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微分方程第五章微分方程第五章2定义定义 n n维向量函数组的线性相关与线性无关维向量函数组的线性相关与线性无关 设有设有n n维向量函数组维向量函数组 ,若存在若存在不全为不全为零的常数零的常数 使得使得则称则称 在在 上线性相关上线性相关,否则称否则称 在在 上上线性无关线性无关.二、非齐次线性方程组二、非齐次线性方程组方程组方程组 的解，的解，则则 为为 的解的解.性质性质1 1 若若 是是 的解，的解，是是 对应的齐次对应的齐次 性质性质1 1 若若 都是都是 的解，则的解，则为为 对应的齐次方程组对应的齐次方程组 的解的解.（其中（其中 在在 上连续）上连续）对应齐次方程组对应齐次方程组定理定理7 7 设设 为为 对应的齐次方程组的基解矩阵对应的齐次方程组的基解矩阵其中其中 为任意的为任意的n n维常数列向量维常数列向量.为方程组为方程组 的一个特解，则方程组的一个特解，则方程组 的通解的通解为为 线性非齐次方程组的通解为其对应齐次方程组线性非齐次方程组的通解为其对应齐次方程组的通解加上它自身的一个特解的通解加上它自身的一个特解.常数变易法常数变易法设设 为为 对应的齐次方程组对应的齐次方程组 的基解矩阵的基解矩阵令令代入代入 中得中得因而因而所以所以 为为 的通解的通解 满足满足 的特解为的特解为 满足满足 的特解为的特解为例例2 设有方程组设有方程组其对应的齐次方程组有基解矩阵其对应的齐次方程组有基解矩阵求方程组满足求方程组满足 的特解的特解.对应的齐次方方程有基本解组对应的齐次方方程有基本解组则则 满足满足 的特解为的特解为其中其中 为将为将 中第中第 i 列换成列换成 所得的行列式所得的行列式.设二阶线性非齐次方程设二阶线性非齐次方程推论推论3 设有设有n阶线性非齐次方程阶线性非齐次方程其中其中 在在 上连续上连续若对应的齐次方方程有基本解组若对应的齐次方方程有基本解组则则 满足满足 的特解为的特解为其中其中 为为 的朗斯基行列式，的朗斯基行列式，为将为将 中第中第 i 列换成列换成 所得的行列式所得的行列式.常数变易公式例例3 3 求求 的通解的通解.结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！17