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中国古代数学的主要成就中国古代数学的主要成就周周髀髀算算经经|周髀算经是我国最早的天文著作，系统地记载了周秦以来适应天文需要而逐步积累的科技成果。该书的主要内容是周代传下来的有关测天量地的理论和方法。|周髀算经也是中国最古的算书，成书确切年代没有定论，一般认为在公元前2、3世纪。李约瑟认为：“最妥善的办法是把周髀算经看作具有周代的骨架加上汉代的皮肉。”勾股定理|昔者周公问于商高曰：“窃闻于大夫善数也，请问古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。”勾股定理|周髀算经中荣方与陈子的一段对话中，则包含了勾股定理的一般形式。|陈子曰：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为故，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日，”|周髀算经主要是以文字形式叙述了勾股算法。中国古代最先完成勾股定理证明的数学家是三国时期的赵爽（公元3世纪）。赵爽为周髀算经作注时，所作的“勾股圆方图注”中给出了“弦图”，相当于运用面积的出入相补证明了勾股定理。弦图|周髀算经还记载了商高的用矩之法：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。”九九章章算算术术|九章算术成书于公元前后，是我国最重要、影响最深远的一本数学著作。后世不少人，如刘徽、祖冲之、李淳风等人均对九章算术作过注。特别是刘徽的注，加进了不少自己的精辟见解，阐述了重要的数学理论。九章算术注是九章算术得以流芳百世的重要补充和媒介。九九章章算算术术|日本数学家小苍金之助把九章算术说成是中国的几何原本。吴文俊教授也认为，九章算术和刘徽的九章算术注，在数学的发展历史中具有崇高的地位，足可与希腊的几何原本东西辉映，各具特色。|九章算术全书共分9章，246道题，体例采用问题集形式。|第一章“方田”讲述有关平面图形（土地田亩）面积的计算方法，包括分数算法，38个问题。|一今有田广十五步，从十六步，问为田几何？答曰：一亩。二又有田广十二步，从十四步，问为田几何？答曰：一百六十八步。方田术曰：广从步数相乘得积步，以亩法二百四十步除之，即亩数，百亩为一倾。|五今有十八分之十二，问约之得几何？答曰：三分之二。|六又有九十一分之四十九，问约之得几何？答曰：十三分之七。|约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。|第二章“粟米”讲述有关粮食交换中的比例问题。书中的“今有术”给出比例式中已知三数求第四数的方法，欧洲迟至15世纪才出现。第三章“衰分”讲述配分比例和等差、等比等问题。|第四章“少广”讲述由田亩面积求边长，由球体积求经长的算法，这是世界上最早的多位数开平方、开立方法则的记载。开方术|今有积五万五千二百二十五步，问为方几何？答曰：二百三十五步。|开方术曰：置积为实，借一算步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除，除已，倍法为定法。其复除，折法而下。复置借算步之如初，以复议一乘之。所得副之，以加定法，以除，以所得副从定法。复除折下如前。|第五章“商功”讲述各种土木工程中的体积计算。我国自远古以来，对筑城、挖沟、修渠等土建工程积累了丰富的经验，创造了许多有关土方体积计算和估算的方法，本章即为经验和方法的理论总结，诸如长方体、台体、圆柱体、锥体等体积的计算公式都与现在一致，只是圆周率取3，误差较大。|第六章“均输”讲述纳税和运输方面的计算问题，实际上是比较复杂的比例计算问题。|第七章“盈不足”讲述算术中盈亏问题的解法。盈不足术实际上是一种线性插值法。该方法通过丝绸之路传入阿拉伯国家，受到特别重视，被称为“契丹算法”。后来传入欧洲，13世纪意大利数学家斐波那契的算经一书中专门有一章讲“契丹算法”。方程术|第八章“方程”讲述线性方程组的解法，还论及正负数概念及运算方法。|中算的方程，本意是指多元一次方程组（线性方程组）。刘徽在九章算术注中指出：“程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”方程术|今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、中、下禾实一秉各几何？正负术|正负数的加减运算法则：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”|“同名、异名”指“同号、异号”，“相除、相益”指“绝对值相减、相加”。前4句是减法规则，后4句是加法规则。|李文林在数学史教程中指出：“对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。如果说古希腊无理量是演绎思维的发现，那么中算负数则是算法思维的产物。中算家们心安理得地接受并使用了这一概念，并没有引起震撼和迷惑。”|国外首先承认负数的是7世纪印度数学家婆罗门及多，欧洲16世纪时韦达等数学家的著作还回避使用负数。勾股术|第九章“勾股”在周髀算经中勾股定理的基础上，形成了应用问题的“勾股术”，从此它成了中算中重要的传统内容之一。|今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？答曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺。|术曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，减之。余，倍出水除之，即得水深。加出水数，得葭长。刘刘徽徽的的数数学学成成就就|刘徽，公元3世纪魏晋时人，于公元263年撰九章算术注。该书包含了刘徽本人的许多创造，其中最突出的成就是“割圆术”和求积理论。|割圆术的要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。刘徽从圆内接正六边形出发将边数逐次加倍，计算每次得到的正多边形周长和面积。他指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”|刘徽用“割圆术”从圆内接正六边形出发，算到圆内接正192边形，得到圆周率约为3.14124，其精确到小数点后两位的近似值3.14=157/50，被称为“徽率”。|刘徽的面积、体积理论建立在一条简单而又基本的原理之上，这就是“出入相补原理”：一个几何图形被分成若干部分后，面积或体积的总和保持不变。刘徽利用这条原理成功地证明了九章算术中的许多面积公式。|刘徽在推证九章算术中的一些体积公式时，灵活地使用了两种无限小方法：极限方法与不可分量方法。比如，“阳马”（一种特殊的四棱锥）体积公式便是用极限方法推导出来的，而球体积公式的推导则使用了不可分量方法。|为计算球体积公式，刘徽将两个等边圆柱垂直相交时的公共部分称为“牟合方盖”，并证明了球体积与其外切的牟合方盖的体积比是/4。但他未能求得牟合方盖的体积。祖祖冲冲之之的的数数学学成成就就|祖冲之（公元429500）活跃于南朝宋、齐时代，出生于历法世家，本人做过南徐州（镇江）从事史和公府参军，都是地位不高的小官，但他却成为历代为数不多能名列正史的数学家之一。|祖冲之最大的数学成就是对圆周率的精确计算。得出了圆周率的上限3.1415927（盈数），下限3.1415926（肭数）。另外还得出了圆周率的两个分数形式的近似值约率22/7，和密率（祖率）355/113。|史料上没有关于祖冲之推算圆周率方法的记载，一般认为是沿用了刘徽的“割圆术”。刘徽用“割圆术”从圆内接正六边形出发，算到圆内接正192边形，得到圆周率约为3.14124，如果用这一方法算到圆内接正24576边形，便得到圆周率在3.1415926和3.1415927之间。祖冲之在圆周率的计算方面领先于西方近千年。为了纪念祖冲之的贡献，20世纪的日本天文学家将自己发现的一颗行星以祖冲之的名字命名。|从东汉以来，有关球体积的计算公式，经过张衡、刘徽等人的努力，最后由祖冲之和他的儿子祖暅完成，成为中国数学史上的一件大事。祖氏父子的这一成就，被唐代李淳风记录在自己的九章算术注中，才使人们得以了解其具体的研究方法。祖氏父子利用“两等高几何体，若在任意同一高度上的截面积均相等，则它们的体积相等”这一原理，求得牟合方盖的体积，然后利用刘徽的结果，得到了球体积公式。|祖暅还明确总结出了“幂势既同，则积不容异”这样一条求积原理。该原理现被称为“祖暅原理”。事实上，刘徽也使用过这一原理，只是未能将其概括为一般形式。这一原理在西方被称为卡瓦列里原理，但他17世纪前叶才提出，比祖暅迟了1100多年。算算经经十十书书|出于官方数学教育的需要，唐高宗亲自下令对以前的数学著作进行整理。公元656年由李淳风负责编定了算经十书：周髀算经、九章算术、孙子算经、五曹算经、张邱建算经、夏候阳算经、缉古算经、海岛算经、五经算术和缀术，后因缀术失传，而以数术记遗替代。孙子算经|鸡兔同笼鸡兔同笼今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉、兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二。术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。|物不知数物不知数今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之剩三；七七数之，剩二。问物几何？答曰：二十三。孙子歌|明代数学家程大位的算法统宗中所载的“孙子歌”以诗歌形式介绍了物不知数问题的解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆整半月，除百零五便得知。”|这一问题的解法后经秦九韶推广到一般情形，被称为“孙子定理”，又称为“中国剩余定理”。宋宋元元数数学学|宋元时期（960-1368）的杰出数学家秦九韶、杨辉、李冶、朱世杰被称为“宋元四大家”。|宋元时期的数学代表著作有数书九章（秦九韶）、详解九章算法（杨辉）、益古演段（李冶）和四元玉鉴（朱世杰）等 大大衍衍总总数数术术|问题：求满足的 最小自然数N。设 ，求乘率 使 则总数中中国国剩剩余余定定理理|秦九韶的算法非常严密，但他并没有对这一算法给出证明。到18、19世纪欧拉（1743）和高斯（1801）分别对一次同余式组进行了详细研究，重新独立地获得了与秦九韶“大衍术”相同的定理，并对模数两两互素的情形给出了严格证明。高斯的成果是最完整的，他还解决了模不是两两互素时的情形。1876年德国人马蒂生首先指出秦九韶的算法与高斯的算法是一致的，因此关于这一算法被称作“中国剩余定理”。西西方方数数学学的的传传入入|四元玉鉴是中国古代数学的绝唱，明代以后中国数学逐渐衰弱。而当16、17世纪，近代数学在欧洲蓬勃兴起的时候，中国数学就更加明显地落后了。|西方数学的传入从明朝开始。1602年（明万历34年），利玛窦与徐光启合译了几何原本前6卷，几何、三角、对数等传入国内。徐光启对几何原本的评价极高：“此书为益，能令学理者祛其浮气、练其精心，学事者资定其法、发其巧思，故举世无一人不当学。”“此书有四不必，不必疑、不必揣、不必试、不必改。”|元代中期数学高峰过后，由于社会制度等种种原因，数学发展速度减慢，有的数学领域（如天元术）甚至出现中断、失传现象。虽然西方初等数学传入，但发展速度却大大落后于同时代突飞猛进的欧洲各国。而西方现代数学的传入则是从清朝才开始的。对此作出重要贡献的是李善兰和华衡芳等人。|李善兰（18111882），浙江海宁人，是中国近代著名数学家。|李善兰的著作有方圆阐幽、古昔斋算学、考数根法、垛积比类等；译作有代微积拾级、代数学、几何原本后9卷，圆锥曲线说等。李善兰发明的“尖锥术”、“垛积术”具有独创性。|1859年李善兰与英国传教士伟烈亚力（Wylie）合译几何原本后9卷，及代微积拾级，创立的一些中文数学名词影响深远，如：代数学、微分、积分、曲率、极大、无穷、级数、方程、根等。|清政府于1862年创办京师同文馆。这是中国历史上的第一所新学堂，开始只学外语和汉语，1867年设天文算学馆，1868年聘李善兰为算学总教习。学习内容包括：代数学、几何原本、三角学、微积分等。结束结束