微分方程复习要点说课材料.ppt

1一阶微分方程一阶微分方程(wi fn fn chn)2可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程(wi fn fn chn)3二阶线性微分方程二阶线性微分方程(wi fn fn chn)的解的结构的解的结构4二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程(wi fn fn chn)一、第七章要点一、第七章要点(yodin)第一页，共60页。1一阶微分方程一阶微分方程(wi fn fn chn)1)可分离变量可分离变量(binling)的微分方程的微分方程解法解法类型类型2)一阶线性微分方程一阶线性微分方程(wi fn fn chn)类型类型解法解法第二页，共60页。3)齐次方程齐次方程(fngchng)此为变量此为变量(binling)可分离的微可分离的微分方程分方程类型类型解法解法 令令 ，则，则 原方程变为原方程变为第三页，共60页。4)伯努利方程伯努利方程(fngchng)为一阶线性微分方程为一阶线性微分方程(wi fn fn chn)类型类型解法解法 令令 ，则原方程变为，则原方程变为第四页，共60页。2可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程(wi fn fn chn)方法方法 作作 次积分次积分新方程是一个新方程是一个(y)一阶微分方程一阶微分方程1)类型类型2)类型类型方法方法 令令 ，则原方程转变为，则原方程转变为第五页，共60页。新方程新方程(fngchng)是一个一阶微分是一个一阶微分方程方程(fngchng)3)类型类型 方法方法 令令 ，则原方程转变为，则原方程转变为第六页，共60页。3二阶线性微分方程二阶线性微分方程(wi fn fn chn)的解的结构的解的结构设二阶线性微分方程设二阶线性微分方程(wi fn fn chn)而称方程而称方程(fngchng)为方程为方程所对应的齐次线性方程有所对应的齐次线性方程有1)若若 是方程是方程的线性无关解，则方程的线性无关解，则方程有通解有通解第七页，共60页。的一个的一个(y)特解特解2)若若 是方程是方程的特解，则方程的特解，则方程有通解有通解3)若若 是方程是方程 的特解，的特解，则则 为方程为方程第八页，共60页。4二阶常系数二阶常系数(xsh)线性微分方程线性微分方程1)二阶常系齐次数二阶常系齐次数(csh)线性微分方程线性微分方程设方程设方程(fngchng)相应的特征方程为相应的特征方程为则：则：若方程有两个不同的实根若方程有两个不同的实根 ，则方程的通解为，则方程的通解为第九页，共60页。若方程有两个相同的实根若方程有两个相同的实根 ，则方程的通解为，则方程的通解为若方程有一对共轭复根若方程有一对共轭复根 ，则方程的通，则方程的通解为解为第十页，共60页。2)二阶常系数二阶常系数(xsh)非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程设方程设方程(fngchng)为为则方程则方程(fngchng)有有特解特解其中其中 是一个与是一个与 同次的多项式，而同次的多项式，而若若 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 是特征方程的二重根是特征方程的二重根第十一页，共60页。设方程设方程(fngchng)则方程则方程(fngchng)有有特解特解其中其中 是是 次的多项式，次的多项式，而，而 按按 是否为特征方程的根而分别取是否为特征方程的根而分别取1或或0第十二页，共60页。二、例二、例 题题 选选 讲讲解解 此方程此方程(fngchng)为一个可分离变量的微分方程为一个可分离变量的微分方程(fngchng)分离变量，分离变量，因因得得例例1 求解方程求解方程 第十三页，共60页。两边两边(lingbin)积分，得积分，得即得原方程即得原方程(fngchng)的通解的通解第十四页，共60页。解解 原方程原方程(fngchng)变形后为齐次方程变形后为齐次方程(fngchng)例例2 求解方程求解方程 ，作变换作变换 ，则有，则有第十五页，共60页。移项移项(y xin)，得，得两边两边(lingbin)积分，得积分，得将将 代入，有代入，有第十六页，共60页。即满足即满足(mnz)初始条件初始条件的解为的解为由初始条件由初始条件 ，得，得 ，即原方程的解为，即原方程的解为第十七页，共60页。解解 原方程原方程(fngchng)变形为变形为即即例例3 求微分方程求微分方程 的通解的通解此是关于函数此是关于函数 的一阶线性非齐次线性微分方程，的一阶线性非齐次线性微分方程，由求解由求解(qi ji)公公式得式得第十八页，共60页。第十九页，共60页。分离分离(fnl)变量，变量，得得两边两边(lingbin)积分，得积分，得例例4 求解微分方程求解微分方程 解法解法1 此方程为齐次方程，作代换此方程为齐次方程，作代换 ，则有，则有第二十页，共60页。故方程故方程(fngchng)的通的通解为解为即即由于由于(yuy)第二十一页，共60页。解法解法2 方程方程(fngchng)变形为变形为故方程故方程(fngchng)的通的通解为解为代回原变量代回原变量(binling)，得，得此方程为贝努利方程，此时令此方程为贝努利方程，此时令 ，则有，则有第二十二页，共60页。例例5 求解求解(qi ji)下下列方程列方程即即方程方程(fngchng)的解为的解为1.；2.解解 1.此方程不含变量此方程不含变量 ，故令变换，故令变换 ，则方程为，则方程为第二十三页，共60页。即即所以所以(suy)，方程的，方程的通解为通解为第二十四页，共60页。方程方程(fngchng)变形为变形为即有即有2.此方程中不含变量此方程中不含变量 ，作变换，作变换 ，则，则第二十五页，共60页。解得解得即即分离变量后，再两边分离变量后，再两边(lingbin)积分得积分得从而从而(cng r)得方得方程的通解程的通解由由 ，得方程的解为，得方程的解为 由由第二十六页，共60页。例例6 求下列方程求下列方程(fngchng)的通解的通解解解 1.特征方程为特征方程为解得解得 ，由此得到方程的通解，由此得到方程的通解1.；2.；3.第二十七页，共60页。则则 2.特征方程为特征方程为 ，因而齐次方程的通解为，因而齐次方程的通解为由于由于 为单根，故可设方程的特解为为单根，故可设方程的特解为第二十八页，共60页。代入方程后，比较代入方程后，比较(bjio)系数系数得得所以所以(suy)因而因而(yn r)方程的方程的通解为通解为第二十九页，共60页。代入到原方程代入到原方程(fngchng)，得，得3.特征方程为特征方程为 ，解得，解得 ，所以齐次方，所以齐次方程的通解程的通解(tngji)为为注意到注意到 不是特征方程的根，故方程的特解可不是特征方程的根，故方程的特解可设为设为第三十页，共60页。1一阶微分方程一阶微分方程(wi fn fn chn)2可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程(wi fn fn chn)3二阶线性微分方程二阶线性微分方程(wi fn fn chn)的解的结构的解的结构4二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程(wi fn fn chn)一、第七章要点一、第七章要点(yodin)第三十一页，共60页。1一阶微分方程一阶微分方程(wi fn fn chn)1)可分离可分离(fnl)变量的微分方程变量的微分方程解法解法类型类型2)一阶线性微分方程一阶线性微分方程(wi fn fn chn)类型类型解法解法第三十二页，共60页。3)齐次方程齐次方程(fngchng)此为变量此为变量(binling)可分离的微分可分离的微分方程方程类型类型解法解法 令令 ，则，则 原方程变为原方程变为第三十三页，共60页。4)伯努利方程伯努利方程(fngchng)为一阶线性微分方程为一阶线性微分方程(wi fn fn chn)类型类型解法解法 令令 ，则原方程变为，则原方程变为第三十四页，共60页。2可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程(wi fn fn chn)方法方法 作作 次积分次积分新方程新方程(fngchng)是一个一阶微是一个一阶微分方程分方程(fngchng)1)类型类型2)类型类型方法方法 令令 ，则原方程转变为，则原方程转变为第三十五页，共60页。新方程新方程(fngchng)是一个一阶微是一个一阶微分方程分方程(fngchng)3)类型类型 方法方法 令令 ，则原方程转变为，则原方程转变为第三十六页，共60页。3二阶线性微分方程二阶线性微分方程(wi fn fn chn)的解的结构的解的结构设二阶线性微分方程设二阶线性微分方程(wi fn fn chn)而称方程而称方程(fngchng)为方程为方程所对应的齐次线性方程有所对应的齐次线性方程有1)若若 是方程是方程的线性无关解，则方程的线性无关解，则方程有通解有通解第三十七页，共60页。的一个的一个(y)特解特解2)若若 是方程是方程的特解，则方程的特解，则方程有通解有通解3)若若 是方程是方程 的特解，的特解，则则 为方程为方程第三十八页，共60页。4二阶常系数二阶常系数(xsh)线性微分方程线性微分方程1)二阶常系齐次数二阶常系齐次数(csh)线性微分方程线性微分方程设方程设方程(fngchng)相应的特征方程为相应的特征方程为则：则：若方程有两个不同的实根若方程有两个不同的实根 ，则方程的通解为，则方程的通解为第三十九页，共60页。若方程有两个相同的实根若方程有两个相同的实根 ，则方程的通解为，则方程的通解为若方程有一对共轭复根若方程有一对共轭复根 ，则方程的通，则方程的通解为解为第四十页，共60页。2)二阶常系数二阶常系数(xsh)非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程设方程设方程(fngchng)为为则方程则方程(fngchng)有有特解特解其中其中 是一个与是一个与 同次的多项式，而同次的多项式，而若若 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 是特征方程的二重根是特征方程的二重根第四十一页，共60页。设方程设方程(fngchng)则方程则方程(fngchng)有特有特解解其中其中 是是 次的多项式，次的多项式，而，而 按按 是否为特征方程的根而分别取是否为特征方程的根而分别取1或或0第四十二页，共60页。二、例二、例 题题 选选 讲讲解解 此方程此方程(fngchng)为一个可分离变量的微分方程为一个可分离变量的微分方程(fngchng)分离变量，分离变量，因因得得例例1 求解方程求解方程 第四十三页，共60页。两边两边(lingbin)积分，得积分，得即得原方程即得原方程(fngchng)的通解的通解第四十四页，共60页。解解 原方程原方程(fngchng)变形后为齐次方程变形后为齐次方程(fngchng)例例2 求解方程求解方程 ，作变换作变换 ，则有，则有第四十五页，共60页。移项移项(y xin)，得，得两边两边(lingbin)积积分，得分，得将将 代入，有代入，有第四十六页，共60页。即满足即满足(mnz)初始条件初始条件的解为的解为由初始条件由初始条件 ，得，得 ，即原方程的解为，即原方程的解为第四十七页，共60页。解解 原方程原方程(fngchng)变形为变形为即即例例3 求微分方程求微分方程 的通解的通解此是关于函数此是关于函数 的一阶线性非齐次线性微分方程，的一阶线性非齐次线性微分方程，由求解由求解(qi ji)公公式得式得第四十八页，共60页。第四十九页，共60页。分离分离(fnl)变变量，得量，得两边两边(lingbin)积积分，得分，得例例4 求解微分方程求解微分方程 解法解法1 此方程为齐次方程，作代换此方程为齐次方程，作代换 ，则有，则有第五十页，共60页。故方程故方程(fngchng)的通的通解为解为即即由于由于(yuy)第五十一页，共60页。解法解法(ji f)2 方程变方程变形为形为故方程故方程(fngchng)的通的通解为解为代回原变量代回原变量(binling)，得，得此方程为贝努利方程，此时令此方程为贝努利方程，此时令 ，则有，则有第五十二页，共60页。例例5 求解求解(qi ji)下下列方程列方程即即方程方程(fngchng)的解为的解为1.；2.解解 1.此方程不含变量此方程不含变量 ，故令变换，故令变换 ，则方程为，则方程为第五十三页，共60页。即即所以所以(suy)，方程，方程的通解为的通解为第五十四页，共60页。方程方程(fngchng)变形为变形为即有即有2.此方程中不含变量此方程中不含变量 ，作变换，作变换 ，则，则第五十五页，共60页。解得解得即即分离变量分离变量(binling)后，再两后，再两边积分得边积分得从而得方程从而得方程(fngchng)的通解的通解由由 ，得方程的解为，得方程的解为 由由第五十六页，共60页。例例6 求下列方程求下列方程(fngchng)的通解的通解解解 1.特征方程为特征方程为解得解得 ，由此得到方程的通解，由此得到方程的通解1.；2.；3.第五十七页，共60页。则则 2.特征方程为特征方程为 ，因而齐次方程的通解为，因而齐次方程的通解为由于由于 为单根，故可设方程的特解为为单根，故可设方程的特解为第五十八页，共60页。代入方程代入方程(fngchng)后，比较后，比较系数得系数得所以所以(suy)因而方程因而方程(fngchng)的通解为的通解为第五十九页，共60页。代入到原方程代入到原方程(fngchng)，得，得3.特征方程为特征方程为 ，解得，解得 ，所以齐次方，所以齐次方程的通解程的通解(tngji)为为注意到注意到 不是特征方程的根，故方程的特解可不是特征方程的根，故方程的特解可设为设为第六十页，共60页。