2013考研数二真题解析.pdf
欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！数学(二)试题 第 1 页 (共 13 页)2013 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题答案 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）设cos1sin()xxx，其中()2x，则当0 x 时，()x是（）（A）比x高阶的无穷小 （B）比x低阶的无穷小（C）与x同阶但不等价的无穷小（D）与x等价的无穷小【答案】（C）【解析】因为200sin()cos11limlim2xxxxxx，所以0limsin()0 xx，因此当0 x 时，()0 x，所以sin()()xx，所以00sin()()1limlim2xxxxxx，所以()x是与x同阶但不等价的无穷小。（2）设函数()yf x由方程cos()ln1xyyx确定，则2lim()1nn fn（）（A）2 （B）1 （C）1 （D）2【答案】（A）【解析】由于(0)1f，所以2()(0)2lim()1lim22(0)2nnffnn ffnn，对此隐函数两边求导得()sin()10yyxyxyy，所以(0)1f，故2lim()12nn fn。（3）设函数sin,0()=2,2xxf xx，0()()xF xf t dt，则（）（A）x 是函数()F x的跳跃间断点（B）x 是函数()F x的可去间断点（C）()F x在x处连续但不可导（D）()F x在x处可导【答案】（C）【解析】000sin1 cos,0()()sin22(1),2xxxtdtxxF xf t dttdtdtxx，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！数学(二)试题 第 2 页 (共 13 页)由于lim()lim()2xxF xF x ，所以()F x在x处连续；()()1 coslimlim0 xxF xFxxx ，()()2()limlim2xxF xFxxx ，所以()F x在x处不可导。（4）设函数111,1(1)()=1,lnxexf xxexx，若反常积分1()f x dx收敛，则（）（A）2 （B）2 （C）20 （D）02【答案】（D）【解析】111,1(1)()=1,lnxexf xxexx因为11()()()eef x dxf x dxf x dx，当1xe时，11221111111111()limlim(1)(1)2(1)2(1)eeef x dxdxdxxxe ，要使2111lim2(1)存在，需满足2 0；当xe时，111ln111lim()lnlnlneedxdxxxx，要使11lim()ln存在，需满足 0；所以02。（5）设()yzf xyx，其中函数f可微，则xzzy xy（）（A）2()yfxy （B）2()yfxy （C）2()f xyx （D）2()f xyx【答案】（A）【解析】已知()yzf xyx，所以22()()zyyf xyfxyxxx，所以11()()()()2()xzzf xyyfxyf xyyfxyyfxyy xyxx。（6）设kD是圆域22(,)|1Dx yxy在第k象限的部分，记()(1,2,3,4)kkDIyx dxdy k，则欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！数学(二)试题 第 3 页 (共 13 页)（）（A）10I （B）20I （C）30I （D）40I 【答案】（B）【解析】令cos,sinxryr，则有 101()(s i nc o s)(c o ss i n3kkDIyx d x d yr d rrrd 故当2k 时，,2，此时有220.3I 故正确答案选 B。（7）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若ABC，且B可逆，则（）（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价【答案】（B）【解析】由ABC 可知 C 的列向量组可以由 A 的列向量组线性表示，又 B 可逆，故有1CBA，从而A 的列向量组也可以由 C 的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B）。（8）矩阵1111aabaa与2000b0000相似的充分必要条件为（A）0,2ab（B）为任意常数ba,0（C）0,2ba（D）为任意常数ba,2【答案】(B)【解析】由于1111aabaa为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而1111aabaa与2000b0000相似的充分必要条件为1111aabaa的特征值为0,2 b。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！数学(二)试题 第 4 页 (共 13 页)又211()(2)211aEAababaa ，从而为任意常数ba,0。二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9)xxxx10)1ln(2lim=_【答案】12e【解析】原式=0ln(1)ln(1 1)limxxxxe，000ln(1)ln(1)1ln(1 1)11(1()12limlimlim2xxxxxx o xxxxxx 因此答案为12e.(10)设 函 数1()1xtfxe d t，则()yf x的 反 函 数1()xfy在0y 处 的 导 数0ydxdy 【答案】111 e【解析】0111111,|111xyxxxdydxdxedxdydyeee(11)设封闭曲线 L的极坐标方程为cos3()66r，则 L所围成的平面图形的面积为 【答案】12【解析】所围图形的面积是2660611 cos6cos 32212Sdd (12)曲线2arctanln 1xtyt上对应于1t 的点处的法线方程为 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！数学(二)试题 第 5 页 (共 13 页)【答案】ln204yx【解析】22211111tdytttdxt，1|1,tdydx 当1t 时，,ln24xy，故法线方程为ln204yx.(13)已知321xxyexe，22xxyexe，23xyxe 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3个解，该方程满足条件00 xy01xy的解为y 【答案】32xxxyeexe【解析】由题意知：3,xxee是对应齐次方程的解，2xxe是非齐次方程的解，故非齐次的通解为3212xxxyC eC exe，将初始条件代入，得到121,1CC,故满足条件的解为32xxxyeexe。（14）设ijA(a)是 三 阶 非 零 矩 阵，|A|为 A 的 行 列 式，ijA为ija的 代 数 余 子 式，若ijijaA0(i,j1,2,3),_A则【答案】1【解析】0ijijaA由可知，*TAA 1122331122333322110iiiiiijjjjjjijijjiAa Aa Aa Aa Aa Aa Aaa 2*,=-1.TAAAAA 从而有故 三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）当0 x 时，1 coscos2cos3xxx与nax为等价无穷小，求n与a的值。【解析】因为当0 x 时，1 coscos2cos3xxx与nax为等价无穷小 所以01 coscos2cos3lim1nxxxxax 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！数学(二)试题 第 7 页 (共 13 页)【解析】（1）令()(),(0)(0)0,(1)(1)10,F xf xx FfFf 则0,1 使得()0,()1Ff即（2）令()()1),xG xefx则()0,G 又由于()f x为奇函数，故()fx为偶函数，可知()0G,则,1,1 使()0,G即()1()0efe f，即()()1ff（19）（本题满分 11 分）求曲线331(0,0)xxyyxy上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。【解析】本题本质上是在条件331(0,0)xxyyxy下求函数22(,)f x yxy的最值。故只需求出22xy在条件331xxyy下的条件极值点，再将其与曲线端点处（0,1,1,0）的函数值比较，即可得出最大值与最小值。由于函数22xy与22xy的增减性一致，故可以转化为求22xy的条件极值点：构造拉格朗日函数2233,1L x yxyxxyy，求其驻点得223323023010LxxyxLyyxyLxxyy 为了求解该方程组，将前两个方程变形为222323xyxyxy进一步有22222323xyyx yxyxxy，故222233xxyyx y即30 xyxyxy。则有0或0 xy或30 xyxy。当0时，有0 xy，不可能满足方程3310 xxyy；当30 xyxy，由于0,0 xy，也只能有0 xy，不可能满足第三个方程；欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！数学(二)试题 第 8 页 (共 13 页)故必有0 xy，将其代入3310 xxyy 得32210 xx，解得1,1xy。可知 1,1点是唯一的条件极值点。由于(1,1)2f，(0,1)(1,0)2ff，故曲线331(0,0)xxyyxy上的点到坐标原点的最长距离为2与最短距离为1。（20）（本题满分 11 分）设函数1()lnf xxx，（I）求()f x的最小值（II）设数列nx满足11ln1nnxx，证明limnnx存在，并求此极限.【解析】（I）22111()xfxxxx，则当0,1x时，()0fx；当1,x时，()0fx。可知()f x在0,1上单调递减，在1,上单调递增。故()f x的最小值为(1)1f。（2）、由于11lnnnxx，则nnxx111，即nnxx1，故nx单调递增。又由于11lnln1nnnxxx，则exn，故nx有上界，则由单调有界收敛定理可知，nnxlim存在。令axnnlim，则aaxxnnn1ln1lim，由于111lnnnxx，则 11lnaa，故1limaxnn。（21）（本题满分 11 分）设曲线L的方程为211ln(1)42yxxxe，（1）求L的弧长；（2）设D是由曲线L，直线1,xxe及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标。【解析】（1）由弧长的计算公式得L的弧长为 222111111ln14222eexxxdxdxx 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！数学(二)试题 第 9 页 (共 13 页)2121211144212214eexdxxxdxxe（2）由形心的计算公式可得，D的形心的横坐标为 242132111ln323421147ln42eexxx dxeeexx dx（22）（本题满分 11 分）设101,101aABb，当,a b为何值时，存在矩阵C使得ACCAB，并求所有矩阵C。【解析】由题意可知矩阵 C 为 2 阶矩阵，故可设1234xxCxx，则由ACCAB可得线性方程组：2312413423011xaxaxxaxxxxxaxb （1）01001011110111101101010110111010001000100100101011101010000100001aaaaaaaaaabababaaaba 由于方程组（1）有解，故有10,10aba，即1,0,ab 从而有 01001011110101100101110000001000000aaaab，故有112211231421,.xkkxkkkxkxk 其中、任意 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！
