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方差和标准差公式方差和标准差公式 标准差方差标准差方差第一篇标准差方差:方差与标准差教学反思一.教学目标 1.经历刻画数据离散程度的探索过程，感受表示数据离散程度的必要性.2.掌握方差和标准差的概念，卉计算方差和标准差，理解它们的统计意义.3.经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别，积累统计经验.二.要点梳理 1.我们知道极差只能反映一组数据中两个 之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感.2.描述一组数据的离散程度可以采取许多方法，在统计中常采用先求这组数据的，再求这组数据与 的差的 的平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动性大小 3.设在一组数据某 1，某 2，某 3，某 4，某 N 中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(某 1-)2，(某 2-)2，(某 3-)2，(某 n-)2,那么我们求它们的平均数，即用 S2=.4.一组数据方差的算术平方根叫做这组数据的。5.方差是描述一组数据 的特征数，可通过比较其大小判断波动的大小，方差 说明数据越稳定，6.为什么要这样定义方差 7.为什么要除以数据的个数 n 8.标准差与方差的区别和联系三.问题探究知识点 1.探究计算数据方差和标准差的必要性例 1.质检部门从 A、B 两厂生产的乒乓球中各抽取了 10 只，对这些乒乓球的直径进行了检测，结果如下(单位：mm)A 厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，第 1页 共 11页39.9，40.0，40.1 B 厂：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9，40.1，39.8，40.2，39.8，40.2思考探索：1、请你算一算它们的平均数和极差 2、根据它们的平均数和极差，你能断定这两个厂生产的乒乓球直径同样标准吗 3、观察根据上面数据绘制成的下图，你能发现哪组数据较稳定吗直径/mm 直径/mm A 厂 B 厂知识点 2.如何计算一组数据的方差和标准差例 2.在一组数据中某 1、某 2、某 3 某 n 中，它们与平均数的差的平方是(某 1-)2,(某 2-)2,(某 3-)2,(某 n-)2.我们用它们的平均数，即用 S2=1N(某 1-)2+(某 2-)2+(某 3-)2+(某 n-)2 来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的.在有些情况下，需要用方差的算术平方根，即 来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差.甲、乙两台机床生产同种零件，10 天出的次品分别是：甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4乙：2、3、1、2、0、2、1、1、2、1分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计算判断哪台机床的性能较好知识点 3.例 3.已知，一组数据某 1,某 2,，某 n 的平均数是 10，方差是 2，数据某 1+3,某 2+3,，某 n+3 的平均数是 方差是，数据 2 某 1,2 某 2,，2 某 n 的平均数是 方差是，数据 2 某 1+3,2 某 2+3,，2 某 n+3 的平均数是 方差是，你能找出数据的变化与平均数、方差的关系吗四.课堂操练第 2页 共 11页 1、一组数据：，0，1 的平均数是 0，则=.方差.2、如果样本方差，那么这个样本的平均数为.样本容量为.3、已知 的平均数 10，方差 3，则 的平均数为，方差为.4、样本方差的作用是()A、估计总体的平均水平 B、表示样本的平均水平 C、表示总体的波动大小 D、表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小 5、小明和小兵 10 次 100m 跑测试的成绩(单位：s)如下：()小明：14.8,15.5,13.9,14.4,14.1,14.7,15.0,14.2,14.9,14.5小兵：14.3,15.1，15.0，13.2，14.2，14.3,13.5,16.1,14.4,14.8如果要从他们两人中选一人参加学校田径运动会，那么应该派谁去参加比赛 6、甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击 10 次，他们的平均成绩均为 7 环，10 次射击的方差分别分别是 3 和 1.2。设问射击成绩较为稳定的是谁五.课外拓展一、填空题 1、随机从甲、乙两块试验田中各抽取 100 株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：，则小麦长势比较整齐的试验田是.2、样本数据 3，6，,4，2 的平均数是 3，则这个样本的方差是.3、数据,，的平均数为，标准差为 5，那么各个数据与 之差的平方和为_.4、已知数据 1，2，3，4，5 的方差为 2，则 11，12，13，14，15 的方差为_，标准差为_。5、已知一组数据-1、某、0、1、-2 的平均数为 0，那么这组数据的方差第 3页 共 11页是。6、若一组数据的方差是 1，则这组数据的标准差是。若另一组数据的标准差是 2，则方差是。7、一组数据的方差是 0，这组数据的特点是;方差能为负数吗二、选择题 8、甲乙两人在相同的条件下各射靶 10 次，他们的环数的方差是 S 甲2=2.4，S 乙 2=3.2，则射击稳定性是()A.甲高 B.乙高 C.两人一样多 D.不能确定 9、若一组数据，的方差是 5，则一组新数据，的方差是()A.5 B.10 C.20 D.50 10.在统计中，样本的标准差可以反映这组数据的()A.平均状态 B.分布规律 C.离散程度 D.数值大小 11、已知甲、乙两组数据的平均数分别是，方差分别是，比较这两组数据，下列说法正确的是()A.甲组数据较好 B.乙组数据较好 C.甲组数据的极差较大 D.乙组数据的波动较小 12、下列说法正确的是()A.两组数据的极差相等，则方差也相等 B.数据的方差越大，说明数据的波动越小 C.数据的标准差越小，说明数据越稳定 D.数据的平均数越大，则数据的方差越大 13、对甲、乙两同学 100 米短跑进行 5 次测试，他们的成绩通过计算得;甲=乙，S2 甲=0.025,S2 乙=0.026,下列说法正确的是()A、甲短跑成绩比乙好 B、乙短跑成绩比甲好 C、甲比乙短跑成绩稳定 D、乙比甲短跑成绩稳定 14、数据 70、71、72、73、74 的标准差是()A、B、2 C、D、三、解答题(每题 10 分，共 30 分)第 4页 共 11页 16、若一组数据,，,的平均数是 2，方差为 9，则数据，的平均数和标准差各是多少 17、在一次投篮比赛中，甲、乙两人共进行五轮比赛，每轮各投 10 个球，他们每轮投中的球数如下表：轮次 一 二 三 四 五甲投中(个)6 8 7 5 9乙投中(个)7 8 6 7 7 (1)甲在五轮比赛中投中球数的平均数是，方差是;(2)乙在五轮比赛中投中球数的平均数是，方差是;(3)通过以上计算，你认为在比赛中甲、乙两人谁的发挥更稳定些第二篇标准差方差:初中数学优质说课稿：数据的波动各位评委、各位老师大家好！今天我说课的课题是八年级下册第五章第 4节数据的波动（第一课时）。现我就教材、教法、学法、教学流序、板书五个方面进行说明。（恳请在座的各位专家、同仁批评指正。）一、说教材：1、本节课的主要内容：探究数据的离散程度及认识“极差”“方差”“标准差”三个量度及其实际意义。主要是运用具体的生活情境，让学生感受到当两组数据的“平均水平”相近时，而实际问题中具体意义却千差万别，因而必须研究数据的波动状况，分析数据的差异，逐步抽象出刻画数据离散程度的“极差”“方差”“标准差”的三个量度，并掌握利用计算器求方差和标准差。2、地位作用：纵观本章的教材安排体系，以数据“收集表示处理评判”的顺序展开。数据的波动是对一组数据变化的趋势进行评判，通过结果评判形成决策的教学，是数据处理解决现实情景问题必不可少的重要环节，是本章学习的最终目的和落脚点。通过本节的学习为处理各种较为复杂的现实情境的数据问题打下基础。3、教学目标：第 5页 共 11页依据课标对本节知识的提出的“探索如何表示一组数据的离散程度，会计算极差和方差，并会用它们表示数据的离散程度”要求，确定以下目标：（1）知识目标：a、掌握刻画数据离散程度的“极差”“方差”“标准差”三个量度。b、会动手和利用计算器计算“方差”“标准差”。（2）过程与方法目标：a、经历感受表示数据离散程度的三个量度的探索过程（“极差”“方差”“标准差）。b、通过数据分析的学习，培养学生探索数学规律的能力（“平均数相同的两组数据，极差越小，波动越小，越稳定”；“一组数据方差越小，波动越小，越稳定”）c、突出关键环节，判断两组数据稳定性就是抓住计算其方差进行比较。d、在具体实例中体会样本估计总体的思想。（3）情感目标：通过解决生活中的数学问题，培养学生认真参与、积极交流的主体意识，通过数据分析，培养学生善于用数学的眼光认识世界，进一步增强学生的数学素养。4、重点与难点：重点：理解刻画数据离散程度的三个量度极差、标准差和方差，会计算方差的数值，并在具体问题情境中加以应用。难点：理解极差、方差的含义及方差的计算公式，并准确运用其解决实际问题。二、说教法教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习，充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这一原则和本节教学目标，我采用如下的教学方法：1、引导发现法。数据分析的三个量度，是十分抽象的概念，要引出三个概念，必须借助学生熟悉的生活情景。我设计了一个连接奥运会中韩射箭运动员的场景，并用表格记录环数，让学生运用已有的知识进行评判，通过学习分析第 6页 共 11页具体的生活实例来发现当两组数据的“平均水平”相近，无法用平均数来刻画时，引入一种新的量度，逐步抽象出“极差”“方差”“标准差”。以此，打开教学突出教学难点的缺口，充分激活学生思维，调动其主动性和积极性。2、比较法。在极差和方差的应用中，让学生在比较中发现用已有的知识还是难以准确的刻画一组数据的离散程度，从而引入新的量度。3、练习巩固法。通过练习，强化巩固概念，熟练计算器的操作。进一步理解本节知识对于实际问题的意义。这样更能突破重点、解决难点，在运算中深刻理解“极差”“方差”“标准差”的内涵。使学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高。4、选用一个贴近学生生活实际的背景。通过一个实际问题情境的导入和比较，抓住重点，突破难点，让学生直观地估测甲、乙两名选手的成绩，回顾有关数据的另一个量度“平均水平”，同时让学生初步体会“平均水平”相近，但两者的离散程度未必相同，仅有“平均水平”还难以准确地刻画一组数据，从而顺理成章地引入刻画数据离散程度的一个量度极差；然后，设计了一个“做一做”，因承上面场景的情境，增加了一名选手丙，旨在通过丙与甲、乙的对比，发现有时平均水平相近，极差也相同，但数据的离散程度仍然存在差异，仅用极差还难以精确刻画一组数据的离散程度，从而引入刻画一组数据离散程度的另外两个量度标准差和方差。指导学生动手计算平均数、极差、方差、标准差，并依次比较，让学生在比较中发现问题。三、说学法：教给学生方法比教给学生知识更重要。本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我主要设计的学法指导是：（1）引导观察分析法：链接运动员设计场景，引导学生观察把环（用眼），关注收集的数据，积极思考，分析两名运动员设计的稳定程度（动脑），指导学生动手计算（动手）。让学生学会观察问题，分析问题和解决问题。（2）引导比较鉴别法：在教学过程中，每出现一个新概念或一个新公式，采取的方法是：一是引导学生读，二是解释关键词语，三是让学生动手计算、第 7页 共 11页巩固知识，加深理解概念的内涵，四是回头看实际情形，认识数据的变化规律，在实际背景中比较形成正确的决策。（3）引导练习巩固：注重“做一做”的练习中强化、观察、切入公式特点、计算、分析、判断的方法的巩固，通过强化加深学生对三个量度的理解和应用。让学生知道数学重在运用，从而检验知识的应用情况，找出未掌握的内容和知识。（4）引导自学法：学生自学掌握计数器计算方差和标准差的操作功能。四、说教学程序：1、创设情境，导入新课：、展示情景（链接奥运会中韩运动员设计的情景）。、学生观察阅读分析（描述运动员射箭的平均水平）。、分析思考寻求解决方案（观察表格数据求平均数）。、通过对以上问题的分析发现在实际生活中除了关注数据的“平均水平”以外，还要关注数据的离散程度。（引出本课课题数据的波动）2、新课：（由学生已经掌握的知识来引出课题，吸引学生的注意力和提高学习本节知识的兴趣）、概念介绍：a、数据的离散程度（是相对于平均水平的偏离情况）；b、极差（极差是刻画数据的离散程度的一个统计量，是一组数据中最大数据与最小数据的差）；c、练习巩固计算极差；、展示丙运动员加入的情景，让学生在乙丙两人中挑选，计算中发现平均数极差相同，让学生产生新的困惑。引入本节的第二个知识点方差和标准差。、引进概念 a、给出“标准差”的概念（方差的算术平方根）。b、学生相互交流学习操作计算器计算方差和标准差。第 8页 共 11页、引导学生理解一组数据的极差、方差、标准差越小，这组数据就越稳定的内涵（通过数据与图比较说明，使抽象概念具体化）。、计算引例中的方差和标准差。（作用：一是巩固“方差”的计算方法；二是用方差来刻画引例中的数据离散程度，加深学生对方差意义的理解。三是会用运“方差”来解决实际问题的方法）。3、巩固练习：、样本 4、7、5、2、3、8、5、6 的平均数是_，众数是_，极差是_，方差是_，标准差是_。（通过这组练习强化概念和计算方法的运用）、P235 随堂练习（1）（通过这道习题巩固运用所学知识分析解决实际问题的能力）4、小结谈体会：教师引导回顾所学概念；让学生谈学习、运用的体会。5、布置作业：P199（1）（2）（3选作题）：五、说板书设计板书设计为表格式，这样的板书简明清楚，重点突出，加深学生对重点知识的理解和掌握，同时便于比较和记忆，有利于提高教学效果。第三篇标准差方差:经济师初级经济基础数据特征的测度习题对分组数据计算算术平均数时，其平均数数值会受到()等因素影响。A.极端值 B.组内极差 C.各组数据大小 D.组内标准差 E.各组频数多少参考答案：A,C,E计算平均发展速度通常采用()A.算术平均法 B.几何平均法 C.众数第 9页 共 11页 D.中位数参考答案：B下列对数据离散程度的测度中，可以消除变量值水平高低和计量单位不同这两个因素对离散程度测度值影响的是()。A.离散系数 B.极差 C.标准差 D.方差参考答案：A并不反映数据离散程度绝对值的指标的是()A.算术平均数 B.极差 C.方差 D.离散系数 E.标准差参考答案：A,D用于计算比率或速度的集中趋势的测试值是()A.均值 B.中位数 C.几何平均数 D.众数参考答案：C数值型数据离散程度的测度指标有()A.极差 B.中位数 C.几何平均数 D.标准差 E.方差第 10页 共 11页参考答案：A,D,E某直辖市下辖 8 个县，每个县的面积如下(单位：平方公里)：1455、2022、912、1016、1352、1400、1792、2022，则该直辖市下辖县面积的中位数是()A.1400 B.1455 C.1427.5 D.1428参考答案：C下列统计指标中，可用几何平均数进行平均的有()A.产品合格率 B.学生数学考试成绩 C.发展速度 D.股票收益率 E.石油产量参考答案：A,C,D某超市 6 个分店的职工人数由小到大排序后为 57 人、58 人、58 人、60人、63 人、70 人，其算术平均数、众数分别为()人。A.59、58 B.61、58 C.61、59 D.61、70参考答案：B第 11页 共 11页