高中数学圆锥曲线和导数知识点总结.pdf
圆锥曲线方程圆锥曲线方程知识要点知识要点一、椭圆方程及其性质一、椭圆方程及其性质.PF1 PF2 2a F1F2方程为椭圆,1.椭圆的第一定义：PF1 PF2 2a F1F2无轨迹,PF1 PF2 2a F1F2以F1,F2为端点的线段椭圆的第二定义：PF e，PF点 P 到定点 F 的距离,d 为点 P 到直线 l 的距离d其中 F 为椭圆焦点，l 为椭圆准线椭圆方程图形特征x2y22 1(a b 0)a2bB2yM(x0,y0)y2x22 1(a b 0)a2byF2A2MB2A1A1F1OB1F2A2xB1OxF1范围|x|a,|y|b(a,0),(0,b)|x|b,|y|a(b,0),(0,a)(0,c)y a2c几几何何性性质质顶点焦点准线对称性长短轴离心率焦半径(c,0)a2x c关 于 x轴、y轴、原 点 对 称关 于 x轴、y轴、原 点 对 称长轴长|A A|2a,短轴长|B1B2|2b12长轴长|A A|2a,短轴长|B1B2|2b12e c(0 e 1)ae c(0 e 1)a|MF1|a ex0,|MF2|a ex0|MF1|a ey0,|MF2|a ey0椭圆的标准方程：要详细讲）.x2a2y2b2x acos（0）（现在了解，后面选修 4-41的参数方程为2y bsin2b2通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为a22b设椭圆：xy1上弦 AB 的中点为 M(x0,y0),则斜率 kAB=2aa2b22y2x2x0,对椭圆：221,则aby0a2x02kAB=2弦长AB 1kab y0若 P 是椭圆：x2a2y2b21上的点.F1,F2为焦点，若F1PF2，则PF1F2的面积为b2tan2（可b2用余弦定理与PF1 PF2 2a推导）.若是双曲线，则面积为.tan二、双曲线方程及其性质二、双曲线方程及其性质.PF1 PF2 2a F1F2方程为双曲线1.双曲线的第一定义：PF1 PF2 2a F1F2无轨迹PF1 PF2 2a F1F2以F1,F2的一个端点的一条射线双曲线的第二定义：PF e，PF点 P 到定点 F 的距离,d 为点 P 到直线 l 的距离d其中 F 为双曲线的焦点，l 为双曲线的准线2.双曲线的简单几何性质：标准方程图象x2y221（a 0,b 0）2aby2x221（a 0,b 0）2aba,b,c关系范围顶点对称性渐近线离心率焦点准线a2b2 c2|x|a,yR|y|a,xR(a,0)(0,a)关于x,y轴成轴对称、关于原点成中心对称bay xy xabce(1)aF(c,0)F(0,c)a2x ca2y cx,离心率 e2.等轴双曲线：x2-y2a2(a0),它的渐近线方程为 y注：双曲线标准方程：x22ababx asecx btan参数方程：或.（现在了解，后面选修4-4 要详细讲）y btany asecy221(a,b 0),y22x221(a,b 0).2b2通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为a焦半径：对于双曲线方程x2a2y2b2“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）y1（F1,F2分别为双曲线的左、右焦点或上、下焦点）yF1MMF1 ex0aMF2 ex0a构成满足MF1 MF2 2aMF1 ex0aMF2 ex0aF1MMxF2MF2xx2y2y2x2b2x0设双曲线221：上弦 AB 的中点为 M(x0,y0),则斜率 kAB=2,对双曲线：221,则ababa y0a2x02kAB=2弦长AB 1kab y0 x2y2x2y2常设与221渐近线相同的双曲线方程为22；abab常设渐近线方程为mxny 0的双曲线方程为m x n y 例如：若双曲线一条渐近线为y 11x且过p(3,)，求双曲线的方程？22F12222y4321F2x从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b直线与双曲线的位置关系：将直线方程代入双曲线方程得到一元二次方程，讨论方程二次项系数和三、抛物线方程及其性质三、抛物线方程及其性质.5 33抛物线的定义：PF d，PF为点 P 到定点 F 的距离,d 为点 P 到直线 l 的距离其中 F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线设p0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：图形y2 2pxy2 2pxx2 2 pyyx2 2pyyyyxOxOxOxO焦点准线范围对称轴顶点离心率焦半径PF px12PF p x12F(p,0)2F(0,p)2F(0,p)2pF(,0)2p2x 0,yRx p2x 0,yRx x轴p2xR,y 0y p2xR,y 0y y轴（0，0）e 1PF py12PF p y12注：抛物线通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的.x 2pt2x 2pty 2px（或x 2py）的参数方程为（或）（t为参数）.（现在了解，2y 2pty 2pt22后面选修 4-4 要详细讲）4.抛物线的焦半径、焦点弦.（抛物线中常用结论和方法）如图所示，抛物线方程为y22px(p0)(1)焦半径p设 A 点在准线上的射影为 A1，设 A(x1，y1)，准线方程为 x，由抛物线定义|AF|AA1|x12p2.抛物线上任意任意一条弦的弦长为1k2a(2)关于抛物线焦点弦的几个结论设 AB 为过抛物线 y22px(p0)焦点的弦，A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB 中点为M(x0,y0)，直线AB2pp2的倾斜角为，则x1x2，y1y2p2，x1 x2时，有x1 x2 p24kpp2p2p|AB|2x1x2p=2p2(x1 x2)，kAB，SAOBsin y02sink以 AB 为直径的圆与准线相切；焦点 F 对 A、B 在准线上射影的张角为90；112.|FA|FB|p四、圆锥曲线的统一定义四、圆锥曲线的统一定义.4.圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹.当0 e 1时，轨迹为椭圆；当e 1时，轨迹为抛物线；当e 1时，轨迹为双曲线；当e 0时，轨迹c为圆（e，当c 0,a b时）.a5.圆锥曲线方程具有对称性.例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD,即证 AD 与 BC 的中点重合即可.注：注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质定义椭圆双曲线抛物线1 到两定点 F1,F2的距离之和为定1到两定点F1,F2的距离之差的值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹绝对值为定值 2a(02a|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.（0e1）2与定点和直线的距离相等的点的轨迹.y2=2pxx2y221(a b0)2abx2y221(a0,b0)2abx acosy bsin(参数为离心角）axa，byb原点 O（0，0）x asecy btan(参数为离心角）|x|a，yR原点 O（0，0）x 2pt2y 2pt(t 为参数)x0顶点对称轴焦点焦距离心率准线(a,0),(a,0),(0,b),(0,b)x 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长 2bF1(c,0),F2(c,0)2c（c=a2b2）(a,0),(a,0)x 轴，y 轴;实轴长 2a,虚轴长 2b.F1(c,0),F2(c,0)2c（c=a2b2）(0,0)x 轴pF(,0)2e=1e c(0 e 1)ae c(e 1)aa2x=ca2x=cy=x p2渐近线焦半径通径bxar aex2b2ar (ex a)2b2ar x 2pp2导数的基础知识导数的基础知识一导数的定义：一导数的定义：1.(1).函数y f(x)在x x0处的导数:f(x0)y|xx0 limf(x0 x)f(x0)x0 xf(xx)f(x)(2).函数y f(x)的导数:f(x)y limx0 x2.利用定义求导数的步骤：求函数的增量：y f(x0 x)f(x0)；求平均变化率：取极限得导数：f(x0)lim（下面内容必记）（下面内容必记）yf(x0 x)f(x0)；xxyx0 x二、导数的运算：二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：C 0(C为常数)；(x)nxnn1mn11nnmnn1；(n)(x)nx；(x)(x)xnxxxxxmm(sin x)cosx；(cosx)sin x(e)e(a)a lna(a 0,且a 1)；(ln x)11(a 0,且a 1)；(logax)xxlna法则 1：f(x)g(x)f(x)g(x)；(口诀：和差的导数等于导数的和差).法则 2：f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(口诀：左导右不导+左不导右导)法则 3：f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)g(x)g(x)2(口诀：(上导下不导-上不导下导)下平方)（2）复合函数y f(g(x)的导数求法：(理科必须掌握理科必须掌握)换元，令u g(x)，则y f(u)分别求导再相乘yg(x)f(u)回代u g(x)题型一、导数定义的理解题型一、导数定义的理解题型二：导数运算题型二：导数运算1、已知fx x22xsin，则f0fx2、若fxexsinx，则3.f(x)=ax3+3x2+2，A.103B.133f(1)4，则 a=（）C.163D.193三导数的物理意义三导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻t0时的瞬时速度V0就是物体运动规律S ft在t t0时的导数f t0，即有V0 f t0。2.V S(t)表示即时速度。a V(t)表示加速度。四导数的几何意义：四导数的几何意义：函数fx在x0处导数的几何意义，曲线y fx在点P x0,fx0处切线的斜率是k f x0。于是相应的切线方程是：y y0 f x0 xx0。题型三用导数求曲线的切线注意两种情况：（1）曲线y fx在点P x0,fx0处切线：性质：k切线 f x0。相应的切线方程是：y y0 f x0 xx0（2）曲线y fx过点Px0,y0处切线(有可能点有可能点 P P 不在曲线上不在曲线上)：先设切点，切点为切点为Q(a,b),则斜率则斜率 k=k=f(a)，切点切点Q(a,b)在曲线在曲线y fx上，上，切点切点Q(a,b)在切线在切线y y0 f axx0上，上，切点切点Q(a,b)坐标代入方程得关于坐标代入方程得关于 a,ba,b 的方程组，的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率斜率 k=k=f(a)，确定切线方程。例题例题在曲线 y=x+3x+6x-10 的切线中，求斜率最小的切线方程；解析：（1）k y|xx03x02 6x0 6 3(x01)2 3当 x0=-1 时，k 有最小值 3，此时 P 的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为 3x-y-11=032五函数的单调性：设函数五函数的单调性：设函数y f(x)在某个区间内可导，在某个区间内可导，（1）f(x)0 f(x)该区间内为增函数；（2）f(x)0f(x)该区间内为减函数；注意：当f(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，f(x)在这个区间上仍是递增（或递减）的。（3）f(x)在该区间内单调递增f(x)0在该区间内恒成立；（4）f(x)在该区间内单调递减f(x)0在该区间内恒成立；题型一、利用导数证明（或判断）函数题型一、利用导数证明（或判断）函数 f(x)(x)在某一区间上单调性：在某一区间上单调性：步骤：（1）求导数y f(x)(2)判断导函数y f(x)在区间上的符号(3)下结论f(x)0 f(x)该区间内为增函数；f(x)0f(x)该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区间题型二、利用导数求单调区间求函数求函数y f(x)单调区间的步骤为单调区间的步骤为：（1）分析y f(x)的定义域；（2）求导数y f(x)（3）解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为减区间题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）思路一.（1）f(x)在该区间内单调递增f(x)0在该区间内恒成立；（2）f(x)在该区间内单调递减f(x)0在该区间内恒成立；思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。注意：若函数 f（x）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则 x=c 两侧使函数f（x）变号，即 x=c 为函数的一个极值点，所以f(c)0例题若函数例题若函数f(x)ln x，若，若a f(3),b f(4),c f(5)则则()()xA.a b cA.a b cB.c b aB.c b aC.c a bC.c a bD.b a cD.b a 0,ex-a0,exa,xlna.f(x)的单调递增区间为(lna,+).（2）f（x）在 R R 内单调递增，f(x)0 在 R R 上恒成立.ex-a0，即 aex在 R R 上恒成立.a（ex）min，又ex0，a0.（3）由题意知，x=0为f(x)的极小值点.f(0)=0,即 e0-a=0,a=1.例例 2.2.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线 y=f(x）在点 x=1 处的切线为 l:3x-y+1=0，若 x=时，y=f(x）有极值.（1）求 a,b,c 的值；（2）求 y=f(x）在-3，1上的最大值和最小值.解解（1）由 f(x)=x3+ax2+bx+c,得f(x)=3x2+2ax+b,当 x=1 时，切线 l 的斜率为 3，可得 2a+b=022当 x=时，y=f(x)有极值，则f=0,可得 4a+3b+4=03233由解得 a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5.（2）由（1）可得 f(x)=x3+2x2-4x+5,f(x)=3x+4x-4,令f(x)=0,得 x=-2,x=.当 x 变化时，y,y的取值及变化如下表：x-3(-3,-2)+单调递增-201322,323223 2,1314yy8-027+单调递增95.27单调递减95y=f（x）在-3，1上的最大值为 13，最小值为例 3.当x 0，证明不等式证明：证明：f(x)ln(x 1)x ln(1 x)x.1 xxx，g(x)ln(x 1)x，则f(x)，21 x(1 x)当x 0时。f(x)在0,内是增函数，f(x)f(0)，即ln(1 x)又g(x)x 0，1 x x，当x 0时，g(x)0，g(x)在0,内是减函数，g(x)g(0)，即1 xx ln(1 x)x成立.ln(1 x)x 0，因此，当x 0时，不等式1 xx点评：点评：由题意构造出两个函数f(x)ln(x 1)，g(x)ln(x 1)x.1 x利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键.32f(x)2x 3ax 3bx8c在x 1及x 2时取得极值例 4 设函数（）求 a、b 的值；2f(x)cx0，3（）若对于任意的，都有成立，求 c 的取值范围2 f(x)6x 6ax3b，解答过程：（）因为函数f(x)在x 1及x 2取得极值，则有f(1)0，f(2)066a3b 0，2412a3b 0即解得a 3，b 432f(x)2x 9x 12x8c，（）由（）可知，f(x)6x218x12 6(x1)(x2)令f(x)0,有6(x1)(x2)0,解得x11,x2 2f(1)58c，f(0)8c，f(2)48c,f(3)98cx0,3时,f(x)max 98c因为对于任意的x0，3222f(x)c，有恒成立，所以f(x)max c，即98c c1)解得c 1或c 9，因此c的取值范围为(，(9，)例 5 设函数f(x)x(e 1)ax（）若a 例 6 已知函数f(x)xln(xa)的最小值为 0，其中a 0（1）求 a 的值；（2）若对任意的x0,)，有f(x)kx成立，求实数 k 的最小值例 7 设函数 f(x)=ex-ax-2()求 f(x)的单调区间；()若 a=1,k 为整数,且当 x0 时,(x-k)f(x)+x+10,求 k 的最大值2x21，求f(x)的单调区间；（）若当x 0时，f(x)0，求 a 的取值范围2
