立体几何中的向量方法第2课时空间向量与垂直关系教案（人教A版选修21）(共14页).docx

精选优质文档-倾情为你奉上第2课时空间向量与垂直关系三维目标 1.知识与技能能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，能用向量方法判断有关直线和平面垂直关系的立体几何问题2过程与方法通过本节教学使学生理解体会用向量方法解决立体几何问题的思想及过程3情感、态度与价值观引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神重点难点重点：用向量方法判断有关直线和平面垂直关系的立体几何问题难点：用向量语言证明立体几何中有关垂直关系的问题本节课重点和难点在于用向量证明垂直关系，应利用探究式教学以及多媒体帮助分散难点，强化重点(教师用书独具)教学建议 根据教学目标，应有一个让学生参与实践探索发现总结归纳的探索认知过程因此本节课给学生提供以下4种学习的机会：(1)提供观察、思考的机会：用亲切的语言鼓励学生观察并用学生自己的语言进行归纳；(2)提供操作、尝试、合作的机会：鼓励学生大胆利用资源，发现问题，讨论问题，解决问题；(3)提供表达、交流的机会：鼓励学生敢想敢说，设置问题促使学生愿想愿说；(4)提供成功的机会：赞赏学生提出的问题，让学生在课堂中能更多地体验成功的乐趣教学流程课标解读1.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法(重点)2.能利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面间的垂直问题(重点、难点)线线垂直【问题导思】立体几何中怎样证明两条直线互相垂直【提示】(1)证明两直线所成的角为90°.(2)证明两直线的方向向量垂直(3)转化为先证直线与平面垂直，再用线面垂直的性质设直线l的方向向量为a(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b(b1，b2，b3)，则lma·b0a1b1a2b2a3b30.线面垂直【问题导思】1如果已知直线的方向向量与平面的法向量，怎样证明直线与平面垂直【提示】证明直线的方向向量与平面的法向量共线2除上述方法外，还有其他证明方法吗【提示】可以证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量都垂直设直线l的方向向量是a(a1，b1，c1)，平面的法向量是u(a2，b2，c2)，则lauaku(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR)面面垂直若平面的法向量u(a1，b1，c1)，平面的法向量v(a2，b2，c2)，则uvu·v0a1a2b1b2c1c20.利用向量证明线线垂直图3210已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CNCC1.求证：AB1MN.【思路探究】(1)若选、为基向量，你能用基向量表示与吗怎样证明与垂直(2)若要建立空间直角坐标系，本题该怎样建立你能用坐标表示向量与并证明它们平行吗【自主解答】法一设a，b，c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|b|c|1，a·cb·c0，ac，(ab)，bc，abc，·(ac)·(abc)cos 60°0000.，AB1MN.法二设AB中点为O，作OO1AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系由已知得A(，0,0)，B(，0,0)，C(0，0)，N(0，)，B1(，0,1)，M为BC中点，M(，0)(，)，(1,0,1)，·00.，AB1MN.利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤：(1)基向量法：选取三个不共线的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；把两直线的方向向量用基底表示；利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；由方向向量垂直得到两直线垂直(2)坐标法：根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；计算两直线方向向量的数量积为0；由方向向量垂直得到两直线垂直在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AEBF，求证：A1FC1E.【证明】以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)设AEBFx，E(a，x,0)，F(ax，a,0)(x，a，a)，(a，xa，a)·(x，a，a)·(a，xa，a)axaxa2a20，即A1FC1E.利用向量证明线面垂直在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，求证：EF平面B1AC.【思路探究】(1)本题证明能用基向量法吗(2)用坐标法可以吗怎样证明较为简单【自主解答】法一设a，c，b，则()()(abc)ab，·(abc)·(ab)(b2a2c·ac·b)(|b|2|a|200)0，即EFAB1，同理，EFB1C.又AB1B1CB1，EF平面B1AC.法二设正方体的棱长为2，建系如图则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)(1,1,2)(2,2,1)(1，1,1)，(2,2,2)(2,0,0)(0,2,2)，(0,2,0)(2,0,0)(2,2,0)而·(1，1,1)·(0,2,2)(1)×0(1)×21×20，·(1，1,1)·(2,2,0)2200，EFAB1，EFAC.又AB1ACA，EF平面B1AC.1坐标法证明线面垂直有两种思路：方法一：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行2使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用方法二，否则常常选用方法一解决图3211(2013·北京高二检测)如图3211，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，点P为DD1的中点，求证：直线PB1平面PAC.【证明】依题设，以D为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则C(1,0,0)，P(0,0,1)，A(0,1,0)，B1(1,1,2)，于是(1,1,0)，(1,0,1)，(1,1,1)，·(1,1,0)·(1,1,1)0，·(1,0,1)·(1,1,1)0，故，即PB1CP，PB1CA，又CPCAC，且CP平面PAC，CA平面PAC.故直线PB1平面PAC.利用向量证明面面垂直图3212如图3212，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，ABBC2，BB11，E为BB1的中点，求证：平面AEC1平面AA1C1C.【思路探究】【自主解答】由题意得AB，BC，B1B两两垂直，以B为原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E(0,0，)，则(0,0,1)，(2,2,0)，(2,2,1)，(2,0，)设平面AA1C1C的一个法向量为n1(x，y，z)，则令x1，得y1，n1(1,1,0)设平面AEC1的一个法向量为n2(x，y，z)，则令z4，得x1，y1.n2(1，1,4)n1·n21×11×(1)0×40，n1n2.平面AEC1平面AA1C1C.1利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直2向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED平面B1BD.【证明】以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，E(0,1，)，(1,1,1)，(0,1，)，设平面B1DE的法向量为n1(x，y，z)，则xyz0且yz0，令z2，n1(1,1，2)同理求得平面B1BD的法向量为n2(1，1,0)，由n1·n20，知n1n2，平面B1DE平面B1BD.利用平面的法向量求解空间中的探索性问题图3213(12分)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P平面C1DE.【思路点拨】建立直角坐标系，设出点P的坐标，将平面垂直当作已知条件利用它们的法向量垂直可得P点坐标【规范解答】如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，P(0,1，a)，则A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，E(，1,0)，C1(0,1,1)，2分(0,1,0)，(1,1，a1)，(，1,0)，(0,1,1).4分设平面A1B1P的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则x1(a1)z1，y10.令z11，得x1a1，n1(a1,0,1).8分设平面C1DE的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则令y21，得x22，z21，n2(2,1，1)平面A1B1P平面C1DE，n1·n20，即2(a1)10，得a.当P为CC1的中点时，平面A1B1P平面分【思维启迪】立体几何中探索性、存在性问题的思维层次较高，分析时应特别注意本题考查面面垂直关系的逆用，由题意设出探求点的坐标，求出两平面的法向量是解题的关键1用空间向量解决立体几何中的垂直问题，主要运用直线的方向向量与平面的法向量，同时也需要借助空间中已有的位置关系及关于垂直的定理2应用向量证明垂直问题的基本步骤：(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系，选取适当的基底)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线和平面；(2)通过向量运算研究垂直问题；(3)根据运算结果解释相关问题1若直线l的方向向量a(1,0,2)，平面的法向量为n(2,0，4)，则()AlBlCl Dl与斜交【解析】n(2,0，4)2(1,0,2)2a，na，l.【答案】B2若平面、的法向量分别为a(2，1,0)，b(1，2,0)，则与的位置关系是()A平行 B垂直C相交但不垂直 D无法确定【解析】a·b2200，ab，.【答案】B3设直线l1与l2的方向向量分别为a(1，1，3)，b(2，1，x)，若l1l2，则x()A1B2C3D4【解析】l1l2，a·b213x0，x1.【答案】A图32144正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在如图3214所示的坐标系下求证：BD1平面ACB1.【证明】如题图A(1,0,0)，C(0,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，B(1,1,0)(1，1,1)，(1,1,0)，(0,1,1)由·1100，·0110BD1AC，BD1AB1，又ACAB1ABD1平面ACB1.一、选择题1(2013·东营高二检测)已知平面的法向量为a(1,2，2)平面的法向量为b(2，4，k)，若，则k()A4 B4 C5 D5【解析】，ab，a·b282k0k5.【答案】D2(2012·青岛高二检测)在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是() 【解析】由题意知PA平面ABCD，所以PA与平面上的线AB、CD都垂直，A、B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD平面PAC，故PCBD，C选项正确【答案】D3已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量为n(1，1，1)，且与不重合，则()A BC与相交不垂直 D以上都不对【解析】(0,1，1)，(1,0，1)，n·0，n·0，n，n，故n也是的一个法向量，又与不重合，.【答案】A4已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为()，4 ，4，2,4 D4，15【解析】，·0，即352z0，得z4，又BP平面ABC，则解得【答案】B5平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(2)·()0，则ABC的形状是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等边三角形【解析】(2)·()()·()·0，故ABC为等腰三角形【答案】B二、填空题6直线l1与l2的方向向量分别为a1，a2，若a1a2，则l1与l2的位置关系为_【解析】两直线的方向向量垂直，这两条直线也垂直【答案】垂直7(2013·吉林高二检测)已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量u(1，3，z)，向量v(3，2,1)与平面平行，则z_.【解析】由题意知uv，u·v36z0，z9.【答案】98已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_【解析】·0，·0，ABAP，ADAP，则正确又与不平行，是平面ABCD的法向量，则正确由于(2,3,4)，(1,2，1)，与不平行，故错误【答案】三、解答题图32159如图3215，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：AM平面BDF.【证明】以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，0)，B(0，0)，D(，0,0)，F(，1)，M(，1)所以(，1)，(0，1)，(，0)设n(x，y，z)是平面BDF的法向量，则n，n，所以取y1，得x1，z.则n(1,1，)因为(，1)所以n ，得n与共线所以AM平面BDF.图321610在四面体ABCD中，AB面BCD，BCCD，BCD90°，ADB30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF平面ABC.【证明】建立如图所示空间直角坐标系，取A(0,0，a)，由ADB30°，可得D(0，a,0)，C(a，a,0)，B(0,0,0)，E(a，a，)，F(0，a，)，(a，a,0)，(0,0，a)，(a，a,0)，·0，·0，EFAB，EFBC，EF面ABC，又EF面BEF，面BEF面ABC.11在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点，(1)求证：A1EBD；(2)若平面A1BD平面EBD，试确定E点的位置【解】(1)证明分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a.依题意可得，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)设E(0，a，e)(a，a，ea)，又(a，a,0)，·a2a20.，即A1EBD.(2)E为CC1的中点，证明如下：设BD的中点为O，连结A1O，OE.则O(，0)，(，e)，(，a)A1BA1D，O为BD中点，A1OBD.又平面A1BD平面EBD，A1O平面EBD.A1OOE.又(a，a,0)，则·0，·0，即，e.当E为CC1的中点时，能使平面A1BD平面EBD.(教师用书独具)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，试在棱BB1上找一点M，使得D1M平面EFB1.【自主解答】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，则E(2,1,0)，F(1,2,0)，D1(0,0,2)，B1(2,2,2)设M(2,2，m)，则(1,1,0)，(0，1，2)，(2,2，m2)D1M平面EFB1，D1MEF，D1MB1E，·0且·0，于是m1，故取B1B的中点为M就能满足D1M平面EFB1.如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB2，AD1，AA13，M是BC的中点在DD1上是否存在一点N，使MNDC1并说明理由【解】如图所示，建立以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴的坐标系，则C1(0,2,3)，M(，2,0)，D(0,0,0)设N(0,0，h)，则(，2，h)，(0,2,3)，由·(，2，h)·(0,2,3)43h.当h时，·0，此时.存在NDD1，使MNDC1.专心-专注-专业