)xx1 12 22 21010100100 100100 100100 1001000 00000000000 000000.2.22.22.52.52.72.72.72.72.72.7 2.712.715 594941717181181 182182 828828x1当当 x x 取正值并无限增大时，取正值并无限增大时，(1)是逐渐增大是逐渐增大x1的，但是不论的，但是不论 x x 如何大，如何大，(1x)的值总不会超过的值总不会超过x3 3实际上如果继续增大实际上如果继续增大 x x即当即当 x x+时，可时，可1以验证以验证(1x)是趋近于一个确定的无理数是趋近于一个确定的无理数e ex2.718281828.2.718281828.1当当 x x-时，函数时，函数(1x)有类似的变化趋势，有类似的变化趋势，x只是它是逐渐减小而趋向于只是它是逐渐减小而趋向于 e e综上所述，得综上所述，得二二lim(11)x=e exxxlim(11x)=e ex的特点：的特点：无穷大案（）（）lim(1+lim(1+无穷小无穷小)；（）（）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为“无穷小”与“无穷大”的解析式互为严谨严谨规范规范求真求真铸魂铸魂倒数倒数推广推广（）若（）若lim(x x)=)=,(,(a a 可以是有限数可以是有限数xax x0 0,或或)，则，则lim(1xa1(x)1)lim1x(x)(x)(x)=e=e；（）若（）若lim(x x)=0,()=0,(a a 可以是有限数可以是有限数xax x0 0,或或)，则，则lim1xxa1(x)limx01x1(x)=e=e1变形变形令令x=t t，则，则 x x时时 t t0 0，代入后，代入后得到得到lim1tt et01如果在形式上分别对底和幂求极限，如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是得到的是不确定的结果不确定的结果 1 1，因此通常称之为，因此通常称之为 1 1 不定型不定型2例例6 6求求lim(1x)xx2解解令令x=t t，则，则 x x=2t当当 x x时时 t t0 0，于是于是2lim(1)xxxx=lim(1 t)t02tlim(1 t)t01t2=e=e 2 2 x例例7 7求求lim(3)2 xx x1解解令令3=1+=1+u u，则，则 x x=2=2 2 xu当当 x x时时 u u0 0，严谨严谨规范规范求真求真铸魂铸魂于是于是3 xxlim()x2 x=lim(1u)u021u lim(1u)u01u1u(1u)2=e=e-1-1=lim(1u)u01lim(1u)2u0例例8 8求求lim(1 tanx)cotxx0解解设设 t t=tan=tanx x，则，则1cotcotx xt当当 x x0 0 时时 t t0 0，于是于是lim(1 tanx)=lim(1t)=e=ecotx1tx0t0小结：小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。的作用，特别要注意其变式。作业：见首页作业：见首页2-2-1 1 导数的概念导数的概念教学过程：教学过程：引入：引入：严谨严谨规范规范求真求真铸魂铸魂一、两个实例一、两个实例实例实例 1 1瞬时速度瞬时速度考察质点的自由落体运动考察质点的自由落体运动真空中，真空中，质点在质点在时刻时刻 t t=0=0到时刻到时刻 t t这一时间段内下落的路程这一时间段内下落的路程 s s由由2 2公式公式 s s=1g gt t 来确定现在来求来确定现在来求 t t=1=1 秒这一时刻秒这一时刻2质点的速度质点的速度当当 t t 很小时，从很小时，从 1 1 秒到秒到 1+1+t t 秒这段时间内，秒这段时间内，质点运动的速度变化不大，质点运动的速度变化不大，可以这段时间内的平可以这段时间内的平均速度作为质点在均速度作为质点在 t t=1=1 时速度的近似时速度的近似s(m/(m/s s)t t(s s)s s(m)(m)t0.10.10.010.010.0010.0010.00010.00010.000010.000011.0291.0290.098490.098490.00980490.00980490.0009800490.0009800490.0000980000.000098000494910.2910.299.8499.8499.80499.80499.800499.800499.8000499.800049s上表看出，平均速度上表看出，平均速度随着随着 t t 变化而变化，变化而变化，ts当当 t t 越小时，越小时，越接近于一个定值越接近于一个定值9.8m/9.8m/s s考考t察下列各式：察下列各式：s s=12g g(1+(1+t t)2 2严谨严谨规范规范求真求真铸魂铸魂122 2g g 1 12 2=1g g22t t+(+(t t)，2st=g g 122t (t)2t=1g g(2+(2+t t)，2s思考：思考：当当 t t 越来越接近于越来越接近于 0 0 时，时，越来越接越来越接t近于近于 1 1 秒时的秒时的“速度速度”现在取现在取 t t0 0 的极限，得的极限，得lims1 limg2t0t02g g=9.8(m/=9.8(m/s s)为质点在为质点在t=1=1 秒时速度为瞬时速度秒时速度为瞬时速度一般地，设质点的位移规律是一般地，设质点的位移规律是s s=f f(t t)，在时刻，在时刻t t 时时时时间间有有改改变变量量 t t，s s 相相应应的的改改变变量量为为 s s=f(=f(t t+t t)-)-f f(t t)，在时间段在时间段 t t 到到 t t+t t 内的平均速内的平均速度为度为sft t ftv=，tt对平均速度取对平均速度取 t t0 0 的极限，得的极限，得sv v(t t)=)=lim limtt0t0ft t ftt，称称 v v(t t)为时刻为时刻 t t 的瞬时速。的瞬时速。研究类似的例子研究类似的例子实例实例 2 2曲线的切线曲线的切线设方程为设方程为 y y=f f(x x)曲线为曲线为 L L其上一点其上一点 A A 的的坐标为坐标为(x x0 0,f f(x x0 0)在曲线上点在曲线上点 A A 附近另取一点附近另取一点严谨严谨规范规范求真求真铸魂铸魂B B，它的坐标是，它的坐标是(x x0 0+x x,f f(x x0 0+x x)直线直线 ABAB 是是曲线曲线 的割线，它的割线，它 的倾斜角记的倾斜角记 作作 由图由图 中的中的R Rt t ACBACB，可知割线，可知割线 ABAB 的斜率的斜率yfxtantan=CBACx0 x fx0 xy y(x x0 0 x x+x xB B在数量上，在数量上，它表示当自变量从它表示当自变量从 x xf f变到变到时函时函+x x T T数数 f f(x x)f f(A A C Cx xx x关于变量关于变量 x x 的平均变化率的平均变化率(增长率或减小率增长率或减小率)0 0O O x xx x+x x现在让点现在让点 B B 沿着曲线沿着曲线 L L 趋向于点趋向于点 A A，此时，此时 x x0 0，过点过点A A的割线的割线ABAB如果也能趋向于一个极限位置如果也能趋向于一个极限位置直线直线 ATAT，我们就称我们就称 L L 在点在点 A A 处存在切线处存在切线 ATAT 记记ATAT的倾斜角为的倾斜角为，则，则 为为 的极限，若的极限，若 9090，得切，得切线线 ATAT的斜率为的斜率为f(xytantan=limtantan=lim limxx0 x0 x00 x)f(x0)x在数量上，它表示函数在数量上，它表示函数 f f(x x)在在 x x 处的变化率处的变化率上述两个实例，虽然表达问题的函数形式上述两个实例，虽然表达问题的函数形式y y=f f(x x)和自变量和自变量 x x 具体内容不同，具体内容不同，但本质都是但本质都是要求函数要求函数 y y 关于自变量关于自变量 x x 在某一点在某一点 x x 处的变处的变严谨严谨规范规范求真求真铸魂铸魂化率化率1.1.自变量自变量 x x 作微小变化作微小变化 x x，求出函数在自，求出函数在自y，变量这个段内的平均变化率变量这个段内的平均变化率y=作为点作为点 x x 处变处变x化率的近似；化率的近似；y，若它存在，这，若它存在，这2.2.对对y求求 x x0 0 的极限的极限limxx0个极限即为点个极限即为点 x x 处变化率的的精确值处变化率的的精确值二、导数的定义二、导数的定义1.1.函数在一点处可导的概念函数在一点处可导的概念定义定义设函数设函数 y y=f f(x x)在在 x x0 0的某个邻域内有的某个邻域内有定义对应于自变量定义对应于自变量 x x 在在 x x0 0处有改变量处有改变量 x x，函，函数数 y y=f f(x x)相应的改变量为相应的改变量为 y y=f f(x x0 0+x x)-)-f f(x x0 0)，若若这两个改变量的比这两个改变量的比yfx x fxxx00当当 x x0 0 时存在极限，时存在极限，我们就称函数我们就称函数 y y=f f(x x)在点在点x x0 0处可导，并把这一极限称为函数处可导，并把这一极限称为函数 y y=f f(x x)在点在点dyx x0 0处的导数处的导数(或变化率或变化率)，记作记作y|或或 f f(x x0 0)或或dxxx0 xx0(x)或或dfdxxx0即即y|xx0(2-1)(2-1)=f f(x x0 0)=)=f(x0 x)f(x0)y limx0 xx0 xlim严谨严谨规范规范求真求真铸魂铸魂y表示函数表示函数 y y=f f(x x)在在 x x 到到 x x+x x 之间之间比值比值0 00 0 x的平均变化率，导数的平均变化率，导数y|则表示了函数在点则表示了函数在点 x x0 0 xx0处的变化率，它反映了函数处的变化率，它反映了函数 y y=f f(x x)在点在点 x x0 0处的处的变化的快慢变化的快慢y的极限不存在，的极限不存在，如果当如果当 x x0 0 时时我们就称我们就称x函数函数 y y=f f(x x)在点在点 x x0 0处不可导或导数不存在处不可导或导数不存在在定义中，若设在定义中，若设 x x=x x0 0+x x，则，则(2-1)(2-1)可写成可写成f f(x x0 0)=)=(2-2)(2-2)根据导数的定义，求函数根据导数的定义，求函数 y y=f f(x x)在点在点 x x0 0处的处的导数的步骤如下：导数的步骤如下：第一步第一步求函数的改变量求函数的改变量 y y=f f(x x0 0+x x)-)-f f(x x0 0)；yf(x第二步第二步求比值求比值x0 xx0limfx fx0 x x0 x)f(x0)x；y第三步第三步求极限求极限 f f(x x0 0)=)=limxx0例例 1 1求求 y y=f f(x x)=)=x x2 2在点在点 x x=2=2 处的导数处的导数解解 y y=f f(2+(2+x x)-)-f f(2)=(2+(2)=(2+x x)2 2-2-22 2=4=4 x x+(+(x x)2 2；y4x x2xx=4+=4+x x；yx0 xlim=lim(4+(4+x x)=4)=4x0所以所以 y y|x x=2=2=4=4严谨严谨规范规范求真求真铸魂铸魂当当limx0fx0 x fx0 x存在时，称其极限值为函数存在时，称其极限值为函数0y y=f f(x x)在在点点 x x0 0处处的的左左导导数数，记记作作f(x)；当当x0limfx0 x fx0 x存在时，称其极限值为函数存在时，称其极限值为函数 y y=f f(x x)0在点在点 x x0 0处的右导数，记作处的右导数，记作f(x)据极限与左、右极限之间的关系据极限与左、右极限之间的关系f f(x x0 0)存存 在在f(x0)f(x0),f(x0)，且且=f(x)=f f(x x0 0)02.2.导函数的概念导函数的概念如果函数如果函数 y y=f f(x x)在开区间在开区间(a a,b b)内每一点处内每一点处都可导，就称函数都可导，就称函数y y=f f(x x)在开区间在开区间(a a,b b)内可内可导这时，对开区间导这时，对开区间(a a,b b)内每一个确定的值内每一个确定的值 x x0 0都有对应着一个确定的导数都有对应着一个确定的导数 f f(x x0 0)，这样就在开，这样就在开区间区间(a a,b b)内，构成一个新的函数，我们把这一内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为新的函数称为 f f(x x)的导函数，记作等的导函数，记作等 f f(x x)或或 y y 等等根据导数定义，就可得出导函数根据导数定义，就可得出导函数f f(x x)=)=y y=(2-3)(2-3)导函数也简称为导数导函数也简称为导数注意注意（）（）f f(x x)是是 x x 的函数，而的函数，而 f f(x x0 0)是一是一yfx x fx limx0 xx0 xlim严谨严谨规范规范求真求真铸魂铸魂个数值个数值（）（）f f(x x)在点处的导数在点处的导数 f f(x x0 0)就是就是导函数导函数 f f(x x)在点在点 x x0 0处的函数值处的函数值例例 2 2求求 y y=C C(C C 为常数为常数)的导数的导数解解因因 为为 y y=C C-C C=0=0，y y=limx0y0 xx=0=0，所所 以以yx=0=0即即(C C)=0=0 常数的导数恒等于零）常数的导数恒等于零）例例 3 3求求 y y=x xn n(n n N N,x x R R)的导数的导数解解yx2n因因为为 y y=(=(x x+x x)n n-x xn n=nxnxn n-1-1 x x+Cx xn n-2-2(x x)2 2+.+(+.+(x x)n n，=nxnxn n-1-1+Cx xn n-2-2 x x+.+(+.+(x x)n n-1-1，2n从从 而而 有有2ny y=x0limyx=x0lim nxnxn n-1-1+Cx xn n-2-2 x x+.+(+.+(x x)n-1n-1=nxnxn n-1-1即即(x xn n)=nxnxn n-1-1可以证明，可以证明，一般的幂函数一般的幂函数 y y=x x,(,(R,R,x x0)0)的导数为的导数为(x x)=x x-1-1例如例如(x)=(=(x)=1x2121212 x1；(x)=(=(x x-1-1)=-=-x x-2-2=-=-x12例例 4 4求求 y y=sin=sinx x,(,(x x R R)的导数的导数严谨严谨规范规范求真求真铸魂铸魂解解yxlimx)sinx=sin(x，在，在1-71-7 中已经求得中已经求得xx0yx=cos=cosx x，即即(sin(sinx x)=cos=cosx x用类似的方法可以求得用类似的方法可以求得 y y=cos=cosx x,(x x R R)的导的导数为数为(cos(cosx x)=-sin=-sinx x例例 5 5求求 y y=log=loga ax x 的导数的导数(a a0,0,a a 1,1,x x0)0)解解对对 a a=e=e、y y=ln=lnx x 的情况，在的情况，在1-71-7 中已中已经求得为经求得为1(ln(lnx x)=xlnx对一般的对一般的 a a，只要先用换底公式得只要先用换底公式得 y y=log=loga ax x=ln，a以下与以下与1-71-7 完全相同推导，可得完全相同推导，可得1(log(loga ax x)=x lna三、导数的几何意义三、导数的几何意义方程为方程为 y y=f f(x x)的曲线，的曲线，在点在点 A A(x x0 0,f f(x x0 0)处存处存在非垂直切线在非垂直切线 ATAT 的充分必要条件是的充分必要条件是 f f(x x)在在 x x0 0存在导数存在导数 f f(x x0 0)，且，且 ATAT 的斜率的斜率 k k=f f(x x0 0)导数的几何意义函数导数的几何意义函数 y y=f f(x x)在在 x x0 0处的处的导数导数 f f(x x0 0)，是函数图象在点，是函数图象在点(x x0 0,f f(x x0 0)处切线的处切线的严谨严谨规范规范求真求真铸魂铸魂斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为(2-4)(2-4)过切点过切点 A A(x x0 0,f f(x x0 0)且垂直于切线的直线，且垂直于切线的直线，称称为曲线为曲线 y y=f f(x x)在点在点 A A(x x0 0,f f(x x0 0)处的法线，则当处的法线，则当切线非水平切线非水平(即即 f f(x x0 0)0)0)时的法线方程为时的法线方程为y y-f f(x x0 0)=-)=-f(1x)(x x-x x0 0)0y y-f f(x x0 0)=)=f f(x x0 0)()(x x-x x0 0)(2-5)(2-5)1例例 6 6求曲线求曲线 y y=sin=sinx x 在点在点(,)处的切线和处的切线和62法线方程法线方程解解（sinsinx x）=cos=cosx x=23x6x6所求的切线和法线方程为所求的切线和法线方程为y y1=2632(x x)，2 3)法线方程法线方程y y1=(x x326例例 7 7求曲线求曲线 y y=ln=lnx x 平行于直线平行于直线 y y=2=2x x 的切的切线方程线方程解解设切点为设切点为 A A(x x0 0,y y0 0)，则曲线在点，则曲线在点 A A 处处的切线的斜率为的切线的斜率为 y y(x x0 0)，严谨严谨规范规范求真求真铸魂铸魂y y(x x0 0)=(ln)=(lnx x)xx0=x1，00因为切线平行于直线因为切线平行于直线 y y=2=2x x，所以所以x1=2=2，即即 x x0 0=1；2又切点位于曲线上，因而又切点位于曲线上，因而 y y0 0=ln=ln1=-ln2=-ln22故所求的切线方程为故所求的切线方程为y y+ln2=2(+ln2=2(x x-1)，即，即 y y=2=2x x-1-ln2-1-ln22四、可导和连续的关系四、可导和连续的关系如果函数如果函数 y y=f f(x x)在点在点 x x0 0处可导，则存在极处可导，则存在极限限所以所以x0limyxy=f f(x x)+)+(=f f(x x0 0)，则，则lim=0)=0)，0 0 xx0或或 y y=f f(x x0 0)x x+x x(lim=0)=0)，x0 x0lim y y=lim f f(x x0 0)x x+x x=0=0 x0这表明函数这表明函数 y y=f f(x x)在点在点 x x0 0处连续处连续但但 y y=f f(x x)在点在点 x x0 0处连续，处连续，在在 x x0 0处不一定是可处不一定是可导的导的例如：例如：（）（）y y=|=|x x|在在 x x=0=0 处都连续但却不可导处都连续但却不可导y yy y=|x xx xO O严谨严谨规范规范求真求真铸魂铸魂（）（）y y=x在在 x x=0=0 处都连续但却不可导注处都连续但却不可导注3意在点意在点(0,0)(0,0)处还存在切线，只是切线是垂直的处还存在切线，只是切线是垂直的y yy y=1 1 x x-O O1 1-学生思考：学生思考：设函数设函数 f f(x x)=)=x2,x 0 x 1,x 0，讨论函数，讨论函数f f(x x)在在 x x=0=0处的连续性和可导性处的连续性和可导性小结：明确导数就是函数相对于自变量的变小结：明确导数就是函数相对于自变量的变化率。化率。作业：见首页作业：见首页严谨严谨规范规范求真求真铸魂铸魂 4 42 2换元积分法换元积分法教学过程教学过程复习引入复习引入1 1 不定积分的概念；不定积分的概念；2 2 不定积分的基本公式和性质。不定积分的基本公式和性质。新课：一、第一类换元积分法新课：一、第一类换元积分法例例 如如：cos2xdx，积积 分分 基基 本本 公公 式式 中中 只只 有有：cosxdx=sin=sinx x+C C为了应用这个公式，为了应用这个公式，可进行如下可进行如下变换：变换：令令 2 2xx x=cos2xdx cos2x 1d(2)u u211cosudu 22u u=2=2x x 回代回代sinsinu u+C C1sin2sin2x x+C C,21因为因为(1sin2sin2x x+C C)=cos2=cos2x x，所以所以=sin2sin2x x+C Ccosxdx22是正确的是正确的定理定理 1 1设设 f f(u u)具有原函数具有原函数 F F(u u)，(x x)是是严谨严谨规范规范求真求真铸魂铸魂连续函数，那么连续函数，那么f(x)(x)dx=F F (x x)+)+C C证明思路证明思路因为因为 F F(u u)是是 f f(u u)的一个原函数，的一个原函数，所所以以 F F(u u)=)=f f(u u)；由复合函数的微分法得：由复合函数的微分法得：d dF F (x x)=)=F F(u u)(x x)dxdx=f f (x x)(x x)dxdx，所以所以f(x)(x)dx=F F (x x)+)+C C基基本本思思想想：作作变变量量代代换换 u u=(x x),),(d d(x x)=)=(x x)dxdx)，变原积分为，变原积分为f(u)du，利用已知，利用已知 f f(u u)的的原函数是原函数是 F F(u u)得到积分，称为第一类换元积分得到积分，称为第一类换元积分法法例例 1 1求求(ax b)10dx,(,(a a,b b 为常数为常数)1解解因为因为 dxdx=ad d(axax+b b)，所以，所以10(ax b)dx 1(ax b)10d(ax b)a令令axax+b=ub=u1111u10du ua11au u=axax+b b回代回代+C C111a(axax+b b)+C C1111例例 2 2求求lnxxdx1解解因为因为xdxdx=d d(ln(lnx x)，所以，所以严谨严谨规范规范求真求真铸魂铸魂原原 式式=lnxd(lnx)12令令lnlnx x=u uu u=ln=lnx x回代回代1udu 2u u+C C2 2(ln(lnx x)+C C例例 3 3求求xex22 2dx122 2解解 因为因为 xdxxdx=d d(x x)，所以，所以原原 式式=1x2e212令令 x x=u ux2e d(x)22 2u u=x x 回代回代2 212ue duu u+C C=1e e2+C Cxa x22例例 4 4求求dx2 2解解因为因为 xdxxdx=d d(x x)=)=d d(a a-x x)，所以，所以12令令 a a-x x=u u2 212 222 22 2原式原式=12u+C Ca a-x x=u u 回代回代2 22 21a x22d(a2 x2)12+C C1udu=a2 x2x学生思考：学生思考：求求1sindxcos x2第一类换元积分法计算的关键：第一类换元积分法计算的关键：把被积表达把被积表达式凑成两部分，一部分为式凑成两部分，一部分为 d d(x x)，另一部分为，另一部分为(x x)的函数的函数 f f (x x)，且，且 f f(u u)的原函数易于求的原函数易于求得得因此，因此，第一类换元积分法又形象化地被称为第一类换元积分法又形象化地被称为凑微分法凑微分法严谨严谨规范规范求真求真铸魂铸魂常用微分式：常用微分式：dxdx=1d d(axax)；axdxxdx=12d d(x x2 2)；1xdxdx=d d(ln|(ln|x x|)|)1xdxdx=2=2d d(x)；1x2dxdx=d d(1x11 x2dxdx=d d(arctan(arctanx x)；11 x2dxdx=d d(arcsin(arcsinx x)e ex xdxdx=d d(e(ex x)；sin sinxdxxdx=d d(cos(cosx x)coscosxdxxdx=d d(sin(sinx x)；sec sec2 2xdxxdx=d d(tan(tanx x)csccsc2 2xdxxdx=-=-d d(cot(cotx x)；sec secx xtantanxdxxdx=d d(sec(secx x)csccscx xcotcotxdxxdx=d d(csc(cscx x)例例 6 6求求11x2cosxdx；)；严谨严谨规范规范求真求真铸魂铸魂111解解 原式原式=cosxd()sinCxx例例 7 7求求解解 原式原式=1a 1()xa1a x22dx,(,(a a0)0)12dx xxd()arcsinCa1(x)2aa例例 8 8求求a解解 原式原式=1例例 9 9求求a21dx2 x111x1xdx d()arctan()Cx2x2a1(aaaaa21(a)21dx2 x,(,(常数常数 a a 0)0)11111解解 原式原式=21a(a)dx d(a x)d(a x)xa x2aa xa x x =21aln|a|Ca x例例 1010求求tanxdxsin x1解解 原式原式=cosdx d(cosx)=ln|cosln|cosx x|+|+C Cxcosx类似可得：类似可得：cotxdx=ln|sin=ln|sinx x|+|+C C例例 1111求求secxdx1d(sinx)d(sinx)解解原式原式=cos，dx xcos x1sin x22利用例利用例 9 9 的结论得的结论得原原2式式1sinx11sinx=1ln|C ln()+C C=ln|sec=ln|secx x+tan+tanx x|+|+C C21sinx2cosx严谨严谨规范规范求真求真铸魂铸魂类似可得：类似可得：cscxdx=ln|csc=ln|cscx x-cot-cotx x|+|+C C学生思考：学生思考：1 1求求sin2xdx2 2求求sin3xdx 3 3求求cos3x cos2xdx4 4求求1 lnxx lnxdx教师讲评教师讲评小结小结第一类换元积分法关键是凑微分，基第一类换元积分法关键是凑微分，基本的凑微分方法要掌握。本的凑微分方法要掌握。作业作业见首页见首页严谨严谨规范规范求真求真铸魂铸魂高等数学典型教案高等数学典型教案严谨严谨规范规范求真求真铸魂铸魂淮安信息职业技术学院数学教研室淮安信息职业技术学院数学教研室