《线性代数》期末复习要点.doc
线性代数期末复习要点第一章 n阶行列式题型：填空1练习册：一、6 解：因为， 所以符号为正。 2（类似）4阶行列式，中含有的项的符号-解：因为，所以符号为正。计算3三、4 （类型相似，但是主对角线上的元素有变化）将第一行乘分别加到其余各行，得 再将各列都加到第一列上，得 第二章 矩阵理论题型： 填空 1练习册：一、9（|A| |B|换数） 解：相似题：2设A、B是3阶方阵，且|A|=2, |B|=3, 则= 3. 已知A,B为4阶方阵，且，则：(1)； (2)；(3)；(4)；(5) 4. 设，都是n阶方阵，且|2，则 5练习册：二、1（类似）因为 ，所以c23=106练习册：三、7（只求A的逆阵）解：由A2-A-2E=O得： A2-A=2E, 即A(A-E)=2E, , 则且.7（类似）已知3阶初等阵，A是3阶方阵，则 A 相当于对A 作的（）初等变换。（见教材P52定理2.7）相似题：8. 设三阶方阵则第一列与第二列互换位置.9. 设三阶方阵则第二列与第三列互换位置.10设4阶可逆阵A的行列式|A|=3，则 |A*| =（|A|=？可能要变数）选择： 11. 设A，B是可逆矩阵，则 =计算： 12. 练习册：三、8（类似）解: AB+E =A2-B, (A+E)B=A2 -E, 因为|A+E|=-7¹0, 所以A+E可逆,所以 B =(A+E)-1(A2-E)=(A+E)-1(A+E)(A-E )=A-E=-=。相似题：13. 设, AB=A+2B, 求B. 解 由AB=A+2E可得(A-2E)B=A, 故 . 14设, 且AB+E=A2+B, 求B. 解 由AB+E=A2+B 得 (A-E)B=A2-E, 即 (A-E)B=(A-E)(A+E). 因为, 所以(A-E)可逆, 从而 . 第三章 n 维向量组题型： 填空：1练习册：一、7（类似）解: 因为, 当35-7m=0时向量组线性相关, 所以m=5。2. 设，线性相关，则？解：，所以3选择：3. 练习册：二、2（类似）4. 练习册：二、4（类似）5. 练习册：二、5（类似）计算：6已知向量组 ，求：(1) R(1,2,3,4)；(2) 1,2,3,4是否线性相关； (3) 1,2,3,4一个极大无关组；(4) 并用极大无关组表示其余向量。解：(1) (1,2,3,4)= ，所以R(1,2,3,4)=3；(2) 因为R(1,2,3,4)=3<4，所以线性相关；(3) 1,2,3为一个极大无关组；(4) 由于 (1,2,3,4)= 所以 4=。7. 练习册：三、3 (类似) (1)(1,2,3,4,5)=®®,向量组的秩为3;(2)因为秩<5,所以线性相关; (3)1,2,3为一个极大无关组;(4) (1,2,3,4,5)®®, 所以a4=a1+a2-a3，a5=(a1-a2+a3)。8练习册：三、5(类似)解：(1)(1,2,3,4)=® 向量组的秩为3;(2)因为秩<4, 所以线性相关; (3)1,2,4为一个极大无关组;(4) (1,2,3,4)®, 所以3= -1-2。注：考试出题为：四个五维向量证明：9. 练习册：四、3 (类似) 设b1=a1, b2=a1+a2, × × ×, br =a1+a2+ × × × +ar, 且向量组a1, a2, × × × , ar线性无关, 证明向量组b1, b2, × × × , br线性无关.解：已知的r个等式可以写成,上式记为B=AK. 因为|K|=1¹0, K可逆, 所以R(B)=R(A)=r, 从而向量组b1, b2, × × × , br线性无关. 10练习册：四、2 若向量组线性无关，而试证：线性无关。(类似)解：设，即 由于向量组线性无关，所以 ，解得，所以线性相关。11设向量组线性无关，令证明：向量组线性无关。(类似)解：设，即 由于向量组线性无关，所以 解得，所以线性相关。第四章 线性方程组题型：选择：1. 练习册：一、4 R(A)= n计算：2. 教材P92-4.5 ; 解：因为R(A)=3,所以AX=对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系所含解向量的个数为4-3=1，由线性方程组解的性质可知是AX=0的一个基础解系，故AX=的通解为，其中为任意常数。3教材P93-4.14(非原题，类似)方程组对应的齐次线性方程组的基础解系含个解向量，则所求方程组的通解为，其中为任意常数。4设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，为它的三个解向量，且， 求该方程组的通解。 解：方程组对应的齐次线性方程组的基础解系含个解向量，则所求方程组的通解为 其中为任意常数。 ， 因此，方程组的通解为 。 5已知4阶方阵A =（1，2，3，4），其中1，2，3，4均为4维的列向量，且2，3，4线性无关，1 = 22 - 3， 如果 = 1 + 2 + 4，求线性方程组Ax=的通解. （类似）解由2，3，4线性无关及1=22-3知矩阵A的秩为3,因此Ax=0的基础解系有一个解向量,由1-2 2 + 3 + 04 = 0得= 0，即齐次线性方程组Ax=0的基础解系为再由知是Ax=的一个特解，于是方程组Ax=的通解为 6已知非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3，又已知该非齐次线性方程组的三个解向量为，试求该方程组的通解.（类似）解：由方程组未知数个数为5及系数矩阵的秩为3，知其对应的齐次线性方程组的基础解系中只含两个线性无关解向量，再由“非齐次线性方程组两个解的差必为对应的齐次线性方程组的解”，以及，线性无关.知非齐次线性方程组的通解等于它自身的一个特解加上它对应的齐次线性方程组的通解，即通解 .7. 设四元线性方程组AX=,且R（A）= 3，已知是其三个解向量，其中 求AX=的通解。（类似） 解：因为R(A)=3,所以AX=对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系所含解向量的个数为4-3=1，由线性方程组解的性质可知是AX=0的一个基础解系，故AX=的通解为8设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，为它的三个解向量，且， 求该方程组的通解。 解：方程组对应的齐次线性方程组的基础解系含个解向量，则所求方程组的通解为 其中为任意常数。 ， 因此，方程组的通解为 。第五章 特征值与特征向量题型：填空: 1练习册：一、4（类似） 解：因为1，2，3为A的特征值，则f(A)=A3-5A2+7A的特征值分别为：f(1)=1-5+7=3；f(2)=8-20+14=2；f(3)=27-45+21=3，所以|A3-5A2+7A|=3´2´3=18。2练习册：一、5（类似）解：因为1，0为A的特征值，则f(A)=3A2-2A+4E的特征值分别为：f(1)=3-2+4=5；=5；f(0)=4，所以|B|=5´5´4=20。3. 设A为三阶方阵，其特征值为3，1，2，则|2A23AE |? （类似）解：因为3，-1，2为A的特征值，则f(A)=2A2-3A+E的特征值分别为：f(3)=18-9+1=10；f(-1)=2+3+1=6；f(2)=8-6+1=3，所以|2A23AE |10´6´3=180。4练习册：四，3解：设l是A的任意一个特征值, x是A的对应于l的特征向量, 则 (A2-3A+2E)x=l2x-3lx+2x=(l2-3l+2)x=0. 因为x¹0, 所以l2-3l+2=0, 即l是方程l2-3l+2=0的根, 也就是说l=1或l=2.计算：5. 练习册：三、5，解：|A-E|=(5-)(+1)2, A的特征值为: 1=2=-1,3=5,。对应=-1，A+E=x1=-x2-x3, 基础解系为p1=(-1,1,0)T, p2=(-1,0,1)T, 对应=-1的全部特征向量为x=k1p1+k2p2 (k1,k2不全为零) ;对应3=5, A-5E=, 基础解系为p3=(1,1,1)T, 对应=5的全部特征向量为x=k3p3 (k3不为零) ; 令P=(p1, p2, p3)=，则有P-1AP=。第八章 二次型题型：选择1. 练习册：二、1解: f=2x1x2, f的矩阵A=, |A-E|=(-1)(+1), 特征值为1=1, 2=-1, 所以标准形为f=y12-y22, 或f=-y12+y22。填空：2. 二次型的矩阵为（类似）
