1999考研数四真题及解析.pdf

欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 1 1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题 一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。把正确答案填写在题中横线上。)(1)设函数()xf xa(0a,1a)，则21limln(1)(2)()xfff nn (2)设2(,)xf x y ze yz，其中(,)zz x y是由0 xyzxyz确定的隐函数，则(0,1,1)xf (3)设101020101A，而2n 为整数，则12nnAA (4)已知ABBA,其中120210002，则A (5)设随机变量X服从参数为的泊松(Poisson)分布，且已知(1)(2)1E XX，则 二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)(1)设()f x是连续函数，()F x是()f x原函数，则()(A)当()f x是奇函数时，()F x必是偶函数。(B)当()f x是偶函数时，()F x必是奇函数。(C)当()f x是周期函数时，()F x必是周期函数。(D)当()f x是单调增函数时，()F x必是单调增函数。(2)设(,)f x y连续，且(,)(,)Df x yxyf u v dudv，其中D是由20,1yyxx所围成的区域，则(,)f x y等于 ()(A)xy (B)2xy (C)18xy (D)1xy (3)设向量可由向量组12,m 线性表示，但不能由向量组()121,m 线性表示，记向量组()121,m，则 ()(A)m不能由()线性表示，也不能由()线性表示。(B)m不能由()线性表示，但可由()线性表示。(C)m可由()线性表示，也可由()线性表示。(D)m可由()线性表示，但不可由()线性表示。(4)设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则()D XYDXDY是X和Y ()(A)不相关的充分条件，但不是必要条件。(B)独立的充分条件，但不是必要条件。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 2(C)不相关的充分必要条件。(D)独立的充分必要条件。(5)设随机变量X服从指数分布，则随机变量min,2YX的分布函数 ()(A)是连续函数。(B)至少有两个间断点。(C)是阶梯函数。(D)恰好有一个间断点。三、(本题满分6分)曲线1yx的切线与x轴，y轴围成一个图形，记切点的横坐标为a。试求切线方程和这个图形的面积。当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？四、(本题满分7分)计算二重积分Dydxdy，其中D是由直线 2,0,2xyy 以及曲线22xyy 所围成的平面区域。五、(本题满分6分)设生产某种产品必须投入两种要素，1x和2x分别为两要素的投入量，Q为产出量；若生产函数122Qx x，其中,为正常数，且1。假设两种要素得价格分别为1p和2p，试问：当生产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小。六、(本题满分6分)设()F x为()f x的原函数，且当0 x 时，2()()2(1)xxef x F xx。已知(0)1F，()0F x，求()f x。七、(本题满分6分)已知()f x连续，0()1 cosxtf xt dtx，求20()f x dx的值。八、(本题满分6分)证明：当0 x时，有sin2xx。九、(本题满分7分)设矩阵3221423Akk。问当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得1P AP为对角矩阵？欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 3 并求出P和相应的对角阵。十、(本题满分9分)已知线性方程组 123123222123000 xxxaxbxcxa xb xc x(1),a b c满足何种关系时，方程组仅有零解？(2),a b c满足何种关系时，方程组有无穷多解，并用基础解系表示全部解。十一、(本题满分9分)设二维随机变量(,)X Y在矩形(,)|02,01Gx yxy上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度()f s。十二、(本题满分8分)已知随机变量1X和2X的概率分布 1210101,1111142422XX 而且1201P X X。(1)求1X和2X的联合分布；(2)问1X和2X是否独立？为什么？欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 4 1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题 一、填空题(1)【答案】1ln2a【详解】把()xf xa代入原式得 1(1)2222111limln(1)(2)()limln()limlnnin ninnnfff naannn 2(1)1lnlimln22nn naan (2)【答案】1 【详解】函数2(,)xf x y ze yz两边对x求偏导得22xxfze yze yzxx，隐函数0 xyzxyz两边对x求偏导得10zzyzxyxx，解得11zyzxxy ，以点(0,1,1)代入，得0zx 所以 (0,1,1)1fx (3)【答案】O【详解】101020101A，根据矩阵的乘法，以及数与矩阵相乘，矩阵的每一个元素都要乘以该数，有 21011012021010200200402 0202101101202101AA 故有 1222(2)nnnAAAAAO 或由22AA，式子左右两端同右乘2nA，得2222nnAAA A，即12nnAA，得 12nnAAO 或由22AA，式子左右两端同右乘A，得2322(2)22(2)2A AAA AAAA，式子左右两端再同乘A，得342323(2)22 22AAAAAAAA，依次类推，得 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 5 1212,2,nnnnAA AA 所以 11211222 222nnnnnnAAAAAAO (4)【答案】11/201/210002【详解】由题设条件ABBA，得ABAB，即()A BEB，因为 120120210 212 050100002002B行行 故 120210002B是可逆矩阵，()A BEB左乘1B，得11()A BE BBBE，根据可逆的定义，知A可逆，且111()()ABE BB BE.()A BEB右乘1B，得11()B A BEB BE，根据可逆的定义，知BE可逆.故,A BE均可逆，且1()AB BE 先利用初等行变换求1()BE：利用初等行变换把BE化为单位矩阵的同时，单位矩阵经过相同的初等行变换化成了1()BE 020 120010011BE E 200 01012020 100001 001交换，行的顺序110001/20120101/20012()0010012 行行 所以 1102001/20()2001/200001001BE 故 12001/2011/202101/2001/210002001002A (矩阵的乘法)欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 6(5)【答案】1 【定义性质】方差的定义：22()()()D XE XE X；期望的性质：()E aXbYaEXbEY(其中,a b为常数)；Ecc(其中c为常数)【详解】若X服从参数为的泊松(Poisson)分布，则期望EX，方差DX；则 22(1)(2)(32)()32E XXE XXE XEX 因为X服从参数为的泊松(Poisson)分布，所以EX DX 所以 222()EXDXEX 所以 22(1)(2)3232E XXEXEX222 由已知 (1)(2)EXX得22221210 解得 1 二、选择题 (1)【答案】(A)【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.()f x的原函数()F x可以表示为0()(),xF xf t dtC于是00()()().utxxFxf t dtCfu duC 当()f x为奇函数时，()()fuf u，从而有 00()()()()xxFxf u duCf t dtCF x 即 F(x)为偶函数.故(A)为正确选项.(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：2()f xx是偶函数，但其原函数31()13F xx不是奇函数，可排除(B)；2()cosf xx是周期函数，但其原函数11()sin224F xxx不是周期函数，可排除(C)；()f xx在区间(,)内是单调增函数，但其原函数21()2F xx在区间(,)内非单调增函数，可排除(D).(2)【答案】(C)【详解】因为(,)Df u v dudv为一确定的数，不妨设(,)Df u v dudva，则(,)f x yxya，所以 2100(,)()()xDDaf x y dxdyxya dxdydxxya dy 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 7 51201()2123xaaxdx，解之得18a，所以1(,)8f x yxy，故应选(C).(3)【答案】(B)【详解】方法 1：可由向量组12,m 线性表示，即存在常数12,mk kk使得 1122mmkkk (*)不能由121,m 线性表出，从而知0mk(若0mk，则1 12211mmkkk，这和不能由121,m 线性表出矛盾.)(*)可变为 112211mmmmkkkk，上式两端同除mk 1122111()mmmmkkkk m能由(II)线性表示，排除(A)(D).m不能由121,m 线性表示，若能，即存在常数121,m 使得 112211mmm，代入(*)得 1122112211()mmmkkk 111222111()()()mmmmmmkkkkkk 这和不能由121,m 线性表出矛盾，排除(C).故应选(B).方法 2：若取 12310010,1,0,10011 ，则123，即可由123,线性表出.假设存在常数12,k k，满足1122kk因为1212(,)2(,)3rr ，即方程组1122kk的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，故方程组无解，即不存在常数12,k k，满足1122kk，不能由12,线性表出，是满足题设条件的一个特例，此时，3不能由(I)12,线性表示，若存在常数12,l l，满足31122ll因为12123(,)2(,)3rr ，即方程组31122ll的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，故方程组无解，不存在常数12,l l，满足31122ll，故3不能由(I)12,线欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 8 性表示，但因为312，即3可由(II)12,线性表示，故应选(B).(4)【答案】C【详解】因为()()()2cov(,)D XYD XD YX Y且()()()D XYD XD Y 所以 cov(,)0X Y 由于 cov(,)00 xyX Y(不相关).故选C.(5)【答案】D 【详解】考虑分布函数的连续间断问题，我们需求出其分布函数.因为X服从指数分布，则其密度函数为：0()00 xXexfxx 其中0是参数 由分布函数的定义：()min(,2)F yP YyPXy(1)当0y 时，()0YFy(因为min,2YX，其中X和2都大于0，那么小于0是不可能事件)(2)当2y 时，()1YFy(因为min,2YX最大也就取到2，所以小于等于2是一定发生的，是必然事件)(3)当02y时,()min(,2)F yP YyPXyP Xy 0()1yyxyXfx dxedxe 所以 00()10212yYyFyeyy 因为 22lim()1(2)1YYyFyeF (0)，故在2y 处间断.故答案选D.三【详解】曲线1yx在曲线上点1(,)aa处的切线的斜率为3311|22x ax ayxa，由直线的点斜式方程得切线方程 311()2yxaaa，分别令0,0 xy得到与y轴，x轴的交点分别为3(0,)2Ra与(3,0)Qa.于是切线与x轴和y轴围成一个直角三角形，由三角形的面积公式得 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 9 1393242Saaa.当切点按x轴正项趋于无穷大时，这时，a，所以limaS 当切点按y轴正项趋于无穷大时，这时，0a，所以lim0aS 四【详解】解法1：区域D和1D如图所示，有1112DD DDydxdyydxdyydxdyII 显然 1021204D DIydxdydxydy 在极坐标系下，有 1(,)|02sin,2Drr 因此 12sin220sinDIydxdydrrdr 422881 cos4sin1 2cos233 422dd 于是 1242DydxdyII 解法2：如图所示，2(,)|22,02Dx yxyyy 222222020022y yDydxdyydydxydyyyy dy 22041(1)yydy 令1sinyt，有cosdytdt，则 2201(1)yydy222(1 sin)costtdt 222222coscossintdtttdt201cos22022tdt 五【详解】设两种要素的总投入费用为P，则由题意得1 122Pp xp x，题目问产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小，即是求函数1 122Pp xp x在约束条件12212Qx x下的条件最值.按格朗日数乘法，作函数 121 12212(,)(212)F x xp xp xx x，为求驻点求偏导并令其为零，即 O x D D1 y 2 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 10 11121121221220202120FpxxxFpx xxFx x 由前两式可得1221pxpx，解出2x代入第三个式子，得2116()pxp1226()pxp，因为驻点唯一，且实际问题在10 x，20 x 的范围内存在最小值，故2116()pxp，1226()pxp时P为最小.六、(本题满分6分)设()F x为()f x的原函数，且当0 x 时，2()()2(1)xxef x F xx.已知(0)1F，()0F x，求()f x.【详解】通过变换将问题转化称为求不定积分问题.因为()()F xf x，所以原式等价于 2()()2(1)xxeF x F xx，即 221()22(1)xxeFxx 于是 221()()(1)1xxxe dxFxxe dxx 1()11xxxed xexx 1xxxee dxx 1xxxeeCx 所以 ()1xxxeF xeCx 由初始条件()0F x，得 ()1xxxeF xeCx.又(0)1F，即000(0)11 0eFeC，所以0C 所以 ()11xxxxeeF xexx 所以 232()()2(1)xxef xF xx 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 11 七【分析】f xt中的变量是xt，故设法把x“转移”到f外.【详解】令uxt，则txu，dtdu，代入0()1 cosxtf xt dtx 得 0()()1 cosxxu f u dux 即 00()()1 cosxxxf u duuf u dux，两边对x求导，得 0()()()sinxf u duxf xxf xx 即 0()sinxf u dux 所以把2x代入得 20()sin12f x dx 八【详解】方法1：令 ()s i n2xxf x，有 11()cos22xfx 令 ()0fx，解得 022 a r c c o sxx(1)当00 xx时，()0fx，且仅在0 xx处0()0fx，所以()f x为单调增函数，且()(0)0f xf(2)当0 xx时，()0fx，所以()f x为单调减函数，且()()0f xf 所以，当0 x时，()sin02xxf x，即sin2xx.方法 2：因为当0 x，0 x，所以原不等式等价于sin12xx.令 ()s i n12xg xx 有 221cossincos(tan)222222()xxxxxxg xxx 当0 x时，有cos0,tan222xxx，所以()0g x，所以()g x单调减函数，所以()()0g xg，即sin102xx，即sin2xx.九【详解】欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 12 32232211423423EAkkkk(对应元素相减)故A的特征多项式 3221423EAkk3222 3111323k把，列加到 列上 1221201123k列列1223101001k行行 2(1)(1)令0EA，得1231,1，知A有特征值1231,1 (1)对于11，由 13222221121423424EAkkkk(对应元素相减)知()0EA X为 12322220424xkkxx 由于0EA，故()3r E A.又因EA中1，3行线性无关(224 84042 ，二阶子式不为零)，故()2r EA，则有()2r EA，则第2行必可由1，3行线性表出，故第二个方程可以用第一个和第三个方程将其化为零，是多余方程.对系数矩阵进行初等行变换，2222424kk2222 34242kk交换，行的顺序22221206031()0202kk 行行行行 2222310606000k行行11111()2010120006 行行 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 13 则其同解方程组为123200 xxxx，系数矩阵的秩为2，则其基础解系中含有1个(未知量的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取1x为自由未知量，取11x，得方程组的一个线性无关的解11,0,1T，故对应特征向量为11,0,1T(2)231，由()0EA X，因为 EAEA 1322111423kk 4220422kk422310000kk行行 当0k 时，()2rEA，则()0EA X的基础解系中只含有1个(未知量的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，即线性无关的特征向量只有一个，A只有两个线性无关的特征向量，A不能相似于对角阵.(n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.)当0k 时，42 2000000E A ，()1rEA，则其同解方程组为1234220 xxx，系数矩阵的秩为1，则()0EA X基础解系中含有2个(未知量的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取12,x x为自由未知量，分别取121,0 xx和120,1xx，得方程组的两个线性无关的解231,0,2,0,1,1TT，故有2个线性无关的特征向量231,0,2,0,1,1TT.从而知0k 时，A有三个线性无关的特征向量，A能相似于对角阵.存在可逆阵 123110,001121P 使得 1111P AP 十【详解】系数行列式为范德蒙行列式 222111()()()Dabccb ca baabc(1)当,a b c两两互不相等，即,ab bc ca时，()()()0cb ca ba，0D，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 14 方程组仅有零解.(如A是n阶方阵，0Ax 只有零解的充分必要条件是0A)(2)当0D 时，即当abc或bca或cab或abc时，则()3r A(系数矩阵的秩小于未知量的个数)，则方程组均有无穷多解，且 当abc时，因 222111Aaacaac22211121003100acaaca行行行行 11132()00000caca行行11112001000ca行 其同解方程组为123300 xxxx，()2r A，则其基础解系里含有 1 个(未知量的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取1x为自由未知量，取11x，得解1,1,0T，故方程组的全部解为11,1,0Tk，其中1k是任意常数.当cab时，因 222111Aabaaba22211121003100abaaba行行行行 11132()00000baba行行11112010000ba行 其同解方程组为123200 xxxx，()2r A，则其基础解系里含有 1 个(未知量的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取1x为自由未知量，取11x，得解1,0,1T，故方程组的全部解为21,0,1Tk，其中2k是任意常数.当bca时，因 222111Aabbabb22211121003100babbab行行行行 11132()00000abab行行11112100000ab行 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 15 其同解方程组为123100 xxxx，()2r A，则其基础解系里含有 1 个(未知量的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取2x为自由未知量，取21x，得解0,1,1T，故方程组的全部解为30,1,1Tk，其中3k是任意常数.当abc时，因 222111Aaaaaaa21112100031000aa行行行行 其同解方程组为1230 xxx，()1r A，则其基础解系里含有 2 个(未知量的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取12,x x为自由未知量，分别取120,1xx和121,0 xx，得解 0,1,1,1,0,1TT，故方程组的全部解为450,1,11,0,1,TTkk其中45,k k是任意常数.十一【详解】因二维随机变量(,)X Y在矩形(,)|02,01Gx yxy上服从均匀分布，则由二维均匀分布的概率密度等于1面积，得其联合概率密度函数为：1(,)(,)20 x yGg x y若 其他 求边长为X和Y的矩形面积SXY的概率密度()f s，需要求出S的分布函数()F s.由分布函数的定义：()F sP SsP XYs(1)当0s 时，()0F s (因为SXY，其中X和Y都大于0，那么小于0是不可能事件，而等于0时，其面积为0，则概率也为0)(2)当2s 时，()1F s (因为SXY，其中X最大为2，Y最大为1，所以SXY最大就只能为2，则2SXY是必然事件)(3)当02s时()(,)xy sF sP SsP XYsg x y dxdy (用定义法做这种题时，实质上就是转换成在所求概率的区域与原密度函数的定义域的交集上的一个二重积分).如图所示相当于在02,01xysxy与上对联合概率密度函数(,)g x y上的二重积分.(,)1()(,)2xy sxy sx yGF sP SsP XYsg x y dxdydxdy 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 16 112220111111222222sxDssDDssdxdydxdySdxdydxx (l n 2l n)(1l n 2l n)222sssss 故其分布函数为：00()(1 ln2ln)02212ssF ssss 由分布函数与密度函数的关系：()()f sF s 于是 1(ln2ln)02()20ssf s 其他 十二【详解】(1)给定1X和2X的概率分布，求1X和2X的联合分布，所给条件为1201P X X，这就需要从这个条件入手.事件120X X 包括121212120,0,0,1,1,0,1,0XXXXXXXX，所以从正面研究其概率是研究不清的，在这种情况下，往往需要通过其对立事件来研究.根据 1P AP A，有12120101 10P X XP X X 所以有 12121201,11,10PX XPXXPXX 再根据概率的非负性得 12121,11,10PXXPXX 又根据边缘概率的定义：,1,2,iiijijjjpP XxP Xx Yyp i,1,2,jjijijiipP YyP Xx Yypj(通俗点说就是在求关于X的边缘分布时，就把对应x的所有y都加起来，同理求关于Y的边缘分布时，就把对应y的所有x都加起来)因为 212121211,10,11,1P XP XXP XXP XX 所以 12212120,111,11,1P XXP XP XXP XX110 022 因为 1121200,00,1P XP XXP XX 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 17 所以 12112110,000,1022P XXP XP XX 因为 1121211,01,1P XP XXP XX 所以 12112111,011,1044P XXP XP XX 因为 1121211,01,1P XP XXP XX 所以 12112111,011,1044P XXP XP XX 即有 1X 2X 1 0 1 jp 0 14 0 14 12 1 0 12 0 12 ip 14 12 14 1 (2)若XY和相互独立，则,ijijP Xx YyP XxP Yy，即ijijpp p (这里对于任意,i j都成立，因此在判断两个随机变量不独立时，只要能找出一个点不满足ijijpp p，则两个随机变量一定是不独立的)本题中因为 121,10P XX，而 1211111428P XP X 即 12121,111P XXP XP X 故1X和2X不独立.