古希腊数学上课讲义.ppt

古希腊数学古希腊数学帕提农神庙(前447前432年）古希腊文明的象征之一古希腊文明的象征之一古典时期的希腊数学古典时期的希腊数学-哲学盛行、学派林哲学盛行、学派林立、名家百出立、名家百出亚历山大学派时期亚历山大学派时期-希腊数学的顶峰时期，希腊数学的顶峰时期，代表人物：欧几里得，阿基米德，阿波罗代表人物：欧几里得，阿基米德，阿波罗尼奥斯尼奥斯希腊数学的衰落希腊数学的衰落-罗马帝国的建立，唯理罗马帝国的建立，唯理的希腊文明被务实的罗马文明代替的希腊文明被务实的罗马文明代替古希腊数学的三个阶段古希腊数学的三个阶段古希腊数学与哲学的交织古希腊数学与哲学的交织 古希腊早期的自然科学往往是与哲学交织在古希腊早期的自然科学往往是与哲学交织在一起的，古希腊的自然哲学乃是古代自然科一起的，古希腊的自然哲学乃是古代自然科学的一种特殊形态，虽然有许多错误的东西，学的一种特殊形态，虽然有许多错误的东西，但也有不少合理的知识和包含着合理成分的但也有不少合理的知识和包含着合理成分的猜测恩格斯说：猜测恩格斯说：“在希腊哲学的多种多样在希腊哲学的多种多样的形式中，差不多可以找到以后各种观点的的形式中，差不多可以找到以后各种观点的胚胎、萌芽因此，如果理论自然科学想要胚胎、萌芽因此，如果理论自然科学想要追溯自己今天的一般原理发生和发展的历史，追溯自己今天的一般原理发生和发展的历史，它就不得不回到希腊人那里去它就不得不回到希腊人那里去”古希腊数学表现出很强的理性精神，追求哲学古希腊数学表现出很强的理性精神，追求哲学意义上的真理在公元前意义上的真理在公元前3、4百年的时候，他百年的时候，他们的数学思想中就已经涉及到了无限性、连续们的数学思想中就已经涉及到了无限性、连续性等深刻的概念性等深刻的概念经过古埃及和巴比伦人长期积累数学知识的萌经过古埃及和巴比伦人长期积累数学知识的萌芽时期以后，古希腊人把数学推进到了一个崭芽时期以后，古希腊人把数学推进到了一个崭新的时代古希腊数学不仅有十分辉煌的研究新的时代古希腊数学不仅有十分辉煌的研究成果，而且提出了数学的基本观点，建立数学成果，而且提出了数学的基本观点，建立数学理论的方法，给以后的数学发展提供了坚实的理论的方法，给以后的数学发展提供了坚实的基础基础 论证数学的发端论证数学的发端泰勒斯确定了几条最早的几何定理泰勒斯确定了几条最早的几何定理 现在已知最早的希腊数学家是泰勒斯，现在已知最早的希腊数学家是泰勒斯，贡献：贡献：等腰三角形两底角相等等腰三角形两底角相等 如果两个三角形有一边及这边上的两个如果两个三角形有一边及这边上的两个角对应相等，那么这两个三角形全等角对应相等，那么这两个三角形全等 直角彼此相等直角彼此相等 两条直线相交时，对顶角相等两条直线相交时，对顶角相等 圆的直径平分圆周圆的直径平分圆周 泰勒斯泰勒斯(约公元前约公元前624-前前547年年)古典时期的希腊数学之古典时期的希腊数学之毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯毕达哥拉斯(约公元前约公元前560-前前480年年)毕毕达达哥哥拉拉斯斯学学派派万物皆为数万物皆为数抽象对象毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派-万物皆数万物皆数希腊论证数学的另一位祖师是毕达哥拉斯。希腊论证数学的另一位祖师是毕达哥拉斯。在在爱琴海东部的萨摩斯岛建立了具有宗教、哲学、爱琴海东部的萨摩斯岛建立了具有宗教、哲学、科学性质的学派，致力于哲学和数学的研究，科学性质的学派，致力于哲学和数学的研究，繁荣兴旺达一个世纪以上。繁荣兴旺达一个世纪以上。毕达哥拉斯学派认为世界万物都是数，最重要毕达哥拉斯学派认为世界万物都是数，最重要的数是的数是1、2、3、4，而，而10则是理想的数；相应则是理想的数；相应地，自然界由点（一元）、线（二元）、面地，自然界由点（一元）、线（二元）、面（三元）和立体（四元）组成。他们认为自然（三元）和立体（四元）组成。他们认为自然界中的一切都服从于一定的比例数，天体的运界中的一切都服从于一定的比例数，天体的运动受数学关系的支配，形成天体的和谐。动受数学关系的支配，形成天体的和谐。毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派-几何成就几何成就 使几何学从经验上升到理论的关键性贡使几何学从经验上升到理论的关键性贡献应归功于毕达哥拉斯学派。他们基本献应归功于毕达哥拉斯学派。他们基本上建立了所有的直线形理论，包括三角上建立了所有的直线形理论，包括三角形全等定理、平行线理论、三角形的内形全等定理、平行线理论、三角形的内角和定理、相似理论等。角和定理、相似理论等。毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派正多边形和正多面体正多边形和正多面体毕达哥拉斯学派掌握了正多边形和正多面体的毕达哥拉斯学派掌握了正多边形和正多面体的一些性质。他们发现，同名正多边形覆盖平面一些性质。他们发现，同名正多边形覆盖平面的情况只有三种：正三角形、正方形、正六边的情况只有三种：正三角形、正方形、正六边形，而且这些正多边形个数之比为形，而且这些正多边形个数之比为6：4：3，边，边数之比则为数之比则为3：4：6。毕达哥拉斯学派的另一项几何成就是正多面体毕达哥拉斯学派的另一项几何成就是正多面体作图，他们称正多面体为作图，他们称正多面体为“宇宙形宇宙形”。三维空。三维空间中仅有五种正多面体：正四面体、正六面体、间中仅有五种正多面体：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。正八面体、正十二面体、正二十面体。毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派正五边形与五角星正五边形与五角星在在五五种种正正多多面面体体中中，除除正正十十二二面面体体外外，每每个个正正多多面面体体的的界界面面都都是是三三角角形形或或正正方方形形，而正十二面体的界面则是正五边形。而正十二面体的界面则是正五边形。正正五五边边形形作作图图与与著著名名的的“黄黄金金分分割割”有有关关。五五条条对对角角线线中中每每一一条条均均以以特特殊殊的的方方式式被被对对角角线线的的交交点点分分割割。据据说说毕毕达达哥哥拉拉斯斯学学派派就就是以五角星作为自己学派的标志的。是以五角星作为自己学派的标志的。黄金分割黄金分割 黄金分割又称黄金分割又称黄金律黄金律，是指事物各部分间，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为分之比，其比值为1 0.618或或1.618 1，即长段，即长段为全段的为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。感的比例，因此被称为黄金分割。毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派无理数的发现无理数的发现毕达哥拉斯学派的信条是毕达哥拉斯学派的信条是“万物皆数万物皆数”，这里的数实，这里的数实际上是指正的有理数。际上是指正的有理数。他们的一项重大发现是证明了勾股定理。他们知道满足直角三角形三边长的一般公式，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。这样一来，就否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。传说，毕达哥拉斯学派成员希帕苏斯（Hippasus，公元前470年左右）发现了“不可通约性”的现象，并在一次航海时公布了他的想法，结果被恐慌的毕达哥拉斯学派的其他成员抛进了大海。第一次数学危机不可通约性不可通约性的发现使毕达哥拉斯学派对的发现使毕达哥拉斯学派对许多定理的证明都不能成立。由此引发许多定理的证明都不能成立。由此引发了第一次数学危机。了第一次数学危机。例：如果两个三角形的高相同，则它们例：如果两个三角形的高相同，则它们的面积之比等于两底边之比。的面积之比等于两底边之比。ABCDE新比例论100多年后，欧多克斯（多年后，欧多克斯（Eudoxus,408-355）提出了提出了“新比例论新比例论”，才用回避的方法暂，才用回避的方法暂时消除了时消除了“第一次危机第一次危机”。新比例定义：设新比例定义：设A、B、C、D是任意四个是任意四个量，其中量，其中A和和B同类（即均为线段、角或面同类（即均为线段、角或面积），积），C和和D同类，若对任意两个（正）整同类，若对任意两个（正）整数数m和和n，mA与与nB的大小关系，取决于的大小关系，取决于mC与与nD的大小，则称的大小，则称A：B=C：D。古典时期的希腊数学之古典时期的希腊数学之柏拉图学派柏拉图学派柏拉图柏拉图(约公元前约公元前427-前前347年年)柏柏拉拉图图学学派派打开宇宙之迷的钥匙是打开宇宙之迷的钥匙是数与几何图形数与几何图形古典时期的希腊数学之古典时期的希腊数学之柏拉图学派柏拉图学派柏拉图（柏拉图（Plato，公元前公元前427-347年）是当时最年）是当时最著名的希腊哲学家之一，虽然他不是数学家，著名的希腊哲学家之一，虽然他不是数学家，但热心于数学科学，在柏拉图学园的门口挂但热心于数学科学，在柏拉图学园的门口挂着牌子：着牌子：“不懂几何者免进不懂几何者免进”。值得注意的。值得注意的是，公元前四世纪的重要数学工作几乎都是是，公元前四世纪的重要数学工作几乎都是柏拉图的朋友和学生做的。与柏拉图学园有柏拉图的朋友和学生做的。与柏拉图学园有联系的欧多克斯（联系的欧多克斯（Eudoxus，公元前公元前408-355年）是这一时期最大的数学家，他在几何学年）是这一时期最大的数学家，他在几何学上的研究成果，后来有些收入了欧几里得的上的研究成果，后来有些收入了欧几里得的几何原本几何原本。柏拉图不是数学家，却赢得了柏拉图不是数学家，却赢得了“数学家的数学家的缔造者缔造者”的美称，公元前的美称，公元前387年以万贯家财在雅年以万贯家财在雅典创办学院，讲授哲学与数学，直到典创办学院，讲授哲学与数学，直到529年东罗年东罗马君王查士丁尼下令关闭所有的希腊学校才告马君王查士丁尼下令关闭所有的希腊学校才告终止。终止。柏拉图柏拉图曾师从毕达哥拉斯学派，是哲学家苏格拉底（公元前469前399年）的学生。同时柏拉图还是柏拉图还是古希腊最著名的哲学家、科学家亚里士多德的老师。柏拉图学派柏拉图学派古典时期的希腊数学之古典时期的希腊数学之亚里斯多德学派亚里斯多德学派亚里士多德亚里士多德(约公元前约公元前384-前前322年年)吕吕园园学学派派古希腊最著名的古希腊最著名的哲学家、科学家哲学家、科学家形式逻辑方法形式逻辑方法用于数学推理用于数学推理矛盾律、排中律矛盾律、排中律古典时期的希腊数学之古典时期的希腊数学之亚里士多德学派亚里士多德学派亚里士多德（亚里士多德（Aristotle，公元前公元前384-322年）年）是柏拉图的学生和同事，相处达是柏拉图的学生和同事，相处达20年之年之久，公元前久，公元前335年成立了自己的学派，以年成立了自己的学派，以后曾是马其顿王亚历山大的老师。他是后曾是马其顿王亚历山大的老师。他是古典希腊时期最伟大的思想家，他的一古典希腊时期最伟大的思想家，他的一些思想在数学史上影响很大。些思想在数学史上影响很大。亚里士多德学派之亚里士多德学派之形式逻辑的建立形式逻辑的建立亚里士多德不象柏拉图那样只崇尚思辨，亚里士多德不象柏拉图那样只崇尚思辨，而是重视观察、分析和实验性的活动（如而是重视观察、分析和实验性的活动（如解剖）。亚里士多德是古希腊学者中最博解剖）。亚里士多德是古希腊学者中最博学的人，是古代百科全书式的自然科学家，学的人，是古代百科全书式的自然科学家，也是对近代自然科学影响最大的古代学者。也是对近代自然科学影响最大的古代学者。他的著作甚多，在自然科学方面主要有他的著作甚多，在自然科学方面主要有物理学、论产生和消灭、天论物理学、论产生和消灭、天论、气象学、动物的历史、论、气象学、动物的历史、论动物的结构等。动物的结构等。亚里士多德学派之亚里士多德学派之形式逻辑的建立形式逻辑的建立亚里士多德创立了以三段论（亚里士多德创立了以三段论（由大前提和小和小前提推出结论。如前提推出结论。如凡金属都能导电凡金属都能导电（大（大前提），前提），铜是金属铜是金属（小前提），（小前提），所以所以铜能导电铜能导电（结论）（结论）为中心的形式逻辑系为中心的形式逻辑系统。他认为科学需要归纳，由特殊的事例过统。他认为科学需要归纳，由特殊的事例过渡到一般命题，更需要用逻辑的推理由前提渡到一般命题，更需要用逻辑的推理由前提演绎出它的推论。亚里士多德的逻辑学著作演绎出它的推论。亚里士多德的逻辑学著作后来被汇编为工具论，对阿基米德、欧后来被汇编为工具论，对阿基米德、欧几里得等人的研究有重要影响。几里得等人的研究有重要影响。亚里士多德学派亚里士多德学派古典希腊时期的希腊人已经掌握了大量古典希腊时期的希腊人已经掌握了大量初等几何性质，加上亚里士多德建立了初等几何性质，加上亚里士多德建立了形式逻辑，这些都为形成一门独立的初形式逻辑，这些都为形成一门独立的初等几何的理论科学作好了充分的准备。等几何的理论科学作好了充分的准备。亚历山大（匈牙利,1980）亚历山大时期：希腊数学黄金时代亚历山大时期：希腊数学黄金时代古典希腊数学的黄金时代古典希腊数学的黄金时代-亚历山大时期的数学亚历山大时期的数学 古典希腊数学的黄金时代古典希腊数学的黄金时代-亚历山大时期的数学亚历山大时期的数学 从公元前从公元前330年左右到公元前年左右到公元前30年左右，希腊年左右，希腊数学的中心从雅典转移到了埃及的亚历山大数学的中心从雅典转移到了埃及的亚历山大城。亚历山大帝国一分为三后，托勒密帝国城。亚历山大帝国一分为三后，托勒密帝国统治希腊埃及，其首都亚历山大城成为希腊统治希腊埃及，其首都亚历山大城成为希腊文化的中心。文化的中心。托勒密一世曾经是亚里士多德的学生，他在托勒密一世曾经是亚里士多德的学生，他在执政后修建了缪斯艺术宫，这实际上是一个执政后修建了缪斯艺术宫，这实际上是一个大博物馆，收藏的图书和手稿据说有大博物馆，收藏的图书和手稿据说有5070万卷。当时的许多著名学者都被请到亚历山万卷。当时的许多著名学者都被请到亚历山大里亚，用国家经费供养着。大里亚，用国家经费供养着。这一时期思辩猜测已不盛行，观察、计算及定量分这一时期思辩猜测已不盛行，观察、计算及定量分析的方法开始流行。天文学家析的方法开始流行。天文学家阿利斯塔克阿利斯塔克（公元前（公元前310230），通过对日、月、地的体积和相对距离的），通过对日、月、地的体积和相对距离的观测和计算作出了日心说的猜测。他通过测量角度观测和计算作出了日心说的猜测。他通过测量角度推算出太阳直径比地球大六、七倍，并断定小天体推算出太阳直径比地球大六、七倍，并断定小天体（地球等）应围绕大天体（太阳）旋转。尽管他的（地球等）应围绕大天体（太阳）旋转。尽管他的计算很不精确，但思维方式是重要的。著名天文地计算很不精确，但思维方式是重要的。著名天文地理学家、数学家埃拉托色尼（约公元前理学家、数学家埃拉托色尼（约公元前284192）根）根据太阳在两个地方投影角之差，计算出地球的周长据太阳在两个地方投影角之差，计算出地球的周长是是24662英里（现在算出的通过地球南北极的周长为英里（现在算出的通过地球南北极的周长为24819英里），他绘制了世界地图，并标明了经纬线英里），他绘制了世界地图，并标明了经纬线以及寒带、热带和温带。以及寒带、热带和温带。古典希腊数学的黄金时代古典希腊数学的黄金时代-亚历山大时期的数学亚历山大时期的数学 亚历山大时期数学之亚历山大时期数学之欧几里得与几何原本欧几里得与几何原本 欧几里得欧几里得 (公元前公元前325-前前265年年)亚历山大时期数学之亚历山大时期数学之欧几里得与几何原本欧几里得与几何原本 欧几里得（约公元前欧几里得（约公元前330260），应托勒密），应托勒密一世之邀到亚历山大，成为亚历山大学派的一世之邀到亚历山大，成为亚历山大学派的奠基人。欧几里得系统地整理了以往的几何奠基人。欧几里得系统地整理了以往的几何学成就，写出了学成就，写出了13卷原本，欧几里得的卷原本，欧几里得的工作不仅为几何学的研究和教学提供了蓝本，工作不仅为几何学的研究和教学提供了蓝本，而且对整个自然科学的发展有深远的影响。而且对整个自然科学的发展有深远的影响。爱因斯坦说：爱因斯坦说：“西方科学的发展是以两个伟西方科学的发展是以两个伟大的成就为基础的，那就是：希腊哲学家发大的成就为基础的，那就是：希腊哲学家发明形式逻辑体系（在欧几里得几何学中），明形式逻辑体系（在欧几里得几何学中），以及通过系统的实验发现有可能找到因果关以及通过系统的实验发现有可能找到因果关系（在文艺复兴时期）。系（在文艺复兴时期）。”欧几里得几何原本之欧几里得几何原本之公理化方法公理化方法公公理理化化方方法法：从从一一些些基基本本的的概概念念和和公公理理出出发发，利利用用纯纯逻逻辑辑推推理理的的方方法法，把把一一门门学学科科建建立立成成演演绎绎系系统统的的方方法法。后后来来的的许许多多著著作作都都仿仿照照这这种种格格式式写写成成，如如牛牛顿顿的的自然哲学的数学原理等。自然哲学的数学原理等。几何原本的影响几何原本对后来数学思想有重要影几何原本对后来数学思想有重要影响。其一：公理化思想；其二：几何直响。其一：公理化思想；其二：几何直观与严格逻辑推理的结合使欧几里得几观与严格逻辑推理的结合使欧几里得几何长期被认为是最正宗的数学知识，笛何长期被认为是最正宗的数学知识，笛卡儿在发明了解析几何后仍坚持对每一卡儿在发明了解析几何后仍坚持对每一个几何作图给出综合证明，牛顿在第一个几何作图给出综合证明，牛顿在第一次公开他的微积分发明时也要对这一算次公开他的微积分发明时也要对这一算法作出几何解释；其三：导致非欧几何法作出几何解释；其三：导致非欧几何的诞生。的诞生。亚历山大时期数学之亚历山大时期数学之阿基米德的数学成就阿基米德的数学成就 阿基米德阿基米德 (公元前公元前公元前公元前287-287-前前前前212212年年年年)阿基米德之死阿基米德之死古希腊数学之古希腊数学之阿基米德的数学成就阿基米德的数学成就 阿基米德（阿基米德（Archimedes，公元前公元前287-212）出）出生于西西里岛的叙拉古，曾在亚历山大跟欧生于西西里岛的叙拉古，曾在亚历山大跟欧几里得的学生学习过，离开亚历山大后仍与几里得的学生学习过，离开亚历山大后仍与那里的师友保持联系，他的许多成果都是通那里的师友保持联系，他的许多成果都是通过与亚历山大学者的通信而保存下来的。因过与亚历山大学者的通信而保存下来的。因此，阿基米德通常被看成是亚历山大学派的此，阿基米德通常被看成是亚历山大学派的成员。成员。阿基米德的著作很多，内容涉及数学、力学阿基米德的著作很多，内容涉及数学、力学及天文学等。及天文学等。阿基米德的数学成就之阿基米德的数学成就之“穷竭法穷竭法”与与“平衡法平衡法”穷竭法是安蒂丰首先使用，并被古希腊数穷竭法是安蒂丰首先使用，并被古希腊数学家普遍用来证明面积和体积的方法。穷学家普遍用来证明面积和体积的方法。穷竭法可以用来严格证明已经猜想出来的命竭法可以用来严格证明已经猜想出来的命题，但不能用来发现新的结果。题，但不能用来发现新的结果。阿基米德发明了求面积和体积的阿基米德发明了求面积和体积的“平衡法平衡法”，求出面积或体积后再用，求出面积或体积后再用“穷竭法穷竭法”加加以证明。阿基米德以证明。阿基米德“平衡法平衡法”与与“穷竭法穷竭法”的结合是严格证明与创造技巧相结合的的结合是严格证明与创造技巧相结合的典范。典范。阿基米德的数学成就之阿基米德的数学成就之用平衡法求球的体积用平衡法求球的体积阿阿基基米米德德用用“平平衡衡法法”推推导导了了球球体体积积公公式式。刻刻在在阿阿基基米米德德墓墓碑碑上上的的几几何何图图形形代代表表了了他他所所证证明明的的一一条条数数学学定定理理：以以球球的的直直径径为为底底和和高高的的圆圆柱柱，其其体体积积是是球球体体积积的的3/2，其其表表面面积积是是球球面面积积的的3/2。阿基米德的阿基米德的“平衡法平衡法”，将需要求积的量分，将需要求积的量分成一些微小单元，再与另一组微小单元进行成一些微小单元，再与另一组微小单元进行比较，而后一组的总和比较容易计算。因此，比较，而后一组的总和比较容易计算。因此，“平衡法平衡法”实际上体现了近代积分法的基本实际上体现了近代积分法的基本思想，是阿基米德数学研究的最大功绩。但思想，是阿基米德数学研究的最大功绩。但是，是，“平衡法平衡法”本身必须以极限论为基础，本身必须以极限论为基础，阿基米德意识到了他的方法在严密性上的不阿基米德意识到了他的方法在严密性上的不足，所以他用平衡法求出一个面积或体积后，足，所以他用平衡法求出一个面积或体积后，必再用穷竭法加以严格的证明。必再用穷竭法加以严格的证明。阿基米德的数学成就之阿基米德的数学成就之用平衡法求球的体积用平衡法求球的体积阿基米德的数学成就之阿基米德的数学成就之用平衡法求球的体积用平衡法求球的体积球切片体积球切片体积锥切片体积锥切片体积柱切片体积柱切片体积左力矩左力矩=右力矩右力矩=左力矩左力矩=4右力矩右力矩P球锥的切片xN阿基米德的数学成就之阿基米德的数学成就之用平衡法求球的体积用平衡法求球的体积将球、圆锥、圆柱均完全分割成厚度为将球、圆锥、圆柱均完全分割成厚度为x的薄片，并将所有球与圆锥的薄片都的薄片，并将所有球与圆锥的薄片都挂到挂到P点，圆柱薄片都留在原处。点，圆柱薄片都留在原处。左力矩和左力矩和=（球体积（球体积+锥体积）锥体积）2R 右力矩和右力矩和=柱体积柱体积R（球体积（球体积+锥体积）锥体积）2R=4柱体积柱体积R球体积球体积=2柱体积锥体积柱体积锥体积与欧几里得相比，阿基米德可以说是一位应用与欧几里得相比，阿基米德可以说是一位应用数学家。在论浮体中论述了浮力原理、在数学家。在论浮体中论述了浮力原理、在论平面图形的平衡或其重心中论述了杠杆论平面图形的平衡或其重心中论述了杠杆原理。曾设计了一组复杂的滑车装置，使叙拉原理。曾设计了一组复杂的滑车装置，使叙拉古国王亲手移动了一只巨大的三桅货船，他说：古国王亲手移动了一只巨大的三桅货船，他说：“给我一个支点，我可以移动地球给我一个支点，我可以移动地球”。在保卫。在保卫叙拉古的战斗中发明了许多军械如石炮、火镜叙拉古的战斗中发明了许多军械如石炮、火镜等。后被罗马士兵杀害，死时等。后被罗马士兵杀害，死时75岁。传说曾下岁。传说曾下令不要杀死阿基米德的罗马主将马塞吕斯事后令不要杀死阿基米德的罗马主将马塞吕斯事后特意为阿基米德建墓。特意为阿基米德建墓。应用数学家阿基米德应用数学家阿基米德亚历山大时期数学之亚历山大时期数学之阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论 阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯 (约公元前约公元前262-前前190年年)亚历山大时期数学之亚历山大时期数学之阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论 阿波罗尼奥斯（阿波罗尼奥斯（Apollonius，公元前公元前262-190）出生于小亚细亚（今土尔其一带），）出生于小亚细亚（今土尔其一带），年轻时曾在亚历山大城跟随欧几里得的学年轻时曾在亚历山大城跟随欧几里得的学生学习，后到小亚细亚西岸的帕加蒙王国生学习，后到小亚细亚西岸的帕加蒙王国居住与工作，晚年又回到亚历山大。居住与工作，晚年又回到亚历山大。阿波罗尼奥斯的主要数学成就是在前人工阿波罗尼奥斯的主要数学成就是在前人工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲线理作的基础上创立了相当完美的圆锥曲线理论，编著圆锥曲线论论，编著圆锥曲线论。阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论全书共全书共8卷，含卷，含487个命题。在阿波罗尼奥斯之个命题。在阿波罗尼奥斯之前，希腊人用三种不同圆锥面导出圆锥曲线，前，希腊人用三种不同圆锥面导出圆锥曲线，阿波罗尼奥斯则第一次从一个对顶圆锥得到所阿波罗尼奥斯则第一次从一个对顶圆锥得到所有的圆锥曲线，并给它们以正式的名称：亏曲有的圆锥曲线，并给它们以正式的名称：亏曲线、齐曲线、盈曲线（李善兰翻译时取意译名线、齐曲线、盈曲线（李善兰翻译时取意译名椭圆、抛物线、双曲线）。椭圆、抛物线、双曲线）。圆锥曲线论可以说是希腊演绎几何的最高圆锥曲线论可以说是希腊演绎几何的最高成就。几何学的新发展要到成就。几何学的新发展要到17世纪笛卡儿等人世纪笛卡儿等人的解析方法出现后才得以来临。的解析方法出现后才得以来临。阿波罗尼奥斯用统一的方式引出三种圆锥曲线后，阿波罗尼奥斯用统一的方式引出三种圆锥曲线后，便展开了对它们性质的广泛讨论，内容涉及圆锥便展开了对它们性质的广泛讨论，内容涉及圆锥曲线的直径、公轭直径、切线、中心、双曲线的曲线的直径、公轭直径、切线、中心、双曲线的渐进线、椭圆与双曲线的焦点以及处在不同位置渐进线、椭圆与双曲线的焦点以及处在不同位置上的圆锥曲线的交点数等。圆锥曲线论中包上的圆锥曲线的交点数等。圆锥曲线论中包含了许多即使按今天的眼光看也是很深奥的问题。含了许多即使按今天的眼光看也是很深奥的问题。第第5卷中关于定点到圆锥曲线的最长和最短线段卷中关于定点到圆锥曲线的最长和最短线段的探讨，实质上提出了圆锥曲线的法线包络即渐的探讨，实质上提出了圆锥曲线的法线包络即渐屈线的概念，它们是近代微分几何的课题。第屈线的概念，它们是近代微分几何的课题。第3、4卷中关于圆锥曲线的极点与极线的调和性质的卷中关于圆锥曲线的极点与极线的调和性质的论述，则包含了射影几何学的萌芽思想。论述，则包含了射影几何学的萌芽思想。阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论 亚历山大后期亚历山大后期-罗马时期罗马时期 公公元元前前6世世纪纪，在在意意大大利利半半岛岛的的台台伯伯河河畔畔，有有一一座座罗罗马马城城逐逐渐渐建建立立起起来来。公公元元前前509年年，罗罗马马建建立立了了共共和和国国。古古罗罗马马经经过过多多个个世世纪纪的的战战争争，时时分分时时合合多多次次。公公元元前前27年年，罗罗马马建建立立了了元元首首政政治治，共共和和国国宣宣告告灭灭亡亡，从从此此进进入入罗罗马马帝帝国国时时代代。在在公公元元前前1世世纪纪完完全全征征服服了了希希腊腊各各国国而而夺夺得得了了地地中中海海地地区区的的霸霸权权，建建立立了了强强大大的的罗罗马马帝帝国国。1世世纪纪时时，罗罗马马帝帝国国继继续续扩扩张张，到到2世世纪纪，帝帝国国版版图图确确定定下下来来，它它地地跨跨欧欧、亚亚、非非三三洲洲，地地中中海海成成了了它它的的内内湖湖。传传统统的的史史学学家家把公元前把公元前27年到公元年到公元284年称为早期罗马帝国。年称为早期罗马帝国。亚历山大后期亚历山大后期-罗马时期罗马时期 罗马帝国的建立，唯理的希腊文明从而被罗马帝国的建立，唯理的希腊文明从而被务实的罗马文明所取代。同气势恢弘的罗马建务实的罗马文明所取代。同气势恢弘的罗马建筑相比，罗马人在数学领域远谈不上有什么显筑相比，罗马人在数学领域远谈不上有什么显赫的功绩。由于希腊文化的惯性影响以及罗马赫的功绩。由于希腊文化的惯性影响以及罗马统治者对自由研究的宽松态度，在相当长一段统治者对自由研究的宽松态度，在相当长一段时间内亚历山大城仍然维持学术中心的地位，时间内亚历山大城仍然维持学术中心的地位，产生了一批杰出的数学家和数学著作。从公元产生了一批杰出的数学家和数学著作。从公元前前30年公元年公元600年常称为希腊数学的年常称为希腊数学的“亚历山亚历山大后期大后期”。亚历山大后期（罗马时期）亚历山大后期（罗马时期）的数学成就的数学成就 海伦（海伦（Heron，前前1世纪世纪公元公元1世纪）推导出求三角世纪）推导出求三角形面积的海伦公式。形面积的海伦公式。托勒密（托勒密（Ptolemy约约100170）的地球中心学说。）的地球中心学说。托勒密利用大量的观察资料，进行浩繁的计算，写托勒密利用大量的观察资料，进行浩繁的计算，写出八卷本的大综合论（又译出八卷本的大综合论（又译天文学大成天文学大成，简称简称大成大成），详细论述了太阳系和宇宙以地球），详细论述了太阳系和宇宙以地球为中心的学说。在托勒密的地心说中，行星是绕着为中心的学说。在托勒密的地心说中，行星是绕着一种数学上的点（本轮中心）运动的，而这些点又一种数学上的点（本轮中心）运动的，而这些点又位于均轮上围绕地球运转。托勒密的地心说虽然不位于均轮上围绕地球运转。托勒密的地心说虽然不反映宇宙的实际结构，但是依据上述的数学图解却反映宇宙的实际结构，但是依据上述的数学图解却比较完满地解释了当时所观测到的行星运动情况。比较完满地解释了当时所观测到的行星运动情况。托勒密将圆周分成托勒密将圆周分成360度，角的度量采用度，角的度量采用60进制，还应用托勒密定理（圆内接四进制，还应用托勒密定理（圆内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两对边形中，两条对角线长的乘积等于两对对边长乘积之和）造出了一张正弦表。对边长乘积之和）造出了一张正弦表。梅涅劳斯（梅涅劳斯（Menelaus，约公元约公元1世纪）的世纪）的球面学是球面三角学的开山之作。球面学是球面三角学的开山之作。亚历山大后期（罗马时期）亚历山大后期（罗马时期）的数学成就的数学成就 罗马时期希腊数学的一个重要特征是突破罗马时期希腊数学的一个重要特征是突破了以几何学为中心的传统，使算术和代数了以几何学为中心的传统，使算术和代数成为独立的学科。丢番图（成为独立的学科。丢番图（Diophantus）的的算术用纯分析的途径处理数论与代数算术用纯分析的途径处理数论与代数问题（包括不定方程），可以看作是希腊问题（包括不定方程），可以看作是希腊算术与代数的最高成就算术与代数的最高成就。亚历山大后期（罗马时期）亚历山大后期（罗马时期）的数学成就的数学成就 之丢番图的算术之丢番图的算术亚历山大后期（罗马时期）亚历山大后期（罗马时期）的数学成就的数学成就 之丢番图的算术之丢番图的算术丢番图的丢番图的算术算术 (公元公元200-284年年)丢番图的墓志铭关于丢番图的生平没有什么记载，大约关于丢番图的生平没有什么记载，大约公元公元250年前后活动于亚历山大城，他活年前后活动于亚历山大城，他活了了84岁则可以从他的墓志铭中算出：丢岁则可以从他的墓志铭中算出：丢番图的童年占一生的番图的童年占一生的1/6，此后过了一生，此后过了一生的的1/12开始长胡子，再过一生的开始长胡子，再过一生的1/7后结婚，后结婚，婚后婚后5年生了个孩子，孩子活到父亲一半年生了个孩子，孩子活到父亲一半的年龄，孩子死后的年龄，孩子死后4年父亲也去世了。年父亲也去世了。亚历山大后期（罗马时期）亚历山大后期（罗马时期）的数学成就的数学成就 之数学汇编之数学汇编 罗马时期的最后一位重要数学家是帕波罗马时期的最后一位重要数学家是帕波斯（斯（Pappus，约公元约公元300-350），著作），著作数学汇编是一部总结前人成果的典数学汇编是一部总结前人成果的典型著作，在数学史上有特殊的意义，有型著作，在数学史上有特殊的意义，有许多古代希腊数学的宝贵资料就是因为许多古代希腊数学的宝贵资料就是因为有数学汇编的记载才得以保存下来。有数学汇编的记载才得以保存下来。古希腊数学的落幕古希腊数学的落幕基督教在罗马被奉为国教后，将希腊学术视基督教在罗马被奉为国教后，将希腊学术视为异端邪说，对异教学者横加迫害。公元为异端邪说，对异教学者横加迫害。公元415年，亚历山大女数学家希帕蒂娅（公元年，亚历山大女数学家希帕蒂娅（公元370415年）被一群听命于主教的基督暴徒年）被一群听命于主教的基督暴徒残酷杀害。希帕蒂娅曾注释过阿基米德、阿残酷杀害。希帕蒂娅曾注释过阿基米德、阿波罗尼奥斯和丢番图的著作，是历史上第一波罗尼奥斯和丢番图的著作，是历史上第一位杰出的女数学家。希帕蒂娅的被害预示了位杰出的女数学家。希帕蒂娅的被害预示了在基督教的阴影笼罩下整个中世纪欧洲数学在基督教的阴影笼罩下整个中世纪欧洲数学的厄运。的厄运。结束结束