2.3 数学归纳法.ppt
2.3 数学归纳法 我是我是一毛一毛我是我是二毛二毛我是我是三毛三毛我是我是谁？谁？我不是我不是四毛！四毛！我是小我是小明！明！猜：四猜：四毛！毛！1.1.了解数学推理的常用方法（归纳法）了解数学推理的常用方法（归纳法）.2.2.了解数学归纳法的原理及使用范围了解数学归纳法的原理及使用范围.3.3.初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论.4.4.会用数学归纳法证明一些简单的等式问题会用数学归纳法证明一些简单的等式问题.（重点、难点）（重点、难点）探究点探究点 数学归纳法的原理与定义数学归纳法的原理与定义问题问题1:1:口袋中有口袋中有4 4个吃的东西，如何证明它们都是个吃的东西，如何证明它们都是糖？糖？把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法.完全归纳法完全归纳法（1 1）求出数列前）求出数列前4 4项项,你能得到什么猜想？你能得到什么猜想？（2 2）你的猜想一定是正确的吗？）你的猜想一定是正确的吗？猜想数列的通项公式为：猜想数列的通项公式为：解解:不完全归纳法不完全归纳法从一类对象中的部分对从一类对象中的部分对象都具有某种性质推出象都具有某种性质推出这类对象全体都具有这这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法种性质的归纳推理方法验证验证:逐一验证，不可能！逐一验证，不可能！能否通过有限个步骤的推理，证明能否通过有限个步骤的推理，证明n n取所有正整数都取所有正整数都成立？成立？数学归纳法与多米诺骨牌有怎样的相似之处呢？数学归纳法与多米诺骨牌有怎样的相似之处呢？多米诺骨牌多米诺骨牌数学归纳法的第一步：先证明数学归纳法的第一步：先证明n n取第一个值时命题成取第一个值时命题成立立.相当于多米诺骨牌开始倒的第一张相当于多米诺骨牌开始倒的第一张.数学归纳法的第二步：假设当数学归纳法的第二步：假设当n=kn=k时命题成立，时命题成立，并证明当并证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立.相当于多米诺骨牌第相当于多米诺骨牌第k k张倒后第张倒后第k+1k+1张是否也会跟着张是否也会跟着倒倒.1.1.第几块骨牌，数列第几项都是与正整数有关的问题第几块骨牌，数列第几项都是与正整数有关的问题.2.2.共同点是任意前一个的情况都可以推出后一个的情共同点是任意前一个的情况都可以推出后一个的情况况.多米诺骨牌与我们要解决的问题多米诺骨牌与我们要解决的问题2 2有相似性吗？有相似性吗？相似性体现在哪些方面呢？相似性体现在哪些方面呢？上述上述2 2，事实上给出了一个递推关系，换言之就，事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第是假设第k k块倒下，则相邻的第块倒下，则相邻的第k+1k+1块也倒下块也倒下.你能你能类类比多米比多米诺诺骨牌游骨牌游戏戏牌全倒条件，牌全倒条件，证证明上明上述述问题问题2 2猜想的猜想的结论吗结论吗？猜想数列的通项公式为猜想数列的通项公式为证明证明:(1)(1)当当猜想成立猜想成立.(2)(2)那么那么,当当根据根据(1)和和(2)，猜想对于任何，猜想对于任何 都成立都成立.一般地，证明一个与正整数一般地，证明一个与正整数n n有关的命题，可有关的命题，可按下列步骤进行：按下列步骤进行：1.1.（归纳奠基（归纳奠基)证明当证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0(n n0 0 N N*)时命题时命题成立成立.2.2.（归纳递推）假设当（归纳递推）假设当n=k(n=k(knkn0 0，k k N N*)时命题成立，时命题成立，证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从n n0 0开始的所有正整数开始的所有正整数n n都成立都成立.这种证明方法叫做这种证明方法叫做数学归纳法数学归纳法.若若n=k(k n n0 0)时命题成立，时命题成立，证明证明n=k+1时命题也成立时命题也成立.验证验证n=n0时时命题成立命题成立.命题对从命题对从n n0 0开始所有开始所有的正整数的正整数n 都成立都成立.归纳奠基归纳奠基归纳递推归纳递推数学归纳法：数学归纳法：两个步骤两个步骤 一个结论一个结论缺一不可缺一不可已知三角形内角和为已知三角形内角和为180180，四边形的内角和为四边形的内角和为360360，五边形的内角和为，五边形的内角和为540540，于是有：凸，于是有：凸n n边边形的内角和为形的内角和为(n-2)(n-2)180180，若用数学归纳法证，若用数学归纳法证明，第一步验证明，第一步验证n n取第一个正整数时命题成立，则取第一个正整数时命题成立，则第一个正整数取值为第一个正整数取值为_3 3【即时训练即时训练】例例1 1 用数学归纳法证明用数学归纳法证明证明：证明：（1）当）当n=1时，时，左边左边=12=1,右边右边=1 等式成立等式成立(2)假设当假设当n=k()时等式成立时等式成立,即即那么那么,当当n=k+1时时即当即当n=k+1时等式也成立时等式也成立.根据根据(1)和和(2),可知等式对任何可知等式对任何 都成立都成立.用数学归纳法证明用数学归纳法证明:(n+1)(n+2):(n+1)(n+2)(n+nn+n)=2n)=2n 1 1 3 3(2n-1)(2n-1)时，在证明时，在证明n=k+1n=k+1时：左边代数式时：左边代数式为为 ，共有共有 项，从项，从k k到到k+1k+1左边需要增乘的代左边需要增乘的代数式为数式为_._.(k+1)+1(k+1)+1(k+1)+2(k+1)+2(k+1)+(k+1)(k+1)+(k+1)k+1k+1【变式练习变式练习】即即n=k+1n=k+1时等式成立时等式成立.所以等式对一切自然数所以等式对一切自然数 均成立均成立.【总结提升总结提升】问题问题1 1：甲同学猜想：甲同学猜想 用数学归纳法证明步骤如下：用数学归纳法证明步骤如下：证明：证明：假设假设n=kn=k时等式成立，即时等式成立，即那么那么上述证法是正确的吗？为什么？上述证法是正确的吗？为什么？结论结论1 1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无可有可无.问题问题2 2：乙同学用数学归纳法证明：乙同学用数学归纳法证明如采用下面证法，对吗？为什么？如采用下面证法，对吗？为什么？结论结论2 2：在第二步中在第二步中,证明证明n=k+1n=k+1命题成立时命题成立时,必须用到必须用到n=kn=k命题成立这一归纳假设命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效造成推理无效.计计算算S S1 1，S S2 2，S S3 3，S S4 4，根据，根据计计算算结结果，猜想果，猜想S Sn n的表达式，并用数学的表达式，并用数学归纳归纳法法进进行行证证明明.例例2 2 已知数列已知数列，解：解：可以看到，上面表示四个结果的分数中，分可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数子与项数n n一致，分母可用项数一致，分母可用项数n n表示为表示为3n+1,3n+1,于是于是可以猜想可以猜想 下面我们用数学归纳法证明这个猜想下面我们用数学归纳法证明这个猜想.(1)(1)当当n=1n=1时，时，猜想成立猜想成立.(2)(2)假设假设n=k n=k 时时,猜想成立，即猜想成立，即那么那么所以，当所以，当n=k+1n=k+1时时,猜想也成立猜想也成立.证明证明:(1)当当n=1时时,左边左边=,(2)假设假设n=k(kN*)时原等式成立时原等式成立，即，即右边右边=此时，原等式成立此时，原等式成立.【变式练习变式练习】那么那么n=k+1时时,这就是说，当这就是说，当n=k+1时时,命题也成立命题也成立.由由(1)(2)知知,对一切正整数对一切正整数n,原等式均正确原等式均正确.例例3 3 求证求证:(n+1)(n+2)n+1)(n+2)(n+nn+n)=2)=2n n 1 1 3 3 (2n-1)(2n-1)证证明：明：【解解题题关关键键】第一步第一步验证验证n n取第一个正整数取第一个正整数1 1时时等式成等式成立，第二步假定立，第二步假定n=n=k(kNk(kN*)*)时时命命题题成立，再推成立，再推证证n=k+1n=k+1时时成立成立.【变式练习变式练习】【证证明明】(1)(1)当当n=1n=1时时，左，左边边=右右边边=左左边边=右右边边，所以等式成立，所以等式成立(2)(2)假假设设n=k(k1)n=k(k1)时时等式成立，即有等式成立，即有所以当所以当n=k+1n=k+1时时，等式也成立，等式也成立由由(1)(1)、(2)(2)可知，可知，对对一切一切nNnN*等式都成立等式都成立1.(20151.(2015南阳高二南阳高二检测检测)命命题题P(nP(n)满满足：若足：若n=n=k(kNk(kN*)成立，成立，则则n=k+1n=k+1成立，下面成立，下面说说法正确的是法正确的是()A.P(6)A.P(6)成立成立则则P(5)P(5)成立成立B.P(6)B.P(6)成立成立则则P(4)P(4)成立成立C.P(4)C.P(4)成立成立则则P(6)P(6)成立成立D.D.对对所有正整数所有正整数n n，P(nP(n)都成立都成立【解析解析】选选C.C.由由题题意知，意知，P(4)P(4)成立，成立，则则P(5)P(5)成立，若成立，若P(5)P(5)成立，成立，则则P(6)P(6)成立，所以成立，所以P(4)P(4)成立，成立，则则P(6)P(6)成立成立.C C2.2.下面四个判断中，正确的是下面四个判断中，正确的是()A.A.式子式子1+k+k2+1+k+k2+kn(nNkn(nN*)*)中，当中，当n=1n=1时时，式子的，式子的值为值为1 1B.B.式子式子1+k+k2+1+k+k2+kn-1(nN*)+kn-1(nN*)中，当中，当n=1n=1时时，式子的，式子的值为值为1+k1+kC.C.式子式子 (nN*)(nN*)中，当中，当n=1n=1时时，式子的，式子的值为值为D.D.设设f(xf(x)=(nN*)=(nN*)，则则f(k+1)=f(k+1)=f(kf(k)+)+C C3.3.用数学用数学归纳归纳法法证证明明1+2+21+2+22 2+2+2n+1n+1=2=2n+2n+2-1(nN-1(nN*)的的过过程中，在程中，在验证验证n=1n=1时时，左端，左端计计算所得的算所得的项为项为()A.1 B.1+2A.1 B.1+2C.1+2+2C.1+2+22 2 D.1+2+2 D.1+2+22 2+2+23 3C C 5.5.是否存在常数是否存在常数a a、b,b,使得等式使得等式:对一切正整数对一切正整数n n都成立都成立,并证明你的结论并证明你的结论.点拨点拨:对这种类型的题目对这种类型的题目,一般先利用一般先利用n n的特殊值的特殊值,探探求出待定系数求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整然后用数学归纳法证明它对一切正整数数n n都成立都成立.(2)(2)假设当假设当n=kn=k时结论正确时结论正确,即即:(1)(1)当当n=1n=1时时,由上面解法知结论正确由上面解法知结论正确.解解:令令n=1,2,n=1,2,并整理得并整理得以下用数学归纳法证明以下用数学归纳法证明:则当则当n=k+1n=k+1时时,故当故当n=k+1n=k+1时时,结论也正确结论也正确.根据根据(1)(1)、(2)(2)知知,对一切正整数对一切正整数n,n,结论正确结论正确.数学归纳法的一般步骤：数学归纳法的一般步骤：若若n=k(k n n0 0)时命题成立，时命题成立，证明证明n=k+1时命题也成立时命题也成立.验证验证n=n0时时命题成立命题成立.命题对从命题对从n n0 0开始的所开始的所有正整数有正整数n 都成立都成立.归纳奠基归纳奠基归纳递推归纳递推两个步骤两个步骤 一个结论一个结论缺一不可缺一不可 如果我们有着快乐的思想，我们就会快乐；如果我们有着凄惨的思想，我们就会凄惨.
