东南大学计算力学习题及答案汇总(2011版)课件.docx

东南大学计算力学习题及答案汇总(2011版)课件 第三章 1如图所示一三角形钢板，两个结点固定，对第三个结点施以单位水平位移，测出所施加的力，从而得出相应的刚度系数。其他点依此类推，这样测得的刚度系数所组成的刚度矩阵，是否与按照常规三角形单元刚度矩阵计算公式所得结果一样？用这样实测所得的刚度矩阵能否进行有限元分析？为什么？ 解：不一样。单元刚度矩阵中每个元素的物理意义：kij表示单元第j个自由度产生单位位移，其它自由度固定时，第i个自由度产生的节点力。单元刚度矩阵是在单元处于平衡状态的前提下得出的，单元作为分离体看待，作用在它上面的外力（单元力）必是平衡力系，然而研究单元平衡时没有引入约束承受平衡力系作用的无约束单元，其变形是确定，但位移是不能确定的，即单元可发生任意的刚体位移。 不能。因为与有限元中单元与单元之间的约束情况不一样，不能进行有限元分析。 2以位移为基本未知量的有限元法其解具有下限性质，试证明之。 解：系统总位能的离散形式?p?1TT?a?K?a?a?P? 2将求解的方程?K?a?P?带入可得 ?p?11TTTaKa?aKa?a?K?a?U 22在平衡情况下，系统总位能等于负的应变能。在有限元解中，由于假定的近似位移模式一般来说总与精确解有差别 的。 设近似解为?p、U、K、?a?、?K?a?P?，真实解为?p、U、K、?a?、?K?a?P? 且根据最小势能原理，得到的系统的总位能总会比真正的总位能要大，故?p?p则U?U ?a?T?K?a?a?K?a?a?TT?P?a?P? T则近似解的位移总体上小于精确解的位移 解释如下：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度，在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以结点位移表示的有限自由度，引入了更多的约束和限制，使得单元刚度较实际连续体加强了，连续体的整体刚度随之增加，所以有限元解整体上较真实解偏小。 3 请分别阐述单元刚度矩阵和整体刚度矩阵中任一元素的物理意义。 e解：在单刚?K?中，kij表示单元第j个位移产生一单位位移，其它位移为零时，第i个位移方向上引起的节点力。 e在整体刚度中，Kij表示第j个自由度产生一单位位移，其它自由度为零时，第i个自由度上引起的节点力。 1 4 简述虚功原理，且使用虚功原理导出外荷载与节点荷载的等效关系式。 解:虚功原理：变形体中任意满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚 功与内力的虚功之和等于零。 设?q?为外荷载（此处为体力），?p?为节点荷载，?w?为单元内位移场，?为结点位移场 根据虚功原理 eeee?p?w?q?dV eTeeTeVe由于?w?N?故 eVeT?w?q?eTedV?Ve?eTN?q?dV?Tee?eTVT?N?q?dV e则 ?p?eeTVTTNqdV?p?N?q?dV Ve5 试述弹性力学中按位移求解与有限单元法中按位移求解之间的异同点。 解： 物理模型 基本方程 弹性力学 连续体 几何方程 物理方程 平衡微分方程 解法 解答形式 解答精度 解微分方程 用函数表示 精确解 有限单元法 离散化结构 几何方程 物理方程 结点平衡方程 解代数方程 用数值表示 近似解 6 如果三节点三角形单元绕其中某一个节点作小的刚体转动，其转角为?，证明单元内所有的应力均为零。 解：在三角形单元中?D?B? ?bi1?B?0?2A?ci?0cibibj0cj0cjbjbm0cm?yj?ym0?1?cm?0?2A?xj?xmbm?0?xj?xmyj?ymym?yi0?xm?xi0?xm?xiym?yiyi?yj0?xi?xj?xi?xj? yi?yj?0?u?u0?y由于三角形单元绕其中某一个节点作小的刚体转动，各节点的位移可表示为：? v?v?x0?则可知节点位移向量?0,0,?yj,?xj,?ym,?xmT? T 2 ?yi?ym1?0故应变?B?2A?xj?xm?0?xj?xmyi?ymym?yi0?xm?xi0?xm?xiym?yiyi?yj0?xi?xj?0?0?0?0?y1?j?xi?xj?0? ?x2Aj?0?yi?yj?y?m?x?m?由于弹性矩阵?D?为常量矩阵，应变向量?为零向量，故?D?为零向量，即单元内所有的应力为零。 7 二维单元在x,y坐标内平面平移到不同位置，单元刚度矩阵相同吗？在平面内旋转时又怎样？试证明之。 解：二维单元在x,y坐标内平面移到不同位置时，刚度矩阵相同。在平面内旋转时，刚度矩阵也相同。 ?1?brcs?kEhA?brbs?1?crcs刚度矩阵T22c?rbs?rs?Br?D?Bs?hA?4(1?2)?c1?rbs?2brcsc1? rcs?brbs?2?单元平移或旋转时，bi,ci不变，故单元刚度矩阵不变。 8 判断有限元网格离散合理性 a) 对图1(a)所示的有限元网格，评论网格的优劣性，指出模型中的错误，并加以改正。 b) 评论图1(b)的网格划分合理吗?为什么?请加以改正。 图1 解：（a）网格划分不合理。 1）无过渡单元 2）无边界条件 3）夹角区应力集中，应适当加密风格 4）对称结构网格应对称划分 （b）不合理。 1）左部网格应适当加密 2）由于三角形单元会造成局部精度不够，过渡区可采用其它单元划分 3）右部单元的长宽比较大，就进行适当调整。 9 如图2所示，平面三角形构件以x-y坐标系表示的刚度矩阵方程如下： ?10?2.51.832.5?u?x1?Px1?104?1.832.55.0?2.5?v?y1?P?y1?2.54.52.5?2.5? ?2.5?2.5?2.52.5?ux2?Px2?v?y2?Py2? 3 试建立以ux1,uy1,ux2(与图中Px2同向的位移)及Px1,Py1,Px2' 来表示的刚度矩阵方程。 ,?ux1?ux1?ux1?v?y1?vy1?vy1?'解：用坐标变换?T?则?'?T?'? u?x2?ux2cos?ux2?''?vusin?uy2x2x?2?1?0其中?T?0?000100cos?0sin?0?0? ， 0?0?由?K?'?P?K?T?P? ?1?10?2.51.832.5?0?1.832.55.0?2.5?0?K?T?2.54.52.5?2.5?2.5?2.5?2.52.5?0?10?2.52.964?ux1?Px1?v?P? 104?1.832.52.5?y1?y1?u'?P'?20?x2?0?x2?01000045350?10?2.52.9640?0?2.50?1.832.5? 0?2.54.50.50?2.5?2.5?0.50?0? 10 某平面结构采用四节点矩形单元和三节点三角形单元建立有限元计算模型，其如图3所示。试求结点2的等效荷载列阵 ?R2?。 2号节点有关 荷载作用于1?2边上，故等效节点力只与1、解：单元， 形函数N1?,N2?(1?)，在?1边上， ?N1?N?1,2?1 ?N?N?N?N?x?y?x?y?l1?02?l,?m1?m2?0则ds?()2?()2d?ld? ?线性分布面力?q?0? ?q?12?d?0则P1y?N1qyds?qll?ql 3 4 单元， ?0?ss?形函数N1?1?,N2?,N3?0 在1-2边上，?qs?s? llq?l?sl0?000?s00?l?T?s0?1?lT?FS?N?qS?ds?sll?01?l?ql?10?02?323?00?T?0?s?ds?q?l? ?0?R2?ql?2?故节点2的等效荷载列阵?3? 11 试求如图4所示的有限元网格的整体刚度矩阵，假设每个节点的自由度数为1，且设K表示第e个单元的单元 e刚度矩阵（注意：结果应该用kij表示）。 e 图5 (1)?k11?(1)k?21(1)?k41?(1)?k51(3)?k55?(3)?k75(3)?k85? (1)k12(1)k22(1)k42(1)k52(3)k57(3)k77(3)k87(1)k14(1)k24(1)k44(1)k54解：单元刚度矩阵?K?(1)(1)(2)?k22k15?(2)(1)?k25(2)?，?K?k32(1)?(2)?k52k45?(2)(1)?k55?k62(4)k56(4)k66(4)k86(2)k23(2)k33(2)k63(2)k53(2)k26(2)k36(2)k66(2)k56(2)?k25(2)?k35? (2)?k65(2)?k55?K?(3)(3)(4)?k55k58(4)?(4)(3)?k78K?，?k65(3)?(4)?k85k88?(4)?k58(4)?k68? (4)?k88? 5 (1)?k11?(1)?k21?0?(1)k整体刚度矩阵：?K?41?k(1)?51?0?0?0(1)k12(1)(2)k22?k22(2)k32(1)k42(1)(2)k52?k52(2)k620(2)k23(2)k33(1)k14(1)k24(1)k15(1)(2)k25?k25(2)k35(1)k45(1)(2)(3)(4)k55?k55?k55?k55(2)(4)k65?k65(3)k75(3)(4)k85?k850(2)k26(2)k360000(3)k570(1)k44(1)k540(2)k53(2)k630(2)(4)k56?k56(2)(4)k66?k660000(3)k77(3)k8700000(4)k86?0?0?0? (3)(4)?k58?k58?(4)k68?(3)?k78?(3)(4)k88?k88?0 12 图5中两个三角形单元组成平行四边形，已知单元按局部编码i,j,m的单元刚度矩阵K和应力矩阵S是 K(1)?6?26?80?6?16?6?126?4?030?003?13.59?7.5?3?(1)?0301? ?S?0413.5?3?1.5?对?20?1.5-1.5-0.51.5?9.5?3?称5.5? 按图5示单元的局部编码写出K，S。 解：由图可知m(1)?i(2),i(1)?j(2),j(1)?m(2) ?9.5?3?2?6?7.5?3?5.564?3?1.5?80?6?6? 对16?6?12?13.59?称13.5?Kii?则由?KijKjjKim?Kjj?Kjm?Kmm?KjmKmmKij?(2)Kmi?得到K?Kii?S(2)000-30?3?0-1040-3? ?-0.51.520-1.5-1.5?ya13如图6所示8结点矩形单元(每边中点为结点), 3点为坐标原点，a=b=2，单元厚为t。 求该单元的位移函数和形函数和并检验其是否满足收敛性条件。 求在2-6-3边作用均布水平荷载q时的等效结点荷载。 解：(1)位移函数： 251?u?1?2x?3y?4x2?5xy?6y2?7x2y?8xy2 ?2222v?x?y?x?xy?y?xy?xy910111213141516?引入无量纲的局部坐标? 374bq68xxy,? ab6 x1?x3y?y,y2?13 2211故?1?0,?2?,?3?1,?1?0,?2?,?3?1 221111l1?2(?)(?1),l2?4?(?1),l3?2?(?),p1?2(?)(?1),p2?4?(?1),p3?2?(?) 2222则n?3,x2?则n?2时，?1?0,?2?1,?1?0,?2?1 l1?1?,l2?,p1?1?,p2? 则角节点的形函数为 1111N1?4?(?)(?),N2?4?(?)(?)(?1) 22221111N3?4(?)(?1)(?)(?1),N4?4?(?)(?)(?1) 2222边中节点的形函数为 N5?4?(?1),N6?4?(?1)(1?),N7?4?(?1)(1?),N8?4?(?1) 证明收敛性： 位移函数中 ?u?1?2x?3y?4x2?5xy?6y2?7x2y?8xy2 ?2222?v?9?10x?11y?12x?13xy?14y?15xy?16xy?1,?9表示刚体位移，?2,?3和?9,?10表示常应变，故位移函数具有完备性 设相邻单元公共边界上的直线方程是y?b（或x?a），代入位移函数中 ?u?1?3b?6b2?(?2?5b?8b2)x?(?4?7b)x2 ?222?v?9?11b?14b?(?10?13b)?16bx?(?12?15b)x为x（或y）的2次函数，而边界上三点确定的位移函数为也为二次曲线，故单元在公共边界连续， 故位移函数收敛 6，3号节点有关 (2)荷载作用在2?3边上，故等效节点力只与2，1111N2?4?(?)(?)(?1)，N6?4?(?1)(1?)，N3?4(?)(?1)(?)(?1) 2222在?0边上计算 ?Ni ?N?N?N2?4?1,6?4(1?2?),3?4?3 ?Nb?N6?N?x?y?x?y?0,?03?b2?2 ds?()2?()2d?2d? ?2?qt4qt P?tNqds?2qtNd?P?tNqds?2qtNd?qtP?tNqds?2qtNd?3x3x36x6x62x2x2?333s0s0s0 7 111 第四章 1经典梁理论和Timoshenko梁理论有哪些相同点和哪些不同点?基于以上两种理论的梁单元各有何特性？ 解： 相同点 经典梁理论 Kirchhoff假设 Timoshenko梁理论 C1型单元 不同点 弯曲梁单元 截面转动?是挠度w的一阶导数，只有挠度w是独立的 采用Hermite插值 特性 2 写出杆件的应变能计算公式，并给出推导过程。 解：将只考虑轴向变形的杆件划分成n个单元，节点坐标为x0,x1,单元的位移函数u(x)?1?2x （xi?1?x?xi） 用形函数近似位移函数得u(x)?Nie?1(x)ui?1?Nieui，其中Ni?1(x)?eC0型单元 考虑剪切变形影响 挠度w和截面转动?各自独立插值 采用拉格朗日插值 梁很薄时，会造成剪切锁死现象 梁的高度远小于跨度 ,xi,xi?1,xn x?xix?xi?1 ,Nie(x)?xi?1?xixi?xi?1单元的应变?du1?11?uie?B?uie? dxxi?xi?1e单元的应力?E?EBui ?1单元应变能U?2xi?1eK其中?i?xi?1?xiT1eTi?1T1ee?Adx?ui?(?BEABdx)?uie?uie?Ku?i?i? ?22xiTxT?BEABdx?xiEAxi?1?xi?1?1?11? ?3在杆系系统中,除了采用凝聚自由度的方法实现铰接端条件， 还有什么方法可以实现以上条件，并比较这几种方 法的优缺点。 解： 凝聚自由度法 8 优点 缺点 4利用最小势能原理，推导图1所示弹性基础上梁单元方程，其中该梁的势能为： ?p?L02LkfvL12EI(vdx?dx?wvdx 0022w(x) L x k f 图1 解：根据最小势能原理可知?p?0 lll故有?p?(EIv'')?v''dx?kfv?vdx?w?vdx?0 000lll?对第一项分部积分(EIv'')?v''dx?(EIv'')?v'0?(EIv'')'?v'?(EIv'')?v'0?(EIv'')'?v0?(EIv'')''?v 000l?l?ll?则(EIv'')''?kfv?w?vdx?(EIv'')?v'0?(EIv'')'?v0?0 0?ll引入强制边界条件和自然边界条件使(EIv'')?v'0?(EIv'')'?v0?0 由于?v的任意性故控制微分方程为(EIv'')''?kfv?w?0 此梁的位移函数v(x)?N1(x)v1?N2(x)?1?N3(x)v3?N4(x)?4?N?d?，则?v?N?d? heeeell由于物理关系可知v''(x)?B?d?则?v''?B?d? lll由(EIv'')?v''dx?kfv?vdx?w?vdx?0得 000xi?1xi?1xi?1?e?d?(?BEIBdx)?d?d?(?NkNdx)?d?d?(?Nwdx)eTTeTTeeTTfxixixixi?1xi?1(?BTEIBdx?xiTNkfNdx)?d?xiexi?1TNwdx?xi 则梁单元刚度方程为?k?其中?k?EI5 图2所示刚架 exi?1Te?d?e?F? xi?1e?BBdx?kfxi?NNdx ?F?Txiexi?1TNwdx ?xi9 1) 如何进行节点编号使整体刚度矩阵K的带宽最小？ 2) 刚架的整体刚度矩阵中a节点的总刚度矩阵Kaa和的总刚度矩阵Kbc各由哪些单元的哪些分块矩阵叠加组成 （自行确定单元局部坐标方向） 3) 试按照二维等带宽存储和一维变带宽存储方式确定Kaa中对角元素的在相应存储数组中的位置。 图2 有铰点的刚架 解：1）考虑每个节点有两个自由度 由于半带宽d=（相邻结点码的最大差值+1）*2 故节点编号如图所示可使单元内节点编码相差3，使得带宽d=8 2）K(2)?K(3)(4)(5)(6)aa?K2222?K11?K11 Kbc?K12 3）考虑单元节点1自由度的凝聚 可知Kaa中对角线元素在原整体刚度矩阵中第6行第7列和第7行第8列 则用二维等带宽存储后在矩阵中的第6行第2列和第7行第2列 用一维变带宽存储后在Kaa中对角线元素在数组中的位置为9和10 ?K(1)?11K(1)12000000?K(1)K(1)K(2)?2122?K(2)110120000?00K(3)11K(3)120000?K(2)?0K(2)(3)22?K(3)22?21K21K(4)?K(4)(5)120K(5)12011?K11?000K(4)(4)?21K22?K(6)1100K(6)12?00000K(7)?11K(7)120?(5)?000K(5)(7)K22?K(7)22?210K21K(8)?K(8)12?11?K(9)11?0000K(6)K(8)(6)21021K22?K(8)(10)22?K11?00000000?000000K(9)210?0000000K(10)21 10 0000000000000000K(11)11K(11)12K(11)(9)(11)21K22?K22?K(12)110K(12)210?0?0?0?0?0?0?K(10)12?0?K(12)?12?K(10)(12) 22?K?22? 第五章 1根据以下形函数表达式 113323(2x?3xL?L)N?(xL?2x2L2?xL3)233LL 11N3?3(?2x3?3x2L)N4?3(x3L?x2L2)LLN1?画出形函数N1和N3以及导数(dN2/dx)和(dN4/dx),它们代表梁单元整个长度上形状变化。 2、对于图1中给出的四节点二次应变一维等参单元，试确定： a) 形函数N1，N2,N3，N4； b) 单元刚度矩阵k。 图1 解：（a）由拉格朗日插值函数可知 111(?)(?)(?1)(?1)(?)(?1)2141222N1?(?2?)(1?)，N2?(?2?1)(?) 11111142(?1?)(?1?)(?1?1)3(?1)(?)(?1)3222222111(?1)(?)(?1)(?1)(?)(?)41222?2(?2?1)(?1) N3?(?2?1)(?)， N4?1111113234(?1)(?)(?1)(1?1)(1?)(1?)22222211T（b）一维问题中，单元刚度矩阵k?BDBJd?EBTBJd? ?1?1?N?N11?N?N441?(8?12?2?1)，2?(3?2?1)，3?(3?2?1)，4?(8?12?2?1) ?6?3?3?6?x1?N1?N2?N3?N4?x2?4J?,? ?x3?3?x4?1?2(8?12?1)?6?4?(3?2?1)?1?3?142k?E?(8?12?1)3?1?46(3?2?1)?3?1?2?(8?12?1)?6? 4(3?2?1)34(3?2?1)31?(8?12?2?1)?d? 6?11 3试利用变节点数法构造插值函数的，构造出图2所示的三次三角形单元的形函数及相应的位移函数。 14951028367 图2 解：位移函数： ?u?1?2x?3y?4x2?5xy?6y2?7x3?8x2y?9xy2?10y3 ?223223?v?11?12x?13y?14x?15xy?16y?17x?18xy?19xy?20y?L,N?L,N?L （1）构造不考虑边节点和内部节点的角节点的插值函数：N112233（2）构造不考虑内部节点的边节点的插值函数： ?27LL(2?L)，N?27LL(2?L)，N?27LL(2?L) N412251216233232323?27LL(2?L)，N?27LL(2?L)，N?27LL(2?L) N723281319133232323L1L2L3（3）内部节点插值函数：N10?27L1L2L3 111(?0)(?0)(?0)333（4）修正边中点的插值函数： ?1N?27LL(2?L)?27LLL?9LL(3L?1) N4?N41012212312122322?1N?9LL(3L?1)，N?N?1N?9LL(3L?1) 同理得N5?N51012266102322222?1N?9LL(3L?1)，N?N?1N?9LL(3L?1) N7?N71023388101332222?1N?9LL(3L?1) N9?N91013122（4）修正角节点的插值函数： ?2(N?N)?1(N?N)?1NN1?N14958103332991991?L1?L1L2(3L1?1)?L1L3(3L1?1)?L1L2(3L2?1)?L1L3(3L3?1)?27L1L2L3 32232231?(3L1?1)(3L1?2)L12?2(N?N)?1(N?N)?1NN2?N25647103332991991?L2?L1L2(3L2?1)?L2L3(3L2?1)?L1L2(3L1?1)?L2L3(3L3?1)?27L1L2L3 32232231?(3L2?1)(3L2?2)L22 12 ?2(N?N)?1(N?N)?1NN3?N37869103332991991?L3?L2L3(3L3?1)?L1L3(3L3?1)?L2L3(3L2?1)?L1L3(3L1?1)?27L1L2L3 32232231?(3L3?1)(3L3?2)L324试构造如图3所示的15结点三棱柱体单元的插值函数，并判断其构造的位移函数是否收敛。 解：（1）不考虑边中点构造三角形角节点的插值函数： ?L?1?1L(?1)，N?L?1?1L(?1) N1112221?121?12?L?1?1L(?1)，N?L?1?1L(1?) N3334111?12?1?12?L?1?1L(1?)，N?L?1?1L(1?) N522633?1?12?1?12（2）构造三角形边中点的插值函数： L1L2?1?2L1L2(?1)11(?0)(?0)1?122L2L3?1N11?2L2L3(?1)111?1(?0)(?0)22L1L3?1N12?2L1L3(?1)11(?0)(?0)1?122L1L2?1N13?2L1L2(1?) 11?1?1(?0)(?0)22L2L3?1N14?2L2L3(1?)11(?0)(?0)?1?122L1L3?1N15?2L1L3(1?) 11?1?1(?0)(?0)22N10?（3）构造四边形边中点的插值函数： ， ， N7?L1(?1)(?1)(?1)(?1)(?1)(?1)?L1(1?2)，N8?L2?L2(1?2)，N9?L3?L3(1?2) (0?1)(0?1)(0?1)(0?1)(0?1)(0?1)（4）修正角节点的插值函数： ?1(N?N)?1N?1L(?1)?12LL(?1)?2LL(?1)?1L(1?2)N1?N11012711213122222 1?L1(?1)(?2L2?2L3)2 13 ?1(N?N)?1N?1L(?1)?12LL(?1)?2LL(?1)?1L(1?2)N2?N21011821223222222 1?L2(?1)(?2L1?2L3)2?1(N?N)?1N?1L(?1)?12LL(?1)?2LL(?1)?1L(1?2)N3?N31112932313322222 1?L3(?1)(?2L1?2L2)2?1(N?N)?1N?1L(1?)?12LL(1?)?2LL(1?)?1L(1?2)N4?N41315711213122222 1?L1(?1)(?2L2?2L3)2?1(N?N)?1N?1L(1?)?12LL(1?)?2LL(1?)?1L(1?2)N5?N51314821223222222 1?L2(?1)(?2L1?2L3)2?1(N?N)?1N?1L(1?)?12LL(1?)?2LL(1?)?1L(1?2)N6?N61415932313322222 1?L3(?1)(?2L1?2L2)2 14 第六章 1 等参元的收敛性证明。 证明： （1）协调性：考察单元之间的公共边，为了保证协调性，相邻单元在这些公共边（或面）上应有完全相同的结点， 同时每一单元沿这些边的坐标和未知函数应采用相同的插值函数加以确定。 （2）完备性： 三维等参元中x?Nx，y?Ny， z?Nz iiiiiii?1i?1i?1nnn有限元中，将场函数离散为各个单元局部场函数的集合体?单元内场函数为?i?a?bxi?cyi?dzi 则?n?N? iii?1n?N?N(a?bx?cy?dz)?a?Niiiiiii?1i?1i?1innni?b?Nixi?c?Niyi?d?Nizi?a?Ni?bx?cy?dz i?1i?1i?1i?1nnnn当 ?Ni?1?1时，表明单元能够表示线性变化的场函数，满足了完备性的要求。 2 等参元的优点是什么？ 解：1）等参单元为协调元，满足有限元解收敛的充要条件 2）将不规则单元转换为规则母单元后，容易构造位移函数和形函数 3）当单元边界呈二次以上的曲线时，容易用很少的单元去逼近曲线边界 3 什么是位移的零能模式，在什么条件下会发生？如何检验它是否存在和如何防止它的出现。 解：（1）由于采用减缩积分方案导致其应变能为零，而自身有别于刚体运动的位移模式称为位移的零能模式。 （2）通过检查K的非奇异性条件是否得到满足来验证是否存在零能模式。 （3）高斯积分点提供应变分量的数目M?ng?d大于系统独立自由度数目N，是保证系统刚度矩阵K非奇异性 的必要条件。系统不出现对应于除刚体运动以外位移模式的零特征值，是保证系统刚度矩阵K非奇异性的充分条件。 4 请阐说减缩积分概念,并分析其优缺点. 解:在数值积分中，能够保证不降低收敛速度的条件下求解各种条件有限元问题的最小阶次，比精确积分低阶的积分可称为减缩积分。 一维问题刚度矩阵的积分中，如果插值函数N中的多项式阶数为P，微分算子L中的导数的阶次是m，则有限元得到的被积函数是2(p?m)次多项式。为了保证原积分的精度，选择高斯积分的阶次n?p?m?1，可精确积分至2(p?m)?1次多项式，可达到精确积分刚度矩阵的要求。在二维单元和三维单元中仍按n?p?m?1来确定积分阶次，即高斯积分阶数低于被积函数所有项次精确积分所需要阶数的积分方案，称为减缩积分。 15 优缺点： （1）精确积分是由插值函数中非完全项的最高方次所要求，而决定有限元精度的通常是完全多项式的方次。这些非完全的最高方次项往往不能提高精度，反而带来不好影响。取较低阶的高斯积分，使积分精度正好保证完全多项式方次的要求，而不包括更高次的非完全多项式的要求，在一定情况下改善了单元的精度。 （2）在最小位能原理基础上建立的位移有限元，位移解具有下限性质。有限元的计算模型具有较实际结构偏大的整体刚度。选取减缩积分方案使有限元计算模型的刚度有所降低，有助于提高计算精度。 （3）采用减缩积分可能使系统刚度矩阵K奇异，出现有别于刚体运动的位移零能模式。 5 如需要对二维三次Serendipity单元进行精确积分，试讨论所需的Gauss积分的阶次（假定J为常数）。 解：插值函数N中的多项式阶数为4，微分算子L中的导数的阶次是1 被积函数是非完全次项的最高次为6次多项式，完全项的最高次为4次多项式 6?1?3.5故积分点数目为4?4 2若为减缩积分，需要高斯积分点n?4?1?1?3故积分点数目为3?3 若为精确积分，需要高斯积分点n? 6 求图1所示单元的节点等效荷载； 图1 解：N1?(1?)(1?),N4?(1?) 在?0上 ?N1?N?1,4?1 ?则 ?N?N?N?N?x?y?01?34?3,?01?44?4 ?ds?(?x2?y2)?()d?5d? ?qx?ds ?qy?T0?e?q? ?P?N?500(1?)?s12P?Nqds?2500(1?)d?1y?1y?s02500 3 16 1P4y?N4qyds?2500?(1?)d?s02500 6 7如图2所示12节点正方形单元，求其Jacobi行列式J; 图2 解：求形函数： （1） 构造角节点形函数： ?1(2?)(2?),N?1?(2?),N?1?,N?1?(2?) N12344444（2） 构造边节点的形函数： N5?(?b)(?2)(2?)2a(a?b)(a?2),N6?(?a)(?2)(2?)2b(b?a)(b?2)，N11?，N9?(?b)(?2)2a(a?b)(a?2),N10?(?a)(?2)2b(b?a)(b?2) N7?(?b)(?2)2a(a?b)(a?2),N8?(?a)(?2)2b(b?a)(b?2)?(?b)(?2)(2?)2a(a?b)(a?2),N12?(?a)(?2)(2?)2b(b?a)(b?2)