2018年考研数学一试题答案.pdf
欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2017 考研数学一答案及解析 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。（1）若函数1 cos(),0,0 xf xxaxb x在0 x 连续，则（）。A.12ab B.12ab C.0ab D.2ab 【答案】A【解析】由连续的定义可得-+00lim()lim()(0)xxf xf xf，而+20001()1 cos12lim()limlim2xxxxxf xaxaxa，-0lim()xf xb，因此可得12ba，故选择 A。（2）设函数()f x可导，且()()0f x fx，则（）。A.(1)(1)ff B.(1)(1)ff C.|(1)|(1)ff D.|(1)|(1)ff【答案】C【解析】令2()()F xfx，则有()2()()F xf x fx，故()F x单调递增，则(1)(1)FF，即22(1)(1)ff，即|(1)|(1)ff，故选择 C。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【答案】A【解析】因为T的特征值为 0（n-1 重）和 1，所以TE的特征值为 1（n-1 重）和 0，故TE不可逆。（6）已知矩阵200210100021,020,020001001002ABC，则（）。与 C 相似，B 与 C 相似 B.A 与 C 相似，B 与 C 不相似 C.A 与 C 不相似，B 与 C 相似 D.A 与 C 不相似，B 与 C 不相似【答案】B【解析】A 和 B 的特征值为 2,2,1，但是 A 有三个线性无关的特征向量，而 B 只有两个，所依 A 可对角化，B 不可，因此选择 B。（7）设 A，B 为随机事件，若0()1,0()1P AP B，且(|)(|)P A BP A B的充分必要条件是（）。A.(|)(|)P B AP B A B.(|)(|)P B AP B A C.(|)(|)P B AP B A D.(|)(|)P B AP B A【答案】A【解析】由(|)(|)P A BP A B得()()()()()1()()P ABP ABP AP ABP BP BP B，即()()()P ABP A P B，因此选择 A。（8）设12,(2)nXXXn L来自总体(,1)N的简单随机样本，记11niiXXn，则下列结论中不正确的是（）。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！A.21()niiX服从2分布 B.2112()nniXX服从2分布 C.1()niiXX服从2分布 D.2()n X服从2分布【答案】B【解 析】(0,1)iXN，故221()()niiXn，1(0,2)nXXN，因 此1(0,1)2nXXN，故221()(1)2nXX，故 B 错误，由2211()1niiSXXn可得，2221(1)()(1)niinSXXn，1(0,)XNn，则有()(0,1)n XN，因此22()(1)n X。二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。（9）已知函数21()1f xx，则(3)(0)f=_。【答案】0【解析】246222001()1()(1)1nnnnnf xxxxxxx L，因此 230()(1)2(21)(22)nnnfxnnnx，代入可得(3)(0)0f。（10）微分方程 2 30yyy的通解为y=_。【答案】12(cos2sin2)xecxcx 【解析】由 2 30yyy，所以2230，因此21i，因此通解为：12(cos2sin2)xecxcx。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！（11）若曲线积分221Lxdyaydyxy在区域22(,)|1Dx yxy内与路径无关，则a=_。【答案】1【解析】设2222(,),(,)11xayP x yQ x yxyxy，因此可得：22222222,(1)(1)PxyQaxyyxyxxy，根据PQyx，因此可得1a。（12）幂级数111(1)nnnnx在区间(1,1)内的和函数()S x=_。【答案】21(1)x【解析】1112111(1)(1)()1(1)nnnnnnxnxxxx。（13）设矩阵101112011A，123,为线性无关的 3 维向量，则向量组123,AAA的秩为_。【答案】2【解析】因为123123(,)(,)AAAA ，而 101101101112011011011011000A，因此()2r A，所以向量组123,AAA的秩 2。（14）设随机变量 X 的分布函数为4()0.5()0.5()2xF xx，其中()x为标准正态分布函数，则EX=_。【答案】2【解析】欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！222224()222(4)22 2111()()0.50.5222110.50.5222xxxxf xF xeeee 因此可得2EX。三、解答题：1523 小题，共 94 分，请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题满分 10 分）设函数(,)f u v具有 2 阶连续偏导数，(,cos)xyf ex，求2002|,|xxdyd ydxdx。【答案】01|(1,1)xdyfdx，2011122|(1,1)(1,1)(1,1)xd yfffdx【解析】因为(,cos)xyf ex，所以12sinxdyf efxdx，因此01|(1,1)xdyfdx 211121212222(sin)(sin)sincosxxxxd yf efx ef ef efxxfxdx 因此得：2011122|(1,1)(1,1)(1,1)xd yfffdx （16）（本题满分 10 分）求21limln(1)nnkkknn【答案】14【解析】由定积分的定义可知，1201limln(1)ln(1)nnkkkxx dxnn，然后计算定积分，21112120000111ln(1)ln(1)(1)ln(1)|(1)221xxx dxx d xxxdxx 1011(1)24xdx （17）（本题满分 10 分）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！已知函数()y x由方程333320 xyxy确定，求()y x的极值。【答案】极大值为(1)1y，极小值为(1)0y。【解析】对333320 xyxy关于x求导得：2233 33 0 xy yy，令0y 得233x，因此1x，当1x 时，1y，当1x 时，0y。对2233 33 0 xy yy 关于x再次求导得：2266()3 3 0 xy yy yy，将0y 代入可得26(33)0 xyy 当1x 时，1y 时，代入可得1y ，当1x 时，0y 时，代入可得2y，因此有函数的极大值为(1)1y，极小值为(1)0y。（18）（本题满分 10 分）设函数()f x在区间0,1上具有 2 阶导数，且(1)0f，0()lim0 xf xx，证明：（）方程()0f x 在区间(0,1)内至少存在一个实根；（）方程2()()()0f x fxfx在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。【答案】（）证：因为0()lim0 xf xx，由极限的局部保号性知，存在(0,)c，使得()0f c，而(1)0f，由零点存在定理可知，存在(,1)c，使得()0f。（）构造函数()()()F xf x fx，因此(0)(0)(0)0,()()()0FffFff，因为0()lim0 xf xx，所以(0)0f，由拉格朗日中值定理知，存在(0,1)，使得(1)(0)()01 0fff，所以(0)()0ff，因此根据零点定理可知存在1(0,)，使得1()0f，所以111()()()0Fff，所以原方程至少有两个不同实根。【解析】略（19）（本题满分 10 分）设薄片型物体S时圆锥面22zxy被柱面22zx割下的有限部分，其上任一点的弧度欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！为222(,)9u x y zxyz，记圆锥与柱面的交线为C，（）求C在xOy平面上的投影曲线的方程；（）求S的质量M。【答案】（）22(1)10 xyz；（）64。【解析】（）C的方程为2222zxyzx，投影到xOy平面上为22(1)10 xyz（）222(,)9Mu x y z dSxyz dS，221()()2zzdSdxdyxy 因此有2cos2223220221449 2218cos643Mxydxdydr drd。（20）（本题满分 11 分）三阶行列式123(,)A 有 3 个不同的特征值，且3122，（）证明()2r A；（）如果123，求方程组Ax的通解。【答案】（）略；（）(1,2,1)(1,1,1),TTkkR。【解析】（）证：因为A有三个不同的特征值，所以A不是零矩阵，因此()1r A，若()1r A，那么特征根 0 是二重根，这与假设矛盾，因此()2r A，又根据3122，所以()2r A，因此()2r A。（）因为()2r A，所以0Ax 的基础解系中只有一个解向量，又3122，即12320，因此基础解系的一个解向量为(1,2,1)T。因为123，故 Ax的特解为(1,1,1)T，因此Ax的通解为(1,2,1)(1,1,1),TTkkR。（21）（本题满分 11 分）设222123123121323(,)2282f x xxxxaxx xx xx x在正交变换xQy下的标准型为欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！221122yy，求a的值及一个正交矩阵Q。【答案】2a，正交矩阵32632636033326326Q 【解析】二次型对应的矩阵为21411141Aa，因为标准型为221122yy，所以0A，从而46a，即2a，代入得2141110412EA，解得0,3,6；当0时，2140111412EA，化简得111012000，对应的特征向量为11,2,1Tk；当3 时，5143121415EA，化简得121011000，对应的特征向量为21,1,1Tk；当6时，4146171414EA，化简得171010000，对应的特征向量为31,0,1Tk；欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！从而正交矩阵32632636033326326Q。（22）（本题满分 11 分）设随机变量X和Y相互独立，且X的概率分布为1(0)(2)2P XP X，Y的概率密度为2,01()0,yyf y其他（）求P YEY；（）求ZXY的概率密度。【答案】（）49（）11()(1)22ZYYFzFzFz【解析】（）由 数 字 特 征 的 计 算 公 式 可 知：1202()23EYyf y dyy dy，则2233024()239P YEYP Yf y dyydy（）先求Z的分布函数，由分布函数的定义可知：ZFzP ZzP XYz。由于X为离散型随机变量，则由全概率公式可知 0|01|111Yz12211()(1)22ZYYFzP XYzP XP XYz XP XP XYz XPP YzFzFz（其中 YFz为Y的分布函数：YFzP Yz）（23）（本题满分 11 分）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量是已知的，设n次测量结果12,nXXXL相互独立，且均服从正态分布2(,)N，该工程师记录的是n次测量的绝对误差|,(1,2,)iiZXinL，利用12,nZ ZZL估计（）求1Z的概率密度；（）利用一阶矩求的矩估计量；（）求的最大似然估计量。【答案】（）2222,0()20,0zezf zFzz（）1122niiZZn（）211niiZn【解析】（）因 为2(,)iXN，所 以2(0,)iiYXN，对 应 的 概 率 密 度 为 22212yYfye，设iZ的分布函数为 F z，对应的概率密度为()f z；当0z 时，()0F z；当0z 时，22212yziiizF zP ZzP YzPzYzedy；则iZ的概率密度为 2222,0()20,0zezf zFzz；（）因为22202222ziEZzedz，所以2iEZ，从而的矩估计量为1122niiZZn；欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！（）由题可知对应的似然函数为2221211,2iZnniL z zze，取对数得：221lnlnln22niiZL，所以231ln()1niiZdLd，令ln()0dLd，得211niiZn，所以的最大似然估计量为211niiZn。
