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弹性力学逆解法和半逆解法多项弹性力学逆解法和半逆解法多项式解法式解法第二章 平面应力问题和平面应变问题第三节第三节 位移分量的求出位移分量的求出第四节第四节 简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载第五节第五节 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力例题例题第一节第一节 逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法 多项式解答多项式解答第二节第二节 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲第三章 平面问题的直角坐标解答第三章 平面问题的直角坐标解答第三章 平面问题的直角坐标解答第三章 平面问题的直角坐标解答第三章 平面问题的直角坐标解答第三章 平面问题的直角坐标解答第三章 平面问题的直角坐标解答 由式（d），求出应力；半逆解法 校核全部应力边界条件（对于多连体，还须满足位移单值条件）。如能满足，则为正确解答；否则修改假设，重新求解。第三章 平面问题的直角坐标解答思考题半逆解法1.在单连体中，应力函数必须满足哪些条件？逆解法和半逆解法是如何满足这些条件的？2.试比较逆解法和半逆解法的区别。第三章 平面问题的直角坐标解答3-2 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲 梁lh1，无体力，只受M作用（力矩/单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问题。问题提出 h/2 h/2lyx(l h)oMM第三章 平面问题的直角坐标解答 由逆解法得出，可取 ，且满足 求应力 (a)求解步骤：本题是平面应力问题,且为单连体，若按 求解，应满足相容方程及 上的应力边界条件。第三章 平面问题的直角坐标解答 检验应力边界条件，原则是:边界条件 b.后校核次要边界后校核次要边界（小边界），若不能精确满足应力边界条件，则应用圣维南原理，用积分的应力边界条件代替。a.先校核主要边界先校核主要边界（大边界），必须精确满足应力边界条件。第三章 平面问题的直角坐标解答主要边界主要边界 从式(a)可见，边界条件(b)均满足。满足。主要边界次要边界次要边界 x=0,l,(c)的边界条件无法精确满足。第三章 平面问题的直角坐标解答次要边界用两个积分的条件代替 第三章 平面问题的直角坐标解答 当 时，即使在 边界上面力不同于 的分布，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。式(d)的第一式自然满足，由第二式得出最终得应力解(e)第三章 平面问题的直角坐标解答 如果区域内的平衡微分方程已经满足，且除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件也都分别满足。则我们可以推论出，最后一个小边界上的三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）必然是满足的，因此可以不必进行校核。试对此结论加以说明。思考题第三章 平面问题的直角坐标解答3-3 位移分量的求出位移分量的求出 在按应力求解中，若已得出应力，如何在按应力求解中，若已得出应力，如何求出位移？求出位移？以纯弯曲问题为例，已知试求解其位移。问题提出第三章 平面问题的直角坐标解答1.由物理方程求形变求形变第三章 平面问题的直角坐标解答2.代入几何方程求位移求位移第三章 平面问题的直角坐标解答 对式(a)两边乘 积分,对式(b)两边乘 积分,求位移第三章 平面问题的直角坐标解答 再代入(c),并分开变量，上式对任意的 x,y 都必须成立，故两边都必须为同一常量 。求位移第三章 平面问题的直角坐标解答由此解出求位移得出位移为3.待定的刚体位移分量 ，须由边界约束条件来确定。第三章 平面问题的直角坐标解答2.代入几何方程，积分求 ；归纳：从应力求位移步骤：从应力求位移步骤：3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量1.由物理方程求出形变；第三章 平面问题的直角坐标解答2.铅直线的转角 故在任一截面x 处，平面截面假设成立。纯弯曲问题的讨论：1.弯应力 与材料力学的解相同。3.纵向纤维的曲率 同材料力学的结 果。故在纯弯曲情况下，弹性力学解与材料力 学解相同。第三章 平面问题的直角坐标解答思考题2.试证明刚体位移 实际上表示弹性体中 原点的平移和转动分量，并应用本节的解答加以 验证。提示：微分体的转动分量为1.弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材料力学 的解答在应力、形变等方面完全 一致。由此 是否可以说在纯弯曲情况下材料力学中的平截 面假设成立？第三章 平面问题的直角坐标解答3-4 简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载简支梁 ，受均布荷载 及两端支撑反力 。问题yxoll h/2 h/2第三章 平面问题的直角坐标解答现采用此假设。半逆解法按半逆解法半逆解法求解。假设应力分量。由材料力学因为因为所以，可假设所以，可假设因为所以，可假设第三章 平面问题的直角坐标解答 由应力分量推出应力函数的形式。由对 x 积分，对x再积分，(a)半逆解法第三章 平面问题的直角坐标解答 将 代入相容方程，求解 :相容方程对于任何 均应满足,故的系数均应等于0，由此得三个常微分方程。半逆解法第三章 平面问题的直角坐标解答式(b)中已略去对于 的一次式。将式(b)代入式(a)，即得 。(b)半逆解法解出:第三章 平面问题的直角坐标解答 对称性条件由于结构和荷载对称于 轴，故 应为 的偶函数，为 x的奇函数，故 。由 求应力。半逆解法 在无体力下，应力公式如书中式(f),(g),(h)所示。第三章 平面问题的直角坐标解答 考察边界条件。由此解出系数A,B,C,D。主要边界主要边界主要边界第三章 平面问题的直角坐标解答次要边界次要边界次要边界由此解出H，K.另一次要边界(x=-l)的条件，自然满足。应用圣维南原理，列出三个积分条件，第三章 平面问题的直角坐标解答最后应力解答：应力第三章 平面问题的直角坐标解答应力的量级应力的量级当 时,x l 同阶，y h 同阶.第一项 同阶,（与材料力学解同）;第二项 同阶,（弹性力学的修正项）同阶,（与材料力学解同）应力的量级同阶,（材料力学中不计）第三章 平面问题的直角坐标解答当 时,量级的值很小,可以不计。应力与材料力学解比较应力与材料力学解比较:最主要量级 ,和次要量级 ,在材料力学中均已反映，且与弹性力学相同。最小量级 ,在材料力学中没有。当 时,仅占主项 的1/15 (6%),应力比较中的弹性力学修正项：第三章 平面问题的直角坐标解答弹性力学与材料力学的解法比较弹性力学与材料力学的解法比较:应力比较 弹性力学严格考虑并满足了A内的平衡微分方程,几何方程和物理方程,以及S上的所有边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南原理,但只影响小边界附近的局部区域)。材料力学在许多方面都作了近似处理,所以得出的是近似解答。第三章 平面问题的直角坐标解答几何条件中引用平截面假定 沿 为直线分布；例如：边界条件也没有严格考虑；平衡条件中没有考虑微分体的平衡，只 考虑 的内力平衡；材料力学解往往不满足相容条件。第三章 平面问题的直角坐标解答 对于杆件，材料力学解法及解答具有足够的精度；对于非杆件，不能用材料力学解法求解，应采用弹性力学解法求解。第三章 平面问题的直角坐标解答1.当问题中的y轴为对称轴时，试说明 和 应为x的偶函数，而 应为x的奇函数。思考题2.对于梁的弯曲问题，试回忆在材料力学 中是如何考虑平衡条件的？第三章 平面问题的直角坐标解答 3.试说明从弹性力学得出的解答（3-6）不 符合平面截面假设。4.材料力学的解答往往不满足相容条件，为什么？第三章 平面问题的直角坐标解答3-5 3-5 楔形体受重力及液体压力楔形体受重力及液体压力 设有楔形体，左面垂直，顶角为，下端无限长，受重力及齐顶液体压力。oyxn第三章 平面问题的直角坐标解答用半逆解法半逆解法求解。因为应力 ,而应力的量纲只比高一次（L），所以应力 (x,y 一次式）,=即可假设应力为x,y 的一次式。（1）用量纲分析法假设应力:第三章 平面问题的直角坐标解答（2）由应力 关系式，应为x,y的三次式，（3）满足相容方程（4）由 求应力，第三章 平面问题的直角坐标解答（5）考察边界条件-本题只有两个大边大边 界界，均应严格满足应力边界条件。x=0 铅直面，解出解出第三章 平面问题的直角坐标解答斜边界上，须按一般的应力边界条件来表示，有第三章 平面问题的直角坐标解答其中由式（b)解出a、b,最后的应力解答,应力第三章 平面问题的直角坐标解答水平截面上的应力分布如图所示。第三章 平面问题的直角坐标解答楔形体解答的应用:作为重力坝的参考解答；分逢重力坝接近平面应力问题；在坝体中部的应力，接近楔形体的解答。重力坝规范规定的解法 材料力学解法（重力法）.重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。第三章 平面问题的直角坐标解答思考题 重力法是按应力求解的，试回忆应力分量 必须满足哪些条件？在重力法中考虑了哪些条件？第三章 平面问题的直角坐标解答例题1例题2例题3例题4例题8例题7例题6例题5第三章 平面问题的直角坐标解答例题1 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计，图3-5，试用应力函数 求解应力分量。第三章 平面问题的直角坐标解答图3-5ydyyxl h/2 h/2o第三章 平面问题的直角坐标解答解：本题是较典型的例题，已经给出了应力函数 ，可按下列步骤求解。1.将 代入相容方程，显然是满足的。2.将 代入式(2-24)，求出应力分量。第三章 平面问题的直角坐标解答3.考察边界条件：主要边界 上应精确满足式(2-15),第三章 平面问题的直角坐标解答 在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。注意x=0是负x面，图3-5中表示了负x面上的 的正方向，由此得：第三章 平面问题的直角坐标解答第三章 平面问题的直角坐标解答由(a),(b)解出 最后一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核。第三章 平面问题的直角坐标解答代入应力公式，得第三章 平面问题的直角坐标解答例题2 挡水墙的密度为 ，厚度为b,图示,水的密度为 ，试求应力分量。yox第三章 平面问题的直角坐标解答解：用半逆解法半逆解法求解。1.假设应力分量的函数形式。因为在 y=-b/2边界上，y=b/2 边界上，所以可假设在区域内 沿x 向 也是一次式变化，即 第三章 平面问题的直角坐标解答2.按应力函数的形式，由 推测 的形式，所以第三章 平面问题的直角坐标解答3.由相容方程求应力函数。代入 得要使上式在任意的x处都成立，必须 第三章 平面问题的直角坐标解答 代入 ，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式。第三章 平面问题的直角坐标解答 4.由应力函数求解应力分量。将 代入式(2-24),注意 ，体力求得应力分量为第三章 平面问题的直角坐标解答5.考察边界条件：主要边界主要边界 上,有得得得第三章 平面问题的直角坐标解答由上式得到第三章 平面问题的直角坐标解答求解各系数，由得得得得第三章 平面问题的直角坐标解答由此得又有代入A,得第三章 平面问题的直角坐标解答 在次要边界次要边界（小边界）x=0上，列出三个积分的边界条件：由式(g),(h)解出第三章 平面问题的直角坐标解答代入应力分量的表达式得最后的应力解答：第三章 平面问题的直角坐标解答例题3已知试问它们能否作为平面问题的应力函数？第三章 平面问题的直角坐标解答解：作为应力函数，必须首先满足相容方程，将 代入，(a)其中A=0，才可能成为应力函数；(b)必须满足 3(A+E)+C=0,才可能成为应力函数。第三章 平面问题的直角坐标解答例题4图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F和力矩 的作用，试用应力函数求解图示问题的应力及位移，设在A点的位移和转角均为零。第三章 平面问题的直角坐标解答bbAyxhOFFb/2第三章 平面问题的直角坐标解答解：应用应力函数求解：(1)校核 相容方程 ，满足.(2)求应力分量，在无体力时，得(3)考察主要边界条件主要边界条件，均已满足第三章 平面问题的直角坐标解答考察次要边界条件次要边界条件，在y=0上，满足。得得第三章 平面问题的直角坐标解答 上述应力已满足了 和全部边界条件，因而是上述问题的解。代入，得应力的解答，第三章 平面问题的直角坐标解答(4)求应变分量，第三章 平面问题的直角坐标解答(5)求位移分量，第三章 平面问题的直角坐标解答将u,v代入几何方程的第三式，两边分离变量，并全都等于 常数，即第三章 平面问题的直角坐标解答从上式分别积分，求出代入u,v,得第三章 平面问题的直角坐标解答再由刚体约束条件，得得得第三章 平面问题的直角坐标解答代入u,v,得到位移分量的解答在顶点x=y=0，第三章 平面问题的直角坐标解答例题5 图中矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布荷载。试用下列应力函数求解应力分量。第三章 平面问题的直角坐标解答yxo h/2 h/2l第三章 平面问题的直角坐标解答 解：应用上述应力函数求解：(1)将 代入相容方程，由此，第三章 平面问题的直角坐标解答(2)代入应力公式，在无体力下，得(3)考察主要边界条件主要边界条件第三章 平面问题的直角坐标解答对于任意的x值，上式均满足，由此得(a)(b)(c)(d)第三章 平面问题的直角坐标解答由(3)+(4)得由(3)-(4)得由(5)-(1)得(e)第三章 平面问题的直角坐标解答(4)考察小边界小边界上的边界条件(x=0),由得由式(2)和(6)解出（f）第三章 平面问题的直角坐标解答另两个积分的边界条件，显然是满足的。第三章 平面问题的直角坐标解答 于是将各系数代入应力表达式，得最后的应力解答。第三章 平面问题的直角坐标解答 读者试校核在x=l的小边界上，下列条件是满足的，第三章 平面问题的直角坐标解答例题6矩形截面的柱体受到顶部的集中力 和力矩M的作用，不计体力，试用应力函数求解其应力分量。Mqqhyxo b/2 b/2 第三章 平面问题的直角坐标解答 解：应用上述应力函数求解：(1)代入相容方程，(2)求应力分量，在无体力下，第三章 平面问题的直角坐标解答(3)考察边界条件，在主要边界主要边界在小边界小边界（x=0）第三章 平面问题的直角坐标解答第三章 平面问题的直角坐标解答再由(a),(b)式解出代入，得应力解答，第三章 平面问题的直角坐标解答例题7 试用应力函数求解图中所示的半无限平面体在的边界上受均布压力q的问题。第三章 平面问题的直角坐标解答第三章 平面问题的直角坐标解答 解：应校核相容方程和边界条件，若这些 量均满足，则可以求出其应力分量。本题得出的应力解答是第三章 平面问题的直角坐标解答例题8 试用应力函数 求解图中所示的半平面体在 的边界上受均布切力q的问题。第三章 平面问题的直角坐标解答第三章 平面问题的直角坐标解答 解：应校核相容方程和边界条件，若这些 量均满足，则可以求出其应力分量。本题得出的应力解答是