2009—数二真题、标准答案及解析.pdf

欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-1-2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一、选择题：1 8 小题，每小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数 3sinxxf xnx的可去间断点的个数为（）A1.B2.C3.D无穷多个.（2）当0 x 时，sinf xxax与 2ln 1g xxbx是等价无穷小，则（）A11,6ab.B11,6ab.C11,6ab .D11,6ab （3）设函数,zf x y的全微分为dzxdxydy，则点0,0（）A不是,f x y的连续点.B不是,f x y的极值点.C是,f x y的极大值点.D是,f x y的极小值点.（4）设函数,f x y连续，则222411,yxydxf x y dydyf x y dx（）A2411,xdxf x y dy.B241,xxdxf x y dy.C2411,ydyfx y dx.D.221,ydyf x y dx（5）若 fx不变号，且曲线 yf x在点 1,1上的曲率圆为222xy，则 f x在区间1,2内（）A有极值点，无零点.B无极值点，有零点.C有极值点，有零点.D无极值点，无零点.（6）设函数 yf x在区间1,3上的图形为 1()f x-2 0 2 3 x-1 O 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-3-C.200010002 D.100020002 二、填空题：9-14 小题，每小题4 分，共24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)uteduytt在（0，0）处的切线方程为 .（10）已知+1k xedx,则k .（11）10nlimesinxnxdx .（12）设()yy x是由方程xy1yex确定的隐函数，则220 xyx .（13）函数2xyx在区间01，上的最小值为 .(14)设，为 3 维列向量，T为的转置，若矩阵T相似于200000000，则T=.三、解答题：15 23 小题，共94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9 分）求极限401 cosln(1tan)limsinxxxxx.（16）（本题满分10 分）计算不定积分1ln(1)xdxx(0)x.（17）（本题满分10 分）设,zf xy xy xy，其中f具有2 阶连续偏导数，求dz与2zx y.（18）（本题满分10 分）设非负函数 yy x0 x 满足微分方程20 xyy，当曲线 yy x过原点时，其与直线1x 及0y 围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积.（19）（本题满分10 分）计算二重积分Dxy dxdy，其中22,112,Dx yxyyx.（20）（本题满分12 分）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-4-设()yy x是区间-（，）内过点-22（，）的光滑曲线，当-0 x时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0 x时，函数()y x满足0yyx.求()y x的表达式.（21）（本题满分11 分）（）证明拉格朗日中值定理：若函数 f x在,a b上连续，在,a b可导，则存在,a b，使得 f bf afba；（）证明：若函数 f x在0 x 处连续，在0,0内可导，且 0limxfxA，则 0f存在，且 0fA.（22）（本题满分11 分设111111042A，1112.（）求满足22131,AA的所有向量23,；（）对（）中的任一向量23,，证明：123,线性无关.（23）（本题满分11 分）设二次型2221231231 323,122f x x xaxaxaxx xx x（）求二次型f的矩阵的所有特征值；（）若二次型f的规范形为2212yy，求a的值.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-5-2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题答案 一、选择题：1 8 小题，每小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数 3sinxxf xnx的可去间断点的个数为（）A1.B2.C3.D无穷多个.【答案】C 【解析】3s i nxxf xx 则当x取任何整数时，f x均无意义 故 f x的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30 xx的解1,2,30,1x 3200321132111 31limlimsincos1 32limlimsincos1 32limlimsincosxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 故可去间断点为3 个，即0,1（2）当0 x 时，sinf xxax与 2ln 1g xxbx是等价无穷小，则（）A11,6ab.B11,6ab.C11,6ab .D11,6ab.【答案】A 【解析】2()sin,()(1)f xxax g xx lnbx为等价无穷小，则 222200000()sinsin1cossinlimlimlimlimlim()ln(1)()36xxxxxf xxaxxaxaaxaaxg xxbxxbxbxbx 洛洛230sinlim166xaaxabbaxa 36ab 故排除,B C.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-6-另外201coslim3xaaxbx存在，蕴含了1cos0aax0 x 故1.a 排除D.所以本题选A.（3）设函数,zf x y的全微分为dzxdxydy，则点0,0（）A不是,f x y的连续点.B不是,f x y的极值点.C是,f x y的极大值点.D是,f x y的极小值点.【答案】D【解析】因dzxdxydy可得,zzxyxy 2222221,0,1zzzzABCxx yy xy 又在（0，0）处，0,0zzxy 210ACB 故（0，0）为函数(,)zf x y的一个极小值点.（4）设函数,f x y连续，则222411,yxydxf x y dydyf x y dx（）A2411,xdxf x y dy.B241,xxdxf x y dy.C2411,ydyfx y dx.D.221,ydyf x y dx【答案】C【解析】222211(,)(,)xxdxf x y dydyf x y dx的积分区域为两部分：1(,)12,2Dx yxxy，2(,)12,4Dx yyyxy 将其写成一块(,)12,14Dx yyxy 故二重积分可以表示为2411(,)ydyf x y dx，故答案为C.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-7-（5）若 fx不变号，且曲线 yf x在点 1,1上的曲率圆为222xy，则 f x在区间1,2内（）A有极值点，无零点.B无极值点，有零点.C有极值点，有零点.D无极值点，无零点.【答案】B 【解析】由题意可知，()f x是一个凸函数，即()0fx，且在点(1,1)处的曲率322|12(1()yy，而(1)1f，由此可得，(1)2f 在1,2上，()(1)10fxf ，即()f x单调减少，没有极值点.对于(2)(1)()1(1,2)fff ，（拉格朗日中值定理）(2)0f而 (1)10f 由零点定理知，在1,2上，()f x有零点.故应选（B）.（6）设函数 yf x在区间1,3上的图形为 则函数 0 xF xf t dt的图形为（）1()f x-2 0 2 3 x-1 O 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-8-A.B.C.D.【答案】D 【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()yf x的图形可见，其图像与x轴及y轴、0 xx所围的图形的代数面积为所求函数()F x，从而可得出几个方面的特征：0,1x时，()0F x，且单调递减.1,2x时，()F x单调递增.2,3x时，()F x为常函数.1,0 x 时，()0F x 为线性函数，单调递增.由于F(x)为连续函数 结合这些特点，可见正确选项为D.（7）设A，B均为2 阶矩阵，*AB，分别为A，B的伴随矩阵.若23AB，则分块矩阵OABO的伴随矩阵为（）A.*32OBAO B.*23OBAO ()f x0 2 3 x1-2-1 1()f x0 2 3 x1-1 1()f x0 2 3 x1-2-1 1()f x0 2 3 x1-2-1 1 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-9-C.*32OABO D.*23OABO【答案】B 【解析】根据CCC E若111,CC CCCC 分块矩阵00AB的行列式2 2012 360AA BB （）即分块矩阵可逆 11110000066000100BBAAABBBBAAA 10023613002BBAA（8）设AP，均为3 阶矩阵，TP为P的转置矩阵，且100010002TP AP，若 1231223PQ（，），（，），则TQ AQ为（）A.210110002 B.110120002 C.200010002 D.100020002【答案】A【解析】122312312312100(,)(,)110(,)(1)001QE ，即：欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-10-12121212122112(1)(1)(1)(1)(1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002TTTTTQPEQ AQPEA PEEP AP EEE 二、填空题：9-14 小题，每小题4 分，共24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)uteduytt在（0，0）处的切线方程为 .【答案】2yx【解析】221222 ln(2)22tdyttttdtt 2(1)1(1)1ttdxedt 所以 2dydx 所以 切线方程为2yx.（10）已知+1k xedx,则k .【答案】2【解析】001122 limbk xkxkxbedxe dxek 因为极限存在所以0k 210k 2k （11）10nlimesinxnxdx .【答案】0【解析】令sinsincosxxxnIenxdxenxn enxdx 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-11-2sincosxxnenxnenxn I 所以2cossin1xnnnxnxIeCn 即11020cossinlimsinlim()1xxnnnnxnxenxdxen 122cossinlim()110nnnnnenn（12）设()yy x是由方程xy1yex确定的隐函数，则220 xyx .【答案】3【解析】对方程xy1yex两边关于x求导有1yyxyye，得1yyyxe 对1yyxyye再次求导可得22()0yyyxyy eye，得22()yyyyeyxe (*)当0 x 时，0y，(0)01 01ye，代入(*)得 20032(0)(0)(0)(2 1)3(0)yyeye （13）函数2xyx在区间01，上的最小值为 .【答案】2ee【解析】因为22ln2xyxx，令0y 得驻点为1xe.又22222ln2xxyxxxx，得21120eyee，故1xe为2xyx的极小值点，此时2eye，又当10,xe时，0y x；1,1xe时，0y x，故y在10,e上递减，在1,1e上递增.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-13-22111112()11411(1)111ln(1)ln(1)2441dtdttttttttCt 所以 221ln(1)111ln(1)ln1412(1)111ln(1)ln(1)2211111ln(1)ln(1)222xttdxCxtttxxxxxCxxxxxxxxxxCx（17）（本题满分10 分）设,zf xy xy xy，其中f具有2 阶连续偏导数，求dz与2zx y.【解析】123123zffyfxzffxfy 1231232111213212223331323331122331323()()1(1)1(1)1(1)()()zzdzdxdyxyffyf dxffxf dyzfffxfffxfy fffxx yfffxyfxy fxy f （18）（本题满分10 分）设非负函数 yy x0 x 满足微分方程20 xyy，当曲线 yy x过原点时，其与直线1x 及0y 围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积.【解析】解微分方程20 xyy得其通解212122,yCxC xCC其中，为任意常数 又因为()yy x通过原点时与直线1x 及0y 围成平面区域的面积为2，于是可得10C 1112232220002()(2)()133CCy x dxxC x dxxx 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-14-从而23C 于是，所求非负函数223(0)yxxx 又由223yxx可得，在第一象限曲线()yf x表示为11 31)3xy（于是D 围绕y轴旋转所得旋转体的体积为15VV，其中 5522100501(1 31)9(232 1 3)93918Vx dyydyyy dy 395117518186V.（19）（本题满分10 分）计算二重积分Dxy dxdy，其中22,112,Dx yxyyx.【解析】由22(1)(1)2xy得2(sincos)r，32(sincos)4()(cossin)04Dxy dxdydrrrdr 332(sincos)14(cossin)034rd 2384(cossin)(sincos)(sincos)34d 3384(cossin)(sincos)34d 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-15-3344438814(sincos)(sincos)(sincos)3344d83.（20）（本题满分12 分）设()yy x是区间-（，）内过点-22（，）的光滑曲线，当-0 x时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0 x时，函数()y x满足0yyx.求()y x的表达式.【解析】由题意，当0 x时，xyy，即ydyxdx，得22yxc，又()22y代入22yxc 得2c，从而有222xy 当0 x时，0yyx得 0yy 的通解为*12cossinycxcx 令解为1yAxb，则有00Axbx，得1,0Ab，故1yx，得0yyx的通解为12cossinycxcxx 由于()yy x是(,)内的光滑曲线，故y在0 x 处连续 于是由1(0),(0)yyc ，故1c 时，()yy x在0 x 处连续 又当 0 x时，有220 xy y，得(0)0 xyy，当0 x时，有12sincos1ycxcx，得2(0)1yc 由(0)(0)yy得210c ，即 21c 故 ()yy x的表达式为22,0cossin,0 xxyxxxx或 22,0cossin,0 xxyxxxx，又过点,2 2，所以22,0cossin,0 xxyxxxx.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-16-（21）（本题满分11 分）（）证明拉格朗日中值定理：若函数 f x在,a b上连续，在,a b可导，则存在,a b，使得 f bf afba；（）证明：若函数 f x在0 x 处连续，在0,0内可导，且 0limxfxA，则 0f存在，且 0fA.【解析】（）作辅助函数()()()()()()f bf axf xf axaba，易验证()x满足：()()ab；()x在闭区间,a b上连续，在开区间,a b内可导，且()()()()f bf axfxba.根据罗尔定理，可得在,a b内至少有一点，使()0，即()f()()0,()()()()f bf af bf afbaba（）任取0(0,)x，则函数()f x满足；在闭区间00,x上连续，开区间00,x内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在 000,0,xx，使得 000()(0)0 xf xffx*又由于 0limxfxA，对上式（*式）两边取00 x时的极限可得：0000000000()00limlim()lim()0 xxxxxf xffffAx 故(0)f存在，且(0)fA.（22）（本题满分11 分设111111042A，1112（）求满足22131,AA的所有向量23,；（）对（）中的任一向量23,，证明：123,线性无关.【解析】（）解方程21A 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-17-1111111111111,111100000211042202110000A ()2r A 故有一个自由变量，令32x，由0Ax 解得，211,1xx 求特解，令120 xx，得31x 故21101021k ，其中1k为任意常数 解方程231A 2220220440A 21111022012,2201000044020000A 故有两个自由变量，令21x ，由20A x 得131,0 xx 求特解21200 故 321121000k ，其中2k为任意常数.（）证明：由于12121 212122111121112(21)()2()(21)222210kkkkk kkkk kkkk 102 故123,线性无关.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-18-（23）（本题满分11 分）设二次型2221231231 323,122f x x xaxaxaxx xx x（）求二次型f的矩阵的所有特征值；（）若二次型f的规范形为2212yy，求a的值.【解析】（）0101111aAaa 0110|01()1111111aaaEAaaaa 222()()(1)1 0()()()(1)2()2219()(1 2)24()(2)(1)aaaaaaaaaaaaaaaaa 123,2,1aaa（）若规范形为2212yy，说明有两个特征值为正，一个为0.则 1)若10a，则 220 ，31，不符题意 2)若20，即2a，则120，330，符合 3)若30，即1a ，则110 ，230 ，不符题意 综上所述，故2a.