中考总复习：二次函数--知识讲解(基础).pdf

-中考总复习中考总复习:二次函数知识讲解二次函数知识讲解(基础）基础）【考纲要求】【考纲要求】1二次函数的概念常为中档题.主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等；.二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点;3抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过,覆盖面较广,而且这些内容的综合题一般较难，在解答题中出现.【知识网络】【知识网络】【考点梳理】【考点梳理】考点一、二次函数的定义考点一、二次函数的定义一般地,如果y ax bxc（a、b、c 是常数,a）,那么 y 叫做 x 的二次函数要点诠释要点诠释:2二次函数y ax bxc(a0)的结构特征是：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式,x 的最高次数是 2.(2)二次项系数 a0考点二、二次函数的图象及性质考点二、二次函数的图象及性质2b4acb2,.二次函数y ax bxc（a0)的图象是一条抛物线,顶点为2a4a22.当0 时,抛物线的开口向上;当 a0 时，抛物线的开口向下3|的大小决定抛物线的开口大小.|a越大,抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大.c 的大小决定抛物线与 y 轴的交点位置.c=时,抛物线过原点;c0 时,抛物线与 y 轴交于正半轴;c时，对称轴在 y 轴-左侧;当 ab）个单位，即得函数y a(xh)k的图象.要点诠释：要点诠释：求抛物线y ax bxc（a0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法,这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用.考点三、二次函数的解析式考点三、二次函数的解析式1.1.一般式一般式:y ax+bx c(a0)若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y ax bxc,将已知条件代入,求出 a、b、c 的值2.2.交点式（双根式）交点式（双根式）：y a(x x1)(x x2)(a 0)若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(1，0)，(x2，0）,设所求二次函数为22222222222y a(x x1)(x x2),将第三点(m,n)的坐标（其中 m、n 为已知数）或其他已知条件代入,求出待定系数，最后将解析式化为一般形式3.3.顶点式顶点式：y a(xh)k(a 0).若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值），设所求二次函数为2y a(xh)2 k，将已知条件代入，求出待定系数,最后将解析式化为一般形式对称点式对称点式:y a(x x1)(x x2)m(a 0).若已知二次函数图象上两对称点(x，m),(x2,),则可设所求二次函数为y a(x x1)(x x2)m(a 0),将已知条件代入，求得待定系数,最后将解析式化为一般形式要点诠释：要点诠释：已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式 已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式.（可以看成的图象平移后所对应的函数).已知图象与轴的交点坐标(0）（由此得根与系数的关系:、,通常选用交点式：）.-考点四、二次函数考点四、二次函数y ax bxc(a(a0)0)的图象的位置与系数的图象的位置与系数 a a、b b、c c 的关系的关系1.开口方向：a0 时,开口向上，否则开口向下.2对称轴:2bb 0时,对称轴在轴的右侧;当 0时，对称轴在轴的左侧.2a2a2223.与 x 轴交点:b 4ac 0时,有两个交点;b 4ac 0时,有一个交点;b 4ac 0时，没有交点.要点诠释要点诠释:当 x1 时,函数b+c；当 x-1 时，函数 ya-b+c；当 a+c0 时,=1 与函数图象的交点在x 轴上方,否则在下方；当 a-bc时,x-与函数图象的交点在轴的上方，否则在下方.考点五、二次函数的最值考点五、二次函数的最值4acb2b1.当 a时,抛物线y ax bxc有最低点，函数有最小值,当x 时,y最小.4a2a24acb2b2当 a0 时，抛物线y ax bxc有最高点,函数有最大值，当x 时,y最大4a2a2要点诠释：要点诠释：在求应用问题的最值时，除求二次函数y ax bxc的最值,还应考虑实际问题的自变量的取值范围【典型例题】【典型例题】类型一、应用二次函数的定义求值类型一、应用二次函数的定义求值221二次函数 y=x-2（+1）x+3 有最小值-4，且图象的对称轴在 y 轴的右侧，则 k 的值是 .【思路点拨】2因为图象的对称轴在 y 轴的右侧,所以对称轴 x=k+1,即 k-1;又因为二次函数 y=x-2（k+1)+k+324（k+3）-(2k+2)有最小值4，所以最小值=-4，可以求出 k 的值4【答案与解析】解:图象的对称轴在轴的右侧,对称轴 x=k+10,解得-，24（k+3）-(2k+2)2二次函数 y=-2（k+1)+k+有最小值-4,y最小值=k+3-(1)=-k-k+242-4，-整理得+-6=,解得 k=2 或=-,k=3-1，不合题意舍去,k2【总结升华】求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出,第二种是配方法，第三种是公式法.举一反三：举一反三：【变式变式】已知y (k 3)xk【答案】y (k 3)x22k4是二次函数,求的值k2k4k2k 4 2,是二次函数,则k 3 0，由k k 4 2得k k 6 0,即(k 3)(k 2)0，得k1 3,k2 2.显然,当 k-3 时,原函数为=，不是二次函数.k=2 即为所求类型二、二次函数的图象及性质的应用类型二、二次函数的图象及性质的应用222.把抛物线y x向左平移个单位,然后向上平移3 个单位,则平移后抛物线的解析式为()Ay (x1)3y (x1)3C.y (x1)3Dy (x1)3【思路点拨】抛物线的平移问题,实质上是顶点的平移,原抛物线 y=x 顶点坐标为(0，0)，向左平移 1 个单位,然后向上平移 3 个单位后，顶点坐标为(-,3），根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式.【答案】D；【解析】根据抛物线的平移规律可知：y x向左平移 1 个单位可变成y (x1),再向上平移 3 个单位后可变成y (x1)3.【总结升华】(1)y ax图象向左或向右平移|h|个单位，可得y a(xh)的图象(h0 时向左,h0时向右).(2）y ax的图象向上或向下平移k|个单位，可得y ax k的图象(0 时向上,k3 时,y0;3a+b8a；其中正确的结论是（）.【思路点拨】B.D.先由抛物线的对称性求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为(3,0）,从而可知当 x3 时,0；由抛物线开口向下可知a 得23 时，y0,故正确;抛物线开口向下，故a0，x=1，ab=0.a+b=0+aab2，a0，c2 c20 2,与 2c3 矛盾,故错误.故选：.【总结升华】本题主要考查的是二次函数的图象和性质,掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数a、c 之间的关系是解题的关键.举一反三：举一反三：【变式变式】如图所示是二次函数y ax bxc图象的一部分,图象经过点（-3,）,对称轴为x 1.给出四个结论：b 4ac;2ab 0；abc 0；5a b其中正确结论是().22 AB C.D【答案】本例是利用二次函数图象的位置与a、b、的和、差、积的符号问题,其中利用直线x 1，x 1交抛物线的位置来判断abc，abc的符号问题应注意理解和掌握.-由图象开口向下,可知 a0，图象与 x 轴有两个交点,所以 b 4ac 0,b 4ac,确对称轴为x 故选 B.类型五、求二次函数的最值类型五、求二次函数的最值5 某商品的进价为每件 40 元,售价为每件 50 元,每个月可卖出 2件;如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元).设每件商品的售价上涨x 元(x 为正整数),每个月的销售利润为)y 元（1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围 ()每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为 2200 元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于220 元?【思路点拨】（1)每件商品的售价每上涨元,则每个月少卖 10 件，当每件商品的售价上涨x 元时，每个月可卖出(20-0 x)件,每件商品的利润为+50-40=10+x;(2)每个月的利润为卖出的商品数和每件商品的乘积，即(20-1x）(1x),当每个月的利润恰为2200 元时得到方程（0-0）(1+x)220求此方程中 x 的值【答案与解析】（)y=(21-l0 x)(50+x-4)=-10 x+10 x+2100（01且为整数）2(2)y-10(5.5)+202.5-100,当 x=5 时,y 有最大值 240.5.0 x15,且 x 为整数，当 x=5 时,5+x5，00(元)；当 x=6 时，50+x=5，y240(元).当售价定为每件 55 元或 56 元时，每个月的利润最大，最大的月利润是0 元 ()当 y=220时,-10 x+210220，解得 x1=1,x2=10当 x=1 时，0=51；当0 时,50+=60.当售价定为每件 5元或 60 元时,每个月的利润为 220 元.【总结升华】做此类应用题时,要明确题目中所给的信息,并找到其中相等的量可以用不同的表达式表示就可以列出方程举一反三：举一反三：【变式变式】某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于 55 元，市场调查发现，若每箱以 50 元的价格销售，平均每天销售0 箱，价格每提高 l 元，平均每天少销售箱。(1)求平均每天销售量 y(箱)与销售价 x（元/箱)之间的函数关系式.(2)求该批发商平均每天的销售利润(元)与销售价（元/箱）之间的函数关系式（)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?【答案】解：(1)y 903(x50),22b 1,所以b 2a，又由 a，ba，可得 5ab，正确.2a-化简得 y=-3+0(50 x55）.（2）w(x40）(-3x+24)3x2360 x9600(50 x55).（3)w=3x 360 x9600，a0，抛物线开口向下当x 2b 60时,有最大值，2a又 x1 的图象是在直线 y上方的两部分.答案:D【变式变式 2 2】已知:抛物线y x(a 2)x2a(a为常数，且a 0）2-（1)求证:抛物线与x轴有两个交点；（2)设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B(A在B左侧),与y轴的交点为C.当AC 2 5时,求抛物线的解析式;将中的抛物线沿x轴正方向平移t个单位(t0)，同时将直线l：y 3x沿y轴正方向平移t个单位.平移后的直线为l,移动后A、B的对应点分别为A、B.当t为何值时,在直线l上存在点P，使得ABP为以AB为直角边的等腰直角三角形?【答案】（)证明：令y 0,则x(a 2)x2a 0.=(a2)8a (a2).a 0,a 2 0.0方程x(a 2)x2a 0有两个不相等的实数根.抛物线与x轴有两个交点.()令y 0,则x(a 2)x2a 0,解方程,得x1 2,x2 aA在B左侧,且a 0,抛物线与x轴的两个交点为A(a,0),B(2,0)抛物线与y轴的交点为C,C(0,2a).AO a,CO 2a.222在 RtAOC中,AO CO (2 5),22222a2(2a)2 20-可得a 2a 0，a 2.抛物线的解析式为y x 4.依题意,可得直线l的解析式为y 3xt,2A(t 2,0),B(t 2,0)，AB AB 4.ABP为以AB为直角边的等腰直角三角形,当PAB90时,点P的坐标为(t 2,4)或(t 2,4).3(t 2)t 4.解得t 51或t 22当PBA90时,点P的坐标为(t 2,4)或(t 2,4).3(t 2)t 4.解得t 51或t （不合题意，舍去）2251或t 22综上所述，t-