中考数学 二次函数培优专题：二次函数与圆综合(含解析).pdf
培优专题：二次函数与圆综合（含答案）培优专题：二次函数与圆综合（含答案）例题例题1.1.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y ax2 bx c与 x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点 C，点 A 的坐标为(3,0)，若将经过 A、C 两点的直线y kx+b沿 y 轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x 2（1）求直线 AC 及抛物线的函数表达式；（2）如果P是线段AC上的一点，设三角形ABP、三角形BPC的面积分别为SABP、且SABP:SBPC 2:3，SBPC，求点 P 的坐标；（3）设e Q的半径为 1，圆心Q 在抛物线上运动，则在运动的过程中是否存在e Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心 Q 的坐标；若不存在，请说明理由并探究：若设e Q的半径为 r，圆心 Q 在抛物线上运动，则当 r 取何值时，e Q与两坐标轴同时相切？y1O1x【答案】（1）因为y kx+b沿 y 轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点，所以b 3，C(0,3)，将A(3,0)代入y kx3，得3k 30，解得k 1所以直线 AC 为：y x+3因为抛物线的对称轴是直线x 2，a 19a 3b c 0所以，解得b 4.c 2c 3b 22a所以抛物线的函数表达式为：y x2 4x 3.（2）如图，过点 B 作BD AC于点 D.因为SABP:SBPC 2:3，所以AP:PC 2:3.过点 P 作PE x轴于点 E，则PE/CO，PEAP2.所以APEACO.所以COAC5所以PE 26699 6OC.所以=x 3，解得x .所以点 P 的坐标为,.55555 5（3）存在，设点 Q 的坐标为(x0,y0)当e Q与 y 轴相切时，有x01，即x0 1.当x0 1时，得y0(1)2 4(1)3 0，所以Q1(1,0).当x01时，得y012 41 3 8，所以Q2(1,8)，当e Q与 x 轴相切时，有y01，即y0 1，当y0 1时，得1 x02 4x0 3，即x0 4x0 4 0，解得x0 2，所以Q3(2,1)当y01时，得1 x02 4x0 3，即x02 4x0 2 0，解得x0 22，所以Q4(2 2,1)，Q5(2 2,1)综上所述，存在符合条件的e Q，其圆心 Q 的坐标分别为Q1(1,0)，Q2(1,8)，Q3(2,1)，Q4(2 2,1)，Q5(2 2,1)2探究：设点 Q 的坐标为(x0,y0).当e Q与两坐标同时轴相切时，有y0 x0.当y0 x0时，得x02 4x0 3 x0，即x02 3x0 3 0，此时 0，所以次方程无解.当y0 x0时，得x02 4x0 3 x0，即x02 5x0 3 0.解得x05 13.2513513时，e Q与两坐标同时轴相切.22当e Q的半径为r x02 33,例题例题2.2.在平面直角坐标系中，抛物线经过O(0,0)、A(4,0)、B三点.3（1）求此抛物线的解析式；（2）以 OA 的中点 M 为圆心，OM 的长为半径作e M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点 P作e M的切线 l，且 l 与 x 轴的夹角为30？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果保留根号）y1O1x【答案】（1）设抛物线的解析式为y ax2 bx c，2 3a 9c 08 3由题意，得16a 4b c 0，解得b .92 3c 09a 3b c 32 328 3x x.992 328 32 38 3（2）存在，抛物线y x x(x 2)29999所以抛物线的解析式为y 8 32,所以抛物线的顶点为，作抛物线和e M（如图）9设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点 B，与e M相切于点 C.连接 MC，过点 C 作CD x轴于点 D.因为MC OM 2，CBM 30，CM BC，所以BCM 90，BMC60，BM 2CM 4.所以OB2，所以B(2,0).在RtCDM中，DCM 90CMD30，CM 2.所以DM 1，CD 3.所以C(1,3).设切线 l 的解析式为y=kx+b，则可得3k k b 33.，解得2k b 0b 2 3332 3.x+3312 328 3x x2 6y x x1299，解得由题意，8 3.3y 2y=3x+2 3y 31233138 3,P所以点 P 的坐标为P、12226,3.因为抛物线和e M都关于直线x 2对称，则存在切线 l 关于x 2对称的直线l也满足条件.938 3P,P2,同样得到满足的点 P 关于P和对称，则得到、P3412.22313938 38 3,P,P6,P2,综上所述，这样的点 P 共有 4 个，P、1324.222233所以切线 BC 的解析式为y=1例题例题3.3.如图，抛物线y x2 x 3与 x 轴交于点 A、B，与y 轴交于点 C，顶点为点D，对称轴l 与直线4BC 交于点 E，与 x 轴交于点 F（1）求直线 BC 的解析式（2）设点 P 为该抛物线上的一个动点，以点P 为圆心、r 为半径作P当点 P 运动到点 D 时，若P与直线 BC 相交，求 r 的取值范围；4 5y若r，是否存在点P 使P与直线 BC 相切？若存在，请求出点P 的D5C坐标；若不存在，请说明理由E【答案】AOlFBx1（1）抛物线y x2 x 3中，41令y 0，得0 x2 x 3，解得x1 2，x2 6；4令x 0，得y 3；A(2,0)，B(6,0)，C(0,3)；16k b 0k 设直线 BC 的解析式为y kxb，则有：，解得2，b 3b 31直线 BC 的解析式为：y x 3；2（2）D(2,4)，E(2,2)；EF DE 2，BF 4；过 D 作DG BC于 G，则DEGBEF；DE:GE BF:EF 2:1，即DG 2GE；RtDGE中，设GE x，则DG2x，由勾股定理，得：GE2 DG2 DE2，2 54 5即：4x2 x2 4，解得x；DG 2x；554 5故 D、P 重合时，若P与直线 BC 相交，则r DG，即r；51 171 17P3 17,P3 17,存在符合条件的 P 点，且 P 点坐标为：P，(2,4)P(4,3)3412；22过点 F 作FM BC于 M；4 5DE EF 2，则RtDGE RtFME；FM DG r；5分别过 D、F 作直线 m、n 平行于直线 BC，则直线m 与直线 BC、直线n 与直线 BC 之间的距离都等于 x；所以 P 点必为直线 m、n 与抛物线的交点；设直线 m 的解析式为：y axh，1由于直线 m 与直线 m 与直线 BC 平行，则a ；2112 h 4，h 5，即直线 m 的解析式为y x 5；221同理可求得直线 x 的解析式为：y x 1；2联立直线 m 与抛物线的解析式，12y x x 3x 2x 44y得：，解得，；Dy 4y 3y 1x 52CEMGP1(2,4)，P2(4,3)；AB同理，联立直线 n 与抛物线的解析式可求得：OxF1 171 17P33 17,P3 17,，l4；22故存在符合条件的 P 点，1 171 17P3 17,P3 17,且坐标为：P，P2(4,3)341(2,4)22例题例题4.4.已知，如图 4-1，抛物线y ax bx c经过点A(x1,0)，B(x2,0)，C(0,2)，其顶点为 D以 AB为直径的e M交 y 轴于点 E、F，过点 E 作e M的切线交 x 轴于点 NONE30，|x1 x2|8（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；上的动点（Q 不与 E、F 重合）（2）如图4-2，点Q 为EBF，连结AQ 交 y 轴于点 H，问：AH AQ是否为定2值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由yENOAMBxFCD图 4-1图(a)【答案】（1）圆的半径r AB|x12 x2|282 4连接 ME，NE 是切线，MENE在RtMNE中，ONE30，MA ME 4EMN 60，MN 8，OM 2OA 2，OB6点 A、B 的坐标分别为(2,0)、(6,0)抛物线过 A、B 两点，所以可设抛物线解析式为：y a(x2)(x6)，又抛物线过点C(0,2，2 a(02)(06)，解得：a 16抛物线解析为：y 16(x 2)(x 6)126x23x2，2当x 3 2时，y 14222 8216336即抛物线顶点 D 的坐标为2,83（2）连接 AF、QF，在AQF和AFH中，由垂径定理易知：AE AFAQF AFH，又QAF HAF，AQF AFH，AFAQAHAF，AH AQ AF2yEQNHA OMBxFCD图 4-图(b)yENOAMBxFCD在RtAOF中，AF AO OF 2 (2 3)16（或利用AF2 AO AB 2816）AH AQ 16即：AH AQ为定值例题例题5.5.如图，已知点A 的坐标是(1,0)，点B 的坐标是(9,0)，以AB 为直径作e O，交 y 轴的负半轴于点C，连接 AC，BC，过 A，B，C 三点作抛物线（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是 AC 延长线上一点，BCE的平分线 CD 交e O于点 D，连接 BD，求直线 BD 的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点 P，使得PDBCBD？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由22222【答案】（1）连接OC，因为A(1,0)，B(9,0)，1所以OA OB OC AB 5，OA1，OOOAOA 4，2由勾股定理，得OC3，所以C(0,3)，设抛物线的解析式为y ax2bxc，1a 3 a b c 08c 3则，解得b ，381a 9b c 0c 318所以抛物线的解析式为y x2x 3；33（2）连接OD，则由圆周角定理，ACBBCE90，又 CD 平分BCE，所以BCD 45，BOD 2BCD90，所以可以得到D(4,5)，又B(9,0)，所以直线 BD 的解析式为：y x9.1/CB（3）存在，当DP时，能使，又可得，PDBCBDk1BC31119所以kDP1，且点D(4,5)，所以直线DPx，则1的解析式为y 333941941119x x y x 123322由题意，解得或（舍去）18y x2x 3y 41 29y 41292133669 4141 29,所以此时点P1.26过点 C 作 BD 的平行线，交e O于点 G，此时有，GDBGCB CBD.又可得kBD1，kCG1，所以直线 CG 的解析式为：y x3，设点G(m,m3)，作GH x轴交 x 轴于点 H，连接OG，则在RtOGH中，由勾股定理可得，m 7，所以此时G(7,4)，所以直线 DG 的解析式为：y 3x17，则y 3x 17x114 x2 3由题意，解得或（舍去），128y 8y 25y x x 32133所以此时点P2(14,25).9 4141 29,综上所述，P1，P2(14,25)26例题例题6.6.如图所示，抛物线与 x 轴交于点A(1,0)、B(3,0)两点，与 y 轴交于点C(0,3)以 AB 为直径作e M，过抛物线上一点 P 作e M的切线 PD，切点为 D，并与e M的切线 AE 相交于点 E，连结 DM 并延长交e M于点 N，连结 AN、AD（1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；（2）若四边形 EAMD 的面积为4 3，求直线 PD 的函数关系式；（3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EAMD 的面积等于DAN的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由yEDyPEDPAOMNCBxAOM FBxN【答案】（1）因为抛物线与x轴交于点A(1,0)，B(3,0)两点，设抛物线的函数关系式为：y a(x1)(x3)，抛物线与 y 轴交于点C(0,3)，3 a(01)(03)，a 1所以，抛物线的函数关系式为：y x2 2x 3，又y (x 1)2 4，因此，抛物线的顶点坐标为(1,4).（2）连结 EM，EA、ED 是e M的两条切线，EAAM，EDMN，EAMEDM，EA ED，1又四边形 EAMD 的面积为4 3，SEAM 2 3，AMAE 2 3，2又AM 2，AE 2 3，因此，点 E 的坐标为E1(1,2 3)或E2(1,2 3).当 E 点在第二象限时，切点D 在第一象限EA2 3在直角三角形 EAM 中，tanEMA3，AM2EMA 60，DMB60，过切点 D 作DF AB垂足为点 F，MF 1，DF 3.因此，切点 D 的坐标为(2,3)，设直线 PD 的函数关系式为y kxb，将E(1,2 3)、D(2,3)的坐标代入得3k 3 2k b3解之，得2 3 k b5 3b 335 3x.33当 E 点在第三象限时，切点D 在第四象限所以，直线 PD 的函数关系式为y 同理可求：切点 D 的坐标为(2,3)，直线 PD 的函数关系式为y 35 335 3或y xx.3333（3）若四边形 EAMD 的面积等于DAN的面积又S四边形EAMD 2SEAM，SDAN 2SAMDSAMD SEAM35 3x.33因此，直线 PD 的函数关系式为y E、D 两点到 x 轴的距离相等，PD 与e M相切，点 D 与点 E 在 x 轴同侧，切线 PD 与 x 轴平行，此时切线 PD 的函数关系式为y 2或y 2.当y 2时，由y x2 2x 3得，x 16；当y 2时，由y x2 2x 3得，x 12.故满足条件的点 P 的位置有 4 个，6,2)、P2(16,2)、P3(12,2)、P4(12,2).分别是P1(1例题例题7.7.如图，在直角坐标系中，以点A(3,0)为圆心，以2 3为半径的圆与 x 轴交于 B、C 两点，与y 轴交于 D、E 两点.（1）写出 B、C、D 三点的坐标；（2）若 B、C、D 三点在抛物线y ax2 bx c上，求这个抛物线的解析式；（3）若圆A 的切线交 x 轴正半轴于点 M，交y 轴负半轴于点 N，切点为P 且OMN 30，试判断直线MN是否经过所求抛物线的顶点？说明理由.【答案】（1）B(3,0)，C(3 3,0)，D(0,3)1a 33a 3b c 02 3（2）由题意得，27a 3 3b c 0，解得b ，3c 3 c 312 3所以抛物线的解析式为y x2x3，33（3）连接 AP，则AP 2 3，在RtAPM中，AMP30，则AM 4 3，所以M(5 3,0),所以直线 MN 解析式为y 3x5，312 31又（2）得抛物线y x2x 3(x 3)24，333所以抛物线的顶点为(3,4)，将顶点代入直线 MN 验证，得顶点在直线 MN 上.例题例题8.8.已知抛物线y ax2 bx c与 y 轴的交点为 C，顶点为 M，直线 CM 的解析式为y x2，并且线段 CM 的长为2 2；（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线与 x 轴有两个交点A(x1,0)、B(x2,0)，且点 A 在 B 的左侧，求线段 AB 的长；（3）若以 AB 为直径作e N，请判断直线 CM 与e N的位置关系，并说明理由【答案】（1）因为直线 CM 的解析式为y x2，所以C(0,2)，又线段 CM 的长为2 2，所以M(2,0)或M(2,4)，所以抛物线的解析式可得y 121x 2x2或y x22x2.2212（2）因为抛物线和 x 轴有两个交点A(x1,0)、B(x2,0)，所以此时抛物线为y x22x2，令y 0，得x1和x2是方程x22x2=0的两根，且x1 x2，12则由韦达定理得，x1 x2 4，x1x2 4，所以(x2 x1)2(x1 x2)2 4 x1 x2 32，所以AB x2 x1 4 2；（3）相切，由题意抛物线的对称轴应为x 2，所以N(2,0)，作NP CM于点 P，设直线CM 与 x 轴相交于点 D，则NPD 45，且D(2,0)，DN 4，所以得NP 2 2，而 AB 为e N的直径，且AB 4 2，N 点到直线 CM 的距离等于e N的半径，所以直线 CM 与e N相切.2y ax bx c交 x 轴于A(2,0)，B(6,0)两点，交 y 轴于例题例题9.9.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线点C(0,2 3)（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线y 2x交于点 D，作e D与 x 轴相切，e D交 y 轴于点 E、F 两点，求劣弧EF 所对圆心角的度数；（3）P 为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG 垂直于 x 轴，垂足为点 G，试确定 P 点的位置，使得PGA的面积被直线 AC 分为 1:2 两部分【答案】4a2bc 0（1）由题意，得36a6bc 0，c 2 33a 64 3解得b 3c 2 3所以抛物线的解析式为：y（2）由（1）得y 324 3x x2 3.63324 332 3，x x2 3（x4)26363所以它的对称轴为x 4，所以得D(4,8)，所以e D的半径为 8，作DH EF于点 H，连接 EH、FH，则DE DF 8，DH 4，且EDH FDH，在RtDEH中，DE 8，DH 4，cosEDH DH1，DE2所以EDH 60，EDF 2EDH 120，所以劣弧 EF 所对圆心角的度数为120.（3）设 AC 交 PG 于点 Q，则由题可知PGA被直线 AC 分为AQP和AQG，故SAQP:SAQG 2:1或1:2，所以 PQ AG:QG AG 2:1或1:2，22 11所以PQ:QG 2:1或1:2，由题，A(2,0)，C(0,2 3)，所以直线 AC 为y 3x2 3，324 3t,t t 2 3因为 P 点为抛物线第二象限上的一个点，设P6，t 0，3则Q(t,3t 2 3)，G(t,0)，所以PQ 324 3323t t 2 3(3t 2 3)t t，QG 3t 2 3，6363323t t 2(3t 2 3)，63解得t 12，(t 2舍去)，此时P(12,42 3)，当PQ:QG 2:1时，得3231，t t(3t 2 3）63215解得t 3，(t 2舍去)，此时P3,3，215综上所述，P(12,42 3)或P33,2当PQ:QG 2:1时，得
