中考二次函数经典例题之欧阳法创编.pdf
2021.03.09欧阳法创编2021.03.09已知：抛物线 y=-x2+2x+8交 X 轴于 A、B 两点（A 在 B左侧），O 是坐标原点。时间：2021.03.09创作：欧阳法1、动点 P 在 X 轴上方的抛物线上（P 不与 A、B 重合），D 是 OP 中点，BD 延长线交 AP 于 E问：在 P 点运动过程中，PE：PA 是否是定值？是，求出其值；不是，请说明理由。2、在第1问的条件下，是否存在点 P，使PDE 的面积等于1？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。解：1.y=-x2+2x+8=-(x-4)(x+2)所以 OA=2 OB=4自己画图,由面积等于底*高/2.可以知道 PE:EA=SPDE:SADE由于 PD=OD,那么 SPDE=SODE所以 PE:EA=SODE:SADE2021.03.09欧阳法创编2021.03.092021.03.09欧阳法创编2021.03.09由 图 可 知 ODE和 ADE同 底,则SODE:SADE=两三角形高之比 OG:AH显然BAH 和BOG 相似,那么 OG:AH=OB:AB=2:3所以 PE:EA=2:3那么 PE：PA=PE:PE+AE=2:5为定值2.设 P 点为(X,Y)PE：PA=2:5所以 SPDE=(2/5)*SPDASAOP=Y*2/2=YSAOD=Y/2(因为 D 是 OP 中点)所以 SADP=SAOP-SAOD=Y/2则 SPDE=(2/5)*(Y/2)=Y/5当 SPDE=1时 Y=5对应 X=-1或2则 P 点坐标为(-1,5)或(2,5)2.一个横截面为抛物线的隧道底部宽 12米，高6米，如图5车辆双向通行。规定车辆必须在中心线右侧，距道路边缘2米这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于 米的空隙，你能否据这些要求，确定通过隧道车辆的高度限制？2021.03.09欧阳法创编2021.03.092021.03.09欧阳法创编2021.03.09解：先建立直角坐标系设隧道横截面抛物线的解析式为 y=ax 平方+6当 x=6时，y=0，a=1/6解析式是 y=1/6 x 的平方+6当 x=6-2=4时，y=3/10因为顶部与。有1/3的空隙所以只能达到3米（这题是要你看清题目中的条件，函数最重要的就是定义域，一定要准确把握定义域的范围）3.平面直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，点 A、B 的坐标分别为（6，0），（6，8）。动点 M、N 分别从 O、B 同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点 M 沿 OA 向终点 A 运动，点 N 沿 BC 向终点 C 运动。过点 N 作 NPBC，交 AC 于 P，连结MP。已知动点运动了 x 秒。（1）P 点的坐标为（，）；（用含 x 的代数式表示）（2）试求 MPA 面积的最大值，并求此时 x 的值。（3）请你探索：当 x 为何值时，MPA 是一个等腰三角形？2021.03.09欧阳法创编2021.03.092021.03.09欧阳法创编2021.03.09你发现了几种情况？写出你的研究成果。（1）（6x,4/3 x）;(2)设MPA 的面积为 S，在MPA 中，MA=6x，MA 边上的高为 x，其中，0 x6.S=（6x）4/3 x=(x 的平方+6x)=-2/3(x3)的平方+6S 的最大值为6,此时 x=3.(3)延长 NP 交 x 轴于Q，则有 PQOA若 MPPA PQMA MQQAx.3x=6,x=2;若 MPMA，则 MQ62x，PQ=4/3x，PMMA6x在 RtPMQ 中，PM2MQ 方PQ 方(6x)的平方=(62x)的平方+(4/3x)的平方x=108/43若 PAAM，PA 5/3 x，AM6x 5/3x=6x x=9/4综上所述，x=2，或 x=108/43，或 x=9/4。【例1】平时同学们在跳长绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线。如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距离为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距拿绳的甲的手水平距离 1米、2021.03.09欧阳法创编2021.03.092021.03.09欧阳法创编2021.03.092.5米处，绳子甩到最高处时刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是 1.5米，则学生丁的身高为（如图建立的平面坐标系）()（A）1.6米（B）1.625米（C）1.63米（D）1.64米【解】设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，由已知条件知，函数的图像过(-1，1)、(0，1.5)、(3，1)三点，将三点坐标代入，易求得其解析式为因为丁头顶的横坐标为 1.5，代入其解析式可求得其纵坐标为1.625。故丁的身高为1.625米，答案为 B。【例2】（东阳卷）如图，足球场上守门员在 O处开出一高球，球从离地面1米的 A 处飞出（A 在 y轴上），运动员乙在距 O 点6米的 B 处发现球在自己头的正上方达到最高点 M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起。据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半。求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式。足球第一次落地点 C 距守门员多少米？（取）2021.03.09欧阳法创编2021.03.092021.03.09欧阳法创编2021.03.09运动员乙要抢到第二个落点 D，他应再向前跑多少米？（取）【解】再向前跑10米。【例3】（兰州卷）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度 OM 为12米。现以 O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系。直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标；求这条抛物线的解析式；若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB 使 C,D点在抛物线上，A,B 点在地面 OM 上，则这“支撑架”总长的最大值是多少？【解】M(12，0)，P(6，6)。设抛物线解析式为：y=a(x-6)2+6 抛物线 y=a(x-6)2+6经过点(0，0)，0=a(0-6)2+6，即抛物线解析式为：设 A(m,0)，则 B(12-m,0)，“支撑架”总长 AD+DC+CB=此二次函数的图2021.03.09欧阳法创编2021.03.092021.03.09欧阳法创编2021.03.09像开口向下当 m=3米时，有最大值为15米。【例4】（重庆卷）今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格 y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且 y 与周数 x 的变化情况满足二次函数。请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份 y 与 x 的函数关系式，并求出5月份 y 与 x 的函数关系式；若4月份此种蔬菜的进价 m（元/千克）与周数 x 所满足的函数关系为 5月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数 x 所满足的函数关系为试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜1000克的利润最大？且最大利润分别是多少？若5月份的第2周共销售100吨此种蔬菜。从5月份的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供销量将在第2周销量的基础上每周减少a，政府为稳定2021.03.09欧阳法创编2021.03.092021.03.09欧阳法创编2021.03.09蔬菜价格，从外地调运 2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第 2周仅上涨0.8a，若在这一举措下，此种蔬菜在第3周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出 a 的整数值。（参 考数据：3721369，3821444，3921521，4021600，4121681）【解】4月份y 与 x 满足的函数关系式为y=0.2x+1.8，把 x=1,y=2.8和 x=2,y=2.4分别代入：解得 b=-0.25,c=3.1，所以5月份 y 功能 x 满足的函数关系式为 y=-0.05x2-0.25x+3.1。设4月份第 x 周销售此种蔬菜1000克为 W1元，5月份第 x 周销售此种蔬菜1000克的利润为 W2元，W1(0.2x+1.8)-=-0.05x+0.6，-0.05250时，购买一个需3500元，故 y13500 x；所以，y2=500080%x=4000 x。当0 x100时，y1=5000 x5000001400000；当 100 x250 时，y1=6000 x-10 x2=-10(x-300)2+9000001400000；所以，由3500 x=1400000，得 x=400；由4000 x=1400000，得 x=350。故选择甲商家，最多能购买400个路灯。时间：2021.03.09创作：欧阳法2021.03.09欧阳法创编2021.03.09
