2015年考研数学二真题及答案解析.pdf
欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2015 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案解析 一、选择题：（18 小题,每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1)下列反常积分中收敛的是(A)1+2 (B)+2(C)1+2 (D)+2【答案】D。【解析】题干中给出 4 个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。1+2=2|2+=+；+2=+2()=12()2|2+=+；1+2=1+2()=ln()|2+=+；+2=+2=|2+2 =22|2+=32，因此(D)是收敛的。综上所述，本题正确答案是 D。【考点】高等数学一元函数积分学反常积分 (2)函数()=lim0(1+)2在(-,+)内 (A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“1”型极限，直接有()=lim0(1+)2 =lim02(1+1)=e lim0=(0),()在=0处无定义，且lim0()=lim0=1,所以 =0是()的可去间断点，选 B。综上所述，本题正确答案是 B。【考点】高等数学函数、极限、连续两个重要极限(3)设函数()=cos1,0，0,0(0,0).若()在=0 处连续，则(A)1 (B)0 2 (D)0 0，0,0 再有+(0)=limx0+()(0)=limx0+1cos1=0,1,不存在，1，(0)=0 于是，(0)存在 1，此时(0)=0.当 1 时，limx01cos1=0，limx01sin1=0,1 0,不存在，1 0，因此，()在=0连续 1。选 A 综上所述，本题正确答案是 C。【考点】高等数学函数、极限、连续函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数()在(-,+)内连续，其()二阶导函数()的图形如右图所示，则曲线=()的拐点个数为 A O B (A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】C【解析】()在(-,+)内连续，除点=0外处处二阶可导。=()的可疑拐点是()=0的点及()不存在的点。()的零点有两个，如上图所示，A 点两侧()恒正，对应的点不是=()拐点，B 点两侧()异号，对应的点就是=()的拐点。虽然f(0)不存在，但点x=0两侧f(x)异号，因而(0,f(0)是y=f(x)的拐点。综上所述，本题正确答案是 C。【考点】高等数学函数、极限、连续函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数(,)满足(+,)=22，则|=1=1与|=1=1依次是 (A)12,0 (B)0,12(C)12,0 (D)0,12【答案】D【解析】先求出f(,)令=x+y,=yx,x=1+,y=1+,于是 f(,)=2(1+)222(1+)2=2(1)1+=2(21+1)因此f|=1=1=2(21+1)|(1,1)=0 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！f|=1=1=22(1+)2|(1,1)=12 综上所述，本题正确答案是 D。【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设 D 是第一象限中由曲线2=1,4=1与直线=,=3 围成的平面区域，函数f(x,y)在D 上连续，则f(x,y)dxdy=D (A)d34f(rcos,rsin)1sin 212sin 2rdr (B)d34f(rcos,rsin)1sin 212sin 2rdr (C)d34f(rcos,rsin)1sin 212sin 2dr (D)d34f(rcos,rsin)1sin 212sin 2dr 【答案】B 【解析】D 是第一象限中由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=3x 围成的平面区域，作极坐标变换，将f(x,y)dxdyD化为累次积分。D 的极坐标表示为 3 4，1sin 2 12sin 2，因此 f(x,y)dxdyD=d34f(rcos,rsin)1sin 212sin 2rdr 综上所述，本题正确答案是 B。【考点】高等数学多元函数积分学二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。(7)设矩阵A=11112142,b=12。若集合=1,2，则线性方程 =有无穷多解的充分必要条件为 (A),(B),(C),(D),【答案】D 【解析】Ax=b 有无穷多解 r(A|b)=r(A)0，D 是由曲线段=(0 2)及直线y=0,=2所 围成的平面区域，1,2分别表示 D 绕轴与绕轴旋转所成旋转体的体积。若1=2，求 A 的值 【解析】1=2sin2=21cos2220=22420 由 A0 可得 2=2 20 =2A 20cos =2A(|02 20)=2 又 1=2 可得 A=8【考点】高等数学一元函数积分学定积分的应用 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！(17)已知函数(,)满足 (,)=2(+1),(,0)=(+1),(0,)=2+2 求(,)的极值。【解析】由(,)=2(+1)，得 (,)=(+1)2+()又已知(,0)=(+1)可得 +()=(+1)得()=,从而 (,)=(+1)2+对积分得 (,)=(+1)2+(1)+(y)又(0,)=2+2，所以(y)=0 所以(,)=(+1)2+(1)于是(,)=(2+2),(,)=(+2+2+2),(,)=2 令(,)=0，(,)=0得驻点(0,-1)，所以 A=(0,1)=1 B=(0,1)=0 C=(0,1)=2 由于B2 AC 0,所以极小值为(0,1)=1【考点】高等数学多元函数微分学二元函数的无条件极值(18)计算二重积分(+),其中 D=(,)|2+2 2,2【解析】因为区域 D 关于 y 轴对称，所以=0 原式=2=2 222210D =2 2(2 2 2)10 =2 22 210 2 410 令=2,则 22 210=44022=12(1 4)=408 又 410=15 所以二重积分=425【考点】高等数学多元函数积分学二重积分的计算(19)已知函数()=1+2+1+211，求()的零点个数 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【解析】()=1+2+21+2,令()=0，得驻点=12,当 12时，()12时，()0,()单调增加；因为(1)=0，所以()在(12,+)上存在唯一零点。又(12)0.解得 =+20 将初始条件 T(0)=120 代入上式，解得 C=100 将=30,=30 代入得=1030,所以 =1001030+20 令 T=21，得 t=60,因此要降至 21 摄氏度，还需 60-30=30（min）【考点】高等数学常微分方程一阶常微分方程，微分方程应用(21)已知函数()在区间,+上具有 2 阶导数，()=0,()0,()0.设 ,曲线=()在点(,()处的切线与轴 的交点是(0,0),证明 0 0，故()单调增加。由 可知()()=0.又()0,故()()0,即有0 0 a=b()()=()()()()由拉格朗日中值定理得 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！()=()()=()(),0，所以()单调增加，从而()(),故 ()0,即0 综上所述，0 【考点】高等数学一元函数微分学微分中值定理(22)设矩阵=101101,且3=0 (1)求的值；(2)若矩阵满足 +=,其中为三阶单位矩阵，求 【解析】(1)由于3=0，所以|=|101101|=3=0 于是=0(2)由于 +=所以 ()()=由(1)知 =110111011,=001010102 因为 ,均可逆，所以 =()1()1=211111110 201010100=312111211 【考点】线性代数矩阵矩阵方程(23)设矩阵=02313312 相似与矩阵=12000031 (1)求,的值；(2)求可逆矩阵,使为对角矩阵。【解析】(1)由于矩阵与矩阵相似，所以 tr =,|=|于是 3+=2+,2 3=,解得 =4,=5(2)由(1)知矩阵=023133124,=120050031 由于矩阵与矩阵相似,所以 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！|=|=(1)2(5)故的特征值为1=2=1，3=5.当1=2=1,解方程组()=0,得线性无关的特征向量 1=210，2=301 当3=5，解方程组5()=0,得特征向量 3=111 令=(1,2,3)=100101011,则=100010005，故为所求可逆矩阵。【考点】线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的相似对角化
